廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第三階段考試試題

PAGE9-廣東省深圳試驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第三階段考試試題時間：120分鐘滿分：150分第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一．選擇題：本大題共8小題，每小題5分,共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．“”是“方程表示雙曲線”的（）A．必要但不充分條件；B．充分但不必要條件；C．充要條件；D．既不充分又不必要條件．2．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，，則（）A． B．12C．16 D．323．函數(shù)的遞增區(qū)間是（）A．和；B．；C．；D．.4．設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為F，虛軸的一個端點(diǎn)為B，假如直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．5．已知函數(shù)，則下列式子成立的是（）A．f(?1)＜f()＜f()B．f()＜f(?1)＜f()C．f()＜f()＜f(?1)D．f()＜f(?1)＜f()6．已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則（）A．1 B． C．2 D．37．已知函數(shù)，若曲線存在兩條過(1，0)點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是 （）A．B．C．D．8．已知函數(shù)，若x=1是函數(shù)f(x)的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 （）A．(－∞，e] B．(－∞，e)C．(－e，+∞)D．[－e，+∞)二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．與直線僅有一個公共點(diǎn)的曲線是（）A．QUOTE；B．QUOTE；C．QUOTE；D．QUOTE．10．對于函數(shù)，下列說法正確的有（）A．在處取得極大值；B．有兩個不同的零點(diǎn)；C．；D．若QUOTE在QUOTE上恒成立，則．11．已知拋物線C:，焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)的直線l拋物線C相交于，，則下列說法肯定正確的是（）A．若QUOTE的最小值為2；B．線段AB為直徑的圓與直線QUOTE相切；C．為定值QUOTE；D．若，則QUOTE．12．已知數(shù)列QUOTE，QUOTE均為遞增數(shù)列，QUOTE的前n項(xiàng)和為，QUOTE的前n項(xiàng)和為．QUOTE且滿意QUOTE，，則下列說法正確的是（）A．；B．；C．QUOTE；D．QUOTE．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿意，則．14．?dāng)?shù)列滿意：，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.15．光線從橢圓的一個焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)；光線從雙曲線的一個焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點(diǎn)射出．如圖，一個光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)，的橢圓與雙曲線構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點(diǎn)，歷時秒若將裝置中的去掉，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時秒若，則與的離心率之比為.16．設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)在和都是增函數(shù)，則的取值范圍是．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本題滿分10分）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的最大值與最小值．18．（本題滿分12分）已知等差數(shù)列滿意，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．（本題滿分12分）如圖，已知拋物線：，直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)證明：；xAy1BOM1(2)設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線為，在點(diǎn)處的切線為，證明：與的交點(diǎn)在肯定直線上．xAy1BOM120．（本題滿分12分）如圖所示，某大型水上樂園內(nèi)有一塊矩形場地ABCD，AB=120米，AD=80米，以AD，BC為直徑的半圓O1和半圓O2(半圓在矩形ABCD內(nèi)部)為兩個半圓形水上主題樂園，BC，CD，DA都建有圍墻，游客只能從線段AB處進(jìn)出該主題樂園．為了進(jìn)一步提高經(jīng)濟(jì)效益，水上樂園管理部門確定沿著，QUOTE修建不銹鋼護(hù)欄，沿著線段EF修建該主題樂園大門并設(shè)置檢票口，其中E，F(xiàn)分別為QUOTE，上的動點(diǎn)，EF//AB，且線段EF與線段AB在圓心O1和O2連線的同側(cè)．已知弧線部分的修建費(fèi)用為200元/米，直線部分的平均修建費(fèi)用為400元/米．(1)若EF=80米，則檢票等候區(qū)域(陰影部分)的面積為多少平方米?(2)試確定點(diǎn)E的位置，使得修建費(fèi)用最低．21．（本題滿分12分）xyOFD已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是xyOFD(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過原點(diǎn)O的直線交橢圓于點(diǎn)B、C，求△ABC面積的最大值．22．（本題滿分12分）已知函數(shù). (1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn),，①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：．深圳試驗(yàn)學(xué)校中學(xué)部2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期第三階段考試高二數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1．A．2．D．3．D．4．D．5．B．6．C．7．D．8．A．二、多項(xiàng)選擇題：9．AC10．ACD11．BCD12．ABC三、填空題：13．－eq\f(1,e)．14．.15．1：2.16．．四、解答題：17．解：(1)∵，∴，∴，．∴函數(shù)的圖象在處的切線方程為：，即．………4分(2)令，得與，當(dāng)改變時，、的改變?nèi)缦卤恚海?－0＋所以，與是函數(shù)在上的兩個極值點(diǎn)，而，，，．∴函數(shù)在上的最大值是，最小值是．………10分18．解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為………4分(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，即，故．．所以，當(dāng)時，所以．………12分19．解：(1)設(shè)，把代入，得．由韋達(dá)定理得．．………6分(2)，，故經(jīng)過點(diǎn)的切線的方程為：，即，①同理，經(jīng)過點(diǎn)的切線的方程為：，②①×x2－②×x1，得．即點(diǎn)在直線：上．………12分20．解：(1)如圖所示，設(shè)直線EF與矩形ABCD交于M，N兩點(diǎn)，連接O1E，O2F，O1O2，則ME＝20米，O1M＝梯形O1O2FE的面積為×(120+80)×20＝2000(平方米),矩形AO1O2B的面積為120×40＝4800(平方米),易得∠AO1E＝，則扇形O1AE和扇形O2FB的面積均為××1600=(平方米),故陰影部分的面積為4800－2000－QUOTE800π3平方米.………6分(2)設(shè)∠AO1E＝θ，θ∈，則QUOTEAD，的長都是40θ，EF＝120-2×40sinθ＝120－80sinθ,所以修建費(fèi)用f(θ)＝200×80θ+400×(120－80sinθ)＝16000(θ+3－2sinθ),所以f'(θ)＝16000(1－2cosθ).令f'(θ)＝0，得θ＝QUOTEπ3,當(dāng)θ改變時，f'(θ)，f(θ)的改變狀況如下表:θf'(θ)-0+f(θ)↘微小值↗由上表可得，當(dāng)θ＝，即∠AO1E＝時，f(θ)有微小值，也為最小值．故當(dāng)∠AO1E為時，修建費(fèi)用最低．………12分22．解：（1）設(shè)橢圓方程為.由題意得，，∴，∴橢圓方程為.………4分（2）當(dāng)軸時，易得.當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)直線BC所在方程為，且設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），由，聯(lián)立得，∴，∴.又到直線的距離，于是①當(dāng)時，；②當(dāng)時，；③當(dāng)時，．當(dāng)且僅當(dāng)時，取“＝”，綜上所述△ABC面積的最大值為．…………12分22．解：(1)當(dāng)時,,,所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是．…………4分(2)函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn),，等價于方程有兩個不同實(shí)根,．①令，則,所以在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+