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文檔簡介
專題50三角形的存在性綜合問題【題型演練】一、解答題1.如圖,在中,,,點D為邊上一點,連結(jié),過點B作交的延長線于點E.(1)如圖1,若,,求的面積;(2)如圖2,延長到點F使,分別連結(jié),,交于點G.求證:.(3)如圖3,若,點M是直線上的一個動點,連結(jié),將線段繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段,點P是邊上一點,,Q是線段上的一個動點,連結(jié),.當(dāng)?shù)闹底钚r,請直接寫出的度數(shù).2.已知正方形,點為直線上的一點,連接,過點作射線,交直線于點E,連接,取的中點,連接(1)如圖1,點在線段的中點時,直接寫出與的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖2,①點P在線段上時,試判斷(1)中的結(jié)論是否成立,并說明理由;②若點P在直線上,,,直接寫出的長;(3)設(shè),若點運動到某一位置時使為等邊三角形,請直接寫出的長.3.在中,D為直線上一動點,連接,將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn),得到,連接與相交于點F.(1)如圖1,若D為的中點,,,,連接,求線段的長;(2)如圖2,G是線段延長線上一點,D在線段上,連接,,若,,,,證明;(3)如圖3,若為等邊三角形,,點M為線段上一點,且,點P是直線上的動點,連接,,,請直接寫出當(dāng)最小時的面積.4.在中,,平分,為上一點.(1)如圖1,過作交于點,若,,求的長;(2)如圖2,若,過作交的延長線于點,為延長線上一點,連接,過作交于點,交于點,且,猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想;(3)如圖3,將(2)中沿翻折得到,為上一點,連接,過作交于點,,,再將沿翻折得到,交、分別于點、,請直接寫出的值.5.如圖1,中,,,以為直徑的恰好經(jīng)過點,延長至,使得,連接.(1)求的半徑;(2)求證:;(3)如圖2,在上取點,連接并延長交于點,連接交于點.①當(dāng)時,求的值;②設(shè),,求關(guān)于的函數(shù)表達式.6.在中,,.點D是平面內(nèi)一點,連接,將繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接,.(1)如圖1,若點D為線段的中點,且,求的長;(2)如圖2,若點D為內(nèi)部一點,過點A作交的延長線于點F,交于點G,求證:;(3)如圖3,在(1)的條件下,點M是射線上的一點,點N是線段上一點,且,連接,.當(dāng)最小時,直接寫出與的面積的和.7.【問題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖①,是等邊三角形,點D,E分別是邊上一點,且,點P在線段上運動,以為邊向右作等邊.①求證:②過點F作于點G,連接,請判斷的長度是否為定值,若是,請求出該定值,若不是,請說明理由.【類比探究】(2)如圖②,長方形中,,E為上一點,且,F(xiàn)為邊上的一個動點,連接,將繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,當(dāng)點F從點B運動到點A時,請求出點G運動的路程.8.如圖,等腰中,,平分.點為上的動點,連接,將沿折疊得到.(1)若,試求出的長度;(2)若,設(shè)與相交于點.①請求出的度數(shù);②連接,過點作交的延長線于點.若,.試求線段的長.9.在等邊三角形中,點D為上一點,連接,將繞D逆時針旋轉(zhuǎn)角度得到,連接,已知,;(1)如圖1,若,,連接,求的長;(2)如圖2,若,分別取的中點H,的中點F,連接,,求證:;(3)如圖3,若,P為上一點,且滿足,連接,將沿著所在直線翻折得到,連接,當(dāng)最大時,直接寫出的面積.10.【母體呈現(xiàn)】人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材56頁第10題,如圖的三角形紙片中,,,.沿過點的直線折疊這個三角形,使點落在邊上的點處,折痕為.求的周長.解:是由折疊而得到
,
的周長為:【知識應(yīng)用】在中,沿過點的直線折疊這個三角形,使點落在邊上的點處,折痕為,過點作的平分線交于點連接.(1)如圖1,若,,求的面積;(2)如圖2,求證平分;【拓展應(yīng)用】如圖3,在中,沿過點的直線折疊這個三角形,使點落在邊上的點處,折痕為,過點作的平分線交于點連接,過點作.(3)若,,,直接寫出長;(4)若,求證.11.(1)已知中,,.①如圖1,點M,N均在邊上,,,,連接;請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系②如圖2,點M在邊上,點N在的上方,且,求證:;(2)如圖3,在四邊形中,,平分,若與互余,則的大小為______(用含的式子表示).12.如圖,在中,半徑弦于點E,連接,,點D為上一點,連接、.(1)如圖1,求證;(2)如圖2,點F為上一點,連接,,若,求證:平分;(3)如圖3,在(2)的條件下,平分,交于點K,連接,設(shè)與交于點H,,,,求的長.13.如圖,四邊形內(nèi)接于,對角線交于點E,連接交于點F,.(1)如圖(1)求證:.