專題08勾股定理的應用(原卷版+解析)

專題08勾股定理的應用知識導航知識導航必備知識點勾股定理的應用題型精煉在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．

（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用．

（3）常見的類型：題型精煉①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．

②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．

③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數(shù)學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．

④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊． 一．選擇題（共10小題）1．如圖，某社會實踐學習小組為測量學校A與河對岸江景房B之間的距離，在學校附近選一點C，利用測量儀器測得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝300米．由此可求得學校與江景房之間的距離AB等于（）A．150米 B．600米 C．800米 D．1200米2．七年級手工小組用彩帶給如圖所示的圖片制作邊框，已知AB＝5，BC＝12，則制作一個邊框需要彩帶的長度是（）A．5 B．12 C．13 D．303．如圖，要從電線桿離地面3.6m處向地面拉一條長為4.5m的鋼纜，則地面鋼纜固定點A到電線桿底部點B的距離是（）A．2m B．2.2m C．2.4m D．2.7m4．在科學小實驗中，一個邊長為30cm正方體小木塊沿著一個斜面下滑，其軸截面如圖所示．初始狀態(tài)，正方形的一個頂點與斜坡上的點P重合，點P的高度PF＝40cm，離斜坡底端的水平距離EF＝80cm，正方形下滑后，點B的對應點B′與初始狀態(tài)的頂點A的高度相同，則正方形下滑的距離（即AA'的長度）是（）cm．A．40 B．60 C．30 D．405．近年來，作為規(guī)模較小的城市綠色敞開空間，口袋公園改善了城市生態(tài)環(huán)境，方便了市民健身休閑．如圖，某口袋公園內有兩條互相垂直的道路OA，OB，若OA長40m，OB長20m，當小明從A點沿公園內小路（圖中箭頭所示路線）走到B點時，小明所走的路程可能是（）A．35m B．42m C．44m D．52m6．如圖，長為16cm的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升6cm至D點，則橡皮筋被拉長了（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm7．如圖是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸（單位：mm），計算兩圓孔中心A和B的距離為（）A．80mm B．100mm C．120mm D．150mm8．為了測量學校的景觀池的長AB，在BA的延長線上取一點C，使得AC＝5米，在點C正上方找一點D（即DC⊥BC），測得∠CDB＝60°，∠ADC＝30°，則景觀池的長AB為（）A．5米 B．6米 C．8米 D．10米9．如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內部底面直徑是9cm，內壁高12cm．若這支鉛筆長為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm10．國慶假期間，妍妍與同學去玩尋寶游戲，按照藏寶圖，她從門口A處出發(fā)先往東走9km，又往北走3km，遇到障礙后又往西走7km，再向北走2km，再往東走了4km，發(fā)現(xiàn)走錯了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了寶藏，則門口A到藏寶點B的直線距離是（）A．3km B．10km C．6km D．km二．