導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第24講 導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)完美結(jié)合問題（含答案及解析）

第24講導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)完美結(jié)合問題【典型例題】例1．已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）若，證明：；（2）若在上有唯一的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例2．已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)，，①證明：；②若恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍；（2）若函數(shù)在上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例3．設(shè)函數(shù)，．（1）當(dāng)，時(shí)，判斷的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．例4．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)，時(shí)，判斷的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí)，不等式有解，求證：．例5．已知函數(shù)．（1）討論在區(qū)間的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)，證明：．例6．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．例7．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．2．已知函數(shù)．求證：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．3．已知函數(shù)，，．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．4．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在，有解，求的取值范圍．5．已知函數(shù)，，．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在，恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)，時(shí)，證明：．6．已知函數(shù)，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：，，；（2）若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．7．已知函數(shù)，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：，，；（2）若函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．8．已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)，，；（2）若函數(shù)在，上存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．9．已知函數(shù)．（1）若，討論方程根的情況；（2）若，，討論方程根的情況．10．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，證明：（1）在區(qū)間，上存在唯一極大值點(diǎn)；（2）在區(qū)間，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．11．已知函數(shù)，其中為非零常數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）設(shè)，且，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)．12．已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）證明函數(shù)在內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn)，且．

第24講導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)完美結(jié)合問題【典型例題】例1．已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）若，證明：；（2）若在上有唯一的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）證明時(shí)，，令，則，（1分）當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，函數(shù)的極小值也是最小值為，（3分）所以，而，所以，即．（5分）（2）解在上有唯一的極值點(diǎn)等價(jià)于在上有唯一的變號(hào)零點(diǎn)，等價(jià)于，（6分）設(shè)，，，（7分），，當(dāng)時(shí)，，，，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，在上為增函數(shù)，函數(shù)的極小值也是最小值為，（10分）又，，（11分）所以當(dāng)時(shí)，方程在上有唯一的變號(hào)零點(diǎn)，所以的取值范圍是．（12分）例2．已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)，，①證明：；②若恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍；（2）若函數(shù)在上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）①證明：當(dāng)時(shí)，，則，，由于當(dāng)時(shí)，，，故，在，上為增函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，在，上為增函數(shù)，，即得證；②依題意，在，上恒成立，設(shè)，則，由①可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在，上單調(diào)遞增，故，符合題意；當(dāng)時(shí)，由①知，在，上為增函數(shù)，則必存在，，使得，且當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，不符合題意．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，；（2），則依題意有，在上有解，令，則在上恒成立，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，時(shí)，，，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．例3．設(shè)函數(shù)，．（1）當(dāng)，時(shí)，判斷的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】解：（1），令，當(dāng)，時(shí)，，所以當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增；所以，即，所以單調(diào)遞增．（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，令，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，，，所以，所以單調(diào)遞增，所以，所以．例4．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)，時(shí)，判斷的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí)，不等式有解，求證：．【解析】解：（1），（2分）令，當(dāng)，時(shí)，，（4分）所以當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增；（5分）所以當(dāng)，時(shí)，，所以當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增．（6分）（2）證明：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式有解，所以當(dāng)時(shí)，不等式有解，（7分）令，所以，（8分）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，，，所以，所以單調(diào)遞增，（10分）所以，所以．（12分）例5．已知函數(shù)．（1）討論在區(qū)間的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)，證明：．【解析】解：（1），，令，解得，，或，當(dāng)或，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．證明：（2），由（1）可知，，，，為周期函數(shù)且周期為，；（3）由，，，．．例6．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【解析】解：（1），令，，則，當(dāng)，時(shí)，為增函數(shù)，，當(dāng)，時(shí)，，所以時(shí)，，為增函數(shù)，故，即的最小值為1．（2）方法一：令，，則時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，若，則由（1）可知，，所以為增函數(shù)，故恒成立，即恒成立，若，，則，在，上為增函數(shù)，又，，所以存在唯一，，使得，當(dāng)，，使得，為減函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，，為增函數(shù)，又，，所以存在唯一，使得，故，時(shí)，，為增函數(shù)，，時(shí)，，為減函數(shù)，又，，所以，時(shí)，，為增函數(shù)，故，即恒成立，當(dāng)時(shí)，由（1）可知在，上為增函數(shù)，且，，故存在唯一，使得，則當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，此時(shí)與恒成立矛盾，綜上所述，．方法二若，，則，，，①當(dāng)時(shí)，，，，②當(dāng)時(shí)，，，，，，單調(diào)遞增，，，③當(dāng)時(shí)，由（1）可知在，上為增函數(shù)，且，，故存在唯一，使得，則當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，此時(shí)與恒成立矛盾，綜上，當(dāng)時(shí)，在，上恒成立．例7．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【解析】解：（1），令，，則．當(dāng)，時(shí)，為增函數(shù)，；當(dāng)，時(shí)，．故時(shí)，，為增函數(shù)，故，即的最小值為1．（2）令，，則時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，若，則由（1）可知，，所以為增函數(shù)，故恒成立，即恒成立；若，則，在上為增函數(shù)，又，，故存在唯一，使得．當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；，時(shí)，，為增函數(shù)．又，，故存在唯一使得．故時(shí)，，為增函數(shù)；，時(shí)，，為減函數(shù)．又，，所以時(shí)，，為增函數(shù)，故，即恒成立；當(dāng)時(shí)，由（1）可知在，上為增函數(shù)，且，，故存在唯一，使得．則當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，此時(shí)，與恒成立矛盾．綜上所述，．