第九講一次函數(shù)(原卷版+解析)

第九講一次函數(shù)【命題點(diǎn)1一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)】類型一與圖像有關(guān)的判定1．（2022?沈陽）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+1的圖象是（）A． B． C． D．2．（2022?安徽）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax+a2與y＝a2x+a的圖象可能是（）A． B． C． D．類型二一次函數(shù)解析式與象限的關(guān)系3．（2022?涼山州）一次函數(shù)y＝3x+b（b≥0）的圖象一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2022?六盤水）如圖是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象，下列說法正確的是（）A．y隨x增大而增大 B．圖象經(jīng)過第三象限 C．當(dāng)x≥0時(shí)，y≤b D．當(dāng)x＜0時(shí)，y＜05．（2022?包頭）在一次函數(shù)y＝﹣5ax+b（a≠0）中，y的值隨x值的增大而增大，且ab＞0，則點(diǎn)A（a，b）在（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限類型三與一次函數(shù)增減性、最值有關(guān)的問題6．（2022?柳州）如圖，直線y1＝x+3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)C，直線y2＝﹣x+3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)P（m，2）是△ABC內(nèi)部（包括邊上）的一點(diǎn)，則m的最大值與最小值之差為（）A．1 B．2 C．4 D．67．（2022?蘭州）若一次函數(shù)y＝2x+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，y1），（4，y2），則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y28．（2022?宿遷）甲、乙兩位同學(xué)各給出某函數(shù)的一個(gè)特征，甲：“函數(shù)值y隨自變量x增大而減小”；乙：“函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，2）”，請(qǐng)你寫出一個(gè)同時(shí)滿足這兩個(gè)特征的函數(shù)，其表達(dá)式是．類型四一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題9.（2022?株洲）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝5x+1的圖象與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（0，﹣1） B．（﹣，0） C．（，0） D．（0，1）10．（2022?遼寧）如圖，直線y＝2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，?OCDE的頂點(diǎn)C在x軸上，頂點(diǎn)E在直線AB上，則?OCDE的面積為．11.（2014?宜賓）如圖，過A點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y＝2x的圖象相交于點(diǎn)B，則這個(gè)一次函數(shù)的解析式是（）A．y＝2x+3 B．y＝x﹣3 C．y＝2x﹣3 D．y＝﹣x+312．（2020?南通）如圖，直線l1：y＝x+3與過點(diǎn)A（3，0）的直線l2交于點(diǎn)C（1，m），與x軸交于點(diǎn)B．（1）求直線l2的解析式；（2）點(diǎn)M在直線l1上，MN∥y軸，交直線l2于點(diǎn)N，若MN＝AB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【命題點(diǎn)2一次函數(shù)圖像的平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱】13．（2022?廣安）在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y＝3x+2的圖象向下平移3個(gè)單位長度，所得的函數(shù)的解析式是（）A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣114．（2021?陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，若將一次函數(shù)y＝2x+m﹣1的圖象向左平移3個(gè)單位后，得到一個(gè)正比例函數(shù)的圖象，則m的值為（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．615．（2020?南京）將一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是．16．（2022?阜新）當(dāng)我們將一條傾斜的直線進(jìn)行上下平移時(shí)，直線的左右位置也發(fā)生著變化．下面是關(guān)于“一次函數(shù)圖象平移的性質(zhì)”的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．（1）如圖1，將一次函數(shù)y＝x+2的圖象向下平移1個(gè)單位長度，相當(dāng)于將它向右平移了個(gè)單位長度；（2）將一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象向下平移1個(gè)單位長度，相當(dāng)于將它向（填“左”或“右”）平移了個(gè)單位長度；（3）綜上，對(duì)于一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象而言，將它向下平移m（m＞0）個(gè)單位長度，相當(dāng)于將它向（填“左”或“右”）（k＞0時(shí)）或?qū)⑺颍ㄌ睢白蟆被颉坝摇保╧＜0時(shí)）平移了n（n＞0）個(gè)單位長度，且m，n，k滿足等式．【命題點(diǎn)3一次函數(shù)與方程、不等式結(jié)合】類型一一次函數(shù)與方程（組）的關(guān)系17．（2022?梧州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+b與直線y＝﹣3x+6相交于點(diǎn)A，則關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是（）A． B． C． D．18．（2022?貴陽）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax+b與y＝mx+n（a＜m＜0）的圖象如圖所示．小星根據(jù)圖象得到如下結(jié)論：①在一次函數(shù)y＝mx+n的圖象中，y的值隨著x值的增大而增大；②方程組的解為；③方程mx+n＝0的解為x＝2；④當(dāng)x＝0時(shí)，ax+b＝﹣1．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4類型二一次函數(shù)與不等式（組）的關(guān)系19．（2022?南通）根據(jù)圖象，可得關(guān)于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞120．（2022?鄂州）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k＜0）的圖象與直線y＝x都經(jīng)過點(diǎn)A（3，1），當(dāng)kx+b＜x時(shí)，根據(jù)圖象可知，x的取值范圍是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞121．（2022?徐州）若一次函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則關(guān)于kx+b＞0的不等式的解集為．22．（2022?揚(yáng)州）如圖，函數(shù)y＝kx+b（k＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P，則關(guān)于x的不等式kx+b＞3的解集為．23．（2022?襄陽）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)畫出函數(shù)y＝﹣|x|的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．（1）繪制函數(shù)圖象①列表：下列是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中a＝1．x……﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345……y……﹣3.8﹣2.5﹣1155a﹣1﹣2.5﹣3.8……②描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)（x，y），請(qǐng)補(bǔ)充描出點(diǎn)（2，a）；③連線：請(qǐng)用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象；（2）探究函數(shù)性質(zhì)請(qǐng)寫出函數(shù)y＝﹣|x|的一條性質(zhì)：；（3）運(yùn)用函數(shù)圖象及性質(zhì)①寫出方程﹣|x|＝5的解；②寫出不等式﹣|x|≤1的解集．