上海市上海交大附中2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

上海市上海交大附中2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（）A．1 B．-1 C．0 D．22．在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若,，則與相等的向量是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)（），若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．已知變量，滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為11，則圖中的判斷條件可以為（）A． B． C． D．6．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，設(shè)其前n項(xiàng)和，若（），則（）A．30 B． C． D．627．若向量，，則與共線的向量可以是（）A． B． C． D．8．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若點(diǎn)在角的終邊上，則（）A． B． C． D．9．已知點(diǎn)P在橢圓τ：=1(a>b>0)上，點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，設(shè)，直線AD與橢圓τ的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若PA⊥PB，則橢圓τ的離心率e=（）A． B． C． D．10．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．11．某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120°，并在扇形弧上正面等距安裝7個(gè)發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個(gè)，導(dǎo)線接頭忽略不計(jì))，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導(dǎo)線最小大致需要的長度為（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米12．已知銳角滿足則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求直線和曲線的普通方程；（2）設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).14．已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，其展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)__________．15．己知函數(shù)，若曲線在處的切線與直線平行，則__________.16．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，，則____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線與和分別交于點(diǎn)，求．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，過點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)。（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程：（2）若成等比數(shù)列，求a的值。19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍.20．（12分）如圖，直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，，分別為，的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，若平面.（1）求線段的長；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，四邊形為菱形，為與的交點(diǎn)，平面.（1）證明：平面平面；（2）若，，三棱錐的體積為，求菱形的邊長.22．（10分）已知拋物線的準(zhǔn)線過橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F，且點(diǎn)F到直線l：（c為橢圓焦距的一半）的距離為4.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)F做直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，線段AB的中垂線交直線l于點(diǎn)Q.若，求直線AB的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡，由復(fù)數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡可得，所以由復(fù)數(shù)定義可知，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，用作基底表示即可得解.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可知因?yàn)?，則即，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算，用基底表示向量，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

分段求解函數(shù)零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】作出和，的圖像如下所示：函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與有三個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)?，且由圖可知，當(dāng)時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，故只需當(dāng)時(shí)，與有一個(gè)交點(diǎn)即可.若當(dāng)時(shí)，時(shí)，顯然??=??(??)與??=4|??|有一個(gè)交點(diǎn)??，故滿足題意；時(shí)，顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點(diǎn)，故不滿足題意；時(shí)，顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點(diǎn)，故不滿足題意；時(shí)，顯然與有一個(gè)交點(diǎn)，故滿足題意.綜上所述，要滿足題意，只需.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，屬中檔題.4、B【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】解：由變量，滿足不等式組，畫出相應(yīng)圖形如下：可知點(diǎn),，在處有最小值，最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)程序框圖知當(dāng)時(shí)，循環(huán)終止，此時(shí)，即可得答案.【詳解】，.運(yùn)行第一次，，不成立，運(yùn)行第二次，，不成立，運(yùn)行第三次，，不成立，運(yùn)行第四次，，不成立，運(yùn)行第五次，，成立，輸出i的值為11，結(jié)束.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)充程序框圖判斷框的條件，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意模擬程序一步一步執(zhí)行的求解策略.6、B【解析】

根據(jù)，分別令，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公式，最后利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可知中：.由，分別令，可得、，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，因此.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.7、B【解析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng),切不可錯(cuò)位.8、D【解析】

由題知，又，代入計(jì)算可得.【詳解】由題知，又.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，二倍角公式的應(yīng)用求值.9、C【解析】

設(shè)，則，，，設(shè)，根據(jù)化簡得到，得到答案.【詳解】設(shè)，則，，，則，設(shè)，則，兩式相減得到：，，，即，，，故，即，故，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.10、D【解析】

求解不等式，得到集合A，B，利用交集、補(bǔ)集運(yùn)算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集混合運(yùn)算，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.11、B【解析】

由于實(shí)際問題中扇形弧長較小，可將導(dǎo)線的長視為扇形弧長，利用弧長公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榛￠L比較短的情況下分成6等分，所以每部分的弦長和弧長相差很小，可以用弧長近似代替弦長，故導(dǎo)線長度約為63(厘米).故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形弧長的計(jì)算，屬于容易題.12、C【解析】

利用代入計(jì)算即可.【詳解】由已知，，因?yàn)殇J角，所以，，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1），；（2），.【解析】

（1）利用代入消參的方法即可將兩個(gè)參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）利用參數(shù)方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，將問題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)最值的問題，即可求得.【詳解】（1）直線的普通方程為.在曲線的參數(shù)方程中，，所以曲線的普通方程為.（2）設(shè)點(diǎn).點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，以及利用參數(shù)方程求距離的最值問題，屬中檔題.14、【解析】

先令可得其展開式各項(xiàng)系數(shù)的和，又由題意得，解得，進(jìn)而可得其展開式的通項(xiàng)，即可得答案.【詳解】令，則有，解得，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，則其展開式中的第4項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題時(shí)需要區(qū)分展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和與各二項(xiàng)式系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由，根據(jù)正弦定理“邊化角”，可得，根據(jù)余弦定理，結(jié)合已知聯(lián)立方程組，即可求得角.【詳解】根據(jù)正弦定理：可得根據(jù)余弦定理：由已知可得：故可聯(lián)立方程：解得：.由故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求三角形的一個(gè)內(nèi)角，解題關(guān)鍵是掌握由正弦定理“邊化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）：;:．(2)【解析】

（1）由可得，由，消去參數(shù)，可得直線的普通方程為．由可得，將，代入上式，可得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）由（1）得，的普通方程為，將其化為極坐標(biāo)方程可得，當(dāng)時(shí)，，，所以．18、（1）l的普通方程；C的直角坐標(biāo)方程；（2）.【解析】

（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用消去參數(shù)即可得到直線的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程，代入曲線的方程，利用參數(shù)的幾何意義即可得出，從而建立關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】（1）由直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t得,，即為l的普通方程由，兩邊乘以得為C的直角坐標(biāo)方程.（2）將代入拋物線得由已知成等比數(shù)列，即，，，整理得（舍去）或.【點(diǎn)睛】熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、方程思想、直線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．19、（1）或；（2）或.【解析】試題分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解集，最后求并集（2）根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得最小值，再解含絕對(duì)值不等式可得的取值范圍.試題解析：（1）等價(jià)于或或，解得：或.故不等式的解集為或.（2）因?yàn)椋核裕深}意得：，解得或.點(diǎn)睛：含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向．20、（1）（2）【解析】

（1）先證得，設(shè)與交于點(diǎn)，在中解直角三角形求得，由此求得的值.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】（1）由題意，，設(shè)與交于點(diǎn)，在中，可求得，則，可求得，則（2）以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，，易得平面的法向量為.，，易得平面的法向量為.設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，所以.即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)線面垂直求邊長，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21、（1）證明見解析；（2）1【解析】

（1）由菱形的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得證；（2）設(shè)，分別求得，和的長，運(yùn)用三棱錐的體積公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】（1）四邊形為菱形，，平面，，又，平面，又平面，平面平面；（2）設(shè)，在菱形中，由，可得，，，，在中，可得，由面，知，為直角三角形，可得，三棱錐的體積，，菱形的邊長為1．【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定，注意運(yùn)用線面垂直轉(zhuǎn)化，考查三棱錐的體積的求法，考查化簡運(yùn)算能力和推理能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．22、（1）；（2）或.【解析】

（1）由拋物線的準(zhǔn)線方程求出的值，確定左焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)F到直線l：的距離為4