山西省懷仁第一中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測試題含解析

山西省懷仁第一中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓，若存在過點的直線與圓C相交于不同兩點A，B，且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.2．設太陽光線垂直于平面，在陽光下任意轉動棱長為一個單位的立方體，則它在平面上的投影面積的最大值是（）A.1 B.C. D.3．已知，分別是圓和圓上的動點，點在直線上，則的最小值是（）A. B.C. D.4．已知，，點為圓上任意一點，設，則的最大值為（）A. B.C. D.5．已知實數(shù)a，b滿足，則下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為，則判斷框中應填入（）A.？ B.？C.？ D.？7．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.8．下列命題中正確的是（）A.函數(shù)最小值為2.B.函數(shù)的最小值為2.C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)的最大值為9．命題“對任何實數(shù)，都有”的否定形式是（）A.，使得B.，使得C.，使得D.，使得10．已知數(shù)列滿足，，，前項和（）A. B.C. D.11．函數(shù)的定義域為，，對任意，，則的解集為（）A. B.C. D.12．曲線上的點到直線的距離的最小值是（）A.3 B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫出一個同時具有性質(zhì)①②的函數(shù)___________.（不是常值函數(shù)），①為偶函數(shù)；②.14．已知函數(shù)，若遞增數(shù)列滿足，則實數(shù)的取值范圍為__________.15．已知數(shù)列是遞增等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項和等于.16．已知函數(shù)，則函數(shù)在上的最大值為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線與雙曲線交于，兩點，為坐標原點（1）當時，求線段的長；（2）若以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求的值18．（12分）設等差數(shù)列的前項和為，為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，再從條件①：；②：；③：這三個條件中選擇一個作為已知，解答下列問題：（1）求和的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，求證：19．（12分）設a，b是實數(shù)，若橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓E的標準方程；（2）過橢圓E的上頂點P分別作斜率為，的兩條直線與橢圓交于C，D兩點，且，試探究過C，D兩點的直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；否則，說明理由.20．（12分）如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為，延長直徑到點，使得，分別過點、作底面圓的切線，兩切線相交于點，點是切線與圓的切點（1）證明：平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求該圓錐的體積21．（12分）已知直線l的斜率為-2，且與兩坐標軸的正半軸圍成三角形的面積等于1．圓C的圓心在第四象限，直線l經(jīng)過圓心，圓C被x軸截得的弦長為4．若直線x－2y－1＝0與圓C相切，求圓C的方程22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，底面ABCD，E為BP的中點，，（1）證明：平面PAD；（2）求平面EAC與平面PAC夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)圓的割線定理，結合圓的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因為，所以，于是有，因為，所以，而，或，所以，故選：D2、C【解析】確定正方體投影面積最大時,是投影面與平面AB'C平行，從而求出投影面積的最大值.【詳解】設正方體投影最大時，是投影面與平面AB'C平行，三個面的投影為兩個全等的菱形，其對角線為，即投影面上三條對角線構成邊長為的等邊三角形，如圖所示，所以投影面積為故選：C3、B【解析】由已知可得，，求得關于直線的對稱點為，則，計算即可得出結果.【詳解】由題意可知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑設關于直線的對稱點為，則解得，則因為，分別在圓和圓上，所以，，則因為，所以故選：B.4、C【解析】根據(jù)題意可設，再根據(jù)，求出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：由點為圓上任意一點，可設，則，由，得，所以，則，則，其中，所以當時，取得最大值為22.故選：C.5、D【解析】利用特殊值排除錯誤選項，利用函數(shù)單調(diào)性證明正確選項.【詳解】時，，但，所以A選項錯誤.時，，但，所以B選項錯誤.時，，但，所以C選項錯誤.在上遞增，所以，即D選項正確.故選：D6、C【解析】本題為計算前項和，模擬程序，實際計算求和即可得到的值.【詳解】由題意可知：輸出的的值為數(shù)列的前項和.易知，則，令，解得.即前7項的和.為故判斷框中應填入“？”.故選：C.7、B【解析】由條件可得，即可得到答案.【詳解】方程表示焦點在y軸上的雙曲線所以，即故選：B8、D【解析】根據(jù)基本不等式知識對選項逐一判斷【詳解】對于A，時為負值，故A錯誤對于B，，而無解，無法取等，故B錯誤對于，當且僅當即時等號成立，故，D正確，C錯誤故選：D9、B【解析】可將原命題變成全稱命題形式，而全稱命題的否定為特稱命題，即可選出答案.【詳解】命題“對任何實數(shù)，都有”，可寫成：，使得，此命題為全稱命題，故其否定形式為：，使得.故選：B.10、C【解析】根據(jù)，利用對數(shù)運算得到，再利用等比數(shù)列的前n項和公式求解.【詳解】解：因為，所以，則，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，故選：C11、B【解析】構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，將不等式轉化為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】依題意可設，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為.所以要使，即，只需要，故選B.