(2)如圖(2)若,求證:.(3)如圖(3)在(2)的條件下,作交CD于點G,于點M,若,,求線段OF的長.14.在四邊形中,,;(1)如圖1,已知,求得的大小為___________;(2)已知,,在(1)的條件下,利用圖1,連接,并求出的長度;(3)問題解決:如圖2,已知,,現(xiàn)需要截取某種四邊形的材料板,這個材料板的形狀恰巧符合如圖2所示的四邊形,為了盡可能節(jié)約,你能求出這種四邊形面積的最小值嗎?如果能,請求出此時四邊形面積的最小值;如果不能,請說明理由.15.問題探究:(1)如圖(1),在中,,,點為邊上的一動點,以為邊在右側(cè)作,且,,連.若,求的長;(2)如圖(2),邊長為4的等邊,點為邊上的一動點,以為邊在右側(cè)作,連接,則__________;__________;的周長最小值是__________.問題解決:(3)如圖3,四邊形中,,,,,點分別為邊,上的動點,且,是否存在點,使得四邊形面積最大且的周長最小?若存在,求出四邊形面積最大值和的周長最小值;若不存在,請說明理由.16.如圖1,已知,在中,,,,點D在AB上且,點P,Q分別從點D,B出發(fā)沿線段,向終點B,C勻速移動,P,Q兩點同時出發(fā),同時到達終點.設(shè),.(1)求的值.(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式.(3)如圖2,過點P作于點E,連接,.①當(dāng)為等腰三角形時,求x的值.②過D作于點F,作點F關(guān)于的對稱點,當(dāng)點落在的內(nèi)部(不包括邊界)時,則x的取值范圍為___________.17.問題提出
如圖1,點E為等腰內(nèi)一點,,,將繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,求證:.嘗試應(yīng)用
如圖2,點D為等腰外一點,,,過點A的直線分別交的延長線和的延長線于點N,M,求證:.問題拓展
如圖3,中,,點D,E分別在邊,上,,,交于點H.若,,直接寫出的長度(用含a,b的式子).18.如圖,在中,,D、E分別是AB、BC上的點,過B、D、E三點作,交延長線于點F,,,.(1)求證:;(2)當(dāng)與相切于點D時,求的半徑;(3)若,求的值.19.【模型建立】如圖,在等腰直角三角形中,,直線經(jīng)過點C,過點A作于點D,過點B作于點E.求證:.【模型應(yīng)用】(1)如圖,直線:與坐標(biāo)軸交于點A、B,將直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至直線,求直線對應(yīng)的函數(shù)表達式.(2)如圖,四邊形是長方形,O為坐標(biāo)原點,點B的坐標(biāo)為,點A、C分別在坐標(biāo)軸上,P是線段上的動點,D是直線上的動點且在第四象限.若是以D為直角頂點的等腰直角三角形,請直接寫出點D的坐標(biāo).專題50三角形的存在性綜合問題【題型演練】一、解答題1.如圖,在中,,,點D為邊上一點,連結(jié),過點B作交的延長線于點E.(1)如圖1,若,,求的面積;(2)如圖2,延長到點F使,分別連結(jié),,交于點G.求證:.(3)如圖3,若,點M是直線上的一個動點,連結(jié),將線段繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段,點P是邊上一點,,Q是線段上的一個動點,連結(jié),.當(dāng)?shù)闹底钚r,請直接寫出的度數(shù).【答案】(1)32(2)見解析(3)【分析】(1)過點作于點,利用8字型圖,得到,易得,從而得到,再利用面積公式進行計算即可;(2)延長到,使,連接和,證明,得到,連接,推出是等腰三角形,過點作,得到,根據(jù)平行線間距離處處相等,得到,從而得到,即可得證;(3)過點作交的延長線于點,作點關(guān)于的對稱點,連接,證明,推出點在直線上運動時,點在過點且垂直于的直線上運動,根據(jù)軸對稱和三角形的三邊關(guān)系以及垂線段最短,得到,得到三點共線時,且時,有最小值,根據(jù),求出,證明,進而得到,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)如圖1,過點作于點,∵,∴,∵,∴,∵,∵,∴,∵,,∴∴,∵,∴,∴的面積為;(2)如圖2,延長到,使,連接和,∵,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,在和中,∴,∴,,連接,∵,∴是的中垂線,∴,∴,∵,∴,∴,∴,過點作,則:,∵,∴,∴,又∵∴,(平行線間的距離處處相等)∴,∴;(3)如圖3,過點作交的延長線于點,作點關(guān)于的對稱點,連接,∵,∴,∴,∵將線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段,∴,∴,在和中,∴,∴,∴,∴點在直線上運動時,點在過點且垂直于的直線上運動;∵點關(guān)于的對稱點,∴,∵,∴的最小值為,∴當(dāng)時,有最小值:此時,,如圖4,,∵點關(guān)于的對稱點,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴∴,∴,∴.【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),利用軸對稱解決線段和最小問題.