【命題點(diǎn)4一次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合】24．（2022?黑龍江）如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點(diǎn)，分別過A，C兩點(diǎn)作x軸，y軸的垂線相交于B點(diǎn)，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線MN的解析式；（3）在直線MN上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．25．（2022?攀枝花）如圖，直線y＝x+6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），以C為頂點(diǎn)作∠OCD＝∠OAB，射線CD交線段OB于點(diǎn)D，將射線OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交射線CD于點(diǎn)E，連結(jié)BE．（1）證明：＝；（用圖1）（2）當(dāng)△BDE為直角三角形時(shí)，求DE的長度；（用圖2）（3）點(diǎn)A關(guān)于射線OC的對(duì)稱點(diǎn)為F，求BF的最小值．（用圖3）命題點(diǎn)5一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用類型一行程問題26．（2022?鹽城）小麗從甲地勻速步行去乙地，小華騎自行車從乙地勻速前往甲地，同時(shí)出發(fā)．兩人離甲地的距離y（m）與出發(fā)時(shí)間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）小麗步行的速度為m/min；（2）當(dāng)兩人相遇時(shí)，求他們到甲地的距離．27．（2022?牡丹江）在一條平坦筆直的道路上依次有A，B，C三地，甲從B地騎電瓶車到C地，同時(shí)乙從B地騎摩托車到A地，到達(dá)A地后因故停留1分鐘，然后立即掉頭（掉頭時(shí)間忽略不計(jì)）按原路原速前往C地，結(jié)果乙比甲早2分鐘到達(dá)C地，兩人均勻速運(yùn)動(dòng)，如圖是兩人距B地路程y（米）與時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象．請(qǐng)解答下列問題：（1）填空：甲的速度為米/分鐘，乙的速度為米/分鐘；（2）求圖象中線段FG所在直線表示的y（米）與時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）出發(fā)多少分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米？請(qǐng)直接寫出答案．28．（2022?齊齊哈爾）在一條筆直的公路上有A、B兩地，甲、乙二人同時(shí)出發(fā)，甲從A地步行勻速前往B地，到達(dá)B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙從B地步行勻速前往A地（甲、乙二人到達(dá)A地后均停止運(yùn)動(dòng)），甲、乙二人之間的距離y（米）與出發(fā)時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問題：（1）A、B兩地之間的距離是米，乙的步行速度是米/分；（2）圖中a＝，b＝，c＝；（3）求線段MN的函數(shù)解析式；（4）在乙運(yùn)動(dòng)的過程中，何時(shí)兩人相距80米？（直接寫出答案即可）29．（2022?新疆）A，B兩地相距300km，甲、乙兩人分別開車從A地出發(fā)前往B地，其中甲先出發(fā)1h．如圖是甲，乙行駛路程y甲（km），y乙（km）隨行駛時(shí)間x（h）變化的圖象，請(qǐng)結(jié)合圖象信息，解答下列問題：（1）填空：甲的速度為km/h；（2）分別求出y甲，y乙與x之間的函數(shù)解析式；（3）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并寫出點(diǎn)C的實(shí)際意義．30．（2022?成都）隨著“公園城市”建設(shè)的不斷推進(jìn)，成都繞城綠道化身成為這座城市的一個(gè)超大型“體育場”，綠道騎行成為市民的一種低碳生活新風(fēng)尚．甲、乙兩人相約同時(shí)從綠道某地出發(fā)同向騎行，甲騎行的速度是18km/h，乙騎行的路程s（km）與騎行的時(shí)間t（h）之間的關(guān)系如圖所示．（1）直接寫出當(dāng)0≤t≤0.2和t＞0.2時(shí)，s與t之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）何時(shí)乙騎行在甲的前面？31．（2022?麗水）因疫情防控需要，一輛貨車先從甲地出發(fā)運(yùn)送防疫物資到乙地，稍后一輛轎車從甲地急送防疫專家到乙地．已知甲、乙兩地的路程是330km，貨車行駛時(shí)的速度是60km/h．兩車離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)圖象如圖．（1）求出a的值；（2）求轎車離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)表達(dá)式；（3）問轎車比貨車早多少時(shí)間到達(dá)乙地？32．（2022?黑龍江）2008年5月12日14時(shí)28分四川汶川發(fā)生里氏8.0級(jí)強(qiáng)力地震．某市接到上級(jí)通知，立即派出甲、乙兩個(gè)抗震救災(zāi)小組乘車沿同一路線趕赴距出發(fā)點(diǎn)480千米的災(zāi)區(qū)．乙組由于要攜帶一些救災(zāi)物資，比甲組遲出發(fā)1.25小時(shí)（從甲組出發(fā)時(shí)開始計(jì)時(shí)）．圖中的折線、線段分別表示甲、乙兩組的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）與時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系對(duì)應(yīng)的圖象．請(qǐng)根據(jù)圖象所提供的信息，解決下列問題：（1）由于汽車發(fā)生故障，甲組在途中停留了小時(shí)；（2）甲組的汽車排除故障后，立即提速趕往災(zāi)區(qū)．請(qǐng)問甲組的汽車在排除故障時(shí)，距出發(fā)點(diǎn)的路程是多少千米？（3）為了保證及時(shí)聯(lián)絡(luò)，甲、乙兩組在第一次相遇時(shí)約定此后兩車之間的路程不超過25千米，請(qǐng)通過計(jì)算說明，按圖象所表示的走法是否符合約定？類型二方案問題考向1方案設(shè)計(jì)問題33．（2022?襄陽）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，我市某鎮(zhèn)鼓勵(lì)廣大農(nóng)戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產(chǎn)品、某經(jīng)銷商購進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品進(jìn)價(jià)為8元/kg；乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨總金額y（單位：元）與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量x（單位：kg）之間的關(guān)系如圖所示．已知甲、乙兩種產(chǎn)品的售價(jià)分別為12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該經(jīng)銷商購進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品共6000kg，并能全部售出．其中乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨量不低于1600kg，且不高于4000kg，設(shè)銷售完甲、乙兩種產(chǎn)品所獲總利潤為w元（利潤＝銷售額﹣成本），請(qǐng)求出w（單位：元）與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，并為該經(jīng)銷商設(shè)計(jì)出獲得最大利潤的進(jìn)貨方案；（3）為回饋廣大客戶，該經(jīng)銷商決定對(duì)兩種產(chǎn)品進(jìn)行讓利銷售．在（2）中獲得最大利潤的進(jìn)貨方案下，甲、乙兩種產(chǎn)品售價(jià)分別降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所獲總利潤不低于15000元，求a的最大值．34．（2022?黑龍江）為了迎接“十?一”小長假的購物高峰．某運(yùn)動(dòng)品牌專賣店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋．其中甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：運(yùn)動(dòng)鞋價(jià)格甲乙進(jìn)價(jià)（元/雙）mm﹣20售價(jià)（元/雙）240160已知：用3000元購進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量與用2400元購進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量相同．