第3章《整式及其加減》（原卷版）

20222023學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級上冊章節(jié)考點精講精練第3章《整式及其加減》知識互聯(lián)網(wǎng)知識互聯(lián)網(wǎng)知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航知識點01:代數(shù)式諸如：16n，2a+3b，34，，等式子，它們都是用運(yùn)算符號(＋、－、×、÷、乘方、開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接而成的，像這樣的式子叫做代數(shù)式，單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式．細(xì)節(jié)剖析：代數(shù)式的書寫規(guī)范：（1）字母與數(shù)字或字母與字母相乘時，通常把乘號寫成“·”或省略不寫；（2）除法運(yùn)算一般以分?jǐn)?shù)的形式表示；（3）字母與數(shù)字相乘時，通常把數(shù)字寫在字母的前面；（4）字母前面的數(shù)字是分?jǐn)?shù)的，如果既能寫成帶分?jǐn)?shù)又能寫成假分?jǐn)?shù)，一般寫成假分?jǐn)?shù)的形式；（5）如果字母前面的數(shù)字是1，通常省略不寫．知識點02:整式的相關(guān)概念1．單項式：由數(shù)字或字母的積組成的代數(shù)式叫做單項式，單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也是單項式．細(xì)節(jié)剖析：（1）單項式的系數(shù)是指單項式中的數(shù)字因數(shù)．（2）單項式的次數(shù)是指單項式中所有字母的指數(shù)和．2．多項式：幾個單項式的和叫做多項式．在多項式中，每個單項式叫做多項式的項．細(xì)節(jié)剖析：（1）在多項式中，不含字母的項叫做常數(shù)項．（2）多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)．（3）多項式的次數(shù)是n次，有m個單項式，我們就把這個多項式稱為n次m項式．3.多項式的降冪與升冪排列：

把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母降冪排列．另外，把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母升冪排列．細(xì)節(jié)剖析：（1）利用加法交換律重新排列時，各項應(yīng)帶著它的符號一起移動位置；

（2）含有多個字母時，只按給定的字母進(jìn)行降冪或升冪排列．4．整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式．知識點03:整式的加減1．同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項．所有的常數(shù)項都是同類項．細(xì)節(jié)剖析：辨別同類項要把準(zhǔn)“兩相同，兩無關(guān)”：（1）“兩相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指數(shù)相同；（2）“兩無關(guān)”是指：①與系數(shù)無關(guān)；②與字母的排列順序無關(guān)．2．合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項．細(xì)節(jié)剖析：合并同類項時，只是系數(shù)相加減，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母的指數(shù)保持不變．3．去括號法則：括號前面是“+”，把括號和它前面的“+”去掉后，原括號里各項的符號都不改變；括號前面是“”，把括號和它前面的“”號去掉后，原括號里各項的符號都要改變．4．添括號法則：添括號后，括號前面是“+”，括號內(nèi)各項的符號都不改變；添括號后，括號前面是“”，括號內(nèi)各項的符號都要改變．5．整式的加減運(yùn)算法則：幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加、減號連接，然后去括號，合并同類項．知識點04:探索與表達(dá)規(guī)律尋找規(guī)律并用字母表示這一規(guī)律體現(xiàn)了從特殊到一般和歸納、猜想的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.解題中應(yīng)注意先從特殊的結(jié)果尋找規(guī)律，再用字母表示，最后加以驗證.考點提優(yōu)練考點提優(yōu)練考點01：代數(shù)式求值1．（2022?朝陽區(qū)校級模擬）下列說法正確的是（）A．2m表示m和m相乘 B．2m的值一定比m的值大 C．2m的值一定比2大 D．2m的值隨m的增大而增大2．（2021秋?肥西縣月考）已知，當(dāng)x＝1時，代數(shù)式ax2﹣bx+4的值是6；當(dāng)x＝﹣1時，代數(shù)式ax2﹣bx+4的值是3，代數(shù)式a﹣2b的值是（）A．﹣2 B． C．2 D．3．（2022?六盤水）已知（x+y）4＝a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4，則a1+a2+a3+a4+a5的值是（）A．4 B．8 C．16 D．324．（2022春?