本題的綜合性強,難度大,解題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線,證明三角形全等.本題中蘊含手拉手全等模型,將軍飲馬問題.2.已知正方形,點為直線上的一點,連接,過點作射線,交直線于點E,連接,取的中點,連接(1)如圖1,點在線段的中點時,直接寫出與的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖2,①點P在線段上時,試判斷(1)中的結(jié)論是否成立,并說明理由;②若點P在直線上,,,直接寫出的長;(3)設(shè),若點運動到某一位置時使為等邊三角形,請直接寫出的長.【答案】(1);(2)①成立,理由見解析;②的長為或;(3)的長為或.【分析】(1)先證明是等腰直角三角形,因此可得;(2)①過點作于,于,先根據(jù)AAS證明,則可得,再根據(jù)ASA證明,則可得是等腰直角三角形,因此可得,再根據(jù)“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得,因此.②分兩種情況,分點在線段上和P點在的延長線上.作于點,先求出的長,則可知的長,再求出的長,則可求出的長,再根據(jù)求出的長即可.(3)分兩種情況,點在上方和點在下方.①F點在上方時,由是等邊三角形可求出、的長,再求出的長,設(shè),根據(jù)勾股定理列方程求出x,即可知的長,則可求出的長.②F點在下方時,是等邊三角形可求出、、的長,再求出的長,作于Q點,設(shè),在中據(jù)勾股定理列方程求出x,即可知的長,進而可可求出的長和的長.【詳解】(1),理由如下:∵四邊形是正方形P是線段的中點∵F是中點(2)①如圖,點P在線段上時,(1)中的結(jié)論仍然成立,理由如下:過P點作于G,于H又∴四邊形是矩形∵正方形中,平分又∴是等腰直角三角形∵F是中點∵Rt中,F(xiàn)是中點
②(ⅰ)如圖,P點在線段上時,作于Q由①知(ⅱ)如圖,若P點的延長線,
過P點作于G,于H又∴四邊形是矩形∵正方形中,平分又∴是等腰直角三角形∵F是中點∵Rt中,F(xiàn)是中點
延長,作于Q點∴
綜上,的長為或(3)①如圖,F(xiàn)點在上方時∵為等邊三角形由①知是等腰直角三角形延長,作于Q點則設(shè)則由得解得(舍去)
②①如圖,F(xiàn)點在下方時∵為等邊三角形∵是等腰直角三角形過P點作于Q點則設(shè),則在Rt中解得(舍去),綜上,的長為或【點睛】本題綜合性較強,主要考查了正方形的性質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理.正確的畫出圖形,并且正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.注意分類討論,不要漏解.3.在中,D為直線上一動點,連接,將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn),得到,連接與相交于點F.(1)如圖1,若D為的中點,,,,連接,求線段的長;(2)如圖2,G是線段延長線上一點,D在線段上,連接,,若,,,,證明;(3)如圖3,若為等邊三角形,,點M為線段上一點,且,點P是直線上的動點,連接,,,請直接寫出當(dāng)最小時的面積.【答案】(1);(2)證明見解析;(3).【分析】(1)根據(jù)題意由勾股定理可得長度,作,交于,利用旋轉(zhuǎn)及互余可證得(AAS),則得,,可求出,再由勾股定理可得的長度;(2)由旋轉(zhuǎn)可知,為等腰直角三角形,根據(jù)其性質(zhì)再利用互余可證得(AAS),則有,,由,可證,由,利用三角形內(nèi)角和定理可得,作,交延長線于,連接,易知,為等腰直角三角形,可得,,,易得,可證四邊形是平行四邊形,即,利用可得證結(jié)論;(3)作,交于,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn),證明(SAS),進而證得,作點關(guān)于的對稱點,連接,,由對稱易知,易知當(dāng)最小時,即最小,亦即、、在同一直線,且,如圖,作,交于,易知四邊形是矩形,證得是等邊三角形,求出,的高,根據(jù)可得答案.【詳解】(1)解:∵為的中點,,,∴,則由勾股定理,可得:,作,交于,由題意可知,,,∴,,∴,又∵,∴(AAS),∴,,則,由勾股定理可得:;(2)證明:由旋轉(zhuǎn)可知,為等腰直角三角形,∴,,,∵,∴,又∵,,∴,,又∵,∴,在和中,,∴(AAS),∴,,則:,∵,∴,即:,∴,又∵,由三角形內(nèi)角和定理可得:,即:,∴,作,交延長線于,連接,∴為等腰直角三角形,∴,,,∵,∴,∴四邊形是平行四邊形,∴,即,∴;(3)作,交于,∵是等邊三角形,∴,,平分,則,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn),則,,∴,∴(SAS),∴∴,作點關(guān)于的對稱點,連接,,由對稱易知,,∴當(dāng)最小時,即最小,亦即、、在同一直線,且,如圖:作,交于,則,∴,,∵,,∴,,四邊形是矩形,則,,即,由軸對稱可知,,∴是等邊三角形,則:,∵,∴,,∴,,則由勾股定理可得:,,∵,,則為,之間的距離,∴,即的高∴,∴.【點睛】本題屬于幾何綜合題,考查了全等三角形的判定及性質(zhì),等腰直角三角形的判定及性質(zhì),等邊三角形的判定及性質(zhì),第(2)問證明,解決問題的關(guān)鍵,第(3)問弄清的運動軌跡是解決問題的關(guān)鍵.4.