湖北省武漢市江夏一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

湖北省武漢市江夏一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足公比0＜q＜1，＜0，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.一定單調(diào)遞減 B.一定單調(diào)遞增C.式子-≥0恒成立 D.可能滿足=，且k≠12．若雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是（）A. B.C. D.3．函數(shù)直線與的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B.C. D.4．若函數(shù)，滿足且，則（）A.1 B.2C.3 D.45．執(zhí)行如圖所示的算法框圖，則輸出的結(jié)果是（）A. B.C. D.6．已知雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.13 B.39C.45 D.218．命題：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（）A.x>0，使得x2－x+1≤0 B.x>0，使得x2－x+1>0C.x>0，都有x2－x+1>0 D.x≤0，都有x2－x+1>09．命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A.a≥4 B.a≤4C.a≥5 D.a≤510．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.11．下列命題錯(cuò)誤的是（）A，B.命題“”的否定是“”C.設(shè)，則“且”是“”的必要不充分條件D.設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件12．定義在R上的函數(shù)與函數(shù)在上具有相同的單調(diào)性，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，則其通項(xiàng)公式________14．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，公差，為其前n項(xiàng)和，滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，______15．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1，AB＝BC＝2，CC1＝1，則直線AD1與B1D所成角的余弦值為_(kāi)_.16．已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓O的切線，則切線方程為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求證：為等比數(shù)列18．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）19．（12分）已知圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)，P是該圓上任意一點(diǎn)，AP，PB的延長(zhǎng)線分別交直線于M，N兩點(diǎn).（1）若弦AP長(zhǎng)為2，求直線PB的方程；（2）以線段MN為直徑作圓C，當(dāng)圓C面積最小時(shí)，求此時(shí)圓C的方程.20．（12分）已知焦點(diǎn)為F的拋物線上一點(diǎn)到F的距離是4（1）求拋物線C的方程（2）若不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（A，B位于x軸兩側(cè)），C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)E，直線與分別交于點(diǎn)M，N，若，證明：直線l過(guò)定點(diǎn)21．（12分）p：方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)數(shù)根；q：方程無(wú)實(shí)數(shù)根，若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍、22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率，請(qǐng)?jiān)購(gòu)南旅鎯蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，完成下面的問(wèn)題：①橢圓C過(guò)點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上（只能從①②中選擇一個(gè)作為已知）（1）求橢圓C的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，且，M，三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和的意義，可逐項(xiàng)分析求解.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足公比0＜q＜1，＜0，所以當(dāng)時(shí)，由可得，故數(shù)列為增函數(shù)，故B正確；由0＜q＜1，＜0知，所以，故一定單調(diào)遞減，故A正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以，即-，當(dāng)時(shí)，，綜上，故C正確；若=，且k≠1，則，即，因?yàn)?，故，故矛盾，所以D不正確.故選：D2、B【解析】由條件結(jié)合雙曲線的定義可得，然后可得，然后可求出的范圍即可.【詳解】由雙曲線的定義可得，結(jié)合可得當(dāng)點(diǎn)不為雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)，可得，即當(dāng)點(diǎn)為雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)，可得，即所以，所以，所以所以雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是故選：B3、C【解析】先求出AB坐標(biāo)，表示出，規(guī)定函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)求最小值.【詳解】聯(lián)立解得可得點(diǎn)．聯(lián)立解得可得點(diǎn)．由題意可得解得，令，其中，∴．∴函數(shù)單調(diào)遞減；．因此，的最小值為故選：C【點(diǎn)睛】距離的最值求解：（1）幾何法求最值；（2）代數(shù)法：表示出距離，利用函數(shù)求最值.4、C【解析】先取，得與之間的關(guān)系，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算直接求導(dǎo)，代值可得.【詳解】取，則有，即，又因?yàn)樗裕?，所?故選：C5、B【解析】列舉出循環(huán)的每一步，利用裂項(xiàng)相消法可求得輸出結(jié)果.【詳解】第一次循環(huán)，不成立，，；第二次循環(huán)，不成立，，；第三次循環(huán)，不成立，，；以此類推，最后一次循環(huán)，不成立，，.成立，跳出循環(huán)體，輸出.故選：B.6、A【解析】求出、的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：A.7、B【解析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，則.故選：B.8、B【解析】全稱命題的否定是特稱命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故選：B9、C【解析】先要找出命題為真命題的充要條件，從集合的角度充分不必要條件應(yīng)為的真子集，由選擇項(xiàng)不難得出答案【詳解】命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題，可化為?x∈[1，2]，恒成立即只需，即命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的的充要條件為，而要找的一個(gè)充分不必要條件即為集合的真子集，由選擇項(xiàng)可知C符合題意.