專題19三角形與全等三角形篇(原卷版+解析)

專題19三角形與全等三角形考點一：三角形之與三角形有關(guān)的線段知識回顧知識回顧三角形的定義：三條線段首尾順次連接組成的圖形。三角形的分類：①按角分類：銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形。②按邊分類：不等邊三角形，等腰三角形。等腰三角形底和腰相等時叫做等邊三角形。三角形的中線、高線、角平分線：①中線：連接頂點與對邊中點得到的線段。平分三角形的面積。②高線：過定點做對邊的垂線，頂點與垂足之間的線段。得到兩個直角三角形。③角平分線：作三角形角的平分線與對邊相交，頂點與交點間的線段。三角形的三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。三角形的三邊一旦確定，這三角形就固定了，這是三角形具有穩(wěn)定性。微專題微專題1．（2022?大慶）下列說法不正確的是（）A．有兩個角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形 B．有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形 C．有兩個角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形2．（2022?玉林）請你量一量如圖△ABC中BC邊上的高的長度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm3．（2022?杭州）如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（）A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線 C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線4．（2022?廣東）下列圖形中有穩(wěn)定性的是（）A．三角形 B．平行四邊形 C．長方形 D．正方形5．（2022?永州）下列多邊形具有穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．6．（2022?常州）如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是．7．（2022?淮安）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，98．（2022?衢州）線段a，b，c首尾順次相接組成三角形，若a＝1，b＝3，則c的長度可以是（）A．3 B．4 C．5 D．69．（2022?南通）用一根小木棒與兩根長分別為3cm，6cm的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm10．（2022?益陽）如圖1所示，將長為6的矩形紙片沿虛線折成3個矩形，其中左右兩側(cè)矩形的寬相等，若要將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，則圖中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．411．（2022?西寧）若長度是4，6，a的三條線段能組成一個三角形，則a的值可以是（）A．2 B．5 C．10 D．1112．（2022?西藏）如圖，數(shù)軸上A，B兩點到原點的距離是三角形兩邊的長，則該三角形第三邊長可能是（）A．﹣5 B．4 C．7 D．813．（2022?邵陽）下列長度的三條線段能首尾相接構(gòu)成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm14．（2022?金華）已知三角形的兩邊長分別為5cm和8cm，則第三邊的長可以是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm15．（2022?德陽）八一中學(xué)九年級2班學(xué)生楊沖家和李銳家到學(xué)校的直線距離分別是5km和3km．那么楊沖，李銳兩家的直線距離不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km考點二：三角形之與三角形有關(guān)的角知識回顧知識回顧三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角之和等于180°。三角形的外角定理：三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。大于它不相鄰的任意一個內(nèi)角。微專題微專題16．（2022?東營）如圖，在⊙O中，弦AC∥半徑OB，∠BOC＝40°，則∠AOC的度數(shù)為．（2022?哈爾濱）在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是度．考點三：全等三角形之性質(zhì)與判定知識回顧知識回顧全等三角形的概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。其中重合的點叫做對應(yīng)點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角。用“≌”符號表示。注意：在書寫全等三角形時，對應(yīng)點寫在對應(yīng)的位置。全等三角形的性質(zhì)：若兩個三角形全等，則他們的對應(yīng)邊相等；對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊上的中線相等，高線相等，角平分線也相等；且這兩個三角形的周長和面積均相等。全等三角形的判定：①邊邊邊（SSS）：三條邊分別對應(yīng)性相等的兩個三角形全等。②邊角邊（SAS）：兩邊及其這兩邊的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。③角邊角（ASA）：兩角及其這兩角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。④角角邊（AAS）：兩角及其其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜邊與其中任意一直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。微專題微專題18．（2022?云南）如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點，D、E、F與O點都不重合，連接ED、EF．若添加下列條件中的某一個，就能使△DOE≌△FOE．你認(rèn)為要添加的那個條件是（）第18題第19題A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE19．（2022?金華）如圖，AC與BD相交于點O，OA＝OD，OB＝OC，不添加輔助線，判定△ABO≌△DCO的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL20．（2022?