（1）求m的值；（2）要使購進(jìn)的甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋共200雙的總利潤（利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）不少于21700元，且不超過22300元，問該專賣店有幾種進(jìn)貨方案？（3）在（2）的條件下，專賣店準(zhǔn)備對(duì)甲種運(yùn)動(dòng)鞋進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，決定對(duì)甲種運(yùn)動(dòng)鞋每雙優(yōu)惠a（50＜a＜70）元出售，乙種運(yùn)動(dòng)鞋價(jià)格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤應(yīng)如何進(jìn)貨？考向2方案選取問題35．（2022?內(nèi)蒙古）某商店決定購進(jìn)A、B兩種北京冬奧會(huì)紀(jì)念品．若購進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，需要1000元；若購進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要550元．（1）求購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)；（2）若該商店決定拿出1萬元全部用來購進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮市場需求，要求購進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量不少于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購進(jìn)B種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？（3）若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．36．（2022?通遼）為落實(shí)“雙減”政策，豐富課后服務(wù)的內(nèi)容，某學(xué)校計(jì)劃到甲、乙兩個(gè)體育專賣店購買一批新的體育用品，兩個(gè)商店的優(yōu)惠活動(dòng)如下：甲：所有商品按原價(jià)8.5折出售；乙：一次購買商品總額不超過300元的按原價(jià)付費(fèi)，超過300元的部分打7折．設(shè)需要購買體育用品的原價(jià)總額為x元，去甲商店購買實(shí)付y甲元，去乙商店購買實(shí)付y乙元，其函數(shù)圖象如圖所示．（1）分別求y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）兩圖象交于點(diǎn)A，求點(diǎn)A坐標(biāo)；（3）請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出選擇去哪個(gè)體育專賣店購買體育用品更合算．37．（2022?恩施州）某校計(jì)劃租用甲、乙兩種客車送180名師生去研學(xué)基地開展綜合實(shí)踐活動(dòng)．已知租用一輛甲型客車和一輛乙型客車共需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型客車共需1300元．甲型客車每輛可坐15名師生，乙型客車每輛可坐25名師生．（1）租用甲、乙兩種客車每輛各多少元？（2）若學(xué)校計(jì)劃租用8輛客車，怎樣租車可使總費(fèi)用最少？類型三費(fèi)用或利潤最值問題38．（2022?衡陽）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分別是2022年北京冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)的吉祥物．冬奧會(huì)來臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國．小雅在某網(wǎng)店選中兩種玩偶．決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷售．第一次小雅用1400元購進(jìn)了冰墩墩玩偶15個(gè)和雪容融玩偶5個(gè)，已知購進(jìn)1個(gè)冰墩墩玩偶和1個(gè)雪容融玩偶共需136元，銷售時(shí)每個(gè)冰墩墩玩偶可獲利28元，每個(gè)雪容融玩偶可獲利20元．（1）求兩種玩偶的進(jìn)貨價(jià)分別是多少？（2）第二次小雅進(jìn)貨時(shí)，網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進(jìn)貨數(shù)量的1.5倍．小雅計(jì)劃購進(jìn)兩種玩偶共40個(gè)，應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？39．（2022?黔西南州）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風(fēng)光”景區(qū)今年計(jì)劃改造一片綠化地，種植A、B兩種花卉，已知3盆A種花卉和4盆B種花卉的種植費(fèi)用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植費(fèi)用為300元．（1）每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費(fèi)用各是多少元？（2）若該景區(qū)今年計(jì)劃種植A、B兩種花卉共400盆，相關(guān)資料表明：A、B兩種花卉的成活率分別為70%和90%，景區(qū)明年要將枯死的花卉補(bǔ)上相同的新花卉，但這兩種花卉在明年共補(bǔ)的盆數(shù)不多于80盆，應(yīng)如何安排這兩種花卉的種植數(shù)量，才能使今年該項(xiàng)的種植費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用．其他類型40．（2022?吉林）李強(qiáng)用甲、乙兩種具有恒溫功能的熱水壺同時(shí)加熱相同質(zhì)量的水，甲壺比乙壺加熱速度快．在一段時(shí)間內(nèi)，水溫y（℃）與加熱時(shí)間x（s）之間近似滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)，畫函數(shù)圖象如下：（1）加熱前水溫是℃．（2）求乙壺中水溫y關(guān)于加熱時(shí)間x的函數(shù)解析式．（3）當(dāng)甲壺中水溫剛達(dá)到80℃時(shí)，乙壺中水溫是℃．41．（2022?天津）在“看圖說故事”活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組結(jié)合圖象設(shè)計(jì)了一個(gè)問題情境．已知學(xué)生公寓、閱覽室、超市依次在同一條直線上，閱覽室離學(xué)生公寓1.2km，超市離學(xué)生公寓2km．小琪從學(xué)生公寓出發(fā)，勻速步行了12min到閱覽室；在閱覽室停留70min后，勻速步行了10min到超市；在超市停留20min后，勻速騎行了8min返回學(xué)生公寓．給出的圖象反映了這個(gè)過程中小琪離學(xué)生公寓的距離ykm與離開學(xué)生公寓的時(shí)間xmin之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：（Ⅰ）填表：離開學(xué)生公寓的時(shí)間/min585087112離學(xué)生公寓的距離/km0.501.6（Ⅱ）填空：①閱覽室到超市的距離為km；②小琪從超市返回學(xué)生公寓的速度為km/min；③當(dāng)小琪離學(xué)生公寓的距離為1km時(shí)，他離開學(xué)生公寓的時(shí)間為min．（Ⅲ）當(dāng)0≤x≤92時(shí)，請(qǐng)直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．第九講一次函數(shù)【命題點(diǎn)1一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)】類型一與圖像有關(guān)的判定1．（2022?沈陽）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+1的圖象是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：一次函數(shù)y＝﹣x+1中，令x＝0，則y＝1；令y＝0，則x＝1，∴一次函數(shù)y＝﹣x+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1）和（1，0），∴一次函數(shù)y＝﹣x+1的圖象經(jīng)過一、二、四象限，故選：C．2．（2022?安徽）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax+a2與y＝a2x+a的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵y＝ax+a2與y＝a2x+a，∴x＝1時(shí)，兩函數(shù)的值都是a2+a，∴兩直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，若a＞0，則一次函數(shù)y＝ax+a2與y＝a2x+a都是增函數(shù)，且都交y軸的正半軸，圖象都經(jīng)過第一、二、三象限；若a＜0，則一次函數(shù)y＝ax+a2經(jīng)過第一、二、四象限，y＝a2x+a經(jīng)過第一、三、四象限，且兩直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1；故選：D．