市南區(qū)期末）如圖，有兩張正方形紙片A和B，圖1將B放置在A內(nèi)部，測得陰影部分面積為2，圖2將正方形A、B并列放置后構(gòu)造新正方形，測得陰影部分面積為20，若將3個正方形A和2個正方形B并列放置后構(gòu)造如圖3的新正方形，（圖2，圖3中正方形A、B紙片均無重疊部分）則圖3中陰影部分的面積．5．（2022?余姚市一模）已知x2﹣2x＝3，則3x2﹣6x﹣4的值為．6．（2021秋?鎮(zhèn)平縣校級期末）下面是一個簡單的數(shù)值運(yùn)算程序，當(dāng)首先輸入a＝﹣2時，計算出正數(shù)為止，那么輸出的結(jié)果是．考點02：整式7．（2021秋?任城區(qū)校級期末）下列式子：x+3，+5，，0，，﹣5x，x+0，c＝ab中，整式的個數(shù)是（）A．6 B．5 C．.4 D．.38．（2021?錦江區(qū)校級開學(xué)）下列代數(shù)式：﹣，，﹣π，﹣5x2y3，，，﹣x，其中整式有個．9．（2015秋?昌江縣校級月考）整式：和統(tǒng)稱為整式．10．（2021秋?新晃縣期中）下列代數(shù)式：①﹣mn，②m，③，④，⑤2m+1，⑥，⑦，⑧x2+2x+中，整式共有個．11．（2019秋?三臺縣期末）把幾個數(shù)或整式用大括號括起來，中間用逗號分開，如{﹣3，6，12}，{x，xy2，﹣2x+1}，我們稱之為集合，其中大括號內(nèi)的數(shù)或整式稱為集合的元素．定義如果一個集合滿足：只要其中有一個元素x使得﹣2x+1也是這個集合的元素，這樣的集合稱為關(guān)聯(lián)集合，元素﹣2x+1稱為條件元素．例如：集合{﹣1，1，0}中元素1使得﹣2×1+1＝﹣1，﹣1也恰好是這個集合的元素，所以集合{﹣1，1，0}是關(guān)聯(lián)集合，元素﹣1稱為條件元素．又如集合滿足﹣2×是關(guān)聯(lián)集合，元素稱為條件元素．（1）試說明：集合是關(guān)聯(lián)集合．（2）若集合{xy﹣y2，A}是關(guān)聯(lián)集合，其中A是條件元素，試求A．12．（2021春?海陵區(qū)校級月考）已知分式，請在下列分式中選擇一個，并選擇一種運(yùn)算，使它們的運(yùn)算結(jié)果為整式．①；②．（1）我選擇（填序號）；（2）列式并計算．13．（2021秋?句容市期末）如果單項式xa+by3與5x2yb的和仍是單項式，則a﹣b的值為．考點03：整式的加減14．（2021秋?臺江區(qū)校級期末）已知代數(shù)式M＝2x2+7x﹣3，N＝x2+7x﹣4，則無論x取何值，它們的大小關(guān)系是（）A．M＝N B．M＞N C．M＜N D．M，N的大小關(guān)系與x的取值有關(guān)15．（2022春?南崗區(qū)校級期中）若A是一個四次多項式，B是一個三次多項式，則A﹣B是（）A．七次多項式 B．七次整式 C．四次多項式 D．四次整式16．（2022?張店區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，點E在AB上，點M、N在BC上，若AE＝4，MN＝3，CN＝2，則圖中右上角陰影部分的周長與左下角陰影部分的周長的差為（）A．5 B．6 C．7 D．817．（2022春?高郵市期末）現(xiàn)有兩個邊長為b的小正方形ABCD、EFGH和一個邊長為a的大正方形，如圖1，小明將兩個邊長為b的小正方形ABCD、EFGH有部分重疊的放在邊長為a的大正方形內(nèi)；如圖2，小彤將一個邊長為b的小正方形放在邊長為a的大正方形外．若圖1中長方形AFGD的面積為80，重疊部分的長方形BCHE的面積為48，則圖2中陰影部分的面積為．18．（2022春?南岸區(qū)期末）（1）如圖，整個圖形是邊長為a+b的正方形，其中陰影部分是邊長為a﹣b的正方形，請根據(jù)圖形，猜想（a+b）2與（a﹣b）2存在的等量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）根據(jù)（1）中得出的結(jié)論，解決下列問題：甲、乙兩位司機(jī)在同一加油站兩次加油，兩次油價有變化，兩位司機(jī)采用不同的加油方式．其中，甲每次都加40l油，乙每次加油費(fèi)都為300元．設(shè)兩次加油時，油價分別為m元/l，n元/l（m＞0，n＞0，且m≠n）．①求甲、乙兩次所購的油的平均單價各是多少？②通過計算說明，甲、乙哪一個兩次加油的平均油價比較低？19．（2022?路北區(qū)二模）在化簡3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）◆2mn題目中：◆表示+，﹣，×，÷四個運(yùn)算符號中的某一個．（1）若◆表示“﹣”，請化簡3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）﹣2mn；（2）當(dāng)m＝﹣2，n＝1時，3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）◆2mn的值為12，請推算出◆所表示的符號．20．（2022?沙坪壩區(qū)校級一模）一個四位數(shù)m＝1000a+100b+10c+d（其中1≤a，b，c，d≤9，且均為整數(shù)），若a+b＝k（c﹣d），且k為整數(shù)，稱m為“k型數(shù)”．例如，4675：4+6＝5×（7﹣5），則4675為“5型數(shù)”；3526：3+5＝﹣2×（2﹣6），則3526為“﹣2型數(shù)”．（1）判斷1731與3213是否為“k型數(shù)”，若是，求出k；（2）若四位數(shù)m是“3型數(shù)”，m﹣3是“﹣3型數(shù)”，將m的百位數(shù)字與十位數(shù)字交換位置，得到一個新的四位數(shù)m′，m′也是“3型數(shù)”，求滿足條件的所有四位數(shù)m．