專題11二次函數(shù)中矩形存在性綜合應(yīng)用(專項(xiàng)訓(xùn)練)(原卷版+解析)

專題11二次函數(shù)中矩形存在性綜合應(yīng)用（專項(xiàng)訓(xùn)練）1.已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，4），且與x軸交于點(diǎn)B（﹣1，0）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．①連結(jié)AB、BC、CD、DA，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，求m的值；②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線x＝m上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．如圖1，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)線段PE的長度為h，請用含有m的代數(shù)式表示h；（3）如圖2，過點(diǎn)P作PF⊥CE，垂足為F，當(dāng)CF＝EF時(shí)，請求出m的值；（4）如圖3，連接CP，當(dāng)四邊形OCPD是矩形時(shí)，在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)Q，使原點(diǎn)O關(guān)于直線CQ的對稱點(diǎn)O′恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）的直線AB與y軸交于點(diǎn)B（0，4）．經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線y＝﹣x2+bx+c交直線AB于點(diǎn)A，C，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；（2）M是線段AB上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)MN∥y軸且MN＝2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個(gè)長AD＝4m，寬AB＝1m的長方形水池ABCD進(jìn)行加長改造（如圖①，改造后的水池ABNM仍為長方形，以下簡稱水池1）．同時(shí)，再建造一個(gè)周長為12m的矩形水池EFGH（如圖②，以下簡稱水池2）．【建立模型】如果設(shè)水池ABCD的邊AD加長長度DM為x（m）（x＞0），加長后水池1的總面積為y1（m2），則y1關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y1＝x+4（x＞0）；設(shè)水池2的邊EF的長為x（m）（0＜x＜6），面積為y2（m2），則y2關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖③．【問題解決】（1）若水池2的面積隨EF長度的增加而減小，則EF長度的取值范圍是（可省略單位），水池2面積的最大值是m2；（2）在圖③字母標(biāo)注的點(diǎn)中，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是，此時(shí)的x（m）值是；（3）當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，x（m）的取值范圍是；（4）在1＜x＜4范圍內(nèi)，求兩個(gè)水池面積差的最大值和此時(shí)x的值；（5）假設(shè)水池ABCD的邊AD的長度為b（m），其他條件不變（這個(gè)加長改造后的新水池簡稱水池3），則水池3的總面積y3（m2）關(guān)于x（m）（x＞0）的函數(shù)解析式為：y3＝x+b（x＞0）．若水池3與水池2的面積相等時(shí)，x（m）有唯一值，求b的值．5．如圖，拋物線y＝ax2+2x+c的對稱軸是直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，DM交直線BC于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以A，C，N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）已知點(diǎn)E是拋物線對稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)，直線x＝3與x軸交于點(diǎn)C．（1）求a，c的值；（2）經(jīng)過點(diǎn)O的直線分別與線段AB，直線x＝3交于點(diǎn)D，E，且△BDO與△OCE的面積相等，求直線DE的解析式；（3）P是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段OC和直線x＝3上是否分別存在點(diǎn)F，G，使B，F(xiàn)，G，P為頂點(diǎn)的四邊形是以BF為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+?x+（m＞0）與x軸交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．（1）若OC＝2OA，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P位于直線BC上方的拋物線上，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線y＝x+b與拋物線交于B，G兩點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)E（在拋物線上），點(diǎn)F（在拋物線的對稱軸上），使得以B，G，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．8．綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，OA＝1，對稱軸為直線x＝2，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上C、D兩點(diǎn)之間的距離是；（3）點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE，求△BCE面積的最大值；（4）點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．10．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，頂點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B在第一象限，矩形OCDE的頂點(diǎn)E（﹣，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)D在第二象限，射線DC經(jīng)過點(diǎn)B．（Ⅰ）如圖①，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（Ⅱ）將矩形OCDE沿x軸向右平移，得到矩形O′C′D′E′，點(diǎn)O，C，D，E的對應(yīng)點(diǎn)分別為O′，C′，D′，E′．設(shè)OO′＝t，矩形O′C′D′E′與△OAB重疊部分的面積為S．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)E′在x軸正半軸上，且矩形O′C′D′E′與△OAB重疊部分為四邊形時(shí)，D′E′與OB相交于點(diǎn)F，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；②當(dāng)≤t≤時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，OA＝1，對稱軸為直線x＝2，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上C、D兩點(diǎn)之間的距離是；（3）點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE，求△BCE面積的最大值；（4）點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．12．綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的矩形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCD＝2∠ABC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．13．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B，C重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在第一象限拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，直線DF與直線AC交于點(diǎn)E，若DE＝EA，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，直線BD交直線AC于點(diǎn)H，點(diǎn)G在坐標(biāo)平面內(nèi)，在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)A，D，H，G為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．14．拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求A，B，C，D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)Q為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)以A，D，M，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．15．如圖1，將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m）（m＞0），點(diǎn)D（﹣1，m）在邊BC上，將△ABD沿AD折疊壓平，使點(diǎn)B落在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．（1）如圖2，當(dāng)m＝3時(shí)，拋物線過點(diǎn)A、E、C，求拋物線解析式；（2）如圖3，隨著m的變化，點(diǎn)E正好落在y軸上，求∠BAD的余切值；（3）若點(diǎn)E橫坐標(biāo)坐標(biāo)為1，拋物線y＝ax2+2ax+10（a≠0且a為常數(shù)）的頂點(diǎn)落在△ADE的內(nèi)部，求a的取值范圍．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是矩形，AB在x軸上，點(diǎn)A位于點(diǎn)B左側(cè)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，AD上，BF⊥EF，EC＝EF，AB＝9，BC＝15．（1）求證：△BEC≌△BEF；（2）若點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過B，D兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；（3）若點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，0）（m＞0），點(diǎn)G為平面內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)O，B，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A（0，﹣2），B（4，0）兩點(diǎn)，直線BC：y＝﹣2x+8交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D為直線AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為G，DG分別交直線BC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求b和c的值；（2）當(dāng)GF＝時(shí)，連接BD，求△BDF的面積；（3）H是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BEHF是矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．18．閱讀材料：一般地，對于某個(gè)函數(shù)，如果自變量x在取值范圍內(nèi)任取x＝a與x＝﹣a時(shí)，函數(shù)值相等，那么這個(gè)函數(shù)是“對稱函數(shù)”．例如：y＝x2，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)任取x＝a時(shí)，y＝a2；當(dāng)x＝﹣a時(shí)，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“對稱函數(shù)”．（1）函數(shù)y＝2|x|+1對稱函數(shù)（填“是”或“不是”）．當(dāng)x≥0時(shí)，y＝2|x|+1的圖象如圖1所示，請?jiān)趫D1中畫出x＜0時(shí)，y＝2|x|+1的圖象．（2）函數(shù)y＝x2﹣2|x|+1的圖象如圖2所示，當(dāng)它與直線y＝﹣x+n恰有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求n的值．（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），當(dāng)二次函數(shù)y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的圖象與矩形的邊恰有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍．19．綜合與探究如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)A（0，8），與x軸交于點(diǎn)B（6，0），C，過點(diǎn)A作AD∥x軸與拋物線交于另一點(diǎn)D．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）連接AB，點(diǎn)P為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長度的速度沿AB運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交拋物線于點(diǎn)Q，求PQ與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）點(diǎn)M是y軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M，N，使得以B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．專題11二次函數(shù)中矩形存在性綜合應(yīng)用（專項(xiàng)訓(xùn)練）1.已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，4），且與x軸交于點(diǎn)B（﹣1，0）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．①連結(jié)AB、BC、CD、DA，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，求m的值；②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線x＝m上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，4），∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a（x﹣1）2+4，又∵B（﹣1，0），∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4（或y＝﹣x2+2x+3）；（2）①∵點(diǎn)P在x軸正半軸上，∴m＞0，∴BP＝m+1，由旋轉(zhuǎn)可得：BD＝2BP，AC＝2AP，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴BD＝2（m+1），過點(diǎn)A（1，4）作AE⊥x軸于點(diǎn)E，∴BE＝2，AE＝4，在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2＝22+42＝20，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