在中,,平分,為上一點.(1)如圖1,過作交于點,若,,求的長;(2)如圖2,若,過作交的延長線于點,為延長線上一點,連接,過作交于點,交于點,且,猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想;(3)如圖3,將(2)中沿翻折得到,為上一點,連接,過作交于點,,,再將沿翻折得到,交、分別于點、,請直接寫出的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)過點作于點,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出,證明,得出,設(shè),則,在中,,進而證明,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出,進而即可求解;(2)連接,過點作于點,證明是等腰直角三角形,是等腰直角三角形,證明,設(shè),繼而證明,得出,根據(jù),即可得出結(jié)論;(3)過點作于點,交的延長線于點,過點作于點,由(2)可知是等腰直角三角形,則四邊形是正方形,得出是等腰直角三角形,證明,求得,在中,設(shè),,繼而解直角三角形,求得,接下來求得的長,設(shè),勾股定理得出①,證明,得出②,聯(lián)立解關(guān)于的方程,即可求解,進而求得比值即可求解.【詳解】(1)解:如圖,過點作于點,∵平分,,∴,∵,∴,又,,∴,設(shè),則,在中,,∵,∴,∴,∴,解得:,∴;(2),理由如下,證明:如圖,連接,過點作于點,設(shè),∴,∵,∴,∴,∵,∴是等腰直角三角形,∴,∴是等腰直角三角形,∵,∴又,,∴,∴設(shè),∵,∴∴,∴,在與中,∴∴∵,,又∵,∴,∴(3)解:如圖所示,過點作于點,交的延長線于點,過點作于點,由(2)可知是等腰直角三角形,依題意,則四邊形是正方形,∴,,∴,∴是等腰直角三角形,∴∵,,∴∴即∴∴,,則,∴,∵四邊形是正方形,∴,∵,∴,∴,在中,,∵折疊,∴設(shè)∴在中,∴∴,∴,∵,∴,設(shè),則在中,,即①∵折疊,∴,又∵∴∴∴②,聯(lián)立①②得解得:或(舍去)∴∴.【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定,全等三角形的性質(zhì)與判定,等腰直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)與判定,勾股定理,正方形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),解直角三角形,構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.5.如圖1,中,,,以為直徑的恰好經(jīng)過點,延長至,使得,連接.(1)求的半徑;(2)求證:;(3)如圖2,在上取點,連接并延長交于點,連接交于點.①當(dāng)時,求的值;②設(shè),,求關(guān)于的函數(shù)表達式.【答案】(1)的半徑是;(2)見解析(3)①;②.【分析】(1)由是的直徑,得,用勾股定理可得的半徑是;(2)證明直線是的垂直平分線,有,故;(3)①由,得,可得,,設(shè),在中,,得,即得,,,從而得;②過A作于K;連接,由,得,而,即可得,,又,有,,再證,得,故,即得.【詳解】(1)解:∵是的直徑,∴,∴,∴的半徑是;(2)證明:由(1)知,∴,∵,∴直線是的垂直平分線,∴,∴;(3)解:①如圖:∵,∴,∵,∴,∴,∴,設(shè),則,在中,,∴,解得,∴,,∴,∴;②過A作于K,連接,如圖:∵,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∵,∴,∴,即,∴,∵,,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∴.【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用,涉及相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理及應(yīng)用等知識,解題的關(guān)鍵是掌握圓的相關(guān)性質(zhì)和相似三角形的判定定理.6.在中,,.點D是平面內(nèi)一點,連接,將繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接,.(1)如圖1,若點D為線段的中點,且,求的長;(2)如圖2,若點D為內(nèi)部一點,過點A作交的延長線于點F,交于點G,求證:;(3)如圖3,在(1)的條件下,點M是射線上的一點,點N是線段上一點,且,連接,.當(dāng)最小時,直接寫出與的面積的和.