專題11勾股定理之風(fēng)吹荷花模型綜合應(yīng)用(2大類型)(原卷版+解析)

專題11勾股定理之風(fēng)吹荷花模型綜合應(yīng)用（2大類型）解題思路解題思路“印度荷花問題”湖靜浪平六月天，荷花半尺出水面;忽來一陣狂風(fēng)急，吹倒花兒水中偃。湖面之上不復(fù)見，入秋漁翁始發(fā)現(xiàn);殘花離根二尺遙，試問水深盡若干?——印度數(shù)學(xué)家拜斯迦羅（公元1114—1185年）【模型】讀詩(shī)求解“出水3尺一紅蓮，風(fēng)吹花朵齊水面，水面移動(dòng)有6尺，求水深幾何請(qǐng)你算”?！舅悸贰坷霉垂啥ɡ斫⒎匠?，求出水深為4.5尺.【解析】設(shè)水深A(yù)P＝x尺，PB＝PC＝（x＋3）尺，根據(jù)勾股定理得：PA2＋AC2＝PC2，x2＋42＝（x＋3）2.解得x=4.5.答∶水深4.5尺.【典例分析】【典例1】如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長(zhǎng)10尺，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是（）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【變式1-1】（2021秋?青岡縣期末）在平靜的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一陣強(qiáng)風(fēng)吹來把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上離開原來的位置2尺遠(yuǎn)，則這個(gè)湖的水深是尺．【變式1-2】如圖，在平靜的湖面上，有一荷花，高出湖水面0.1m，一陣風(fēng)來，荷花被吹到一邊，花朵齊及水面．已知荷花移動(dòng)的水平距離為0.3m，則這里的水深是m．【典例2】（2019春?南昌期中）如圖是盼盼家新裝修的房子，其中三個(gè)房間甲、乙、丙，他將一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距離地面的垂直距離記作MA，如果梯子的底端P不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面墻上，此時(shí)梯子的頂端距離地面的垂直距離記作NB．（1）當(dāng)盼盼在甲房間時(shí)，梯子靠在對(duì)面墻上，頂端剛好落在對(duì)面墻角B處，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，則甲房間的寬度AB＝米．（2）當(dāng)他在乙房間時(shí)，測(cè)得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房間的寬AB；（3）當(dāng)他在丙房間時(shí)，測(cè)得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．①求∠MPN的度數(shù)；②求丙房間的寬AB．【變式2-1】（2020春?鎮(zhèn)原縣期末）如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為3m，梯子的底端A向外移動(dòng)到A′，使梯子的底端A′到墻根O的距離等于4m，同時(shí)梯子的頂端B下降至B′，求BB′的長(zhǎng)（梯子AB的長(zhǎng)為5m）．【變式2-2】（2022春?寧鄉(xiāng)市期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送4m（水平距離BC＝4m）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝3m，若秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長(zhǎng)度．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2022春?昭化區(qū)期末）如圖，將一根長(zhǎng)為16cm的橡皮筋固定在筆直的木棒上，兩端點(diǎn)分別記為A，B，然后將中點(diǎn)C向上豎直拉升6cm至點(diǎn)D處，則拉伸后橡皮筋的長(zhǎng)為（）A．20cm B．22cm C．28cm D．32cm2．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm．若這支鉛筆長(zhǎng)為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分長(zhǎng)度不可能的是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm3．有一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長(zhǎng)在它的正中央，高出水面的部分為1尺，如果把該蘆葦?shù)捻敹搜厮剡叴怪钡姆较蚶桨哆?，發(fā)現(xiàn)蘆葦頂端恰與水面齊平，則蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是尺．4．古詩(shī)贊美荷花：“竹色溪下綠，荷花鏡里香”．平靜的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10cm，忽見它隨風(fēng)斜倚，花朵恰好浸入水面，仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)荷花偏離原地40cm（如圖）．請(qǐng)問荷花入水部分BC長(zhǎng)多少厘米？5．（2022秋?晉源區(qū)校級(jí)月考）如圖，筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距17km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，已知DA＝12km．