，AD⊥AB，∴∠BAD＝∠BEA＝90°，又∠ABE＝∠DBA，∴△BAE∽△BDA，∴AB2＝BE?BD，∴4（m+1）＝20，解得m＝4；②由題可得點(diǎn)A（1，4）與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P（4，0）成中心對稱，∴C（7，﹣4），∵點(diǎn)M在直線x＝4上，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，存在以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，1）當(dāng)以BC為邊時(shí)，平行四邊形為BCMQ，點(diǎn)C向左平移8個(gè)單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，∴將點(diǎn)M向左平移8個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，∴Q（﹣4，y1）代入y＝﹣x2+2x+3，解得：y1＝﹣21，∴Q（﹣4，﹣21），2）當(dāng)以BC為邊時(shí)，平行四邊形為BCQM，點(diǎn)B向右平移8個(gè)單位，與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，∴將M向右平移8個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，∴Q（12，y2）代入y＝﹣x2+2x+3，解得：y2＝﹣117，∴Q（12，﹣117），3）當(dāng)以BC為對角線時(shí)，點(diǎn)M向左平移5個(gè)單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，∴點(diǎn)C向左平移5個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，∴Q（2，y3）代入y＝﹣x2+2x+3，得：y3＝3，∴Q（2，3），綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（﹣4，﹣21）或（2，3）或（12，﹣117）．2．如圖1，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)線段PE的長度為h，請用含有m的代數(shù)式表示h；（3）如圖2，過點(diǎn)P作PF⊥CE，垂足為F，當(dāng)CF＝EF時(shí)，請求出m的值；（4）如圖3，連接CP，當(dāng)四邊形OCPD是矩形時(shí)，在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)Q，使原點(diǎn)O關(guān)于直線CQ的對稱點(diǎn)O′恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2+x+3；（2）∵拋物線y＝x2+x+3與y軸交于點(diǎn)C，∴C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，得：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），∴h＝m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m2+m，∵點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴0＜m＜6，∴h＝m2+m（0＜m＜6）；（3）如圖，過點(diǎn)E、F分別作EH⊥y軸于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥y軸于點(diǎn)G，∵P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），∴PE＝m2+m，∵PF⊥CE，∴∠EPF+∠PEF＝90°，∵PD⊥x軸，∴∠EBD+∠BED＝90°，又∵∠PEF＝∠BED，∴∠EPF＝∠EBD，∵∠BOC＝∠PFE＝90°，∴△BOC∽△PFE，∴＝，在Rt△BOC中，BC＝＝＝3，∴EF＝×PE＝（m2+m）＝（m2+m），∵EH⊥y軸，PD⊥x軸，∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，∴四邊形ODEH是矩形，∴EH＝OD＝m，∵EH∥x軸，∴△CEH∽△CBO，∴＝，即＝，∴CE＝m，∵CF＝EF，∴EF＝CE＝m，∴m＝（m2+m），解得：m＝0或m＝1，∵0＜m＜6，∴m＝1；（4）∵拋物線y＝x2+x+3，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝2，∵點(diǎn)Q在拋物線的對稱軸上，∴設(shè)Q（2，t），設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點(diǎn)H，交CP邊于點(diǎn)G，則GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，①當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對角線OP所在的直線上時(shí)，如圖，則CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OP，∴∠COP+∠OCQ＝90°，又∵四邊形OCPD是矩形，∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，∴∠PCQ＝∠COP，∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，∴＝tan∠PCQ＝，∴＝，解得：t＝，∴Q（2，）；②當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對角線CD上時(shí)，如圖，連接CD交GH于點(diǎn)K，∵點(diǎn)O與點(diǎn)O′關(guān)于直線CQ對稱，∴CQ垂直平分OO′，∴∠OCQ＝∠DCQ，∵GH∥OC，∴∠CQG＝∠OCQ，∴∠DCQ＝∠CQG，∴CK＝KQ，∵C、P關(guān)于對稱軸對稱，即點(diǎn)G是CP的中點(diǎn)，GH∥OC∥PD，∴點(diǎn)K是CD的中點(diǎn)，∴K（2，），∴GK＝，∴CK＝KQ＝﹣t，在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，∴22+（）2＝（﹣t）2，解得：t1＝4（舍去），t2＝﹣1，∴Q（2，﹣1）；③當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對角線DC延長線上時(shí)，如圖，過點(diǎn)O′作O′K⊥y軸于點(diǎn)K，連接OO′交CQ于點(diǎn)M，∵點(diǎn)O與點(diǎn)O′關(guān)于直線CQ對稱，∴CQ垂直平分OO′，∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，∴△O′CK∽△DCO，∴＝＝，即＝＝，∴O′K＝，CK＝，∴OK＝OC+CK＝3+＝，∴O′（﹣，），∵點(diǎn)M是OO′的中點(diǎn)，∴M（﹣，），設(shè)直線CQ的解析式為y＝k′x+b′，則，解得：，∴直線CQ的解析式為y＝x+3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝×2+3＝4，∴Q（2，4）；綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）或（2，﹣1）或（2，4）．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）的直線AB與y軸交于點(diǎn)B（0，4）．