類型二一次函數(shù)解析式與象限的關(guān)系3．（2022?涼山州）一次函數(shù)y＝3x+b（b≥0）的圖象一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解答】解：∵函數(shù)y＝3x+b（b≥0）中，k＝3＞0，b≥0，∴當(dāng)b＝0時(shí)，此函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三象限，不經(jīng)過第四象限；當(dāng)b＞0時(shí)，此函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限．則一定不經(jīng)過第四象限．故選：D．4．（2022?六盤水）如圖是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象，下列說法正確的是（）A．y隨x增大而增大 B．圖象經(jīng)過第三象限 C．當(dāng)x≥0時(shí)，y≤b D．當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0【答案】C【解答】解：由圖象得：圖象過一、二、四象限，則k＜0，b＞0，當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，故A、B錯(cuò)誤，由圖象得：與y軸的交點(diǎn)為（0，b），所以當(dāng)x≥0時(shí)，從圖象看，y≤b，故C正確，符合題意；當(dāng)x＜0時(shí)，y＞b＞0，故D錯(cuò)誤．故選：C．5．（2022?包頭）在一次函數(shù)y＝﹣5ax+b（a≠0）中，y的值隨x值的增大而增大，且ab＞0，則點(diǎn)A（a，b）在（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【答案】B【解答】解：∵在一次函數(shù)y＝﹣5ax+b中，y隨x的增大而增大，∴﹣5a＞0，∴a＜0．∵ab＞0，∴a，b同號(hào)，∴b＜0．∴點(diǎn)A（a，b）在第三象限．故選：B．類型三與一次函數(shù)增減性、最值有關(guān)的問題6．（2022?柳州）如圖，直線y1＝x+3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)C，直線y2＝﹣x+3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)P（m，2）是△ABC內(nèi)部（包括邊上）的一點(diǎn)，則m的最大值與最小值之差為（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【解答】解：∵點(diǎn)P（m，2）是△ABC內(nèi)部（包括邊上）的一點(diǎn)，∴點(diǎn)P在直線y＝2上，如圖所示，當(dāng)P為直線y＝2與直線y2的交點(diǎn)時(shí)，m取最大值，當(dāng)P為直線y＝2與直線y1的交點(diǎn)時(shí)，m取最小值，∵y2＝﹣x+3中令y＝2，則x＝1，y1＝x+3中令y＝2，則x＝﹣1，∴m的最大值為1，m的最小值為﹣1．則m的最大值與最小值之差為：1﹣（﹣1）＝2．故選：B．7．（2022?蘭州）若一次函數(shù)y＝2x+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，y1），（4，y2），則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2【答案】A【解答】解：∵一次函數(shù)y＝2x+1中，k＝2＞0，∴y隨著x的增大而增大．∵點(diǎn)（﹣3，y1）和（4，y2）是一次函數(shù)y＝2x+1圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，﹣3＜4，∴y1＜y2．故選：A．8．（2022?宿遷）甲、乙兩位同學(xué)各給出某函數(shù)的一個(gè)特征，甲：“函數(shù)值y隨自變量x增大而減小”；乙：“函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，2）”，請(qǐng)你寫出一個(gè)同時(shí)滿足這兩個(gè)特征的函數(shù)，其表達(dá)式是．【答案】y＝﹣x+2（答案不唯一）【解答】解：∵函數(shù)值y隨自變量x增大而減小，且該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，2），∴該函數(shù)為一次函數(shù)．設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），則k＜0，b＝2．取k＝﹣1，此時(shí)一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x+2．故答案為：y＝﹣x+2（答案不唯一）．類型四一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題9.（2022?株洲）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝5x+1的圖象與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（0，﹣1） B．（﹣，0） C．（，0） D．（0，1）【答案】D【解答】解：∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，∴一次函數(shù)y＝5x+1的圖象與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），故選：D．10．（2022?遼寧）如圖，直線y＝2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，?OCDE的頂點(diǎn)C在x軸上，頂點(diǎn)E在直線AB上，則?OCDE的面積為．【答案】2【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2×0+4＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），OB＝4．∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，∴OD＝OB＝×4＝2．∵四邊形OCDE為平行四邊形，點(diǎn)C在x軸上，∴DE∥x軸．當(dāng)y＝2時(shí)，2x+4＝2，解得：x＝﹣1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，2），∴DE＝1，∴OC＝1，∴?OCDE的面積＝OC?OD＝1×2＝2．故答案為：2．11.（2014?宜賓）如圖，過A點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y＝2x的圖象相交于點(diǎn)B，則這個(gè)一次函數(shù)的解析式是（）A．y＝2x+3 B．y＝x﹣3 C．y＝2x﹣3 D．y＝﹣x+3【答案】D【解答】解：∵B點(diǎn)在正比例函數(shù)y＝2x的圖象上，橫坐標(biāo)為1，∴y＝2×1＝2，∴B（1，2），設(shè)一次函數(shù)解析式為：y＝kx+b，∵一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（0，3），與正比例函數(shù)y＝2x的圖象相交于點(diǎn)B（1，2），∴可得出方程組，解得，則這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+3，故選：D．12．（2020?南通）如圖，直線l1：y＝x+3與過點(diǎn)A（3，0）的直線l2交于點(diǎn)C（1，m），與x軸交于點(diǎn)B．（1）求直線l2的解析式；（2）點(diǎn)M在直線l1上，MN∥y軸，交直線l2于點(diǎn)N，若MN＝AB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝﹣2x+6（2）M（3，6）或（﹣1，2）【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+3得y＝4，∴C（1，4），設(shè)直線l2的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線l2的解析式為y＝﹣2x+6；（2）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，∴B（﹣3，0），∴AB＝3﹣（﹣3）＝6，設(shè)M（a，a+3），由MN∥y軸，得N（a，﹣2a+6），MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，解得a＝3或a＝﹣1，∴M（3，6）或（﹣1，2）．【命題點(diǎn)2一次函數(shù)圖像的平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱】13．（2022?廣安）在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y＝3x+2的圖象向下平移3個(gè)單位長度，所得的函數(shù)的解析式是（）A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣1【答案】D【解答】解：將函數(shù)y＝3x+2的圖象向下平移3個(gè)單位長度后，所得圖象的函數(shù)關(guān)系式為y＝3x+2﹣3＝3x﹣1，故選：D．14．（2021?陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，若將一次函數(shù)y＝2x+m﹣1的圖象向左平移3個(gè)單位后，得到一個(gè)正比例函數(shù)的圖象，則m的值為（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【答案】A【解答】解：將一次函數(shù)y＝2x+m﹣1的圖象向左平移3個(gè)單位后，得到y(tǒng)＝2（x+3）+m﹣1，把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1，解得m＝﹣5．故選：A．15．（2020?南京）將一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是．【答案】y＝x+2【解答】解：在一次函數(shù)y＝﹣2x+4中，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝2，∴直線y＝﹣2x+4經(jīng)過點(diǎn)（0，4），（2，0）將一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)（0，4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（﹣4，0），（2，0）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是（0，2）設(shè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y＝kx+b，將點(diǎn)（﹣4，0）、（0，2）代入得，解得，∴旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y＝x+2，故答案為y＝x+2．16．（2022?阜新）當(dāng)我們將一條傾斜的直線進(jìn)行上下平移時(shí)，直線的左右位置也發(fā)生著變化．下面是關(guān)于“一次函數(shù)圖象平移的性質(zhì)”的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．（1）如圖1，將一次函數(shù)y＝x+2的圖象向下平移1個(gè)單位長度，相當(dāng)于將它向右平移了個(gè)單位長度；（2）將一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象向下平移1個(gè)單位長度，相當(dāng)于將它向（填“左”或“右”）平移了個(gè)單位長度；（3）綜上，對(duì)于一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象而言，將它向下平移m（m＞0）個(gè)單位長度，相當(dāng)于將它向（填“左”或“右”）（k＞0時(shí)）或?qū)⑺颍ㄌ睢白蟆被颉坝摇保╧＜0時(shí)）平移了n（n＞0）個(gè)單位長度，且m，n，k滿足等式．【解答】解：（1）∵將一次函數(shù)y＝x+2的圖象向下平移1個(gè)單位長度得到y(tǒng)＝x+2﹣1＝（x﹣1）+2，∴相當(dāng)于將它向右平移了1個(gè)單位長度，故答案為：1；（2）將一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象向下平移1個(gè)單位長度得到y(tǒng)＝﹣2x+4﹣1＝﹣2（x+）+4，∴相當(dāng)于將它向左平移了個(gè)單位長度；故答案為：左；；（3）綜上，對(duì)于一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象而言，將它向下平移m（m＞0）個(gè)單位長度，相當(dāng)于將它向右（填“左”或“右”）（k＞0時(shí)）或?qū)⑺蜃螅ㄌ睢白蟆被颉坝摇保╧＜0時(shí)）平移了n（n＞0）個(gè)單位長度，且m，n，k滿足等式m＝n|k|．故答案為：右；左；m＝n|k|（或：當(dāng)k＞0時(shí)，m＝nk，當(dāng)k＜0時(shí)，m＝﹣nk）【命題點(diǎn)3一次函數(shù)與方程、不等式結(jié)合】類型一一次函數(shù)與方程（組）的關(guān)系17．（2022?梧州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+b與直線y＝﹣3x+6相交于點(diǎn)A，則關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由圖象可得直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，3），∴方程組的解為．故選：B．18．（2022?貴陽）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax+b與y＝mx+n（a＜m＜0）的圖象如圖所示．小星根據(jù)圖象得到如下結(jié)論：①在一次函數(shù)y＝mx+n的圖象中，y的值隨著x值的增大而增大；②方程組的解為；③方程mx+n＝0的解為x＝2；④當(dāng)x＝0時(shí)，ax+b＝﹣1．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：①由函數(shù)圖象可知，直線y＝mx+n從左至右呈下降趨勢(shì)，所以y的值隨著x值的增大而減小，故①錯(cuò)誤；②由函數(shù)圖象可知，一次函數(shù)y＝ax+b與y＝mx+n（a＜m＜0）的圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，2），所以方程組的解為，故②正確；③由函數(shù)圖象可知，直線y＝mx+n與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），所以方程mx+n＝0的解為x＝2，故③正確；④由函數(shù)圖象可知，直線y＝ax+b過點(diǎn)（0，﹣2），所以當(dāng)x＝0時(shí)，ax+b＝﹣2，故④錯(cuò)誤；故選：B．類型二一次函數(shù)與不等式（組）的關(guān)系19．（2022?南通）根據(jù)圖象，可得關(guān)于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1【答案】D【解答】解：根據(jù)圖象可知：兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為（1，2），所以關(guān)于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集為x＞1，故選：D．20．（2022?鄂州）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k＜0）的圖象與直線y＝x都經(jīng)過點(diǎn)A（3，1），當(dāng)kx+b＜x時(shí)，根據(jù)圖象可知，x的取值范圍是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1【答案】A【解答】解：由圖象可得，當(dāng)x＞3時(shí)，直線y＝x在一次函數(shù)y＝kx+b的上方，∴當(dāng)kx+b＜x時(shí)，x的取值范圍是x＞3，故選：A．21．（2022?徐州）若一次函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則關(guān)于kx+b＞0的不等式的解集為．【答案】x＞3【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過點(diǎn)（2，0），∴2k+b＝0，∴b＝﹣2k，∴關(guān)于kx+b＞0∴kx＞﹣×（﹣2k）＝3k，∵k＞0，∴x＞3．故答案為：x＞3．22．（2022?揚(yáng)州）如圖，函數(shù)y＝kx+b（k＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P，則關(guān)于x的不等式kx+b＞3的解集為．【答案】x＜﹣1【解答】解：由圖象可得，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝3，該函數(shù)y隨x的增大而減小，∴不等式kx+b＞3的解集為x＜﹣1，故答案為：x＜﹣1．23．（2022?襄陽）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)畫出函數(shù)y＝﹣|x|的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．（1）繪制函數(shù)圖象①列表：下列是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中a＝1．x……﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345……y……﹣3.8﹣2.5﹣1155a﹣1﹣2.5﹣3.8……②描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)（x，y），請(qǐng)補(bǔ)充描出點(diǎn)（2，a）；③連線：請(qǐng)用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象；（2）探究函數(shù)性質(zhì)請(qǐng)寫出函數(shù)y＝﹣|x|的一條性質(zhì)：；（3）運(yùn)用函數(shù)圖象及性質(zhì)①寫出方程﹣|x|＝5的解；②寫出不等式﹣|x|≤1的解集．【解答】解：（1）①列表：當(dāng)x＝2時(shí)，a＝﹣|2|＝1，故答案為：1；②描點(diǎn)，③連線如下：（2）觀察函數(shù)圖象可得：y＝﹣|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故答案為：y＝﹣|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱（答案不唯一）；（3）①觀察函數(shù)圖象可得：當(dāng)y＝5時(shí)，x＝1或x＝﹣1，∴﹣|x|＝5的解是x＝1或x＝﹣1，故答案為：x＝1或x＝﹣1；②觀察函數(shù)圖象可得，當(dāng)x≤﹣2或x≥2時(shí)，y≤1，∴﹣|x|≤1的解集是x≤﹣2或x≥2，故答案為：x≤﹣2或x≥2．