填空題（共5小題）11．如圖，一架秋千靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝0.5m，將它往前推送1.5m（水平距離BC＝1.5m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝1m，秋千的繩索始終拉直，則繩索AD的長是m．12．如圖，AB、BC、CD、DE是四根長度均為5cm的火柴棒，點A、C、E共線．若AC＝6cm，CD⊥BC，則線段CE的長度是cm．13．圖1是某個零件橫截面的示意圖，已知AB＝CD，∠B＝∠C，為了求出BC的長度，小王將寬度為2cm的直尺按圖2、圖3、圖4的三種方式擺放，所測得的具體數(shù)據(jù)（單位：cm）如圖所示，則AB＝cm，BC＝cm．14．圖1是一款平衡蕩板器材，示意圖如圖2，A，D為支架頂點，支撐點B，C，E，F(xiàn)在水平地面同一直線上，G，H為蕩板上固定的點，GH∥BF，測量得AG＝GH＝DH，Q為DF上一點且離地面1m，旋轉過程中，AG始終與DH保持平行．如圖3，當旋轉至A，Q，H在同一直線上時，連結G′Q，測得G′Q＝1.6m，∠DQG′＝90°，此時蕩板G′H′距離地面0.6m，則點D離地面的距離為m．15．如圖，某風景區(qū)的沿湖公路AB＝3千米，BC＝4千米，CD＝12千米，AD＝13千米，其中AB⊥BC，圖中陰影是草地，其余是水面．那么乘游艇游點C出發(fā)，行進速度為每小時11千米，到達對岸AD最少要用小時．三．解答題（共5小題）16．如圖，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一機器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點O，機器人立即從點B出發(fā)，沿直線勻速前進攔截小球，恰好在點C處截住了小球．如果小球滾動的路程與機器人行走的路程相等，那么機器人行走的路程BC是多少？17．今年第6號臺風“煙花”登錄我國沿海地區(qū)，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一海港，在A處測得C港在北偏東45°方向上，在B處測得C港在北偏西60°方向上，且AB＝400+400千米，以臺風中心為圓心，周圍600千米以內為受影響區(qū)域．（1）海港C受臺風影響嗎？為什么？（2）若臺風中心的移動速度為20千米/時，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)≈1.41，≈1.73，≈2.24）18．某校預建如圖1所示自行車棚，鋼架已完成，現(xiàn)需要棚頂覆蓋鐵皮，圖2是自行車棚頂?shù)氖疽鈭D．已知AD＝BD，CD⊥AB，棚寬AB＝6米，棚高CD＝1.6米，棚長BE＝20米，學校打算在校園的不同角落修建一模一樣的車棚5個．（1）求一個車棚頂需要的鐵皮面積（車棚頂鐵皮褶皺忽略不計，車棚最頂端梁脊不用鐵皮）；（2）某加工廠承包了生產棚頂鐵皮任務，在加工過程中由于學校有檢查，要求比原定的工期提前1天完成，為此加工廠將工作效率提高了20%，因此，在學校規(guī)定的時間內完成任務．求加工廠與學校原定用幾天完成車棚頂鐵皮的生產任務．19．在我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面．請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各為多少？20．如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝30°，在A處有一所中學，AP＝120米，此時有一輛消防車在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行駛，假設消防車行駛時周圍100米以內有噪音影響．（1）學校是否會受到影響？請說明理由．（2）如果受到影響，則影響時間是多長？專題08勾股定理的應用知識導航知識導航必備知識點勾股定理的應用題型精煉在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．