經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線y＝﹣x2+bx+c交直線AB于點(diǎn)A，C，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；（2）M是線段AB上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)MN∥y軸且MN＝2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c過點(diǎn)A（4，0）和O（0，0），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x；（2）∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）和B（0，4），∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+4，∵M(jìn)N∥y軸，設(shè)M（t，﹣t+4），N（t，﹣t2+4t），其中0≤t≤4，當(dāng)M在N點(diǎn)的上方時(shí)，MN＝﹣t+4﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣5t+4＝2，解得：t1＝，t2＝（舍），∴M1（，），當(dāng)M在N點(diǎn)下方時(shí)，MN＝﹣t2+4t﹣（﹣t+4）＝﹣t2+5t﹣4＝2，解得：t1＝2，t2＝3，∴M2（2，2），M3（3，1），綜上，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)有三個(gè)（，）或（2，2）或（3，1）；（3）存在，①如圖2，若AC是矩形的邊，設(shè)拋物線的對稱軸與直線AB交于點(diǎn)R，且R（2，2），過點(diǎn)C，A分別作直線AB的垂線交拋物線于點(diǎn)P1，P2，∵C（1，3），D（2，4），∴CD＝＝，同理得：CR＝，RD＝2，∴CD2+CR2＝DR2，∴∠RCD＝90°，∴點(diǎn)P1與點(diǎn)D重合，當(dāng)CP1∥AQ1，CP1＝AQ1時(shí)，四邊形ACP1Q1是矩形，∵C（1，3）向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到P1（2，4），∴A（4，0）向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到Q1（5，1），此時(shí)直線P1C的解析式為：y＝x+2，∵直線P2A與P1C平行且過點(diǎn)A（4，0），∴直線P2A的解析式為：y＝x﹣4，∵點(diǎn)P2是直線y＝x﹣4與拋物線y＝﹣x2+4x的交點(diǎn)，∴﹣x2+4x＝x﹣4，解得：x1＝﹣1，x2＝4（舍），∴P2（﹣1，﹣5），當(dāng)AC∥P2Q2時(shí)，四邊形ACQ2P2是矩形，∵A（4，0）向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到C（1，3），∴P2（﹣1，﹣5）向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到Q2（﹣4，﹣2）；②如圖3，若AC是矩形的對角線，設(shè)P3（m，﹣m2+4m）當(dāng)∠AP3C＝90°時(shí)，過點(diǎn)P3作P3H⊥x軸于H，過點(diǎn)C作CK⊥P3H于K，∴∠P3KC＝∠AHP3＝90°，∠P3CK＝∠AP3H，∴△P3CK∽△AP3H，∴＝，∴＝，∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合，∴m≠1或m≠4，∴m2﹣3m+1＝0，∴m＝，∴如圖4，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，即P3（，），P4（，），當(dāng)P3C∥AQ3，P3C＝AQ3時(shí)，四邊形AP3CQ3是矩形，∵P3（，）向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到C（1，3），∴A（4，0）向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到Q3（，），當(dāng)P4C∥AQ4，P4C＝AQ4時(shí)，四邊形AP4CQ4是矩形，∵P4（，）向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到C（1，3），∴A（4，0）向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到Q4（，）；綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，1）或（﹣4，﹣2）或（，）或（，）．4．【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個(gè)長AD＝4m，寬AB＝1m的長方形水池ABCD進(jìn)行加長改造（如圖①，改造后的水池ABNM仍為長方形，以下簡稱水池1）．同時(shí)，再建造一個(gè)周長為12m的矩形水池EFGH（如圖②，以下簡稱水池2）．【建立模型】如果設(shè)水池ABCD的邊AD加長長度DM為x（m）（x＞0），加長后水池1的總面積為y1（m2），則y1關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y1＝x+4（x＞0）；設(shè)水池2的邊EF的長為x（m）（0＜x＜6），面積為y2（m2），則y2關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖③．【問題解決】（1）若水池2的面積隨EF長度的增加而減小，則EF長度的取值范圍是3≤x＜6（可省略單位），水池2面積的最大值是9m2；（2）在圖③字母標(biāo)注的點(diǎn)中，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是C，E，此時(shí)的x（m）值是1或4；（3）當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，x（m）的取值范圍是0＜x＜1或4＜x＜6；（4）在1＜x＜4范圍內(nèi)，求兩個(gè)水池面積差的最大值和此時(shí)x的值；（5）假設(shè)水池ABCD的邊AD的長度為b（m），其他條件不變（這個(gè)加長改造后的新水池簡稱水池3），則水池3的總面積y3（m2）關(guān)于x（m）（x＞0）的函數(shù)解析式為：y3＝x+b（x＞0）．若水池3與水池2的面積相等時(shí)，x（m）有唯一值，求b的值．【解答】解：（1）∵y2＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，又∵﹣1＜0，∴拋物線的開口方向向下，當(dāng)x≥3時(shí)，水池2的面積隨EF長度的增加而減小，∵0＜x＜6，∴當(dāng)3≤x＜6時(shí)，水池2的面積隨EF長度的增加而減小，水池2面積的最大值是9m2．故答案為：3≤x＜6；9；（2）由圖象可知：兩函數(shù)圖象相交于點(diǎn)C，E，此時(shí)兩函數(shù)的函數(shù)值相等，即：x+4＝﹣x2+6x，解得：x＝1或4，∴表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是：C，E，此時(shí)的x（m）值是：1或4．故答案為：C，E；1或4；（3）由圖象知：圖象中點(diǎn)C的左側(cè)部分和點(diǎn)E的右側(cè)部分，一次函數(shù)的函數(shù)值大于二次函數(shù)的函數(shù)值，即當(dāng)0＜x＜1或4＜x＜6時(shí)，水池1的面積大于水池2的面積，故答案為：0＜x＜1或4＜x＜6；（4）在拋物線上的CE段上任取一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG∥y軸交線段CE于點(diǎn)G，則線段FG表示兩個(gè)水池面積差，設(shè)F（m，﹣m2+6m），則G（m，m+4），∴FG＝（﹣m2+6m）﹣（m+4）＝﹣m2+5m﹣4＝﹣+，∵﹣1＜0，∴當(dāng)m＝時(shí)，F(xiàn)G有最大值為．∴在1＜x＜4范圍內(nèi)，兩個(gè)水池面積差的最大值為，此時(shí)x的值為；（5）∵水池3與水池2的面積相等，∴y3＝y(tǒng)2，即：x+b＝﹣x2+6x，∴x2﹣5x+b＝0．∵若水池3與水池2的面積相等時(shí)，x（m）有唯一值，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×b＝0，解得：b＝．∴若水池3與水池2的面積相等時(shí)，x（m）有唯一值，b的值為米．5．