【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】(1)連接,根據(jù)可證,得到,,然后在中根據(jù)勾股定理求解即可;(2)延長至點M,使,連接,延長交于點N,角于點Q,根據(jù)可證,得出,結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可證,進而證出,然后根據(jù)平行線分線段成比例可得出,即可得出結(jié)論;(3)將繞點B順時針旋轉(zhuǎn),連接交與N,以A為原點,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,過E作點H,根據(jù)可證,得出,進而得出,故當(dāng)E,N,C三點共線時,最小,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出C,E的坐標(biāo),再由待定系數(shù)法求出直線解析式,可求,,再等腰三角形的性質(zhì)求出,,最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】(1)解:連接,∵繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,∴,,又,∴,又,∴,∴,,∵,,∴,∴,∵,點D為線段的中點,且,∴,∴;(2)證明:延長至點M,使,連接,延長交于點N,交于點Q,∵,∴,又,∴,又,,∴,∴,∵,,∴,∴,∴,又,∴,∴,∴;(3)解:將繞點B順時針旋轉(zhuǎn),連接交與N,以A為原點,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,過E作點H則,∴,,又,∴,∴,∴,當(dāng)E,N,C三點共線時,最小,∵,,∴,∴,∴,∴,,設(shè)直線解析式為,則,解得,∴,當(dāng)時,,即,∴,過N作于點P,過M作于點K,∴,∴.【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),平行線分線段成比例,待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識,添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.7.【問題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖①,是等邊三角形,點D,E分別是邊上一點,且,點P在線段上運動,以為邊向右作等邊.①求證:②過點F作于點G,連接,請判斷的長度是否為定值,若是,請求出該定值,若不是,請說明理由.【類比探究】(2)如圖②,長方形中,,E為上一點,且,F(xiàn)為邊上的一個動點,連接,將繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,當(dāng)點F從點B運動到點A時,請求出點G運動的路程.【答案】(1)①見解析;②是;;(2)4.【分析】(1)①作交于點Q,易證是等邊三角形,結(jié)合已知可得,,利用三角形外角求得從而計算出即可;②利用等腰三角形性質(zhì)和三角形外角求得,在證即可求解;(2)長方形中,如圖2,連接,過點G做,易證是等腰直角三角形,可得,由、,可得,易證,可得為定值,如圖3,當(dāng)F在點B時,點G在點處,當(dāng)點F在點A時,點G在點處,由G到的距離始終為1,,由勾股定理及旋轉(zhuǎn)可求得,結(jié)合,可求得,在中運用勾股定理可求解.【詳解】解:(1)①如圖①甲,作交于點Q,∵是等邊三角形,
∴,∵,∴,,
∴是等邊三角形,∴,∵,
∴,∴,∴,
∴,∴,
∴,
∴;②∵,,
∴,在中,,∵是等邊三角形,∴,,∴,∵,∴,在和中,,
∴,∴;(2)長方形中,,,,如圖2,連接,過點G做,∵,,∴,∴是等腰直角三角形,∵,∴,∴,∵,∴,∴,在和中,,∴,∴,如圖3,當(dāng)F在點B時,點G在點處,當(dāng)點F在點A時,點G在點處,∵G到的距離始終為1,∴,由旋轉(zhuǎn)可知,且,∴,在中,,即當(dāng)點F從點B運動到點A時,請求出點G運動的路程為4.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的證明和性質(zhì)、勾股定理、角的有關(guān)計算及即一線三角模型的應(yīng)用;解題的關(guān)鍵是通過角的轉(zhuǎn)換證明三角形全等.8.如圖,等腰中,,平分.點為上的動點,連接,將沿折疊得到.(1)若,試求出的長度;(2)若,設(shè)與相交于點.①請求出的度數(shù);②連接,過點作交的延長線于點.若,.試求線段的長.【答案】(1)(2)①;②【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可得出答案;(2)①如圖,連接,先證明是等邊三角形,得出,再利用三角形的外角的性質(zhì)得出即可;②過點作于,于,于,先證明,在中,,得出,設(shè),則,推出,,,再證明,得出,由此構(gòu)建方程即可求解.【詳解】(1)解:∵,平分,,∴,∴.∴的長度為.(2)解:①如圖,連接,∵,平分,∴,,∴,又∵,∴,∴是等邊三角形,∴,∴,由翻折的性質(zhì)可知:,∴,∵平分,∴,∴,∴的度數(shù)為;②如圖,過點作于,于,于,∵平分,,∴,,∴,∴平分,∴,∵,∴,在中,,∴,在中,,∴,設(shè),則,,∵,,∴,∵,∴,在中,,∴,∴,在和中,,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴線段的長為.【點睛】本題屬于幾何變換綜合題,考查等腰三角形的性質(zhì),線段的垂直平分線的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半,角平分線的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),三角形外角的性質(zhì)等知識,本題運用了方程的思想.