（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用．

（3）常見的類型：題型精煉①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．

②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．

③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數(shù)學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．

④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．一．選擇題1．如圖，某社會實踐學習小組為測量學校A與河對岸江景房B之間的距離，在學校附近選一點C，利用測量儀器測得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝300米．由此可求得學校與江景房之間的距離AB等于（）A．150米 B．600米 C．800米 D．1200米【分析】直接利用直角三角形的性質得出∠B度數(shù)，進而利用直角三角形中30°所對直角邊是斜邊的一半，即可得出答案．【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝300米，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝600（米）．故選：B．【點評】此題主要考查了直角三角形的性質，正確掌握邊角關系是解題關鍵．2．七年級手工小組用彩帶給如圖所示的圖片制作邊框，已知AB＝5，BC＝12，則制作一個邊框需要彩帶的長度是（）A．5 B．12 C．13 D．30【分析】根據(jù)勾股定理得到AC的長，然后確定△ABC的周長即可得到結論．【解答】解：∵AC＝＝＝13，∴制作一個邊框需要彩帶的長度是AB+AC+BC＝5+13+12＝30，故選：D．【點評】本題考查了勾股定理，三角形的周長的計算，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．3．如圖，要從電線桿離地面3.6m處向地面拉一條長為4.5m的鋼纜，則地面鋼纜固定點A到電線桿底部點B的距離是（）A．2m B．2.2m C．2.4m D．2.7m【分析】根據(jù)勾股定理求出即可．【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝2.7（m），故選：D．【點評】本題考查了勾股定理的應用，能熟記勾股定理的內容是解此題的關鍵．4．在科學小實驗中，一個邊長為30cm正方體小木塊沿著一個斜面下滑，其軸截面如圖所示．初始狀態(tài)，正方形的一個頂點與斜坡上的點P重合，點P的高度PF＝40cm，離斜坡底端的水平距離EF＝80cm，正方形下滑后，點B的對應點B′與初始狀態(tài)的頂點A的高度相同，則正方形下滑的距離（即AA'的長度）是（）cm．A．40 B．60 C．30 D．40【分析】由點B的對應點B′與初始狀態(tài)的頂點A的高度相同可知點B′與點A在同一水平線上，想到連結AB′構造相似三角形，再根據(jù)相似三角形的性質求出AA′的長．【解答】解：如圖，連結AB′，∵點B′與點A的高度相同，∴AB′∥EF，∴∠A′AB′＝∠FEP，由題意得∠B′A′A＝∠PFE＝90°，B′A′＝30cm，PF＝40cm，EF＝80cm，∴△B′A′A∽△PFE，∴∴AA′＝＝＝60（cm），故選：B．【點評】此題重點考查相似三角形的判定與性質、解直角三角形等知識與方法，解題的關鍵是通過作輔助線構造相似三角形．5．近年來，作為規(guī)模較小的城市綠色敞開空間，口袋公園改善了城市生態(tài)環(huán)境，方便了市民健身休閑．如圖，某口袋公園內有兩條互相垂直的道路OA，OB，若OA長40m，OB長20m，當小明從A點沿公園內小路（圖中箭頭所示路線）走到B點時，小明所走的路程可能是（）A．35m B．42m C．44m D．52m【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結論．【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵OA＝40m，OB＝20m，∴AB＝＝＝20（m），故選：D．【點評】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．6．如圖，長為16cm的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升6cm至D點，則橡皮筋被拉長了（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】據(jù)勾股定理，可求出AD、BD的長，則AD+BD﹣AB即為橡皮筋拉長的距離．【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝8cm，CD＝6cm；根據(jù)勾股定理，得：AD＝＝10（cm）；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣16＝4（cm）；故橡皮筋被拉長了4cm．