CB＝5km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個(gè)公交車站E，使得C，D兩村到公交車站E的距離相等．則公交車站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？6．（2022秋?蒲江縣校級(jí)期中）一架梯子AB長(zhǎng)2.5m，如圖斜靠在一面墻上，梯子底端B離墻0.7m．（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了0.4m．那么梯子底部在水平方向滑動(dòng)了0.4m嗎？為什么？7．（2022春?潼南區(qū)期末）如圖，一架梯子AB斜靠在某個(gè)過道豎直的左墻上，頂端在點(diǎn)A處，底端在水平地面的點(diǎn)B處．保持梯子底端B的位置不變，將梯子斜靠在豎真的右墻上，此時(shí)梯子的頂端在點(diǎn)C處．測(cè)得頂端A距離地面的高度AO為2米，OB為1.5米．（1）求梯子的長(zhǎng)；（2）若頂端C距離地面的高度CD比AO多0.4米，求OD的長(zhǎng)．8．（2022春?藁城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在筆直的公路AB旁有一條河流，為方便運(yùn)輸貨物，現(xiàn)要從公路AB上的D處建座橋梁到達(dá)C處，已知點(diǎn)C與公路上的?？空続的直線距離為3km，與公路上另一停站B的直線距離為4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．（1）求修建的橋梁CD的長(zhǎng)；（2）橋梁CD建成后，求一輛貨車由C處途經(jīng)D處到達(dá)B處的總路程．9．（2022?南京模擬）如圖，有人在岸上點(diǎn)C的地方，用繩子拉船靠岸，開始時(shí)，繩長(zhǎng)CB＝25米，CA⊥AB且CA＝15米，拉動(dòng)繩子將船從點(diǎn)B沿BA方向行駛到點(diǎn)D后，繩長(zhǎng)米．（1）試判定△ACD的形狀，并說明理由；（2）求船體移動(dòng)距離BD的長(zhǎng)度；（3）若在BD段拉動(dòng)船的速度為1米/秒，到達(dá)D后增加了人力，拉動(dòng)船的速度變?yōu)?米/秒，求把船從B拉到岸邊A點(diǎn)所用時(shí)間．【能力提升】10．（2022春?慈溪市期末）如圖，一條筆直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的增面上，一端在墻面A處，另一端在地面B處，墻角記為點(diǎn)C．（1）若AB＝6.5米，BC＝2.5米．①竹竿的頂端A沿墻下滑1米，那么點(diǎn)B將向外移動(dòng)多少米？②竹竿的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離，有可能相等嗎？如果不可能，請(qǐng)說明理由；如果可能，請(qǐng)求出移動(dòng)的距離（保留根號(hào)）．（2）若AC＝BC，則頂端A下滑的距離與底端B外移的距離，有可能相等嗎？若能相等，請(qǐng)說明理由；若不等，請(qǐng)比較頂端A下滑的距離與底端B外移的距離的大小．專題11勾股定理之風(fēng)吹荷花模型綜合應(yīng)用（2大類型）解題思路解題思路“印度荷花問題”湖靜浪平六月天，荷花半尺出水面;忽來一陣狂風(fēng)急，吹倒花兒水中偃。湖面之上不復(fù)見，入秋漁翁始發(fā)現(xiàn);殘花離根二尺遙，試問水深盡若干?——印度數(shù)學(xué)家拜斯迦羅（公元1114—1185年）【模型】讀詩(shī)求解“出水3尺一紅蓮，風(fēng)吹花朵齊水面，水面移動(dòng)有6尺，求水深幾何請(qǐng)你算”?！舅悸贰坷霉垂啥ɡ斫⒎匠?，求出水深為4.5尺.【解析】設(shè)水深A(yù)P＝x尺，PB＝PC＝（x＋3）尺，根據(jù)勾股定理得：PA2＋AC2＝PC2，x2＋42＝（x＋3）2.解得x=4.5.答∶水深4.5尺.【典例分析】【典例1】如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長(zhǎng)10尺，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是（）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【答案】D【解答】解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度＝x+1＝12+1＝13（尺），故選：D．【變式1-1】（2021秋?青岡縣期末）在平靜的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一陣強(qiáng)風(fēng)吹來把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上離開原來的位置2尺遠(yuǎn)，則這個(gè)湖的水深是尺．【答案】3.75【解答】解：若設(shè)湖水的深度x尺．則荷花的長(zhǎng)是（x+0.5）米．在直角三角形中，根據(jù)勾股定理，得：（x+0.5）2＝x2+22，解之得：x＝3.75，∴湖水的深度為3.75尺．故答案為：3.75．【變式1-2】如圖，在平靜的湖面上，有一荷花，高出湖水面0.1m，一陣風(fēng)來，荷花被吹到一邊，花朵齊及水面．已知荷花移動(dòng)的水平距離為0.3m，則這里的水深是m．【答案】0.4【解答】解：如圖，設(shè)這里水深為xm，在Rt△ABC中，（x+0.1）2＝0.32+x2，解之得：x＝0.4．答：這里水深為0.4米．故答案為：0.4【典例2】（2019春?