第18講方程(組)與不等式(組)的綜合(原卷版+解析)-2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊常考點(diǎn)(數(shù)學(xué)思想+解題技巧+專項(xiàng)突破+精準(zhǔn)提升)

方程（組）與不等式(組)的綜合專題高頻考點(diǎn)+針對訓(xùn)練類型一一元一次方程與不等式的綜合典例1若關(guān)于x的方程的解是非負(fù)數(shù)，求m的取值范圍。典例2若關(guān)于x的不等式3m－2x＜5的解集是x＞2，則實(shí)數(shù)m的值為．針對訓(xùn)練11．關(guān)于x的方程5－a(1－x)＝8x－(3－a)x的解是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜－4 B．a(chǎn)＞5 C．a(chǎn)＞－5 D．a(chǎn)＜－52．若關(guān)于x的不等式ax－3＞0的解集是x＜－1，則a的值是________．3．關(guān)于的方程的解是非負(fù)數(shù)，求正整數(shù)m的值。類型二二元一次方程組與一元一次不等式的綜合典例3已知方程組的解滿足x＋y＜1，求k的取值范圍.

針對訓(xùn)練24．若關(guān)于x的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝p＋1，,4x＋3y＝p－1))的解滿足x＞y，則p的取值范圍是________．5．若關(guān)于x、y的二元一次方程組中，5x＋2y的值為負(fù)數(shù)，求m的取值范圍.類型三二元一次方程組與一元一次不等式組的綜合典例4已知關(guān)于x、y的方程組的解是一對正數(shù)。（1）試確定m的取值范圍；（2）化簡針對訓(xùn)練36．已知關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－7－m，,x－y＝1＋3m))的解滿足x為非正數(shù)，y為負(fù)數(shù)．(1)求m的取值范圍；(2)在m的取值范圍內(nèi)，當(dāng)m為何整數(shù)時(shí)，不等式2mx＋x＜2m＋1的解集為x＞1?7．已知關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＝a＋3，,2x＋y＝5a，)))其中a為常數(shù)．(1)求方程組的解；(2)若方程組的解滿足x＞y＞0，求a的取值范圍．

第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練1．已知關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝k＋1，,x＋3y＝3))的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b，))若a＋b＞0，則k的取值范圍是()A．k＞4B．k＞－4C．k＜4D．k＜－42．若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足x＋y<2，則a的取值范圍是（）．A．a(chǎn)>2 B．a(chǎn)<2 C．a(chǎn)>4 D．a(chǎn)<43．已知關(guān)于x的不等式(2－m)x＞2的解集是x＜eq\f(2,2－m)，則m的取值范圍是________．4．(1)已知關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝1＋3m，,x＋2y＝1－m))的解滿足x＋y＜0，求m的取值范圍；(2)已知關(guān)于x，y的二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝4m＋2，,x－y＝6))的解滿足x＋y＜3，求滿足條件的m的所有非負(fù)整數(shù)值．5．當(dāng)m為何整數(shù)時(shí)，關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝m，,5x＋3y＝13))的解是非負(fù)數(shù)？6．若關(guān)于x、y的二元一次方程組中，x的值為負(fù)數(shù)，y的值為正數(shù)，求m的取值范圍．

7.已知關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝m＋1，,2x＋y＝m－1.))當(dāng)m為何值時(shí)，x＞y且2x＜3y?8．已知關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝m，,2x＋3y＝2m＋4))的解滿足不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤0，,x＋5y>0，))求滿足條件的m的整數(shù)值．9．已知關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝－a－1，,2x－y＝－3a))的解滿足x＜0，y＞0.(1)求a的取值范圍；(2)若2x·8y＝2m，求m的取值范圍．10．若點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝3a－2b－4，,2x－y＝a＋b－8.))(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(用含a，b的式子表示x，y)(2)若點(diǎn)P在第二象限，且符合要求的整數(shù)a只有三個(gè)，求b的取值范圍；(3)若點(diǎn)P在第四象限，且關(guān)于z的不等式y(tǒng)z＋x＋4＞0的解集為z＜eq\f(2,3)，求關(guān)于t的不等式at＞b的解集．方程（組）與不等式(組)的綜合專題高頻考點(diǎn)+針對訓(xùn)練類型一一元一次方程與不等式的綜合典例1若關(guān)于x的方程的解是非負(fù)數(shù)，求m的取值范圍。思路引領(lǐng)：首先解方程用含m的代數(shù)式表示出x，再根據(jù)解是非負(fù)數(shù)得x≥0，從而列出關(guān)于m的不等式，求出其取值范圍．解：解關(guān)于的方程，去分母，得，去括號，得移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得，因?yàn)閤≥0，所以≥0，即≥0，所以m≤2．題眼直擊：一元一次不等式的解集．點(diǎn)睛：要解決的問題是求的取值范圍，本質(zhì)是是非負(fù)數(shù)．