故選：A．【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質以及勾股定理的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．7．如圖是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸（單位：mm），計算兩圓孔中心A和B的距離為（）A．80mm B．100mm C．120mm D．150mm【分析】根據(jù)勾股定理：AC2+BC2＝AB2，即可求得．【解答】解：如圖，分別過點A、點B作AC⊥BC于C，在Rt△ABC中，∵AC＝150﹣60＝90，BC＝180﹣60＝120，∴AB＝＝150（mm），∴兩圓孔中心A和B的距離為150mm．故選：D．【點評】此題主要考查勾股定理在實際中的應用，首先正確從圖中找到所需要的數(shù)量關系，然后利用公式即可解決問題．8．為了測量學校的景觀池的長AB，在BA的延長線上取一點C，使得AC＝5米，在點C正上方找一點D（即DC⊥BC），測得∠CDB＝60°，∠ADC＝30°，則景觀池的長AB為（）A．5米 B．6米 C．8米 D．10米【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質得出DC，進而利用含30°角的直角三角形的性質BC，進而解答即可．【解答】解：∵DC⊥BC，∠ADC＝30°，AC＝5米，∴CD＝AC＝5（米），∵∠CDB＝60°，∴BC＝DC＝（米），∴AB＝BC﹣AC＝15﹣5＝10（米），故選：D．【點評】此題考查含30°角的直角三角形的性質，關鍵是根據(jù)含30°角的直角三角形的性質得出DC解答．9．如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內部底面直徑是9cm，內壁高12cm．若這支鉛筆長為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理計算出AC的長度．然后求其差．【解答】解：根據(jù)題意可得圖形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．則這只鉛筆在筆筒外面部分長度在3cm～6cm之間．觀察選項，只有選項D符合題意．故選：D．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，正確得出筆筒內鉛筆的最短長度是解決問題的關鍵．10．國慶假期間，妍妍與同學去玩尋寶游戲，按照藏寶圖，她從門口A處出發(fā)先往東走9km，又往北走3km，遇到障礙后又往西走7km，再向北走2km，再往東走了4km，發(fā)現(xiàn)走錯了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了寶藏，則門口A到藏寶點B的直線距離是（）A．3km B．10km C．6km D．km【分析】根據(jù)題意先求A、B兩地的水平距離和豎直距離，運用勾股定理求AB的長．【解答】解：過點B作BC⊥AC，垂足為C．觀察圖形可知AC＝9﹣7+4﹣1＝5（km），BC＝3+2+1＝6（km），在Rt△ACB中，AB＝（km）．答：門口A到藏寶點B的直線距離是km，故選：D．【點評】本題考查了矩形的性質以及勾股定理的應用，解題的關鍵是結合圖形，讀懂題意，根據(jù)題意找到需要的數(shù)量關系，運用勾股定理求線段的長度．二．填空題11．如圖，一架秋千靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝0.5m，將它往前推送1.5m（水平距離BC＝1.5m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝1m，秋千的繩索始終拉直，則繩索AD的長是2.5m．【分析】設繩索AD的長為xm，則AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣0.5）m，再由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，∴四邊形BCEF是矩形，△ACB是直角三角形，∴CE＝BF＝1m，∴CD＝CE﹣DE＝1﹣0.5＝0.5（m），設繩索AD的長為xm，則AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣0.5）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即（x﹣0.5）2+1.52＝x2，解得：x＝2.5（m），即繩索AD的長是2.5m，故答案為：2.5．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，正確理解題意，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．12．如圖，AB、BC、CD、DE是四根長度均為5cm的火柴棒，點A、C、E共線．若AC＝6cm，CD⊥BC，則線段CE的長度是8cm．