如圖，拋物線y＝ax2+2x+c的對稱軸是直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，DM交直線BC于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以A，C，N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）已知點(diǎn)E是拋物線對稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）拋物線y＝ax2+2x+c的對稱軸是直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），∴A（﹣1，0），∴，解得，∴拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+3，將點(diǎn)B（3，0）代入得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3；設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），則點(diǎn)N（t，﹣t+3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝12+32＝10，AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，①當(dāng)AC＝AN時(shí)，AC2＝AN2，∴10＝2t2﹣4t+10，解得t1＝2，t2＝0（不合題意，舍去），∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，1）；②當(dāng)AC＝CN時(shí)，AC2＝CN2，∴10＝2t2，解得t1＝，t2＝﹣（不合題意，舍去），∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，3﹣）；③當(dāng)AN＝CN時(shí)，AN2＝CN2，∴2t2﹣4t+10＝2t2，解得t＝，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）；綜上，存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，1）或（，3﹣）或（，）；（3）設(shè)E（1，a），F(xiàn)（m，n），∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，①以BC為對角線時(shí)，BC2＝CE2+BE2，∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，解得：a＝，或a＝，∴E（1，）或（1，），∵B（3，0），C（0，3），∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，∴m＝2，n＝或n＝，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，）或（2，）；②以BC為邊時(shí)，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，解得：a＝4或a＝﹣2，∴E（1，4）或（1，﹣2），∵B（3，0），C（0，3），∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）或（﹣2，1），綜上所述：存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)，直線x＝3與x軸交于點(diǎn)C．（1）求a，c的值；（2）經(jīng)過點(diǎn)O的直線分別與線段AB，直線x＝3交于點(diǎn)D，E，且△BDO與△OCE的面積相等，求直線DE的解析式；（3）P是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段OC和直線x＝3上是否分別存在點(diǎn)F，G，使B，F(xiàn)，G，P為頂點(diǎn)的四邊形是以BF為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)代入拋物線y＝ax2+x+c中得：解得：；（2）由（1）知：拋物線解析式為：y＝﹣x2+x+4，設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+b，則，解得：，∴AB的解析式為：y＝2x+4，設(shè)直線DE的解析式為：y＝mx，∴2x+4＝mx，∴x＝，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝3m，∴E（3，3m），∵△BDO與△OCE的面積相等，CE⊥OC，∴?3?（﹣3m）＝?4?，∴9m2﹣18m﹣16＝0，∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，∴m1＝﹣，m2＝（舍），∴直線DE的解析式為：y＝﹣x；（3）存在，B，F(xiàn)，G，P為頂點(diǎn)的四邊形是以BF為一邊的矩形有兩種情況：設(shè)P（t，﹣t2+t+4），①如圖1，過點(diǎn)P作PH⊥y軸于H，∵四邊形BPGF是矩形，∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°，∴∠CFG+∠BFO＝∠BFO+∠OBF＝∠CFG+∠CGF＝∠OBF+∠PBH＝90°，∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF，∵∠PHB＝∠FCG＝90°，∴△PHB≌△FCG（AAS），∴PH＝CF，∴CF＝PH＝t，OF＝3﹣t，∵∠PBH＝∠OFB，∴＝，即＝，解得：t1＝0（舍），t2＝1，∴F（2，0）；②如圖2，過點(diǎn)G作GN⊥y軸于N，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于M，同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t﹣3，∵∠OFB＝∠FPM，∴tan∠OFB＝tan∠FPM，∴＝，即＝，解得：t1＝，t2＝（舍），∴F（，0）；綜上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0）或（，0）．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+?x+（m＞0）與x軸交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．（1）若OC＝2OA，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P位于直線BC上方的拋物線上，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線y＝x+b與拋物線交于B，G兩點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)E（在拋物線上），點(diǎn)F（在拋物線的對稱軸上），使得以B，G，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）∵A的坐標(biāo)為（﹣1，0），∴OA＝1，∵OC＝2OA，∴OC＝2，∴C的坐標(biāo)為（0，2），將點(diǎn)C代入拋物線y＝﹣x2+?x+（m＞0），得＝2，即m＝4，∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+x+2；（2）如圖，過P作PH∥y軸，交BC于H，由（1）知，拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+x+2，m＝4，∴B、C坐標(biāo)分別為B（4，0）、C（0，2），設(shè)直線BC解析式為y＝kx+n，則，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+2）（0＜m＜4），則H（m，﹣m+2），∴PH＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m2﹣4m）＝﹣（m﹣2）2+2，∵S△PBC＝S△CPH+S△BPH，∴S△PBC＝PH?