成都）如圖，在△ABC和△DEF中，點A，E，B，D在同一直線上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一個條件，能判定△ABC≌△DEF的是（）第20題第21題第22題A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D（2022?寧夏）如圖，AC，BD相交于點O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一個條件是.（只寫一個）22．（2022?南通）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一個條件，則這個條件可以是．23．（2022?牡丹江）如圖，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，請?zhí)砑右粋€條件，使△ABC≌△DEC．第23題第24題24．（2022?湘西州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．1825．（2022?梧州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，過點D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯誤的是（）第25題第26題A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD26．（2022?株洲）如圖所示，點O在一塊直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于點M，ON⊥BC于點N，若OM＝ON，則∠ABO＝度．27．（2022?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D為AB邊上一點，且BD＝BC，連接CD，以點D為圓心，DC的長為半徑作弧，交BC于點E（異于點C），連接DE，則BE的長為．考點四：角的平分線與線段的垂直平分線：知識回顧知識回顧角平分線的定義：角的內(nèi)部把角平均分成兩個相等的角的射線叫做角的平分線。角平分線的性質(zhì)：①平分角。②角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等。角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊相等的點一定在角平分線上。角平分線的尺規(guī)作圖：具體步驟：①以角的頂點O為圓心，一定長度為半徑畫圓弧，圓弧與角的兩邊分別交于兩點M、N。如圖①。②分別以點M與點N為圓心，大于MN長度的一半為半徑畫圓弧，兩圓弧交于點P。如圖②。③連接OP，OP即為角的平分線。線段的垂直平分線的定義：過線段的中點且與線段垂直的直線是這條線段的垂直平分線。垂直平分線的性質(zhì)：①垂直且平分線段。②垂直平分線上任意一點到這條線段兩個端點的距離相等。垂直平分線的判定：到線段兩端點距離相等的點一定在線段的垂直平分線上。垂直平分線的吃規(guī)作圖：具體步驟：①以線段兩個端點為圓心，大于線段長度的一半為半徑畫圓弧，兩圓弧在線段的兩側(cè)別分交于M、N。如圖①②連接MN，過MN的直線即為線段的垂直平分線。如圖②微專題微專題28．（2022?鄂爾多斯）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）第28題第29題A．2 B．2 C．4 D．4+229．（2022?北京）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝．30．（2022?黑龍江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．第30題第31題31．（2022?宜昌）如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN，交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，則△ABD的周長為（）A．25 B．22 C．19 D．1832．（2022?湖北）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．133．（2022?鄂爾多斯）如圖，在△ABC中，邊BC的垂直平分線DE交AB于點D，連接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，則△ADC的周長是．第33題第34題34．（2022?青海）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E，∠BAE＝10°，則∠C的度數(shù)是．專題19三角形與全等三角形考點一：三角形之與三角形有關(guān)的線段知識回顧知識回顧三角形的定義：三條線段首尾順次連接組成的圖形。三角形的分類：①按角分類：銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形。②按邊分類：不等邊三角形，等腰三角形。等腰三角形底和腰相等時叫做等邊三角形。三角形的中線、高線、角平分線：①中線：連接頂點與對邊中點得到的線段。平分三角形的面積。②高線：過定點做對邊的垂線，頂點與垂足之間的線段。得到兩個直角三角形。③角平分線：作三角形角的平分線與對邊相交，頂點與交點間的線段。三角形的三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。三角形的三邊一旦確定，這三角形就固定了，這是三角形具有穩(wěn)定性。微專題微專題1．（2022?大慶）下列說法不正確的是（）A．有兩個角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形 B．有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形 C．有兩個角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形【分析】根據(jù)直角三角形概念可判斷A，C，由等腰三角形，等邊三角形定義可判斷B，D．【解答】解：∵有兩個角是銳角的三角形，第三個角可能是銳角，直角或鈍角，∴有兩個角是銳角的三角形可能是銳角三角形，直角三角形或鈍角三角形；故A不正確，符合題意；有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形，故B正確，不符合題意；有兩個角互余的三角形是直角三角形，故C正確，不符合題意；底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形，故D正確，不符合題意；故選：A．2．（2022?玉林）請你量一量如圖△ABC中BC邊上的高的長度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm【分析】過點A作AD⊥BC于D，用刻度尺測量AD即可．【解答】解：過點A作AD⊥BC于D，用刻度尺測量AD的長度，更接近2cm，故選：D．3．（2022?