解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題.9.在等邊三角形中,點D為上一點,連接,將繞D逆時針旋轉(zhuǎn)角度得到,連接,已知,;(1)如圖1,若,,連接,求的長;(2)如圖2,若,分別取的中點H,的中點F,連接,,求證:;(3)如圖3,若,P為上一點,且滿足,連接,將沿著所在直線翻折得到,連接,當(dāng)最大時,直接寫出的面積.【答案】(1);(2)見解析;(3).【分析】(1)解:由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及等邊三角形性質(zhì)可知,可證(SAS),得,由,可得,,根據(jù),可得,從而通過可計算出結(jié)果;(2)延長,使,連接,,則,根據(jù)題意可知,為的中位線,即,類比(1)可證得(SAS),可得,即,由為的中點,可得,,從而可得,即可得結(jié)論;(3)由(1)知,,,,由,則,可得,由,得,作,可得,利用相似三角形得性質(zhì)可列比例式,求得,,,可知點的軌跡為:以為圓心,為半徑的圓,由翻折可知,,而,當(dāng),,在同一直線上時取最大值,即取最大值,此時,,,進而可求得面積.【詳解】(1)解:由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,,∵旋轉(zhuǎn)角,∴是等邊三角形,則,,∵為等邊三角形,∴,,∴,即,∴(SAS),∴,∵,,,∴,,又∵,∴,∴;(2)證明:延長,使,連接,,則,即為的中點,∵為的中點,∴為的中位線,即,旋轉(zhuǎn)角,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知:,∵為的中點,∴,平分,∴,,則,∴為等邊三角形,∴,,又∵為等邊三角形,∴,,∴,即,∴(SAS),∴,即,∵為的中點,∴,,∴∴.(3)由(1)知,,,,∵,則,∴,由,得,作,則:,∴,則,,,即點的軌跡為:以為圓心,為半徑的圓,由翻折可知,,而,當(dāng),,在同一直線上時取最大值,即:取最大值,如圖此時,,,則.【點睛】本題屬于幾何題綜合,考查了全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),翻折的性質(zhì),勾股定理,解直角三角形,添加輔助線構(gòu)造全等三角形及相似相似三角形是關(guān)鍵.10.【母體呈現(xiàn)】人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材56頁第10題,如圖的三角形紙片中,,,.沿過點的直線折疊這個三角形,使點落在邊上的點處,折痕為.求的周長.解:是由折疊而得到
,
的周長為:【知識應(yīng)用】在中,沿過點的直線折疊這個三角形,使點落在邊上的點處,折痕為,過點作的平分線交于點連接.(1)如圖1,若,,求的面積;(2)如圖2,求證平分;【拓展應(yīng)用】如圖3,在中,沿過點的直線折疊這個三角形,使點落在邊上的點處,折痕為,過點作的平分線交于點連接,過點作.(3)若,,,直接寫出長;(4)若,求證.【答案】(1)(2)證明過程見解析(3)(4)證明過程見解析【分析】(1)根據(jù)已知條件可得,從而可以計算得解;(2)過點分別作、、邊的垂線,垂足分別為點、、,利用全等性質(zhì),通過等量代換即可得到,通過角平分線性質(zhì)即可得證;(3)過點分別作、邊的垂線,垂足分別為點、,連接,通過條件可證得,利用關(guān)系即可得解;(4)過點分別作、邊的垂線,垂足分別為點、,連接,通過條件可證得,然后將整理化簡,最后等量代換即可得證.【詳解】(1)解:由題可知,,,,;(2)證明:如圖,過點分別作、、邊的垂線垂足分別為點、、,由題可知,,,,平分,,,,則平分;(3)解:如圖,過點分別作、邊的垂線,垂足分別為點、,連接,由題可知,,,,由(2)可知,,,,即,解得;(4)證明:如圖,過點分別作、邊的垂線,垂足分別為點、,連接,由(2)可知,,,,,,,,四邊形是正方形,,,,,,,,,,,,,,即,【點睛】本題考查了圖形折疊、全等三角形、角平分線性質(zhì),適當(dāng)添加輔助線,采用等量代換的方法是解題關(guān)鍵.11.(1)已知中,,.①如圖1,點M,N均在邊上,,,,連接;請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系②如圖2,點M在邊上,點N在的上方,且,求證:;(2)如圖3,在四邊形中,,平分,若與互余,則的大小為______(用含的式子表示).【答案】(1)①;②詳見解析;(2)【分析】(1)①證明,由全等三角形的性質(zhì)得出,證明,得出,由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論;②如圖2,在上截取,連接,證明,得出,證明,得出,則可得出結(jié)論;(2)如圖3,過點D作于點M,于點N,在上截?。C明,得出,證明,得出,由三角形內(nèi)角和定理可求出答案.【詳解】解:(1)①.∵,,∴,,∵,∴,又∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴,又∵,∴,∴,∴.故答案為:.②如圖,在上截取,連接,∵,,∴,∵,∴,在和中,,∴,∴,,∴,∴,∴,在和中,,∴,∴,∴.(2)如圖,過點作于點,于點,在上截?。咂椒?,∴,∵,∴,∵,,,∴,∴,,∴,∴,∴,∴,故答案為.