2025年高考數(shù)學一輪復習：課時作業(yè)四十五 空間直線、平面的垂直

四十五空間直線、平面的垂直

（時間：45分鐘分值:75分）

【基礎落實練】

1.（5分）（多選題）若m,n,l為空間三條不同的直線,a/,7為空間三個不同的平面，則

下列為真命題的是（）

A.若mA-l,n///,則m_Ln

B.若m邛,m〃a,則a_l_￡

C.若口_1_那，%則a//B

D.若aPl尸加/Pl尸“，加〃”，則a//P

【解析】選AB.C中,a與夕可能平行或相交；

D中,a與￡可能平行或相交.

2.（5分）已知a,/3是兩個不同的平面工加,“是三條不同的直線，下列條件中，可以得

到l-La的是（）

A.Z±m(xù),/-L?,wca,77Ca

D.l//m,m_La

【解析】選D.對于A,/±m(xù),/±n,mca,nca,]JllJl與a相交、平行或/ua,故A錯誤;

對于//a,則/與a相交、平行或/ua,故B錯誤；

對于C,a_L￡,/〃⑸則I與a相交、平行或/ua,故C錯誤；

對于D,/〃加，加_La,則/_La,故D正確

3.（5分）如圖在斜三棱柱/5C4向G中,/A4C=90。乃CU4C,則G在底面ABC

上的射影〃必在（）

小

A.直線48上B.直線3C上

C.直線4c上D.&43c內(nèi)部

【解析】選A.由3cb得平面/5G.

因為/Cu平面"C,所以平面平面ABC,

所以G在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上.

4.（5分）如圖〃。=2氏為圓O的直徑,/尸。/=45。月4垂直于圓O所在的平面乃為

圓周上不與點力,。重合的點尸C,垂足為SHALL%,垂足為N,則下列結論不

正確的是（）

p

s

A.平面4NSJ_平面PBC

B.平面/NSJ_平面PAB

C.平面平面PBC

D.平面48C_L平面PAC

【解析】選B.因為PA±平面48ageu平面/5C,所以PALBC.又AB±

平面0/民所以3。，平面PAB又/Nu平面力民所以BC

UN.又因為ANtPB,BCCPB=B,PB,BCu平面可。，所以AN,平面PBC又ANu

平面/NSMNu平面及民所以平面力用,平面P5C,平面平面MC,所以

A,C正確,D顯然正確.

5.（5分）如圖，在四邊形48c7）中40〃5。40=/民/5。。=45。,/5/。=90。.將

△ADB沿BD折起,使平面ABD±平面38構成三棱錐A口為⑺,則在三棱錐

ADBCD中，下列結論正確的是（）

A.平面48D，平面ABC

B.平面4DC_L平面BDC

C.平面ABCL平面BDC

D.平面4DC，平面ABC

【解析】選D.因為在四邊形48CD中加〃BCdD=AB,/BCD=45o,NBAD=9。。,

所以8,又因為平面J_平面且平面/瓦加平面58=5。,所以

CDJ_平面48。,所以CC48,又因為ADLAB從DCCD=D,

所以AB±平面4DC,即平面ABCL平面ADC.

6.（5分）（多選題）如圖，梯形488中^D〃BC,/ABC=90OHD：BC：%B=2：3：

4,E,F分別是AB,CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折,則下列結論可

能正確的有（）

A.DF工BC

B.BDLFC

C.平面平面BCF

D.平面QC/，平面BCF

【解析】選BC.對于A,因為BC//ADAD與DF相交但不垂直，所以BC與DF

不垂直，則A錯誤;對于B,設點D在平面BCF上的射影為點P,

當BPLCF時就有BD±FC,^AD：BC：45=2：3：4可使條件滿足，所以B正

確;對于c,當點D在平面BCF上的射影P落在BF上時QPU平面凡從而平

面5。9，平面5CF,所以C正確;對于D,因為點D在平面3b上的射影不可能

在方。上，所以D錯誤.

【加練備選】

（多選題）如圖/4垂直于以43為直徑的圓所在的平面,。為圓上異于4夕的任意

一點HEJ_PC,垂足為瓦點F是PB上一點，則下列判斷中正確的是（）

A.3CJ_平面。4。

B.AE1EF

C.AC1PB

D.平面4成口_平面PBC

【解析】選ABD.對于A,PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，而3Cu底面

圓面，則又由圓的性質(zhì)可知AC±BCM平面P4C,則

5C_L平面所以A正確；

對于B,由A項可知5C_L4瓦由題意可知AE±PCM53。。=。乃。/。（=平面

PCB,

所以/百_1_平面PCR而E/七平面PCB,

所以所以B正確;

對于C,由B項可知平面PC民因而力。與平面PCB不垂直，

所以4CJ_W不成立，所以C錯誤；

對于D,由B項可知HE,平面平面/EF,由面面垂直的判定定理可得

平面AEFL平面WC,所以D正確.

7.（5分）如圖所示是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中，棱______所在

的直線與棱AB所在的直線是異面直線且互相垂直.（注:填上你認為正確的一條

棱即可，不必考慮所有可能的情況）

【解析】如圖，結合平面圖形還原出正方體,

結合正方體性質(zhì)易知棱CGQH,EH,FG所在的直線與棱所在的直線是異面

直線且互相垂直.

答案:（任選一個作答）

8.（5分）在正方體45。?？?5GA中,N為底面ABCD對角線的交點,P為棱

4。上的動點（不包括兩個端點）,M為線段/尸的中點，則下列結論正確的

是_______.(填寫所有正確結論的序號)

(1)CM與尸N是異面直線；

(2)若p為棱4A的中點則

(3)過PAC三點的正方體的截面一定不是等腰梯形;

(4)平面R4N，平面BDDXB}.