杭州）如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（）A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線 C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．【解答】解：A、線段CD是△ABC的AB邊上的高線，故本選項說法錯誤，不符合題意；B、線段CD是△ABC的AB邊上的高線，本選項說法正確，符合題意；C、線段AD不是△ABC的BC邊上高線，故本選項說法錯誤，不符合題意；D、線段AD不是△ABC的AC邊上高線，故本選項說法錯誤，不符合題意；故選：B．4．（2022?廣東）下列圖形中有穩(wěn)定性的是（）A．三角形 B．平行四邊形 C．長方形 D．正方形【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性即可得出答案．【解答】解：三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性，故選：A．5．（2022?永州）下列多邊形具有穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性即可得出答案．【解答】解：三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，故選：D．6．（2022?常州）如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是．【分析】由題意可得CE是△ACD的中線，則有S△ACD＝2S△AEC＝2，再由AD是△ABC的中線，則有S△ABD＝S△ACD，即得解．【解答】解：∵E是AD的中點，∴CE是△ACD的中線，∴S△ACD＝2S△AEC，∵△AEC的面積是1，∴S△ACD＝2S△AEC＝2，∵AD是△ABC的中線，∴S△ABD＝S△ACD＝2．故答案為：2．7．（2022?淮安）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可．【解答】解：A、∵3+3＝6，∴長度為3，3，6的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；B、∵3+5＜10，∴長度為3，5，10的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；C、∵4+6＞9，∴長度為4，6，9的三條線段能組成三角形，本選項符合題意；D、∵4+5＝9，∴長度為4，5，9的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；故選：C．8．（2022?衢州）線段a，b，c首尾順次相接組成三角形，若a＝1，b＝3，則c的長度可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊直接列式計算即可．【解答】解：∵線段a＝1，b＝3，∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4．觀察選項，只有選項A符合題意，故選：A．9．（2022?南通）用一根小木棒與兩根長分別為3cm，6cm的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；即可求第三根木條的取值范圍．【解答】解：設(shè)第三根木棒長為xcm，由三角形三邊關(guān)系定理得6﹣3＜x＜6+3，所以x的取值范圍是3＜x＜9，觀察選項，只有選項D符合題意．故選：D．10．（2022?益陽）如圖1所示，將長為6的矩形紙片沿虛線折成3個矩形，其中左右兩側(cè)矩形的寬相等，若要將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，則圖中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】本題實際上是長為6的線段圍成一個等腰三角形．求腰長的取值范圍．【解答】解：長為6的線段圍成等腰三角形的腰長為a．則底邊長為6﹣2a．由題意得，．解得＜a＜3．所給選項中分別為：1，2，3，4．∴只有2符合上面不等式組的解集．∴a只能取2．故選：B．11．（2022?西寧）若長度是4，6，a的三條線段能組成一個三角形，則a的值可以是（）A．2 B．5 C．10 D．11【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出6﹣4＜a＜6+4，求出2＜a＜10，再逐個判斷即可．【解答】解：∵長度是4，6，a的三條線段能組成一個三角形，∴6﹣4＜a＜6+4，∴2＜a＜10，∴只有選項B符合題意，選項A、選項C、選項D都不符合題意；故選：B．12．（2022?西藏）如圖，數(shù)軸上A，B兩點到原點的距離是三角形兩邊的長，則該三角形第三邊長可能是（）A．﹣5 B．4 C．7 D．8【分析】由實數(shù)與數(shù)軸與絕對值知識可知該三角形的兩邊長分別為3、4．然后由三角形三邊關(guān)系解答．【解答】解：由題意知，該三角形的兩邊長分別為3、4．不妨設(shè)第三邊長為a，則4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7．觀察選項，只有選項B符合題意．故選：B．13．（2022?邵陽）下列長度的三條線段能首尾相接構(gòu)成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即可求解．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：A、1+2＝3，不能構(gòu)成三角形；B、3+4＞5，能構(gòu)成三角形；C、4+5＜10，不能構(gòu)成三角形；D、2+6＜9，不能構(gòu)成三角形．故選：B．14．（2022?金華）已知三角形的兩邊長分別為5cm和8cm，則第三邊的長可以是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm【分析】由三角形的兩邊長分別為5cm和8cm，可得第三邊x的長度范圍即可得出答案．【解答】解：∵三角形的兩邊長分別為5cm和8cm，∴第三邊x的長度范圍為：3cm＜x＜13cm，∴第三邊的長度可能是：6cm．故選：C．15．（2022?德陽）八一中學(xué)九年級2班學(xué)生楊沖家和李銳家到學(xué)校的直線距離分別是5km和3km．那么楊沖，李銳兩家的直線距離不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到李銳兩家的線段的取值范圍，即可得到選項．【解答】解：當(dāng)楊沖，李銳兩家在一條直線上時，楊沖，李銳兩家的直線距離為2km或8km，當(dāng)楊沖，李銳兩家不在一條直線上時，設(shè)楊沖，李銳兩家的直線距離為xkm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，楊沖，李銳兩家的直線距離可能為2km，8km，3km，故選：A．考點二：三角形之與三角形有關(guān)的角知識回顧知識回顧三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角之和等于180°。