【命題點(diǎn)4一次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合】24．（2022?黑龍江）如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點(diǎn)，分別過A，C兩點(diǎn)作x軸，y軸的垂線相交于B點(diǎn)，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線MN的解析式；（3）在直線MN上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）解方程x2﹣14x+48＝0得x1＝6，x2＝8．∵OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴OC＝6，OA＝8．∴C（0，6）；（2）設(shè)直線MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．由（1）知，OA＝8，則A（8，0）．∵點(diǎn)A、C都在直線MN上，∴，解得，，∴直線MN的解析式為y＝﹣x+6；（3）∵A（8，0），C（0，6），∴根據(jù)題意知B（8，6）．∵點(diǎn)P在直線MNy＝﹣x+6上，∴設(shè)P（a，﹣a+6）當(dāng)以點(diǎn)P，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，需要分類討論：①當(dāng)PC＝PB時(shí)，點(diǎn)P是線段BC的中垂線與直線MN的交點(diǎn)，則P1（4，3）；②當(dāng)PC＝BC時(shí)，a2+（﹣a+6﹣6）2＝64，解得，a＝，則P2（﹣，），P3（，）；③當(dāng)PB＝BC時(shí)，（a﹣8）2+（a﹣6+6）2＝64，解得，a＝，則﹣a+6＝﹣，∴P4（，﹣）．綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有：P1（4，3），P2（﹣，）P3（，），P4（，﹣）．25．（2022?攀枝花）如圖，直線y＝x+6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），以C為頂點(diǎn)作∠OCD＝∠OAB，射線CD交線段OB于點(diǎn)D，將射線OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交射線CD于點(diǎn)E，連結(jié)BE．（1）證明：＝；（用圖1）（2）當(dāng)△BDE為直角三角形時(shí)，求DE的長度；（用圖2）（3）點(diǎn)A關(guān)于射線OC的對(duì)稱點(diǎn)為F，求BF的最小值．（用圖3）【解答】（1）證明：∵OC⊥OE，∴∠COE＝90°，∴∠AOB＝∠COE＝90°，∵∠OCD＝∠OAB，∴∠ABO＝∠CEO，∵∠BDC＝∠EDO，∴△BDC∽△EDO，∴＝；（2）解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝6，∴B（0，6），∴OB＝6，當(dāng)y＝0時(shí)，x+6＝0，∴x＝﹣8，∴A（﹣8，0），∴OA＝8，如圖2，∠BDE＝90°，∴∠ODC＝∠BDE＝90°，∵∠OCD＝∠OAB，∴tan∠OCD＝tan∠OAB，∴＝＝＝，∴設(shè)OD＝3m，CD＝4m，∵∠CDB＝∠AOB＝90°，∴CD∥OA，∴△CDB∽△AOB，∴＝，即＝，∴BD＝3m，∴OB＝BD+OD＝3m+3m＝6，∴m＝1，∴BD＝3，CD＝4，由（1）知：＝，∴＝，∴DE＝；（3）解：如圖3，由對(duì)稱得：OA＝OF，∵動(dòng)點(diǎn)F在以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的半圓AFA'上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)F在y軸上，且在B的上方時(shí)，BF的值最小，如圖4，此時(shí)BF＝OF﹣OB＝8﹣6＝2，即BF的最小值是2．命題點(diǎn)5一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用類型一行程問題26．（2022?鹽城）小麗從甲地勻速步行去乙地，小華騎自行車從乙地勻速前往甲地，同時(shí)出發(fā)．兩人離甲地的距離y（m）與出發(fā)時(shí)間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）小麗步行的速度為m/min；（2）當(dāng)兩人相遇時(shí)，求他們到甲地的距離．【解答】解：（1）由圖象可知，小麗步行的速度為＝80（m/min），故答案為：80；（2）由圖象可得，小華騎自行車的速度是＝120（m/min），∴出發(fā)后需要＝12（min）兩人相遇，∴相遇時(shí)小麗所走的路程為12×80＝960（m），即當(dāng)兩人相遇時(shí)，他們到甲地的距離是960m．27．（2022?牡丹江）在一條平坦筆直的道路上依次有A，B，C三地，甲從B地騎電瓶車到C地，同時(shí)乙從B地騎摩托車到A地，到達(dá)A地后因故停留1分鐘，然后立即掉頭（掉頭時(shí)間忽略不計(jì)）按原路原速前往C地，結(jié)果乙比甲早2分鐘到達(dá)C地，兩人均勻速運(yùn)動(dòng)，如圖是兩人距B地路程y（米）與時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象．請(qǐng)解答下列問題：（1）填空：甲的速度為米/分鐘，乙的速度為米/分鐘；（2）求圖象中線段FG所在直線表示的y（米）與時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）出發(fā)多少分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米？請(qǐng)直接寫出答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知D（1，800），E（2，800），∴乙的速度為：800÷1＝800（米/分鐘），∴乙從B地到C地用時(shí)：2400÷800＝3（分鐘），∴G（6，2400）．∴H（8，2400）．∴甲的速度為2400÷8＝300（米/分鐘），故答案為：300；800；（2）設(shè)直線FG的解析式為：y＝kx+b（k≠0），且由圖象可知F（3，0），由（1）知G（6，2400）．∴，解得，．∴直線FG的解析式為：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．（3）由題意可知，AB相距800米，BC相距2400米．∵O（0，0），H（8，2400），∴直線OH的解析式為：y＝300x，∵D（1，800），∴直線OD的解析式為：y＝800x，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，甲從B地騎電瓶車到C地，同時(shí)乙從B地騎摩托車到A地，即甲乙朝相反方向走，∴令800x+300x＝600，解得x＝．∵當(dāng)x＞2時(shí)，甲從B繼續(xù)往C地走，乙從A地往C地走，∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，解得x＝或x＝6．綜上，出發(fā)分鐘或分鐘或6分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米．28．（2022?齊齊哈爾）在一條筆直的公路上有A、B兩地，甲、乙二人同時(shí)出發(fā)，甲從A地步行勻速前往B地，到達(dá)B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙從B地步行勻速前往A地（甲、乙二人到達(dá)A地后均停止運(yùn)動(dòng)），甲、乙二人之間的距離y（米）與出發(fā)時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問題：（1）A、B兩地之間的距離是米，乙的步行速度是米/分；（2）圖中a＝，b＝，c＝；（3）求線段MN的函數(shù)解析式；（4）在乙運(yùn)動(dòng)的過程中，何時(shí)兩人相距80米？（直接寫出答案即可）【解答】解：（1）由圖象知：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1200，∴A、B兩地之間的距離是1200米；由圖象知：乙經(jīng)過20分鐘到達(dá)A，∴乙的速度為＝60（米/分）．故答案為：1200；60；（2）由圖象知：當(dāng)x＝時(shí)，y＝0，∴甲乙二人的速度和為：1200÷＝140（米/分），設(shè)甲的速度為x米/分，則乙的速度為（140﹣x）米/分，∴140﹣x＝＝60，∴x＝80．∴甲的速度為80（米/分），∵點(diǎn)M的實(shí)際意義是經(jīng)過c分鐘甲到達(dá)B地，∴c＝1200÷80＝15（分鐘），∴a＝60×15＝900（米）．∵點(diǎn)N的實(shí)際意義是經(jīng)過20分鐘乙到達(dá)A地，∴b＝900﹣（80﹣60）×5＝800（米）；故答案為：900；800；15；（3）由題意得：M（15，900），N（20，800），設(shè)線段MN的解析式為y＝kx+n，∴，解得：，∴線段MN的解析式為y＝﹣20x+1200（15≤x≤20）；（4）在乙運(yùn)動(dòng)的過程中，二人出發(fā)后第8分鐘和第分鐘兩人相距80米．