本題所用的這種“反客為主”的方法，是常用的解題方法，在有字母系數(shù)的題目中常用．典例2若關(guān)于x的不等式3m－2x＜5的解集是x＞2，則實(shí)數(shù)m的值為．思路引領(lǐng)：先將字母m看成是常數(shù)，解不等式得x＞，再由解集為x＞2可得到關(guān)于m的方程，即可求出m的值．解：解不等式得x＞，∵解集為x＞2∴解得：m＝3題眼直擊：一元一次不等式的解集．點(diǎn)睛：不等式的一個(gè)極端狀態(tài)即為方程，解集的一個(gè)極端狀態(tài)即為方程的解．因此也可用下面的解法：根據(jù)題意可知：x=2是方程3m－2x＜5的解，把x＝2代入方程中，得3m－2×2＝5，所以m＝3．針對訓(xùn)練11．關(guān)于x的方程5－a(1－x)＝8x－(3－a)x的解是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜－4 B．a(chǎn)＞5 C．a(chǎn)＞－5 D．a(chǎn)＜－5答案：B點(diǎn)撥：先求出方程的解x＝，然后讓這個(gè)解小于零．2．若關(guān)于x的不等式ax－3＞0的解集是x＜－1，則a的值是________．答案：－33．關(guān)于的方程的解是非負(fù)數(shù)，求正整數(shù)m的值。解：∵，∴3x－(2x－m)＝2－x．∴x＋m＝2－x，∴x＝．∵方程的解是非負(fù)數(shù)，∴≥0．解得m≤2．所以正整數(shù)m的值為1，2．類型二二元一次方程組與一元一次不等式的綜合典例3已知方程組的解滿足x＋y＜1，求k的取值范圍.思路引領(lǐng)1：由于方程組的解滿足x＋y＜1，我們可考慮把k看作已知數(shù)，求出x、y的值，然后代入解法一：∵①×3－②得：8x＝3k，∴x＝②×3－①得：8y＝8－k，∴y＝∵x＋y＜1，∴＋＜1∴k＜0，∴k的范圍為k＜0.x＋y＜1，求出k的范圍.思路引領(lǐng)2：觀察這個(gè)方程組，我們可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程組的系數(shù)輪對稱，我們只需把兩個(gè)方程相加，就可以得到x＋y的值，然后代入x＋y＜1，求出k的范圍．解法二：∵①＋②得：x＋y＝∵x＋y＜1，∴＜1∴k的范圍為k＜0．題眼直擊：二元一次方程組，解一元一次不等式．點(diǎn)睛：本題綜合方程組和不等式知識，解決這類問題的時(shí)候，我們可先用含參數(shù)的代數(shù)式表示x、y的值，或者根據(jù)方程組的特點(diǎn)直接用代數(shù)式表示出x＋y的值，然后代入不等式求出k的取值范圍．兩種方法都很實(shí)用，方法一對于解系數(shù)不成對稱關(guān)系的方程組比較簡單；方法二對于解兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)輪對稱的方程，兩種方法都很重要，方法一對于解系數(shù)不成對稱關(guān)系的方程組比較簡單；方法二對于解兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)輪對稱的方程．針對訓(xùn)練24．若關(guān)于x的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝p＋1，,4x＋3y＝p－1))的解滿足x＞y，則p的取值范圍是________．答案：p＞－65．若關(guān)于x、y的二元一次方程組中，5x＋2y的值為負(fù)數(shù)，求m的取值范圍.解：∵，解得：∵5x＋2y的值為負(fù)數(shù)，∴5(2m－1)＋2(m＋4)＜0．∴m＜－．類型三二元一次方程組與一元一次不等式組的綜合典例4已知關(guān)于x、y的方程組的解是一對正數(shù)。（1）試確定m的取值范圍；（2）化簡思路引領(lǐng)：由于這個(gè)方程組的解是一對正數(shù)，我們可先用含m的代數(shù)式表示這個(gè)二元一次方程組的解，然后利用這組解是一對正數(shù)列出不等式組，從而可求出m的取值范圍．解：（1）=1\*GB3①＋=2\*GB3②得：，=1\*GB3①－=2\*GB3②得：，∵方程組的解為一對正數(shù)∴解得：（2）∵∴，∴＝（）＋（）＝2m＋1．題眼直擊：利用不等式組討論方程組的解點(diǎn)睛：方程組的解滿足特定要求時(shí)，我們總是先設(shè)法求出這個(gè)方程組的解，然后根據(jù)題意列出不等式組，求出字母參數(shù)的取值范圍針對訓(xùn)練36．已知關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－7－m，,x－y＝1＋3m))的解滿足x為非正數(shù)，y為負(fù)數(shù)．(1)求m的取值范圍；(2)在m的取值范圍內(nèi)，當(dāng)m為何整數(shù)時(shí)，不等式2mx＋x＜2m＋1的解集為x＞1?解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－7－m，①,x－y＝1＋3m.②))①＋②，得2x＝－6＋2m，所以x＝－3＋m.①－②，得2y＝－8－4m，所以y＝－4－2m.因?yàn)閤≤0，y＜0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＋m≤0，,－4－2m<0，))解得－2＜m≤3.(2)因?yàn)?mx＋x＜2m＋1，所以(2m＋1)x＜2m＋1.因?yàn)椴坏仁降慕饧癁閤＞1，所以2m＋1＜0.所以m＜－eq\f(1,2).由(1)知，－2＜m≤3，所以－2＜m＜－eq\f(1,2).所以m的整數(shù)值為－1.7．已知關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＝a＋3，,2x＋y＝5a，)))其中a為常數(shù)．(1)求方程組的解；(2)若方程組的解滿足x＞y＞0，求a的取值范圍．解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＝a＋3，①,2x＋y＝5a，②)))①＋②，得3x＝6a＋3.解得x＝2a＋1.把x＝2a＋1代入②，解得y＝a－2.所以方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝2a＋1，,y＝a－2.)))(2)因?yàn)閤＞y＞0，所以2a＋1＞a－2＞0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2a＋1>a－2，,a－2>0，,2a＋1>0.)))解得a＞2.