【點睛】本題屬于三角形綜合題,主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,角平分線的性質(zhì)等知識的綜合運用,解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題,學(xué)會添加輔助線解決問題.12.如圖,在中,半徑弦于點E,連接,,點D為上一點,連接、.(1)如圖1,求證;(2)如圖2,點F為上一點,連接,,若,求證:平分;(3)如圖3,在(2)的條件下,平分,交于點K,連接,設(shè)與交于點H,,,,求的長.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】(1)根據(jù)半徑弦可得,,再根據(jù)圓周角定理可證得,據(jù)此即可證得結(jié)論;(2)首先可證得,可得,再根據(jù)圓周角定理可證得結(jié)論;(3)延長到點P,使,連接,設(shè),,設(shè),設(shè),根據(jù)圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形,可證得,據(jù)此即可證得是等腰三角形,,可證得,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得,即可求得,,,,,過點O作于點L,連接、,可求得,,根據(jù)勾股定理可求得、、及的長.【詳解】(1)證明:半徑弦,,,,;(2)證明:,,,,,,平分;(3)解:如圖:延長到點P,使,連接,,設(shè),,則,,設(shè),,平分,設(shè),四邊形是圓內(nèi)接四邊形,,在與中,,,,,,是等腰三角形,,又,,得,解得,,,,,,過點O作于點L,連接、,,,在中,,,在中,,,,解得,在中,,在中,.【點睛】本題考查了圓周定理,垂徑定理,全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),綜合性很強,作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.13.如圖,四邊形內(nèi)接于,對角線交于點E,連接交于點F,.(1)如圖(1)求證:.(2)如圖(2)若,求證:.(3)如圖(3)在(2)的條件下,作交CD于點G,于點M,若,,求線段OF的長.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】(1)如圖:連接OB,設(shè),根據(jù)圓周角定理可得,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得、;然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得,最后根據(jù)圓周角定理得到即可解答;(2)根據(jù)可得,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和垂直的性質(zhì)可得、,然后由同弧所對的圓周角相等可得,由直角三角形的性質(zhì)可得最后、,進而得到,最后由等邊對等角即可證明結(jié)論;(3)先證明可得,,進而得到EG平分可得,設(shè)設(shè),則,,,進而求得;如圖:過點M作于H,連接,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,最后運用正切函數(shù)和勾股定理即可解答.【詳解】(1)證明:如圖:連接OB,設(shè),∵,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴.(2)解:∵,∴,在中,,∴,∴,∴,∵,∴,在中,,在中,,,∴,∴,∴.(3)解:如圖:過點M作于H,連接∵,∴垂直平分,∴,在中,EM為斜邊中線,∴,在和中,,∴(SSS),∴,,∵,∴,∵,∴,∴,∴,∴EG平分,∴點G到、的距離相等,∴,∵,∴,設(shè),則,∴,,∴,∴,∵等腰,∴,在中,勾股定理得,∴,∴,∴,∴,∴,在中,,∴,在中,,在中,,∴,∴,在中,勾股定理得,∴,,,∴,在中,,∴.【點睛】本題主要考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正切函數(shù)等知識點,考查知識點較多,綜合運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵.14.在四邊形中,,;(1)如圖1,已知,求得的大小為___________;(2)已知,,在(1)的條件下,利用圖1,連接,并求出的長度;(3)問題解決:如圖2,已知,,現(xiàn)需要截取某種四邊形的材料板,這個材料板的形狀恰巧符合如圖2所示的四邊形,為了盡可能節(jié)約,你能求出這種四邊形面積的最小值嗎?如果能,請求出此時四邊形面積的最小值;如果不能,請說明理由.【答案】(1);(2)5;(3)能,四邊形面積的最小值為.【分析】(1)根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為,即可求出的大?。唬?)將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,,,,,,易證是等邊三角形,得到,再證明,利用勾股定理即可得到答案;(3)將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,作的外接圓,連接,與交于點K,根據(jù)可知,當(dāng)面積最大時,四邊形的面積最小,求出面積的最大值即可得到答案.【詳解】(1)解:四邊形的內(nèi)角和為,,,,,故答案為:;(2)解:如圖①,將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,,,,,,是等邊三角形,,,,,;圖①(3)解:能,如圖②,將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,作的外接圓,連接,與交于點K,