理由：①相遇前兩人相距80米時(shí)，二人的所走路程和為1200﹣80＝1120（米），∴1120÷140＝8（分鐘）；②相遇后兩人相距80米時(shí)，二人的所走路程和為1200+80＝1280（米），∴1280÷140＝（分鐘）．綜上，在乙運(yùn)動(dòng)的過程中，二人出發(fā)后第8分鐘和第分鐘兩人相距80米．29．（2022?新疆）A，B兩地相距300km，甲、乙兩人分別開車從A地出發(fā)前往B地，其中甲先出發(fā)1h．如圖是甲，乙行駛路程y甲（km），y乙（km）隨行駛時(shí)間x（h）變化的圖象，請(qǐng)結(jié)合圖象信息，解答下列問題：（1）填空：甲的速度為km/h；（2）分別求出y甲，y乙與x之間的函數(shù)解析式；（3）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并寫出點(diǎn)C的實(shí)際意義．【解答】解：（1）甲的速度為：300÷5＝60（km/h），故答案為：60；（2）由（1）可知，y甲與x之間的函數(shù)解析式為y甲＝60x（0＜x≤5）；設(shè)y乙與x之間的函數(shù)解析式為y乙＝kx+b，根據(jù)題意得：，解得，∴y乙＝100x﹣100（1≤x≤4）；（3）根據(jù)題意，得60x＝100x﹣100，解得x＝2.5，60×2.5＝150（km），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2.5，150），故點(diǎn)C的實(shí)際意義是甲車出發(fā)2.5小時(shí)后被乙車追上，此時(shí)兩車行駛了150km．30．（2022?成都）隨著“公園城市”建設(shè)的不斷推進(jìn)，成都繞城綠道化身成為這座城市的一個(gè)超大型“體育場”，綠道騎行成為市民的一種低碳生活新風(fēng)尚．甲、乙兩人相約同時(shí)從綠道某地出發(fā)同向騎行，甲騎行的速度是18km/h，乙騎行的路程s（km）與騎行的時(shí)間t（h）之間的關(guān)系如圖所示．（1）直接寫出當(dāng)0≤t≤0.2和t＞0.2時(shí)，s與t之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）何時(shí)乙騎行在甲的前面？【解答】解：（1）當(dāng)0≤t≤0.2時(shí)，設(shè)s＝at，把（0.2，3）代入解析式得，0.2a＝3，解得：a＝15，∴s＝15t；當(dāng)t＞0.2時(shí)，設(shè)s＝kt+b，把（0.2，3）和（0.5，9）代入解析式，得，解得，∴s＝20t﹣1，∴s與t之間的函數(shù)表達(dá)式為s＝；（2）由（1）可知0≤t≤0.2時(shí)，乙騎行的速度為15km/h，而甲的速度為18km/h，則甲在乙前面；當(dāng)t＞0.2時(shí)，乙騎行的速度為20km/h，甲的速度為18km/h，設(shè)t小時(shí)后，乙騎行在甲的前面，則18t＜20t﹣1，解得：t＞0.5，答：0.5小時(shí)后乙騎行在甲的前面31．（2022?麗水）因疫情防控需要，一輛貨車先從甲地出發(fā)運(yùn)送防疫物資到乙地，稍后一輛轎車從甲地急送防疫專家到乙地．已知甲、乙兩地的路程是330km，貨車行駛時(shí)的速度是60km/h．兩車離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)圖象如圖．（1）求出a的值；（2）求轎車離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)表達(dá)式；（3）問轎車比貨車早多少時(shí)間到達(dá)乙地？【解答】解：（1）∵貨車的速度是60km/h，∴a＝＝1.5（h）；（2）由圖象可得點(diǎn)（1.5，0），（3，150），設(shè)直線的表達(dá)式為s＝kt+b，把（1.5，0），（3，150）代入得：，解得，∴s＝100t﹣150；（3）由圖象可得貨車走完全程需要+0.5＝6（h），∴貨車到達(dá)乙地需6h，∵s＝100t﹣150，s＝330，解得t＝4.8，∴兩車相差時(shí)間為6﹣4.8＝1.2（h），∴貨車還需要1.2h才能到達(dá)，即轎車比貨車早1.2h到達(dá)乙地．32．（2022?黑龍江）2008年5月12日14時(shí)28分四川汶川發(fā)生里氏8.0級(jí)強(qiáng)力地震．某市接到上級(jí)通知，立即派出甲、乙兩個(gè)抗震救災(zāi)小組乘車沿同一路線趕赴距出發(fā)點(diǎn)480千米的災(zāi)區(qū)．乙組由于要攜帶一些救災(zāi)物資，比甲組遲出發(fā)1.25小時(shí)（從甲組出發(fā)時(shí)開始計(jì)時(shí)）．圖中的折線、線段分別表示甲、乙兩組的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）與時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系對(duì)應(yīng)的圖象．請(qǐng)根據(jù)圖象所提供的信息，解決下列問題：（1）由于汽車發(fā)生故障，甲組在途中停留了小時(shí)；（2）甲組的汽車排除故障后，立即提速趕往災(zāi)區(qū)．請(qǐng)問甲組的汽車在排除故障時(shí)，距出發(fā)點(diǎn)的路程是多少千米？（3）為了保證及時(shí)聯(lián)絡(luò)，甲、乙兩組在第一次相遇時(shí)約定此后兩車之間的路程不超過25千米，請(qǐng)通過計(jì)算說明，按圖象所表示的走法是否符合約定？【解答】解：（1）1.9；（2）設(shè)直線EF的解析式為y乙＝kx+b，∵點(diǎn)E（1.25，0）、點(diǎn)F（7.25，480）均在直線EF上，∴，解得∴直線EF的解析式是y乙＝80x﹣100；∵點(diǎn)C在直線EF上，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為6，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為80×6﹣100＝380；∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（6，380）；設(shè)直線BD的解析式為y甲＝mx+n；∵點(diǎn)C（6，380）、點(diǎn)D（7，480）在直線BD上，∴；解得；∴BD的解析式是y甲＝100x﹣220；∵B點(diǎn)在直線BD上且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4.9，代入y甲得B（4.9，270），∴甲組在排除故障時(shí)，距出發(fā)點(diǎn)的路程是270千米．（3）符合約定；由圖象可知：甲、乙兩組第一次相遇后在B和D相距最遠(yuǎn)．在點(diǎn)B處有y乙﹣y甲＝80×4.9﹣100﹣（100×4.9﹣220）＝22千米＜25千米，在點(diǎn)D有y甲﹣y乙＝100×7﹣220﹣（80×7﹣100）＝20千米＜25千米，∴按圖象所表示的走法符合約定．類型二方案問題考向1方案設(shè)計(jì)問題33．（2022?襄陽）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，我市某鎮(zhèn)鼓勵(lì)廣大農(nóng)戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產(chǎn)品、某經(jīng)銷商購進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品進(jìn)價(jià)為8元/kg；乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨總金額y（單位：元）與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量x（單位：kg）之間的關(guān)系如圖所示．已知甲、乙兩種產(chǎn)品的售價(jià)分別為12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該經(jīng)銷商購進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品共6000kg，并能全部售出．其中乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨量不低于1600kg，且不高于4000kg，設(shè)銷售完甲、乙兩種產(chǎn)品所獲總利潤為w元（利潤＝銷售額﹣成本），請(qǐng)求出w（單位：元）與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，并為該經(jīng)銷商設(shè)計(jì)出獲得最大利潤的進(jìn)貨方案；（3）為回饋廣大客戶，該經(jīng)銷商決定對(duì)兩種產(chǎn)品進(jìn)行讓利銷售．在（2）中獲得最大利潤的進(jìn)貨方案下，甲、乙兩種產(chǎn)品售價(jià)分別降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所獲總利潤不低于15000元，求a的最大值．【解答】解：（1）當(dāng)0≤x≤2000時(shí)，設(shè)y＝k′x，根據(jù)題意可得，2000k′＝30000，解得k′＝15，∴y＝15x；當(dāng)x＞2000時(shí)，設(shè)y＝kx+b，根據(jù)題意可得，，解得，∴y＝13x+4000．∴y＝．