【解析】由A,N,C三點共線〃為AP的中點，可得直線CA,PM為相交直線，所以

CM,PN為相交直線，故(1)錯誤；

設正方體的棱長為2,則AC=2"MP=P)MT4N=",

537

C^AkP+AC^-IAM-AC-cosZPACq+8_2gc0sN尸/C^-2y/10cosZPAC,

222

PN^AN+AP-2AN-AP-cosZPAC^2+5-2yJ10cosZPAC^-2yfl0cosZPAC,

379

。心-川2^々々〉。,即故⑵正確；

在GA上取一點&連接KRKC4G,使得PK〃A[C],

由4G〃力°,可得PK//AC,

則截面PKCA為過PAC的正方體的截面,由正方體的性質(zhì)可得AP=CK,

則過P"三點的正方體的截面是等腰梯形，故(3)錯誤；

由正方形的性質(zhì)可得AC±BD,

3/工平面力平面43CD,可彳導BiBLAC,BDCB、B=B,

所以4C_L平面5noi及又4Cu平面R4N,所以平面尸/NJ_平面5DD向，故(4)正

確.

答案:⑵(4)

9.(5分)在正方體/5皿口48。。1中0是底面的中心，瓦EG,〃分別是棱

44B]B,CiCQQ的中點，請寫出一個與40垂直的正方體的截面:.

【解析】如圖，連接/C,瓦#GQG4G0G4G,

易知BDLAC,BD±AA],XACQAA^A,

故平面4CG4,因為/0u平面ACQAr,

故_L4。,設正方體的棱長為2,

貝U小O=(AA：+402=^^二m0G=Jo犬+靖=^^7TM4G=

+cd

=18+1=3，故/1G2=4O2+OG2,

故4。_1_。6,。6門5。=0,故40，平面GBD.

答案:平面G5。（答案不唯一）

10.（10分）如圖所示，在直角梯形BCEF中,NCBF=/BCE=90°AD分別是BF,CE

上的點4D〃3C,且Z）E=2"）=2/F（如圖1）,將四邊形ADEF沿AD折起，連接

5E石尸,CE（如圖2）.

（1）判斷四邊形5C即是否是平面四邊形，并寫出判斷理由；

【解析】（D結論:四邊形5。斯不可能是平面四邊形.理由如下:若民。乃尸共面,

則由BC//AD,BC//W^4DEF,可推出BC//EF,

又BC//AD^4D〃EF,矛盾.

所以四邊形BCEF不可能是平面四邊形.

（2）當EFLCF時，求證:平面40斯_1_平面ABCD.

【解析】⑵在平面3即中易得E7UQ,

又因為EF±CF,FDCCF=F,

所以平面CDF,又CZ）u平面DCF,

所以皿LCD,

又因為CD_L4D,而40,四延長后相交，

所以CC平面4DEF,

又因為CQu平面ABCD,

所以平面ADEFL平面ABCD.

【能力提升練】

11.（5分）《九章算術》中將底面是矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為

陽馬，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉月需.在如圖所示的陽馬2/5cZ）

中，側棱底面ABCDMPD=CD=BC點E,F分別為線段PB,PC的中點.下列

說法正確的是（）

A.四面體E-BCD和四面體F-BCD都是鱉月需

B.四面體E-BCD和四面體F-BCD都不是鱉月需

C.四面體E-BCD是鱉月需,四面體F-BCD不是鱉月需

D.四面體E-BCD不是鱉月需,四面體F-BCD是鱉月需

【解析】選D.不妨設立）=?！?gt;=3。=2廁DE=BE=5BD=2立

r）p2?RF2乙RD21

所以cos/BED=—皿）=一卜0,即切為鈍角，所以△瓦加為鈍角三角形,

乙U匕B匕3

則四面體E-5CZ）不是鱉月需；

即，底面458,貝UPDLBC,

又因為ABCD為正方形，

貝UCD1BC,PDCCD=D,

所以5UL平面PCZ）,

PCQbu平面則BC±DF,BC±PC,

又因為PQ=QC,且點F為線段PC的中點，

貝UPCLDF,

055。=。,所以。方，平面PBC,

3bu平面可。，貝［JDF±BF,

即可得CD±BC,BC±PC,PC±DFJ）F±BF,

所以△5CZ）,"'5CACZ）凡△瓦加均為直角三角形，則四面體F-BCD是鱉月需.

12.（5分）正方形ABCD的邊長為2,E,F分別是AB和CD的中點，將正方形沿EF

折成直二面角如圖所示,M為矩形4EFD內(nèi)的一點斯于點O,如果N

1

MSE=NMSC,tanNM5。與，那么線段MO的長為.

【解析】設跖)=q>0,由于平面/EF0_L平面5EFC,且交線為ERMOLEF,所以

平面3EFC,貝UMO1OB,

所以tanN〃SO4^=^1,則0B=2x,

則OE=j4%2-1,0上2=-14%2.LBM=&C,EM=?2."B^+EM^BM^BE1EM.

O0=(2-a抬-1『+12,g=

(2-+H+x2,由于N〃5E=NMSC,所以cosZWE=cosZWC,gP

5x+2+1+%'

2x巡xx2

解得即MO=^~.

13.（10分）如圖所示，在四棱錐PDABCD中，底面ABCD是/。48=60。且邊長為a

的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面48cA若G為AD的中點.

p