圖②由(2)可知是等邊三角形,,當(dāng)面積最大時,四邊形的面積最小,,,,,,,點A在定圓上運動,當(dāng)O、A、B共線時,的面積最大,此時,,,,在上取一點F,使得,,,是等腰直角三角形,設(shè),則,,,解得,,的面積最大值為,在中,,,四邊形的面積的最小值為.【點睛】本題考查了四邊形綜合題,等邊三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,垂徑定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識,解題關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線,構(gòu)造直角三角形解決問題,學(xué)會利用輔助圓解決最值問題,屬于中考壓軸題.15.問題探究:(1)如圖(1),在中,,,點為邊上的一動點,以為邊在右側(cè)作,且,,連.若,求的長;(2)如圖(2),邊長為4的等邊,點為邊上的一動點,以為邊在右側(cè)作,連接,則__________;__________;的周長最小值是__________.問題解決:(3)如圖3,四邊形中,,,,,點分別為邊,上的動點,且,是否存在點,使得四邊形面積最大且的周長最???若存在,求出四邊形面積最大值和的周長最小值;若不存在,請說明理由.【答案】(1)的長為(2),4,(3)存在點,使得四邊形面積最大且的周長最小,當(dāng)點與點重合時,使得四邊形面積最大且的周長最小,此時四邊形面積為,的周長為【分析】(1)由得,通過證明,得到,從而得到,最后用勾股定理,計算即可得到答案;(2)由、為等邊三角形,可證明出,從而得到,即可求出,由的周長,當(dāng)時,最小,此時的周長也最小,計算即可得到答案;(3)延長交于點,根據(jù)含有角的直角三角形的性質(zhì),可求出的長,令,則,從而可以表示出四邊形面積,求出使四邊形面積最大時的的值,作,交的延長線于,根據(jù)勾股定理,表示出的長,從而表示出的周長,求出使的周長最小的的值,看兩個值是否相等,即可得到答案.【詳解】(1)解:,,,,在和中,,,,,,,,的長為;(2)解:、為等邊三角形,,,,在和中,,,,,,的周長,當(dāng)時,最小,,為的中點,,,周長的最小值,故答案為:,4,;(3)解:如圖,延長交于點,,,,,,,,,,,在中,,設(shè),,,,,解得:,(舍),,,令,,,,,,,,隨的增大而增大,,當(dāng)時,最大,為,如圖所示,作,交的延長線于,,,,,,的周長,,,,當(dāng)時,的周長最小為,因此存在點,使得四邊形面積最大且的周長最小,當(dāng)點與點重合時,使得四邊形面積最大且的周長最小,此時四邊形面積為,的周長為.【點睛】本題是三角形的綜合題,主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),勾股定理,銳角三角函數(shù)等知識點,解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì),作出恰當(dāng)?shù)妮o助線.16.如圖1,已知,在中,,,,點D在AB上且,點P,Q分別從點D,B出發(fā)沿線段,向終點B,C勻速移動,P,Q兩點同時出發(fā),同時到達終點.設(shè),.(1)求的值.(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式.(3)如圖2,過點P作于點E,連接,.①當(dāng)為等腰三角形時,求x的值.②過D作于點F,作點F關(guān)于的對稱點,當(dāng)點落在的內(nèi)部(不包括邊界)時,則x的取值范圍為___________.【答案】(1)(2)(3)①或或;②【分析】(1)求出的長,進一步求得結(jié)果;(2)先表示出的長,進而求得結(jié)果;(3)先表示出和的長,進而根據(jù)列出方程,從而求得結(jié)果.【詳解】(1)解:,,;(2)由題意得:,,,,;(3)①如圖1,作于G,在中,,,,,,在中,,,,,當(dāng)時,,化簡得:,解得:(舍去),當(dāng)時,,化簡得:,解得:(舍去),當(dāng)時,,綜上所述:或或;②,,由(2)得:,,當(dāng),且時,點在的內(nèi)部,此時,,,又,.【點睛】本題考查了等腰三角形的分類,勾股定理,一次函數(shù),解直角三角形,軸對稱,解題的關(guān)鍵是具備較強的計算能力.17.問題提出
如圖1,點E為等腰內(nèi)一點,,,將繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,求證:.嘗試應(yīng)用
如圖2,點D為等腰外一點,,,過點A的直線分別交的延長線和的延長線于點N,M,求證:.問題拓展
如圖3,中,,點D,E分別在邊,
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