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【解析】證明：（1）的定義域?yàn)?，，，令，則在恒成立，在上為減函數(shù)，又，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性可得，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，可得在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增；由于在，上單調(diào)遞減，且，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在，上存在唯一零點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性可知，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞減．當(dāng)，時(shí)，，，于是，單調(diào)遞減，其中，．于是可得下表：000單調(diào)遞減0單調(diào)遞增大于0單調(diào)遞減大于0單調(diào)遞減小于0結(jié)合單調(diào)性可知，函數(shù)在，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，，則恒成立，因此函數(shù)在，上無零點(diǎn)．綜上，有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．2．已知函數(shù)．求證：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【解析】證明：（1）因?yàn)?，所以，設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，，所以即在上遞減．又，且是連續(xù)函數(shù)，故在上有唯一零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)遞增，在上遞減，故在上存在唯一極大值點(diǎn)．（2）因?yàn)?，所以，設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減．由（1）知，在內(nèi)遞增，在內(nèi)遞減，又，所以，又的圖象連續(xù)不斷，所以存在，使得；當(dāng)內(nèi)時(shí)，，在內(nèi)遞減，又因?yàn)?，且的圖象連續(xù)不斷，所以存在，使得；當(dāng)時(shí)，，，所以，從而在上沒有零點(diǎn)，綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．3．已知函數(shù)，，．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，．．當(dāng)在區(qū)間，上變化時(shí)，，的變化如下表，0，000極大值極小值1極大值的單調(diào)增區(qū)間為，；的單調(diào)減區(qū)間為，，，．（2）任取，．，是偶函數(shù)．．當(dāng)時(shí)，在，上恒成立，，時(shí)，．在，上單調(diào)遞增．又，在，上有0個(gè)零點(diǎn)．又是偶函數(shù)，在，上有0個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，令，得．由可知存在唯一，使得．當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減．，，．①當(dāng)，即時(shí)，在，上有0個(gè)零點(diǎn)．由是偶函數(shù)知在，上有0個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)，即時(shí)，在，上有1個(gè)零點(diǎn)．由是偶函數(shù)知在，上有2個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有0個(gè)零點(diǎn)．4．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在，有解，求的取值范圍．【解析】解：（1），當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，即．因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）在，有解，則，由（1）可知，遞增，遞減，，，，，．5．已知函數(shù)，，．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在，恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)，時(shí)，證明：．【解析】解：由函數(shù)，知：．（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，在定義域上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，令，解得，則，，變化情況如下表：0極小值的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（1）當(dāng)時(shí)，原不等式化為恒成立，可知．（2）當(dāng)時(shí)，則，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，則，在上單調(diào)遞減，，即，在上單調(diào)遞減，，，，當(dāng)，時(shí)，，，綜上所述：．證明：（1）當(dāng)時(shí)，，則，由可得時(shí)，，，則只需證明：成立，令，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，，，，．6．已知函數(shù)，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：，，；（2）若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，則所以在，上單調(diào)遞減，；所以：，，；（2）函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)；則在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；即在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；即在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；設(shè)，則；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；又，，；故實(shí)數(shù)的取值范圍為：7．已知函數(shù)，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：，，；（2）若函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)，時(shí)，，則，又因?yàn)椋援?dāng)，時(shí)，，僅時(shí)，，所以在，上是單調(diào)遞減，所以，即．（2），因?yàn)椋?，，①?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?，．?dāng)時(shí)，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，沒有極值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，所以存在，使，當(dāng)時(shí)，，，時(shí)，，所以在處取得極小值，為極小值點(diǎn)．綜上可知，若函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．8．已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)，，；（2）若函數(shù)在，上存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，且當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，，對(duì)，，；（2）令，則，令，函數(shù)在，上存在兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與函數(shù)在，上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由得，，令，則，，，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，，又，，當(dāng)，時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，的取值范圍為：，．9．已知函數(shù)．（1）若，討論方程根的情況；（2）若，，討論方程根的情況．【解析】解：（1），，令，．此時(shí)①若，在遞減，，無零點(diǎn)；②若，在遞增，，無零點(diǎn)；③若，在遞減，，遞增，其中．Ⅰ．若，則，，此時(shí)在無零點(diǎn)；Ⅱ．若，則，，此時(shí)在有唯一零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)或時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)．（2）解法一：，令，，①若，在遞增，，無零點(diǎn)；②若，在遞增，，遞減，，遞增．其中，顯然，消元：，其中，令，，，即，，無零點(diǎn)．綜上所述：，方程無解．解法二：令，．令，，．顯然在遞減，遞增，遞減，，，在遞減，，遞增，，遞減，其中．且，由洛必達(dá)法則：，，由，．綜上所述：，方程無解．10．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，證明：（1）在區(qū)間，上存在唯一極大值點(diǎn)；（2）在區(qū)間，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．【解析】證明：（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，則，在，上單減，在，上單減，則在，上單減，又，存在，使得，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，即在區(qū)間，上單增，在，上單減，即為唯一的極大值點(diǎn)，即在區(qū)間，上存在唯一極大值點(diǎn)；（2）由（1）知，，且在區(qū)間，上存在唯一極大值點(diǎn)，在區(qū)間，上單增，在，上單減，而，，故在，上恒有，函數(shù)在，上單增，又，，在區(qū)間，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．11．已知函數(shù)，其中為非零常數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）設(shè)，且，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)．【解析】解：（1）．若，因?yàn)?，，則，所以在上單調(diào)遞增，符合要求．若，則當(dāng)時(shí)，，從而，所以在上單調(diào)遞減，不合要求．綜上分析，的取值范圍是．（2）令，則，即．設(shè)，則．①當(dāng)時(shí)，，，則，，從而，所以單調(diào)遞減．②當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，，則，從而單調(diào)遞增．因?yàn)?，，則在上有唯一零點(diǎn)，記為，且當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增．③當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，，則，從而單調(diào)遞減．因?yàn)?，，則在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記為，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減．因?yàn)?，，則當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增．綜上分