故選：C10、C【解析】由題意，得到，利用疊加法求得，結(jié)合由，轉(zhuǎn)化為恒成立，分，和三種情況討論，即可求解.【詳解】因?yàn)?，可得，所以，所以，各式相加可得，所以，由，可得恒成立，整理得恒成立，?dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立；當(dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立，所以，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.11、C【解析】根據(jù)題意，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一進(jìn)行分析，舉出例子當(dāng)時(shí)，，即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)充分條件和必要條件的定義，即可判斷CD選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，得“”的否定是“”，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)且時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，卻不一定有且，如，因此“且”是“”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有可能等于0，當(dāng)時(shí)，必有，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：C.12、B【解析】判定函數(shù)單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)在的單調(diào)性列式計(jì)算作答.【詳解】由函數(shù)得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則在R上單調(diào)遞減，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，，即，而在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，所以k的取值范圍是.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用累加法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，，…，，把以上個(gè)式子相加，得，即，所以.故答案為：.14、9或10【解析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的使用.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，且，得，得，則有，又因?yàn)?，公差，所以?0時(shí)，取得最大值故答案為：9或1015、【解析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出，的坐標(biāo)，由向量夾角公式可得答案.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸的正方向建立如圖的坐標(biāo)系，∵AB＝BC＝2，CC1＝1，∴，，，，則，，則，，則cos＜，＞＝＝，即AD1與B1D所成角的余弦值為，故答案為：.16、或【解析】首先判斷點(diǎn)圓位置關(guān)系，再設(shè)切線方程并聯(lián)立圓的方程，根據(jù)所得方程求參數(shù)k，即可寫出切線方程.【詳解】由題設(shè)，，故在圓外，根據(jù)圓及，知：過(guò)作圓O的切線斜率一定存在，∴可設(shè)切線為，聯(lián)立圓的方程，整理得，∴，解得或.∴切線方程為或.故答案為：或.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由已知條件列出關(guān)于的方程組，解方程組求出，從而可求出的通項(xiàng)公式，（2）由（1）可得，然后利用等比數(shù)列的定義證明即可【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則由，，得，解得，所以【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）得，所以，（）所以數(shù)列是以9為公比，27為首項(xiàng)的等比數(shù)列18、（1）（2）【解析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；（2）利用分式不等式的解法求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以，解得，所以不等式的解集是；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，解得，所以不等式的解集?19、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)圓的直徑的性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】在方程中，令，解得，或，因?yàn)锳P，PB的延長(zhǎng)線分別交直線于M，N兩點(diǎn)，所以，圓心在x軸上，所以，因?yàn)?，，所以有，?dāng)P在x軸上方時(shí)，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，當(dāng)P在x軸下方時(shí)，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，因此直線PB的方程為或；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，，所以設(shè)直線的斜率為，因此直線的斜率為，于是直線的方程為：，令，，即直線的方程為：，令，，即，因?yàn)橥?hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是有以線段MN為直徑作圓C，當(dāng)圓C面積最小時(shí)，此時(shí)最小，當(dāng)時(shí)，和，中點(diǎn)坐標(biāo)為：，半徑為，所以圓的方程為：，同理當(dāng)時(shí)，和，中點(diǎn)坐標(biāo)為：，半徑為，所以圓的方程為：，綜上所述：圓C的方程為.20、（1）；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析.【解析】（1）利用拋物線的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解證明即可.【小問(wèn)1詳解】該拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到F的距離是4，所以有，所以拋物線C的方程為：；【小問(wèn)2詳解】該拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線l的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，得，不妨設(shè)，因此，直線的斜率為：，所以方程為：，當(dāng)時(shí)，，即，同理，因?yàn)?，所以有，而，所以有，所以直線l的方程為：，因此直線l恒過(guò).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：把直線l的方程為：，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21、【解析】利用復(fù)合命題的真假推出兩個(gè)命題為一真一假，求出m的范圍即可.【詳解】：方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)數(shù)根，解得，：方程無(wú)實(shí)數(shù)根，解得，所以：，：或.因?yàn)闉檎婷}，為假命題，所以真假，或假真.（1）當(dāng)真假時(shí)，即真為真，所以，解得；（2）當(dāng)假真時(shí)，即真為真，所以，解得.綜上，取值范圍為22、（1）（2）證明見(jiàn)解析，【解析】（1）若選①，則由題意可得，解方程組求出，從而可求得橢圓方程，若選②，，再結(jié)合離心率和求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意設(shè)直線MN的方程為，設(shè)，，，將直線方程代入橢圓方程中，消去，再利用