|xB﹣xC|＝[﹣（m﹣2）2+2]×4＝﹣（m﹣2）2+4，∴當(dāng)m＝2時(shí)，△PBC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)P（2，3）；（3）存在，理由如下：∵直線y＝x+b與拋物線交于B（m，0），∴直線BG的解析式為y＝x﹣m①，∵拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+?x+②，聯(lián)立①②解得，或，∴G的坐標(biāo)為（﹣2，﹣m﹣1），∵拋物線y＝﹣x2+?x+的對稱軸為直線x＝，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，①若BG為邊，不妨設(shè)E在x軸上方，如圖，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于H，設(shè)E的坐標(biāo)為（t，﹣t2+?t+），∵∠GBE＝90°，∴∠OBG＝∠BEH，∴tan∠OBG＝tan∠BEH＝＝，∴＝，解得：t＝3或m（舍），∴E的坐標(biāo)為（3，2m﹣6），由平移性質(zhì)，得：B的橫坐標(biāo)向左平移m+2個(gè)單位得到G的橫坐標(biāo)，∵EF∥BG且EF＝BG，∴E橫坐標(biāo)向左平移m+2個(gè)單位，得：到F的橫坐標(biāo)為3﹣（m+2）＝﹣m+1，∴＝﹣m+1，解得m＝1，∴E（3，﹣4），F(xiàn)（0，﹣），這說明E不在x軸上方，而在x軸下方；②若BG為對角線，設(shè)BG的中點(diǎn)為M，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，∴M的坐標(biāo)為（，），∵矩形對角線BG、EF互相平分，∴M也是EF的中點(diǎn)，∴E的橫坐標(biāo)為，∴E的坐標(biāo)為（，），∵∠BEG＝90°，∴EM＝，∴＝，整理得：16+（m2+4m+1）2＝20（m+2）2，變形得：16+[（m+2）2﹣3]2＝20（m+2）2，換元，令t＝（m+2）2，得：t2﹣26t+25＝0，解得：t＝1或25，∴（m+2）2＝1或25，∵m＞0，∴m＝3，即E的坐標(biāo)為（0，），F(xiàn)的坐標(biāo)為（1，﹣4），綜上，即E的坐標(biāo)為（0，），F(xiàn)的坐標(biāo)為（1，﹣4）或E（3，﹣4），F(xiàn)（0，﹣）．8．綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，OA＝1，對稱軸為直線x＝2，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上C、D兩點(diǎn)之間的距離是2；（3）點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE，求△BCE面積的最大值；（4）點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵OA＝1，∴A（﹣1，0），又∵對稱軸為x＝2，∴B（5，0），將A，B代入解析式得：，解得，∴，自變量x為全體實(shí)數(shù)；（2）由（1）得：C（0，），D（2，），∴CD＝，故答案為2；（3）∵B（5，0），C（0，），∴直線BC的解析式為：，設(shè)E（x，），且0＜x＜5，作EF∥y軸交BC于點(diǎn)F，則F（x，），∴EF＝﹣（）＝，∴，當(dāng)x＝時(shí)，S△BCE有最大值為；（4）設(shè)P（2，y），Q（m，n），由（1）知B（5，0），C（0，），若BC為矩形的對角線，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：，又∵∠BPC＝90°，∴PC2+PB2＝BC2，即：，解得y＝4或y＝﹣，∴n＝或n＝4，∴Q（3，）或Q（3，4），若BP為矩形的對角線，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，解得，又∵∠BCP＝90°，BC2+CP2＝BP2，即：，解得y＝，∴Q（7，4），若BQ為矩形的對角線，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，解得：，又∵∠BCQ＝90°，∴BC2+CQ2＝BQ2，即：，解得n＝，∴Q（﹣3，﹣），綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．10．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，頂點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B在第一象限，矩形OCDE的頂點(diǎn)E（﹣，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)D在第二象限，射線DC經(jīng)過點(diǎn)B．（Ⅰ）如圖①，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（Ⅱ）將矩形OCDE沿x軸向右平移，得到矩形O′C′D′E′，點(diǎn)O，C，D，E的對應(yīng)點(diǎn)分別為O′，C′，D′，E′．設(shè)OO′＝t，矩形O′C′D′E′與△OAB重疊部分的面積為S．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)E′在x軸正半軸上，且矩形O′C′D′E′與△OAB重疊部分為四邊形時(shí)，D′E′與OB相交于點(diǎn)F，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；②當(dāng)≤t≤時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【解答】解：（Ⅰ）如圖①，過點(diǎn)B作BH⊥OA，垂足為H，由點(diǎn)A（4，0），得OA＝4，∵BO＝BA，∠OBA＝90°，∴OH＝BH＝OA＝＝2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）；（Ⅱ）①由點(diǎn)E（﹣，0），得OE＝，由平移知，四邊形O'C'D'E'是矩形，得∠O'E'D'＝90°，O'E'＝OE＝，∴OE'＝OO'﹣O'E'＝t﹣，∠FE'O＝90°，∵BO＝BA，∠OBA＝90°，∴∠BOA＝∠BAO＝45°，∴∠OFE'＝90°﹣∠BOA＝45°，∴∠FOE'＝∠OFE'，∴FE'＝OE'＝t﹣，∴S△FOE'＝OE'?FE'＝（t﹣）2，∴S＝S△OAB﹣S△FOE'＝，即S＝﹣t2+t﹣（4≤t＜）；②a．當(dāng)4＜t≤時(shí)，由①知S＝﹣t2+t﹣＝﹣（t﹣）2+4，∴當(dāng)t＝4時(shí)，S有最大值為，當(dāng)t＝時(shí)，S有最小值為，∴此時(shí)≤S＜；b．當(dāng)＜t≤4時(shí)，如圖2，令O'C'與AB交于點(diǎn)M，D'E'與DB交于點(diǎn)N，∴S＝S△OAB﹣S△OE'N﹣S△O'AM＝4﹣（t﹣）2﹣（4﹣t）2＝﹣t2+t﹣＝﹣（t﹣）2+，此時(shí)，當(dāng)t＝時(shí)，S有最大值為，當(dāng)t＝4時(shí)，S有最小值為，∴≤S≤；c．當(dāng)≤t≤時(shí)，如圖3，令O'C'與AB交于點(diǎn)M，此時(shí)點(diǎn)D'位于第二象限，∴S＝S△OAB﹣S△O'AM＝4﹣（4﹣t）2＝﹣t2+4t﹣4＝﹣（t﹣4）2+4，此時(shí)，當(dāng)t＝時(shí)，S有最小值為，當(dāng)t＝時(shí)，S有最大值為，∴≤S≤；綜上，S的取值范圍為≤S≤；∴S的取值范圍為≤S≤．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，OA＝1，對稱軸為直線x＝2，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上C、D兩點(diǎn)之間的距離是11；（3）點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE，求△BCE面積的最大值；（4）點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵OA＝1，∴A（﹣1，0），又∵對稱軸為x＝2，∴B（5，0），將A，B代入解析式得：，解得，∴，自變量x為全體實(shí)數(shù)；（2）由（1）得：C（0，3），D（2，），∴CD＝＝，故答案為；（3）∵B（5，0），C（0，3），∴直線BC的解析式為：y＝，設(shè)E（x，﹣），且0＜x＜5，作EF∥y軸交BC于點(diǎn)F，則F（x，），∴EF＝﹣﹣（）＝，∴，∴×EF＝5×[﹣]＝﹣x（x﹣3）當(dāng)x＝時(shí)，S△BCE有最大值為；（4）設(shè)P（2，y），Q（m，n），由（1）知B（5，0），C（0，3），若BC為矩形的對角線，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：，又∵∠BPC＝90°，∴PC2+PB2＝BC2，即：22+（3﹣y）2+32+y2＝52+32，解得y＝4或y＝﹣，∴n＝或n＝4，∴Q（3，）或Q（3，4），若BP為矩形的對角線，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，解得，又∵∠BCP＝90°，BC2+CP2＝BP2，即：，解得y＝，∴Q（7，4），若BQ為矩形的對角線，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，解得：，又∵∠BCQ＝90°，∴BC2+CQ2＝BQ2，即：，解得n＝，∴Q（﹣3，﹣），綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．