三角形的外角定理：三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。大于它不相鄰的任意一個內(nèi)角。微專題微專題16．（2022?東營）如圖，在⊙O中，弦AC∥半徑OB，∠BOC＝40°，則∠AOC的度數(shù)為．【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OCA＝∠BOC＝40°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計算∠AOC的度數(shù)．【解答】解：∵AC∥半徑OB，∴∠OCA＝∠BOC＝40°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠OCA＝180°﹣40°﹣40°＝100°．故答案為：100°．17．（2022?哈爾濱）在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是度．【分析】分兩種情況：△ABC為銳角三角形或鈍角三角形，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可作答．【解答】解：當(dāng)△ABC為銳角三角形時，如圖，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，如圖，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．綜上所述，∠BAC＝80°或40°．故答案為：80或40．考點三：全等三角形之性質(zhì)與判定知識回顧知識回顧全等三角形的概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。其中重合的點叫做對應(yīng)點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角。用“≌”符號表示。注意：在書寫全等三角形時，對應(yīng)點寫在對應(yīng)的位置。全等三角形的性質(zhì)：若兩個三角形全等，則他們的對應(yīng)邊相等；對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊上的中線相等，高線相等，角平分線也相等；且這兩個三角形的周長和面積均相等。全等三角形的判定：①邊邊邊（SSS）：三條邊分別對應(yīng)性相等的兩個三角形全等。②邊角邊（SAS）：兩邊及其這兩邊的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。③角邊角（ASA）：兩角及其這兩角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。④角角邊（AAS）：兩角及其其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜邊與其中任意一直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。微專題微專題18．（2022?云南）如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點，D、E、F與O點都不重合，連接ED、EF．若添加下列條件中的某一個，就能使△DOE≌△FOE．你認(rèn)為要添加的那個條件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根據(jù)AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．【解答】解：∵OB平分∠AOC，∴∠DOE＝∠FOE，又OE＝OE，若∠ODE＝∠OFE，則根據(jù)AAS可得△DOE≌△FOE，故選項D符合題意，而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故選項A不符合題意，增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故選項B不符合題意，增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故選項C不符合題意，故選：D．19．（2022?金華）如圖，AC與BD相交于點O，OA＝OD，OB＝OC，不添加輔助線，判定△ABO≌△DCO的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO的依據(jù)．【解答】解：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故選：B．20．（2022?成都）如圖，在△ABC和△DEF中，點A，E，B，D在同一直線上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一個條件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，則可根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進(jìn)行判斷．【解答】解：∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，∵AC＝DF，∴當(dāng)添加∠C＝∠F時，可根據(jù)“ASA”判定△ABC≌△DEF；當(dāng)添加∠ABC＝∠DEF時，可根據(jù)“AAS”判定△ABC≌△DEF；當(dāng)添加AB＝DE時，即AE＝BD，可根據(jù)“SAS”判定△ABC≌△DEF．故選：B．（2022?寧夏）如圖，AC，BD相交于點O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一個條件是.（只寫一個）【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，即可解答．【解答】解：∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，OA＝OC，∴△AOB≌△COD（SAS），∴要使△AOB≌△COD，添加一個條件是OA＝OC，故答案為：OA＝OC（答案不唯一）．22．（2022?南通）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一個條件，則這個條件可以是．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，然后再利用全等三角形的判定方法即可解答．【解答】解：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（AAS），故答案為：AB＝DE（答案不唯一）．23．（2022?牡丹江）如圖，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，請?zhí)砑右粋€條件，使△ABC≌△DEC．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)可得∠DCE＝∠ACB，然后再利用全等三角形的判定方法SAS，ASA或AAS即可解答．