【分析】作BG⊥AC，DH⊥CE，垂足分別為G、H，利用AAS證明△BCG≌△CDH得到BG＝CH，利用勾股定理及等腰三角形的性質求出BG＝4，再根據(jù)等腰三角形的性質即可得出答案．【解答】解：作BG⊥AC，DH⊥CE，垂足分別為G、H，∴∠BGC＝∠DHC＝90°，∴∠BCG+∠CBG＝90°，∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠BCG+∠DCH＝90°，∴∠CBG＝∠DCH，在△BCG和△CDH中，，∴△BCG≌△CDH（AAS），∴BG＝CH，∵AB＝BC，BG⊥AC，AC＝6，∴CG＝AC＝3，∴BM＝CN，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG＝＝＝4，∴CH＝4，∵CD＝DE，DH⊥CE，∴CH＝EH，∴CE＝CH+EH＝8，故答案為：8．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質，勾股定理，正確作出輔助線，證得△BCM≌△CDN是解決問題的關鍵．13．圖1是某個零件橫截面的示意圖，已知AB＝CD，∠B＝∠C，為了求出BC的長度，小王將寬度為2cm的直尺按圖2、圖3、圖4的三種方式擺放，所測得的具體數(shù)據(jù)（單位：cm）如圖所示，則AB＝cm，BC＝（6+）cm．【分析】如圖1，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，在AB上截取AG＝6cm，過點G作GH⊥AB交BC于H，先證明△BHG∽△BAE，可得＝，設BG＝xcm，則AB＝（x+6）cm，GH＝2cm，可求得BE＝3xcm，在Rt△ABE中，BE2+AE2＝AB2，建立方程可求得x＝，從而求得AB＝（cm），CF＝（cm），如圖2，DF⊥BC于F，MN⊥DN交AB于M，過點M作MK⊥BC于K，由勾股定理可得FN＝2（cm），再通過△DNF∽△NMK，即可求得答案．【解答】解：如圖1，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，在AB上截取AG＝6cm，過點G作GH⊥AB交BC于H，則∠AEB＝∠DFC＝90°，DF＝6cm，∵AB＝CD，∠B＝∠C，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF＝6cm，BE＝CF，∵∠BGH＝90°，∴∠BGH＝∠AEB，∵∠HBG＝∠ABE，∴△BHG∽△BAE，∴＝，設BG＝xcm，則AB＝（x+6）cm，∵GH＝2cm，∴＝，∴BE＝3xcm，在Rt△ABE中，BE2+AE2＝AB2，∴（3x）2+62＝（x+6）2，解得：x＝0（舍去）或x＝，∴AB＝AG+BG＝6+＝（cm），CF＝BE＝3×＝（cm），如圖2，DF⊥BC于F，MN⊥DN交AB于M，過點M作MK⊥BC于K，DF＝6，DN＝8，MN＝2，則∠DFN＝∠DNM＝∠MKN＝∠MKB＝90°，∴FN＝＝＝2（cm），∵∠DNF+∠MNK＝90°，∠DNF+∠NDF＝90°，∴∠MNK＝∠NDF，∴△DNF∽△NMK，∴＝＝，∴＝＝，∴MK＝cm，NK＝cm，∵∠B＝∠C，∠BKM＝∠CFD＝90°，∴△BMK∽△CDF，∴＝，∴＝，∴BK＝cm，∴BC＝BK+NK+FN+CF＝++2+＝（6+）cm，故答案為：，6+．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，添加輔助線構造全等三角形和相似三角形是解題關鍵．14．圖1是一款平衡蕩板器材，示意圖如圖2，A，D為支架頂點，支撐點B，C，E，F(xiàn)在水平地面同一直線上，G，H為蕩板上固定的點，GH∥BF，測量得AG＝GH＝DH，Q為DF上一點且離地面1m，旋轉過程中，AG始終與DH保持平行．如圖3，當旋轉至A，Q，H在同一直線上時，連結G′Q，測得G′Q＝1.6m，∠DQG′＝90°，此時蕩板G′H′距離地面0.6m，則點D離地面的距離為（+1）m．【分析】先根據(jù)判斷AG＝GH＝DH判斷AH'垂直平分DG'，再證明△DMQ≌△QNG'，從而得MQ＝G'N，再在△G'NQ中用勾股定理求出G'N，即可求得點D離地面的距離．【解答】解：如圖，過Q作G'H'的垂線交G'H'于N，交AD延長線于M，連接AH'，連接DG'，由圖2得：AD＝GH，∵AG＝GH＝DH，∴AD＝AG'，G'H'＝DH'，∴AH'垂直平分DG'，∵A，Q，H'在同一直線上，∴G'Q＝DQ，∵∠DQG′＝90°，∴∠G'QN+∠DQM＝90°，∵∠DQM+∠QDM＝90°，∴∠G'QN＝∠QDM，∴△DMQ≌△QNG'（AAS），∴MQ＝G'N，∵Q為DF上一點且離地面1m，此時蕩板G′H′距離地面0.6m，∴QN＝1﹣0.6＝0.4m，∴G'N＝＝m，∴MQ＝m，∴點D離地面的距離為（+1）m．故答案為：（+1）m．【點評】本題主要考查了垂直平分線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理，讀懂題意證明出AH垂直平分DG'是本題的關鍵．15．如圖，某風景區(qū)的沿湖公路AB＝3千米，BC＝4千米，CD＝12千米，AD＝13千米，其中AB⊥BC，圖中陰影是草地，其余是水面．那么乘游艇游點C出發(fā)，行進速度為每小時11千米，到達對岸AD最少要用0.4小時．