12．綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的矩形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCD＝2∠ABC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：（1）由題意得：y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，即點(diǎn)C（0，﹣2）；（2）以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的矩形時(shí)，如下圖，分點(diǎn)P在BC上方和下方兩種情況，當(dāng)點(diǎn)P在BC的上方時(shí)，設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)H，∵∠OBC+∠PBH＝90°，∠HPB+∠PBH＝90°，∴∠OBC＝∠HPB，∴∠OBC＝∠HPB＝，解得：PH＝5，即點(diǎn)P（，5）；當(dāng)點(diǎn)P在BC的下方時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥y軸于點(diǎn)H，同理可得：tan∠HCP＝tan∠OBC＝，即，即，解得：HC＝3，則OH＝5，即點(diǎn)P（，﹣5）；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，5）或（，﹣5）；（3）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E（0，2），則∠CBE＝2∠ABC＝∠BCD，∴BE∥CD，設(shè)直線BE的表達(dá)式為：y＝kx+2，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：0＝4k+2，解得：k＝﹣；∵BE∥CD，故設(shè)直線CD的表達(dá)式為：y＝﹣x+t，由點(diǎn)C的坐標(biāo)知，t＝﹣2，即直線CD的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣2，聯(lián)立y＝x2﹣x﹣2和y＝﹣x﹣2，并解得：x＝0（舍去）或2，即點(diǎn)D（2，﹣3）．13．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B，C重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在第一象限拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，直線DF與直線AC交于點(diǎn)E，若DE＝EA，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，直線BD交直線AC于點(diǎn)H，點(diǎn)G在坐標(biāo)平面內(nèi)，在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)A，D，H，G為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)A（3，0）和B（﹣1，0），∴，∴，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）得，拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴C（0，3），∵A（3，0），∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3；，設(shè)點(diǎn)D（m，﹣m2+2m+3），∴E（m，﹣m+3），∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（3﹣m）＝﹣m2+3m，∴EF＝﹣m+3，∵A（3，0），C（0，3），∴OA＝CO，∴∠CAO＝45°，∴AE＝EF÷sin45°＝（3﹣m），∵DE＝AE，∴﹣m+3m＝（3﹣m），∴m＝，或m＝3（不合題意，舍去），把m＝代入得y＝﹣（）2+2+3＝2，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（，2+1）；（3）存在，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），當(dāng)BD⊥AC，AD為對角線時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，如圖，根據(jù)（2）可知，∠CAO＝45°，∴∠AEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBH＝∠AEF＝45°，∴∠DHE＝90°，∴∠HDE＝45°，∴∠DBF＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBF＝∠BDF，∴DF＝BF，即t﹣（﹣1）＝﹣t2+2t+3，解得t＝2或t＝﹣1（舍去），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3）；當(dāng)AD⊥AC，AD為矩形的一條邊時(shí)，過點(diǎn)D作DM⊥軸于點(diǎn)M，如圖，∵∠CAO＝45°，∠DAC＝90°，∴∠DAB＝45°，∵∠DMA＝90°，∴∠MDA＝90°﹣45°＝45°，∴∠CMD＝∠MAD，∴MD＝MA，即﹣（﹣t2+2t+3）＝3﹣t，解t＝﹣2或t＝3（舍去），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣5）；當(dāng)AD⊥DH，AD為條邊時(shí)，過點(diǎn)D作DM⊥軸于點(diǎn)M，如圖，∵BDA＝∠DMB＝∠DMA＝90°，∴∠BDM+∠ADM＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，∴∠ADM＝∠DBM，∴△BDM∽△DAM，∴DM：AM＝BM：DM，即（﹣t2+2t+3）：（3﹣t）＝（t+1）：（﹣t2+2t+3），解得t＝1+或t＝1﹣，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1+，1）或（1﹣，1）；綜上分析可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3），（1﹣1），（1+，1），（﹣2，﹣5）．14．拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求A，B，C，D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)Q為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)以A，D，M，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：（1）令x＝0，則y＝3，∴C（0，3），令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)D（1，4）；（2）設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），如圖1，當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，過點(diǎn)C作EF∥x軸，過點(diǎn)A作AE⊥EF交于E點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥EF交于F點(diǎn)，∵∠FCP+∠ECA＝90°，∠ECA+∠EAC＝90°，∴∠EAC＝∠FCP，∴△CEA∽△PFC，∴＝，∵EC＝1，EA＝3，PF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，CF＝t，∴＝，∴t＝0（舍）或t＝，∴P（，）；如圖2，當(dāng)∠CAP＝90°時(shí)，過點(diǎn)A作GH∥y軸，過點(diǎn)C作CG⊥GH交于G點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥GH交于H點(diǎn)，∵∠GAC+∠HAP＝90°，∠GAC+∠GCA＝90°，∴∠HAP＝∠GCA，∴△GAC∽△HPA，∴＝，∵GC＝1，GA＝3，AH＝t2﹣2t﹣3，PH＝t+1，∴＝，解得t＝﹣1（舍）或t＝，∴P（，﹣）；當(dāng)∠APC＝90°時(shí)，在拋物線上不存在點(diǎn)P；綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，﹣）；（3）設(shè)M（0，m），Q（x，y），①當(dāng)以AD為矩形對角線時(shí)，AM⊥MD，∴，解得或，∴Q（0，2+）或（0，2﹣）；②當(dāng)以AM為矩形對稱軸軸時(shí)，AD⊥DM，∴，解得，∴Q（﹣2，）；③當(dāng)以AQ為矩形對角線時(shí)，AM⊥AQ，∴，解得，∴Q（2，）；綜上所述：Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2+）或（0，2﹣）或（﹣2，）或（2，）．