21．（2022春?南崗區(qū)校級期中）一位同學(xué)做一道題：“已知兩個多項式A、B，計算“A+B”．他誤將“A+B”看成“A﹣B”，求得的結(jié)果為9x2﹣2x+7．已知B＝x2+3x﹣2，求正確答案．22．（2022?豐順縣校級開學(xué)）有一道數(shù)學(xué)題：“求代數(shù)式（x2+2y2）+3（x2+y2）﹣4x2的值，其中，y＝2．”粗心的小李在做此題時，把“”錯抄成了“x＝3”，但他的計算結(jié)果卻是正確的，原因為．23．（2022春?龍鳳區(qū)期末）先化簡，再求值：（x2﹣y2﹣2xy）﹣（﹣3x2+4xy）+（x2+5xy），其中x＝﹣1，y＝2．考點04：規(guī)律型：數(shù)字的變化類24．（2022春?兩江新區(qū)期末）對于任意一個正整數(shù)x1可以按規(guī)則生成無窮數(shù)串：x1，x2，x3，…，xn，xn+1，…（其中n為正整數(shù)），規(guī)則為：xn+1＝．下列說法：①若x1＝4，則生成的這數(shù)串中必有xi＝xi+3（i為正整數(shù)）；②若x1＝6，生成的前2022個數(shù)之和為55；③若生成的數(shù)中有一個xi+1＝16，則它的前一個數(shù)xi應(yīng)為32；④若x4＝7，則x1的值只能是9．其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．425．（2022秋?邗江區(qū)校級月考）我們稱M為“梅嶺數(shù)”．記M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）…．M（n）＝（其中n為正整數(shù)）．（1）計算：M（3）+M（4）＝．（2）求M（99）+M（100）的值．（3）探究2×M（2021）與M（2022）的關(guān)系，并說明理由．26．（2022?來安縣二模）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；……按上述規(guī)律，回答以下問題：（1）寫出第6個等式：；（2）寫出你猜想的第n個等式：（用含n的等式表示），并證明．27．（2022春?肥東縣校級期中）有一系列等式：1×2×3×4+1＝（12+3×1+1）2；2×3×4×5+1＝（22+3×2+1）2；3×4×5×6+1＝（32+3×3+1）2；4×5×6×7+1＝（42+3×4+1）2；……（1）根據(jù)你的觀察，歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到：9×10×11×12+1＝；（2）試猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝；（3）試說明（2）中猜想的正確性．考點05：規(guī)律型：圖形的變化類28．（2022春?九龍坡區(qū)校級期末）如圖是同樣大小一些瓢蟲按照一定規(guī)律爬行，第1個圖有3只瓢蟲，第2個圖有8只瓢蟲，第3個圖形有15只瓢蟲，……，第8個圖形的瓢蟲個數(shù)為（）A．80 B．79 C．70 D．6329．（2022?重慶）把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有1個菱形，第②個圖案中有3個菱形，第③個圖案中有5個菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖案中菱形的個數(shù)為（）A．15 B．13 C．11 D．930．（2022春?邵陽縣期末）如圖，圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）會徽，其圖形可看作圖2中若干個相鄰的直角三角形構(gòu)成，A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝…＝A2021A2022，∠A1OA2＝45°，OA1＝1，∠OA1A2＝∠OA2A3＝∠OA3A4＝∠OA4A5＝…＝∠OA2021A2022＝90°，則邊OA2022的長為．#ZKQ31．（2022春?遼陽期末）如圖（1），△AB1C1是邊長為2的等邊三角形；如圖（2），取AB1的中點C2、畫等邊三角形AB2C2，連接B1B2；如圖（3），取AB2的中點C3，畫等邊三角形AB3C3，連接B2B3；…，按上述規(guī)律做下去，則B2021B2022的長為．32．（2022春?西寧期末）如圖，三個形狀，大小都相同的小長方形沿“橫﹣豎﹣橫”排列在一個大長方形中，若這個大長方形的周長為2016cm，則一個小長方形的周長為cm．33．（2022春?桂林期末）如圖，順次連接第一個矩形各邊的中點得到第1個菱形，順次連接這個菱形各邊的中點得到第二個矩形，再順次連接第二個矩形各邊的中點得到第2個菱形，按照此方法繼續(xù)下去．已知第一個矩形的面積為6，則第n個菱形的面積為．34．（2022春?寧德期末）如圖，用若干個點擺成一組等邊三角形點列，其中第n（n≥2）個三角形的每一邊上都有n個點，該圖形中點的總數(shù)記為Sn，我們把S稱為“三角形數(shù)”，并規(guī)定當(dāng)n＝1時，“三角形數(shù)”S1＝1．（1）“三角形數(shù)”S5＝，Sn＝．（2）①某數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)相鄰兩個“三角形數(shù)”的和有一定的規(guī)律：如S1+S2＝4，S2+S3＝9，S3+S4＝16．請猜想：Sn+Sn