【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，∵CA＝CD，CB＝CE，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案為：CB＝CE（答案不唯一）．24．（2022?湘西州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18【分析】通過證明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四邊形ACGH的周長即為AB+AC+GH，進(jìn)而可確定當(dāng)MH⊥AB時，四邊形ACGH的周長有最小值，通過證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長，進(jìn)而可求解．【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M(jìn)是BC的中點，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴當(dāng)GH最小時，即MH⊥AB時四邊形ACGH的周長有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝8，∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8＝22，故選：B．25．（2022?梧州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，過點D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，由“AAS”可證△BDE≌△CDF，可得DE＝DF．【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，∴∠ADC＝90°，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF，故選：C．26．（2022?株洲）如圖所示，點O在一塊直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于點M，ON⊥BC于點N，若OM＝ON，則∠ABO＝度．【分析】方法一：根據(jù)OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，從而可證Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度數(shù)．方法二：根據(jù)角平分線的判定定理求解即可．【解答】解：方法一：∵OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，，∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．方法二：∵OM⊥AB，ON⊥BC，又∵OM＝ON，∴OB平分∠ABC，∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．故答案為：15．27．（2022?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D為AB邊上一點，且BD＝BC，連接CD，以點D為圓心，DC的長為半徑作弧，交BC于點E（異于點C），連接DE，則BE的長為．【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，同圓的半徑相等，三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝AC＝3，∠A＝∠B＝45°，∵BD＝BC＝3，AC＝BC，∴BD＝AC，AD＝3﹣3．∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC．∵BD＝BC，∴∠DCE＝∠CDB，∴∠CED＝∠CDB，∵∠CDB＝∠CDE+∠EDB，∠CED＝∠B+∠EDB，∴∠CDE＝∠B＝45°．∴∠ADC+∠EDB＝180°﹣∠CDE＝135°．∵∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A＝135°，∴∠ACD＝∠EDB．在△ADC和△BED中，，∴△ADC≌△BED（SAS）．∴BE＝AD＝3﹣3．故答案為：3﹣3．考點四：角的平分線與線段的垂直平分線：知識回顧知識回顧角平分線的定義：角的內(nèi)部把角平均分成兩個相等的角的射線叫做角的平分線。角平分線的性質(zhì)：①平分角。②角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等。角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊相等的點一定在角平分線上。角平分線的尺規(guī)作圖：具體步驟：①以角的頂點O為圓心，一定長度為半徑畫圓弧，圓弧與角的兩邊分別交于兩點M、N。如圖①。②分別以點M與點N為圓心，大于MN長度的一半為半徑畫圓弧，兩圓弧交于點P。如圖②。③連接OP，OP即為角的平分線。線段的垂直平分線的定義：過線段的中點且與線段垂直的直線是這條線段的垂直平分線。垂直平分線的性質(zhì)：①垂直且平分線段。②垂直平分線上任意一點到這條線段兩個端點的距離相等。垂直平分線的判定：到線段兩端點距離相等的點一定在線段的垂直平分線上。垂直平分線的吃規(guī)作圖：具體步驟：①以線段兩個端點為圓心，大于線段長度的一半為半徑畫圓弧，兩圓弧在線段的兩側(cè)別分交于M、N。如圖①②連接MN，過MN的直線即為線段的垂直平分線。如圖②微專題微專題28．（2022?鄂爾多斯）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4+2【分析】過點E作EH⊥OA于點H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH＝EC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADE的度數(shù)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DE的長度，再證明OD＝DE，即可求出OD的長．【解答】解：過點E作EH⊥OA于點H，如圖所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故選：C．29．（2022?北京）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝．【分析】過D點作DH⊥AC于H，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DH＝1，然后根據(jù)三角形面積公式計算．【解答】解：過D點作DH⊥AC于H，如圖，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案為：1．30．（2022?黑龍江）在R