15．如圖1，將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m）（m＞0），點(diǎn)D（﹣1，m）在邊BC上，將△ABD沿AD折疊壓平，使點(diǎn)B落在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．（1）如圖2，當(dāng)m＝3時(shí)，拋物線過點(diǎn)A、E、C，求拋物線解析式；（2）如圖3，隨著m的變化，點(diǎn)E正好落在y軸上，求∠BAD的余切值；（3）若點(diǎn)E橫坐標(biāo)坐標(biāo)為1，拋物線y＝ax2+2ax+10（a≠0且a為常數(shù)）的頂點(diǎn)落在△ADE的內(nèi)部，求a的取值范圍．【解答】解：（1）如圖，當(dāng)m＝3時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）（m＞0），點(diǎn)D（﹣1，3），∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），四邊形OABC是矩形，∴OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∴BD＝3，∴將△ABD沿AD折疊壓平，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E在x軸上，∴AE＝3，∴OE＝1，∴E（﹣1，0），設(shè)過點(diǎn)A、E、C的拋物線解析式為y＝a1x2+bx+c（a1≠0），∴，解得，∴拋物線解析式為y＝x2+x+3；（2）當(dāng)點(diǎn)E正好落在y軸上，如圖：由折疊得DE＝DB＝3，∠AED＝∠B＝90°，∴∠DEC+∠AEO＝90°，CE＝＝＝2，∵∠EAO+∠AEO＝90°，∴∠DEC＝∠EAO，∵∠AOE＝∠ECD＝90°，∴△AOE∽△ECD，∴，∴，∴OE＝，∴AB＝OC＝3，∴cot∠BAD＝＝；（3）如圖，過點(diǎn)E作EN⊥x軸于N，延長NE交BC延長線于M，則∠M＝90°，∵點(diǎn)E橫坐標(biāo)坐標(biāo)為1，∴ON＝CM＝1，∴DM＝DC+CM＝2，AN＝OA+ON＝5，由折疊得∠AED＝∠B＝90°，∴∠AEN+∠DEM＝90°，∵∠AEN+∠EAN＝90°，∴∠DEM＝∠EAN，∵∠M＝∠AEN＝90°，∴△DEM∽△EAN，∴，在Rt△DEM中，ME＝＝＝，∴，∴EN＝2，∴MN＝EN+ME＝3，∴D（﹣1，3），E（1，2），設(shè)直線AE的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線AE的解析式為y＝x+，∵拋物線y＝ax2+2ax+10＝a（x+1）2﹣a+10，∴頂點(diǎn)為（﹣1，﹣a+10），當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝x+＝，∵拋物線y＝ax2+2ax+10（a≠0且a為常數(shù)）的頂點(diǎn)落在△ADE的內(nèi)部，∴＜﹣a+10＜3，∴10﹣3＜a＜10﹣．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是矩形，AB在x軸上，點(diǎn)A位于點(diǎn)B左側(cè)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，AD上，BF⊥EF，EC＝EF，AB＝9，BC＝15．（1）求證：△BEC≌△BEF；（2）若點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過B，D兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；（3）若點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，0）（m＞0），點(diǎn)G為平面內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)O，B，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，∵BF⊥EF，∴∠BFE＝90°，∴∠C＝∠BFE＝90°，在Rt△BEC和Rt△BEF中，，∴Rt△BEC≌Rt△BEF（HL）；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，AB在x軸上，AB＝9，BC＝15，A（1，0），∴AD＝BC＝15，OB＝10，∴B（10，0），D（1，15），分別將B（10，0），D（1，15）代入y＝ax2+bx，得解得拋物線的解析式為y＝﹣x2+；（3）由（1）△BEC≌△BEF，則BF＝BC＝15，AF＝＝＝12，分三種情況討論：①以BO，BF為菱形的鄰邊時(shí)，則BO＝BF＝15，∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0）（m＞0），∴OA＝m，∴BO＝m+9，即15＝m+9，∴m＝6，∴A坐標(biāo)為（6，0）；②以FB，F(xiàn)O為菱形的鄰邊時(shí)，則FO＝FB＝15，由①知，OA＝m，∵在Rt△OAF中，F(xiàn)O2＝OA2+AF2，∴152＝m2+122，∴m＝﹣9或m＝9，∵m＞0，∴m＝﹣9舍去，∴A坐標(biāo)為（9，0）；③以O(shè)B，OF為菱形的鄰邊時(shí)，則OB＝OF，由①和②知，OA＝m，OB2＝（m+9）2，OF2＝m2+122，∴（m+9）2＝m2+122，∴m＝，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；綜上，以O(shè)，B，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），或（6，0），或（9，0）．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A（0，﹣2），B（4，0）兩點(diǎn)，直線BC：y＝﹣2x+8交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D為直線AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為G，DG分別交直線BC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求b和c的值；（2）當(dāng)GF＝時(shí)，連接BD，求△BDF的面積；（3）H是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BEHF是矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A（0，﹣2），B（4，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴b＝﹣，c＝﹣2；（2）∵b＝﹣，c＝﹣2，∴拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣2，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+a，則，解得：，∴直線AB的解析式為y＝x﹣2，設(shè)D（m，m2﹣m﹣2），則E（m，﹣2m+8），F(xiàn)（m，m﹣2），G（m，0），∴FG＝﹣（m﹣2）＝2﹣m，當(dāng)GF＝時(shí)，2﹣m＝，解得：m＝3，∴D（3，﹣2），F(xiàn)（3，﹣），G（3，