（2）根據(jù)題意可知，購進(jìn)甲種產(chǎn)品（6000﹣x）千克，∵1600≤x≤4000，當(dāng)1600≤x≤2000時(shí)，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）?x＝﹣x+24000，∵﹣1＜0，∴當(dāng)x＝1600時(shí)，w的最大值為﹣1×1600+24000＝22400（元）；當(dāng)2000＜x≤4000時(shí)，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000，∵1＞0，∴當(dāng)x＝4000時(shí)，w的最大值為4000+20000＝24000（元），綜上，w＝；當(dāng)購進(jìn)甲產(chǎn)品2000千克，乙產(chǎn)品4000千克時(shí)，利潤最大為24000元．（3）根據(jù)題意可知，降價(jià)后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x﹣（13x+4000）＝（1﹣a）x+20000﹣6000a，當(dāng)x＝4000時(shí)，w取得最大值，∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9．∴a的最大值為0.9．34．（2022?黑龍江）為了迎接“十?一”小長假的購物高峰．某運(yùn)動(dòng)品牌專賣店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋．其中甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：運(yùn)動(dòng)鞋價(jià)格甲乙進(jìn)價(jià)（元/雙）mm﹣20售價(jià)（元/雙）240160已知：用3000元購進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量與用2400元購進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量相同．（1）求m的值；（2）要使購進(jìn)的甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋共200雙的總利潤（利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）不少于21700元，且不超過22300元，問該專賣店有幾種進(jìn)貨方案？（3）在（2）的條件下，專賣店準(zhǔn)備對(duì)甲種運(yùn)動(dòng)鞋進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，決定對(duì)甲種運(yùn)動(dòng)鞋每雙優(yōu)惠a（50＜a＜70）元出售，乙種運(yùn)動(dòng)鞋價(jià)格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤應(yīng)如何進(jìn)貨？【解答】解：（1）依題意得，＝，整理得，3000（m﹣20）＝2400m，解得m＝100，經(jīng)檢驗(yàn)，m＝100是原分式方程的解，所以，m＝100；（2）設(shè)購進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋x雙，則乙種運(yùn)動(dòng)鞋（200﹣x）雙，根據(jù)題意得，，解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，所以，不等式組的解集是95≤x≤105，∵x是正整數(shù)，105﹣95+1＝11，∴共有11種方案；（3）設(shè)總利潤為W，則W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），①當(dāng)50＜a＜60時(shí)，60﹣a＞0，W隨x的增大而增大，所以，當(dāng)x＝105時(shí)，W有最大值，即此時(shí)應(yīng)購進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋105雙，購進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋95雙；②當(dāng)a＝60時(shí)，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案獲利都一樣；③當(dāng)60＜a＜70時(shí)，60﹣a＜0，W隨x的增大而減小，所以，當(dāng)x＝95時(shí)，W有最大值，即此時(shí)應(yīng)購進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋95雙，購進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋105雙．答：冰墩墩購進(jìn)24個(gè)，雪容融購進(jìn)16個(gè)時(shí)才能獲得最大利潤，最大利潤是992元．考向2方案選取問題35．（2022?內(nèi)蒙古）某商店決定購進(jìn)A、B兩種北京冬奧會(huì)紀(jì)念品．若購進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，需要1000元；若購進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要550元．（1）求購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)；（2）若該商店決定拿出1萬元全部用來購進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮市場需求，要求購進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量不少于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購進(jìn)B種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？（3）若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．【解答】解：（1）設(shè)該商店購進(jìn)A種紀(jì)念品每件需a元，購進(jìn)B種紀(jì)念品每件需b元，由題意，得，解得，∴該商店購進(jìn)A種紀(jì)念品每件需50元，購進(jìn)B種紀(jì)念品每件需100元；（2）設(shè)該商店購進(jìn)A種紀(jì)念品x個(gè)，購進(jìn)B種紀(jì)念品y個(gè)，根據(jù)題意，得50x+100y＝10000，由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，∵y≥20，∴20≤y≤25且為正整數(shù)，∴y可取得的正整數(shù)值是20，21，22，23，24，25，與y相對(duì)應(yīng)的x可取得的正整數(shù)值是160，158，156，154，152，150，∴共有6種進(jìn)貨方案；（3）設(shè)總利潤為W元，則W＝20x+30y＝﹣10y+4000，∵﹣10＜0，∴W隨y的增大而減小，∴當(dāng)y＝20時(shí)，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），∴當(dāng)購進(jìn)A種紀(jì)念品160件，B種紀(jì)念品20件時(shí)，可獲得最大利潤，最大利潤是3800元．36．（2022?通遼）為落實(shí)“雙減”政策，豐富課后服務(wù)的內(nèi)容，某學(xué)校計(jì)劃到甲、乙兩個(gè)體育專賣店購買一批新的體育用品，兩個(gè)商店的優(yōu)惠活動(dòng)如下：甲：所有商品按原價(jià)8.5折出售；乙：一次購買商品總額不超過300元的按原價(jià)付費(fèi)，超過300元的部分打7折．設(shè)需要購買體育用品的原價(jià)總額為x元，去甲商店購買實(shí)付y甲元，去乙商店購買實(shí)付y乙元，其函數(shù)圖象如圖所示．（1）分別求y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）兩圖象交于點(diǎn)A，求點(diǎn)A坐標(biāo)；（3）請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出選擇去哪個(gè)體育專賣店購買體育用品更合算．【解答】解：（1）由題意可得，y甲＝0.85x，當(dāng)0≤x≤300時(shí)，y乙＝x，當(dāng)x＞300時(shí)，y乙＝300+（x﹣300）×0.7＝0.7x+90，則y乙＝；（2）令0.85x＝0.7x+90，解得x＝600，將x＝600代入0.85x得，0.85×600＝510，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（600，510）；（3）由圖象可得，當(dāng)x＜600時(shí)，去甲體育專賣店購買體育用品更合算；當(dāng)x＝600時(shí)，兩家體育專賣店購買體育用品一樣合算；當(dāng)x＞600時(shí)，去乙體育專賣店購買體育用品更合算．37．（2022?恩施州）某校計(jì)劃租用甲、乙兩種客車送180名師生去研學(xué)基地開展綜合實(shí)踐活動(dòng)．已知租用一輛甲型客車和一輛乙型客車共需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型客車共需1300元．甲型客車每輛可坐15名師生，乙型客車每輛可坐25名師生．（1）租用甲、乙兩種客車每輛各多少元？（2）若學(xué)校計(jì)劃租用8輛客車，怎樣租車可使總費(fèi)用最少？【解答】解：（1）設(shè)租用甲種客車每輛x元，租用乙種客車每輛y元，根據(jù)題意可得，，解得．∴租用甲種客車每輛200元，租用乙種客車每輛300元．（2）設(shè)租用甲型客車m輛，則租用乙型客車（8﹣m）輛，租車總費(fèi)用為w元，根據(jù)題意可知，w＝200m+300（8﹣m）＝﹣100m+2400，∵15m+25（8﹣m）≥180，∴0＜m≤2，∵﹣1