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題的關鍵就是利用導數(shù)不等式的結構構造新函數(shù)來解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.12、D【解析】求出函數(shù)的導函數(shù)，設切點為，依題意即過切點的切線恰好與直線平行，此時切點到直線的距離最小，求出切點坐標，再利用點到直線的距離公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，設切點為，則，解得，所以切點為，點到直線的距離，所以曲線上的點到直線的距離的最小值是；故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（答案不唯一）【解析】利用導函數(shù)周期和奇偶性構造導函數(shù)，再由導函數(shù)構造原函數(shù)列舉即可.【詳解】由知函數(shù)的周期為，則，同時滿足為偶函數(shù)，所以滿足條件.故答案為：（答案不唯一）.14、【解析】根據(jù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于是遞增數(shù)列，所以.所以的取值范圍是.故答案為：15、【解析】由題意，，解得或者，而數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，即，所以，因而數(shù)列的前項和，故答案為.考點：1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.等比數(shù)列的前項和公式.16、【解析】利用導數(shù)單調(diào)性求出的單調(diào)性，比較極小值與兩端點，的大小求出在上的最大值.【詳解】因為，則，令，即時，函數(shù)單調(diào)遞增.令，即時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值也是函數(shù)的最小值.，兩端點為，，即最大值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，利用弦長公式可求弦長.（2）根據(jù)圓過原點可得，設，從而，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后利用韋達定理化簡前者可得所求的參數(shù)的值.【小問1詳解】當時，直線，設，由可得，此時，故.【小問2詳解】設，因為以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，故，故，由可得，故且，故.而可化為即，因為，所以，解得，結合其范圍可得.18、（1）an＝n，bn＝（2）證明見解析【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，q＞0，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，列出方程組求解即可得答案；（2）求出，利用裂項相消求和法求出前項和為，即可證明【小問1詳解】解：設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，q＞0，選①：，又，，可得1+5d＝3q，1+4d＝5d，解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n，bn＝；選②：，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，q4＝4（q3﹣q2），解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n，bn＝；選③：，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，8+28d＝6（3+3d），解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n，bn＝；小問2詳解】證明：由（1）知，，，所以19、（1）；（2）過定點，坐標為.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結合代入法進行求解即可；（2）根據(jù)直線斜率公式和一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解即可.【小問1詳解】因為橢圓離心率為，所以有.橢圓過點，所以，由可解：，所以該橢圓方程為：；【小問2詳解】由（1）可知：，設直線的方程為：，若，由橢圓的對稱性可知：，不符合題意，當時，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得：，設，，，因為，所以，把代入得：，所以有或，解得：或，當時，直線，直線恒過定點，此時與點重合，不符合題意，當時，，直線恒過點，當直線不存在斜率時，此時，，因為，所以，兩點不在橢圓上，不符合題意，綜上所述：過C，D兩點的直線過定點，定點坐標為.【點睛】關鍵點睛：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關系是解題的關鍵.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由線面垂直、切線的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直的判定即可證結論.（2）若，構建為原點，、、為x、y、z軸的空間直角坐標系，求面、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標表示及其對應的余弦值求R，最后由圓錐的體積公式求體積.【小問1詳解】由題設，底面圓，又是切線與圓的切點，∴底面圓，則，且，而，∴平面.【小問2詳解】由題設，若，可構建為原點，、、為x、y、z軸的空間直角坐標系，又，可得，∴，，，有，，若是面的一個法向量，則，令，則，又面的一個法向量為，∴，可得，∴該圓錐的體積21、【解析】先根據(jù)題意設直線方程，由條件求出直線的方程，再根據(jù)條件列出等量關系，求出圓心和半徑，進而求得答案.【詳解】解：設直線l的方程為y＝－2x＋b（b＞0），它與兩坐標軸的正半軸的交點依次為，，因為直線l與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形的面積等于1，所以，解得b＝2，所以直線l的方程是，即由題意，可設圓C的圓心為，半徑為r，又因為圓C被x軸截得的弦長等于4，所以①，由于直線與圓相切，所以圓心C到直線的距離②，所以①②聯(lián)立得：，解得：或，又圓心在第四象限，所以，則圓心，，所以圓C方程是.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過作輔助線，構造平行四邊形，在平面PAD找到線并證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標系，求出相應點的坐標，進而求得相關的向量坐標，求出平面EAC與平面PAC的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得答案