【分析】連接AC，在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根據(jù)AC，CD，AD的長度符合勾股定理確定AC⊥CD，則可計算△ACD的面積，又因為△ACD的面積可以根據(jù)AD邊和AD邊上的高求得，故根據(jù)△ACD的面積可以求得C到AD的最短距離，即△ACD中AD邊上的高．【解答】解：連接AC，在直角△ABC中，AB＝3km，BC＝4km，則AC＝＝5km，∵CD＝12km，AD＝13km，故存在AD2＝AC2+CD2∴△ACD為直角三角形，且∠ACD＝90°，∴△ACD的面積為×AC×CD＝30km2，∵AD＝13km，∴AD邊上的高，即C到AD的最短距離為＝km，游艇的速度為11＝km/小時，需要時間為×小時＝0.4小時．故答案為0.4．【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的應用，考查了直角三角形面積計算公式，本題中證明△ACD是直角三角形是解題的關鍵．三．解答題（共5小題）16．如圖，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一機器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點O，機器人立即從點B出發(fā)，沿直線勻速前進攔截小球，恰好在點C處截住了小球．如果小球滾動的路程與機器人行走的路程相等，那么機器人行走的路程BC是多少？【分析】根據(jù)小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，得到BC＝AC，設BC＝AC＝xm，根據(jù)勾股定理求出x的值即可．【解答】解：∵小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，∴BC＝AC，設BC＝AC＝xm，則OC＝（8﹣x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2＝BC2，∴32+（8﹣x）2＝x2，解得x＝．∴機器人行走的路程BC為m．【點評】本題考查的是勾股定理的應用，熟知在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用．17．今年第6號臺風“煙花”登錄我國沿海地區(qū)，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一海港，在A處測得C港在北偏東45°方向上，在B處測得C港在北偏西60°方向上，且AB＝400+400千米，以臺風中心為圓心，周圍600千米以內為受影響區(qū)域．（1）海港C受臺風影響嗎？為什么？（2）若臺風中心的移動速度為20千米/時，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)≈1.41，≈1.73，≈2.24）【分析】（1）利用三角形面積得出CD的長，進而得出海港C是否受臺風影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進而得出臺風影響該海港持續(xù)的時間．【解答】解：（1）海港C受臺風影響，理由：過C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠CAD＝45°，∴∠ACD＝45°，∴AD＝CD，∵∠DBC＝30°，∴BD＝CD，∵AB＝（400+400）千米，∴AB＝AD+BD＝CD+CD＝400+400，∴CD＝400千米，∵以臺風中心為圓心，周圍600千米以內為受影響區(qū)域，∴海港C受臺風影響；（2）當EC＝600km，F(xiàn)C＝600km時，正好影響C港口，∵ED＝＝200（km），∴EF＝400km，∵臺風的速度為20千米/小時，∴400÷20≈45（小時）．答：臺風影響該海港持續(xù)的時間大約為45小時．【點評】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直角三角形，再利用勾股定理解答．18．某校預建如圖1所示自行車棚，鋼架已完成，現(xiàn)需要棚頂覆蓋鐵皮，圖2是自行車棚頂?shù)氖疽鈭D．已知AD＝BD，CD⊥AB，棚寬AB＝6米，棚高CD＝1.6米，棚長BE＝20米，學校打算在校園的不同角落修建一模一樣的車棚5個．（1）求一個車棚頂需要的鐵皮面積（車棚頂鐵皮褶皺忽略不計，車棚最頂端梁脊不用鐵皮）；（2）某加工廠承包了生產棚頂鐵皮任務，在加工過程中由于學校有檢查，要求比原定的工期提前1天完成，為此加工廠將工作效率提高了20%，因此，在學校規(guī)定的時間內完成任務．求加工廠與學校原定用幾天完成車棚頂鐵皮的生產任務．【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得答案；（2）設工程隊原計劃用x天完成車棚頂鐵皮的生產任務，根據(jù)工作效率提高了20%即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論．【解答】解：（1）∵AD＝BD，CD⊥AB，棚寬AB＝6米，∴BC＝AB＝3（米），∴BD＝＝＝（米），∴2××20＝136（平方米），答：一個車棚頂需要的鐵皮面積為136平方米；（2）設工程隊原計劃用x