南昌期中）如圖是盼盼家新裝修的房子，其中三個(gè)房間甲、乙、丙，他將一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距離地面的垂直距離記作MA，如果梯子的底端P不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面墻上，此時(shí)梯子的頂端距離地面的垂直距離記作NB．（1）當(dāng)盼盼在甲房間時(shí)，梯子靠在對(duì)面墻上，頂端剛好落在對(duì)面墻角B處，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，則甲房間的寬度AB＝米．（2）當(dāng)他在乙房間時(shí)，測(cè)得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房間的寬AB；（3）當(dāng)他在丙房間時(shí)，測(cè)得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．①求∠MPN的度數(shù)；②求丙房間的寬AB．【解答】解：（1）在Rt△AMP中，∵∠A＝90°，MA＝1.6米，AP＝1.2米，∴PM＝＝＝2，∵PB＝PM＝2，∴甲房間的寬度AB＝AP+PB＝3.2米，故答案為：3.2；（2）∵∠MPN＝90°，∴∠APM+∠BPN＝90°，∵∠APM+∠AMP＝90°，∴∠AMP＝∠BPN．在△AMP與△BPN中，，∴△AMP≌△BPN，∴MA＝PB＝2.4，∵PA＝＝0.7，∴AB＝PA+PB＝0.7+2.4＝3.1；（3）①∠MPN＝180°﹣∠APM﹣∠BPN＝60°；②過N點(diǎn)作MA垂線，垂足點(diǎn)D，連接NM．設(shè)AB＝x，且AB＝ND＝x．∵梯子的傾斜角∠BPN為45°，∴△BNP為等腰直角三角形，△PNM為等邊三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子長(zhǎng)度相同），∠MND＝15°．∵∠APM＝75°，∴∠AMP＝15°．∴∠DNM＝∠AMP，∵△PNM為等邊三角形，∴NM＝PM．∴△AMP≌△DNM（AAS），∴AM＝DN，∴AB＝DN＝AM＝2.8米，即丙房間的寬AB是2.8米．【變式2-1】（2020春?鎮(zhèn)原縣期末）如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為3m，梯子的底端A向外移動(dòng)到A′，使梯子的底端A′到墻根O的距離等于4m，同時(shí)梯子的頂端B下降至B′，求BB′的長(zhǎng)（梯子AB的長(zhǎng)為5m）．【答案】BB′的長(zhǎng)為1m【解答】解：由題意可得出：AO＝3m，A′O＝4m，AB＝A′B′＝5m，∴在Rt△AOB中，BO2＝＝4（m），在Rt△A′OB′中，B′O2＝＝3（m），∴BB′的長(zhǎng)為：4﹣3＝1（m）．答：BB′的長(zhǎng)為1m．【變式2-2】（2022春?寧鄉(xiāng)市期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送4m（水平距離BC＝4m）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝3m，若秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長(zhǎng)度．【解答】解：∵CE＝BF＝3m，DE＝1m，∴CD＝CE﹣DE＝3﹣1＝2（m），在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，BC＝4m，設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為xm，則AC＝（x﹣2）m，故x2＝42+（x﹣2）2，解得：x＝5，答：繩索AD的長(zhǎng)度是5m．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2022春?昭化區(qū)期末）如圖，將一根長(zhǎng)為16cm的橡皮筋固定在筆直的木棒上，兩端點(diǎn)分別記為A，B，然后將中點(diǎn)C向上豎直拉升6cm至點(diǎn)D處，則拉伸后橡皮筋的長(zhǎng)為（）A．20cm B．22cm C．28cm D．32cm【答案】A【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝8cm，CD＝6cm；根據(jù)勾股定理，得：AD＝＝10（cm）；∴AD+BD＝2AD＝20（cm）；故拉伸后橡皮筋的長(zhǎng)為20cm．故選：A．2．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm．若這支鉛筆長(zhǎng)為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分長(zhǎng)度不可能的是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【答案】A【解答】解：根據(jù)題意可得圖形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．則這只鉛筆在筆筒外面部分長(zhǎng)度在3cm～6cm之間．觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A符合題意．故選：A．3．有一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長(zhǎng)在它的正中央，高出水面的部分為1尺，如果把該蘆葦?shù)捻敹搜厮剡叴怪钡姆较蚶桨哆?，發(fā)現(xiàn)蘆葦頂端恰與水面齊平，則蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是尺．【答案】13【解答】解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度＝x+1＝12+1＝13（尺）．