第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練1．已知關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝k＋1，,x＋3y＝3))的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b，))若a＋b＞0，則k的取值范圍是()A．k＞4B．k＞－4C．k＜4D．k＜－4答案：B2．若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足x＋y<2，則a的取值范圍是（）．A．a(chǎn)>2 B．a(chǎn)<2 C．a(chǎn)>4 D．a(chǎn)<4答案：D點(diǎn)撥：因?yàn)?，把兩個(gè)方程的左右分別相加可得：4（x+y）=4+a，所以x+y=；又x+y<2，即：<2，解得：a<4，所以正確選項(xiàng)是D．3．已知關(guān)于x的不等式(2－m)x＞2的解集是x＜eq\f(2,2－m)，則m的取值范圍是________．答案：m＞24．(1)已知關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝1＋3m，,x＋2y＝1－m))的解滿足x＋y＜0，求m的取值范圍；(2)已知關(guān)于x，y的二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝4m＋2，,x－y＝6))的解滿足x＋y＜3，求滿足條件的m的所有非負(fù)整數(shù)值．解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝1＋3m①，,x＋2y＝1－m②，))由①＋②，得3x＋3y＝2＋2m，∴x＋y＝eq\f(2＋2m,3)，∵x＋y＜0，∴eq\f(2＋2m,3)＜0，解得m＜－1，即m的取值范圍是m＜－1.(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝4m＋2①，,x－y＝6②，))由①＋②得4x＝4m＋8，∴x＝m＋2，把x＝m＋2代入②得m＋2－y＝6，∴y＝m－4，∴x＋y＝(m＋2)＋(m－4)＝2m－2，∵x＋y＜3，∴2m－2＜3，∴m＜eq\f(5,2)，∴滿足條件的m的所有非負(fù)整數(shù)值為0，1，2.5．當(dāng)m為何整數(shù)時(shí)，關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝m，,5x＋3y＝13))的解是非負(fù)數(shù)？解：由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝m，,5x＋3y＝13，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(13－3m,2)，,y＝\f(5m－13,2).))因?yàn)閑q\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(13－3m,2)≥0，,\f(5m－13,2)≥0.))解得eq\f(13,5)≤m≤eq\f(13,3).所以當(dāng)m的整數(shù)值為3或4時(shí)，方程組的解是非負(fù)數(shù)．6．若關(guān)于x、y的二元一次方程組中，x的值為負(fù)數(shù)，y的值為正數(shù)，求m的取值范圍．解：∵，∴∵x的值為負(fù)數(shù)，y的值為正數(shù)∴，解得：－2＜m＜0.57.已知關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝m＋1，,2x＋y＝m－1.))當(dāng)m為何值時(shí)，x＞y且2x＜3y?解：由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝m＋1，,2x＋y＝m－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m－3，,y＝－m＋5.))因?yàn)閤＞y且2x＜3y，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－3>－m＋5，,2（m－3）<3（－m＋5）.))解得4＜m＜eq\f(21,5).所以當(dāng)4<m<eq\f(21,5)時(shí)，x>y且2x<3y.8．已知關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝m，,2x＋3y＝2m＋4))的解滿足不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤0，,x＋5y>0，))求滿足條件的m的整數(shù)值．解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝m，①,2x＋3y＝2m＋4.②))①＋②，得3x＋y＝3m＋4.②－①，得x＋5y＝m＋4.因?yàn)閑q\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤0，,x＋5y>0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3m＋4≤0，,m＋4>0.))解得－4＜m≤－eq\f(4,3).所以滿足條件的m的整數(shù)值為－3或－2.9．已知關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝－a－1，,2x－y＝－3a))的解滿足x＜0，y＞0.(1)求a的取值范圍；(2)若2x·8y＝2m，求m的取值范圍．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＝－a－1，,2x－y＝－3a，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝－2a＋1，,y＝－a＋2.)))因?yàn)閤＜0，y＞0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2a＋1＜0，,－a＋2＞0，))解得eq\f(1,2)＜a＜2.(2)因?yàn)?x·8y＝2m，所以2x·(23)y＝2m，即2x·23y＝2m.所以2x＋3y＝2m，所以x＋3y＝m.所以－2a＋1＋3(－a＋2)＝m，所以a＝eq\f(7－m,5).因?yàn)閑q\f(1,2)＜a＜2，所以eq\b\lc\{(\a