故答案為：13．4．古詩(shī)贊美荷花：“竹色溪下綠，荷花鏡里香”．平靜的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10cm，忽見它隨風(fēng)斜倚，花朵恰好浸入水面，仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)荷花偏離原地40cm（如圖）．請(qǐng)問荷花入水部分BC長(zhǎng)多少厘米？【解答】解：設(shè)荷花入水部分BC長(zhǎng)hcm，則荷花的高（h+10）cm，且水平距離為40cm，則（h+10）2＝402+h2，解得h＝75．答：荷花入水部分BC長(zhǎng)75cm．5．（2022秋?晉源區(qū)校級(jí)月考）如圖，筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距17km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，已知DA＝12km．CB＝5km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個(gè)公交車站E，使得C，D兩村到公交車站E的距離相等．則公交車站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？【解答】解：∵使得C，D兩村到E站的距離相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，設(shè)AE＝xkm，則BE＝AB﹣AE＝（17﹣x）km．∵DA＝12km．CB＝5km，∴x2+122＝（17﹣x）2+52，解得x＝5，∴AE＝5km，答：收購(gòu)站E應(yīng)建在離A點(diǎn)5km處．6．（2022秋?蒲江縣校級(jí)期中）一架梯子AB長(zhǎng)2.5m，如圖斜靠在一面墻上，梯子底端B離墻0.7m．（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了0.4m．那么梯子底部在水平方向滑動(dòng)了0.4m嗎？為什么？【解答】解：（1）∵AB＝2.5m，BC＝0.7m，∴AC＝＝＝2.4（m）．答：這個(gè)梯子的頂端距地面有2.4m；（2）梯子底部在水平方向滑動(dòng)了0.8m，理由如下：在Rt△A′CB′中，A′C＝AC﹣0.4＝24﹣0.4＝2（米），A′B′＝2.5米，∴CB′＝＝＝1.5（m），∴BB′＝CB′﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（m）．答：梯子底部在水平方向滑動(dòng)了0.8m．7．（2022春?潼南區(qū)期末）如圖，一架梯子AB斜靠在某個(gè)過道豎直的左墻上，頂端在點(diǎn)A處，底端在水平地面的點(diǎn)B處．保持梯子底端B的位置不變，將梯子斜靠在豎真的右墻上，此時(shí)梯子的頂端在點(diǎn)C處．測(cè)得頂端A距離地面的高度AO為2米，OB為1.5米．（1）求梯子的長(zhǎng)；（2）若頂端C距離地面的高度CD比AO多0.4米，求OD的長(zhǎng)．【解答】解：由題意可得：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，AO＝2米，OB＝1.5米，BO2+AO2＝AB2，∴AB2＝22+1.52＝6.25，∴AB＝±.2.5，∵AB＞0，∴AB＝2.5米，即梯子的長(zhǎng)為2.5米；（2）由題意得CD＝AO+0.4＝2.4米，BC＝AB＝2.5米，∴BD2＝2.52﹣2.42＝4.9，∴BD＝0.7米，∴OD＝OB+BD＝1.5+0.7＝2.2米．8．（2022春?藁城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在筆直的公路AB旁有一條河流，為方便運(yùn)輸貨物，現(xiàn)要從公路AB上的D處建座橋梁到達(dá)C處，已知點(diǎn)C與公路上的停靠站A的直線距離為3km，與公路上另一停站B的直線距離為4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．（1）求修建的橋梁CD的長(zhǎng)；（2）橋梁CD建成后，求一輛貨車由C處途經(jīng)D處到達(dá)B處的總路程．【解答】解：（1）∵AC＝3km，BC＝4km，AC⊥BC，∴AB＝＝＝5（km），∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CD，∴CD＝＝＝（km），答：修建的橋梁CD的長(zhǎng)為km；（2）∵CD＝km，BC＝4km，CD⊥AB，∴BD＝＝＝（km），∴貨車由C處途經(jīng)D處到達(dá)B處的總路程為：CD+BD＝+＝（km），答：貨車由C處途經(jīng)D處到達(dá)B處的總路程為km．9．（2022?南京模擬）如圖，有人在岸上點(diǎn)C的地方，用繩子拉船靠岸，開始時(shí)，繩長(zhǎng)CB＝25米，CA⊥AB且CA＝15米，拉動(dòng)繩子將船從點(diǎn)B沿BA方向行駛到點(diǎn)D后，繩長(zhǎng)米．（1）試判定△ACD的形狀，并說明理由；（2）求船體移動(dòng)距離BD的長(zhǎng)度；（3）若在BD段拉動(dòng)船的速度為1米/秒，到達(dá)D后增加了人力，拉動(dòng)船的速度變?yōu)?米/秒，求把船從B拉到岸邊A點(diǎn)所用時(shí)間．【解答】解：（1）△ACD是等腰直角三角形．理由如下：由題意可得：CA＝15米，CD＝15米，∠CAD＝90°，可得AD＝＝15（米），故△ACD是等腰直角三角形；（2）∵CA＝15米，CB＝25米，∠CAD＝90°，∴AB＝（m），則BD＝AB﹣AD＝20﹣15＝5（米）．答：船體移動(dòng)距離BD的長(zhǎng)度為5米；（3）5÷1+1