衡水市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

衡水市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.2．已知橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，橢圓C上有一點(diǎn)P，則的周長(zhǎng)為（）A.8 B.10C. D.123．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.4．為了了解某地區(qū)的名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，打算從中抽取一個(gè)容量為的樣本，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法，需從總體中剔除個(gè)個(gè)體，在整個(gè)過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被剔除的概率和每個(gè)個(gè)體被抽取的概率分別為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，則等于（）A.0 B.2C. D.6．為了了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為50的樣本，則分段的間隔為（）A.20 B.25C.40 D.507．若圓與直線相切，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.或3C. D.或8．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.（±4，0） B.（0，±4）C.（±5，0） D.（0，±5）9．某產(chǎn)品的銷售收入（萬(wàn)元）是產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，生產(chǎn)成本（萬(wàn)元）是產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，要使利潤(rùn)最大，則該產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（）A.6千臺(tái) B.7千臺(tái)C.8千臺(tái) D.9千臺(tái)10．如果雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.11．已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，則能使點(diǎn)P為線段AB中點(diǎn)的直線l的條數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.312．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.14．用秦九韶算法求函數(shù)，當(dāng)時(shí)的值時(shí)，___________15．若數(shù)列滿足，則稱為“追夢(mèng)數(shù)列”.已知數(shù)列為“追夢(mèng)數(shù)列”，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.16．某古典概型的樣本空間，事件，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求的值；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知點(diǎn)是拋物線C：上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且，直線l：與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.（1）求拋物線C的方程；（2）若，求k的值.19．（12分）已知函數(shù)，其中常數(shù)，（1）求單調(diào)區(qū)間；（2）若且對(duì)任意，都有，證明：方程有且只有兩個(gè)實(shí)根20．（12分）（1）已知：函數(shù)有零點(diǎn)；：所有的非負(fù)整數(shù)都是自然數(shù).若為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知：；：.若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）在2016珠海航展志愿服務(wù)開(kāi)始前，團(tuán)珠海市委調(diào)查了北京師范大學(xué)珠海分校某班50名志愿者參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)和賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)的情況，數(shù)據(jù)如下表：?jiǎn)挝唬喝藚⒓又驹阜?wù)禮儀培訓(xùn)未參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)參加賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)88未參加賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)430（1）從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)培訓(xùn)的概率；（2）在既參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)又參加賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A，A，A，A，A名女同學(xué)B，B，B現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求A被選中且B未被選中的概率.22．（10分）已知的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為46，（1）求n；（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意，將該幾何體放置于正方體中截得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求邊長(zhǎng)為2的正方體的外接球，再求解即可.【詳解】解：因?yàn)樵谌忮F中，，所以將三棱錐補(bǔ)形成正方體如圖所示，正方體的邊長(zhǎng)為2，則體對(duì)角線長(zhǎng)為，外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故選：.2、B【解析】根據(jù)橢圓的定義可得：，所以的周長(zhǎng)等于【詳解】因?yàn)?，，所以，故的周長(zhǎng)為故選：B3、C【解析】由題意得出，構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得出對(duì)任意的恒成立，利用參變量分離法可得出，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則對(duì)任意的恒成立，，令，其中，則.，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；又，所以.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.4、D【解析】根據(jù)每個(gè)個(gè)體被抽取的概率都是相等的、被剔除的概率也都是相等的，分別由剔除的個(gè)數(shù)和抽取的樣本容量除以總體個(gè)數(shù)即可求解.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法可知：每個(gè)個(gè)體被抽取的概率都是相等的，每個(gè)個(gè)體被剔除的概率也都是相等的，所以每個(gè)個(gè)體被剔除的概率為，每個(gè)個(gè)體被抽取的概率為，故選：D.5、D【解析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，進(jìn)而求出導(dǎo)函數(shù)，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.6、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣定義可求得結(jié)果【詳解】分段的間隔為故選：A7、D【解析】利用圓心到直線的距離等于半徑可得答案.【詳解】若圓與直線相切，則到直線的距離為，所以，解得，或.故選：D.8、A【解析】根據(jù)橢圓的方程求得的值，進(jìn)而求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到答案.【詳解】由橢圓，可得，則，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和.故選：A.9、A【解析】構(gòu)造利潤(rùn)函數(shù)，求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，求得最大值處對(duì)應(yīng)的自變量即可.【詳解】設(shè)利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則，∴.令，解得（舍去）或，經(jīng)檢驗(yàn)知既是函數(shù)的極大值點(diǎn)又是函數(shù)的最大值點(diǎn)，∴應(yīng)生產(chǎn)6千臺(tái)該產(chǎn)品.故選：A【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某區(qū)間上最值的規(guī)律：(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減，與一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上有極值，要先求出上的極值，與，比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)函數(shù)在區(qū)間上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到10、D【解析】根據(jù)漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，然后將點(diǎn)代入，進(jìn)而求得答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以設(shè)雙曲線方程為，將代入得：，即雙曲線方程為.故選：D.11、A【解析】先假設(shè)存在這樣的直線，分斜率存在和斜率不存在設(shè)出直線的方程，當(dāng)斜率k存在時(shí)，與雙曲線方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則，，又根據(jù)是線段的中點(diǎn)，則，由此求出與矛盾，故不存在這樣的直線滿足題意；當(dāng)斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線不滿足條件，故符合條件的直線不存在.詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為或，①當(dāng)斜率存在時(shí)有，得(*)當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則必有：，即又方程(*)的兩個(gè)不同的根是兩交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，又為線段的中點(diǎn)，，即，，使但使，因此當(dāng)時(shí)，方程①無(wú)實(shí)數(shù)解故過(guò)點(diǎn)與雙曲線交于兩點(diǎn)、且為線段中點(diǎn)的直線不存在②當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線不滿足條件.綜上，符合條件的直線不存在故選：A12、B【解析】求得中的取值范圍，由此確定充分、必要條件.【詳解】，，所以“”是“”的充要條件.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2n+1【解析】由計(jì)算，再計(jì)算可得結(jié)論【詳解】由題意時(shí)，，又適合上式，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由求通項(xiàng)公式，解題根據(jù)是，但要注意此式不含，14、0【解析】利用秦九韶算法的定義計(jì)算即可.【詳解】故答案為:015、##【解析】根據(jù)題意，由“追夢(mèng)數(shù)列”的定義可得“追夢(mèng)數(shù)列”是公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而可得若數(shù)列為“追夢(mèng)數(shù)列”，則為公比為3的等比數(shù)列，進(jìn)而由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案【詳解】根據(jù)題意，“追夢(mèng)數(shù)列”滿足，即，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列為“追夢(mèng)數(shù)列”，則.故答案為：.16、##0.5【解析】根據(jù)定義直接計(jì)算得到答案.【詳解】.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，解之即可得解；（2）在上恒成立，即在上恒成立，從而，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍【小問(wèn)1詳解】解：，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以，解得；【小問(wèn)2詳解】解：在上恒成立，即在上恒成立，，，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，有上單調(diào)遞增，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是18、（1）；（2）1或.【解析】(1)根據(jù)拋物線的定義，即可求得p值；(2)由過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義，即可求出弦長(zhǎng)AB【詳解】（1）拋物線C：的準(zhǔn)線為，由得：，得.所以拋物線的方程為.（2）設(shè)，，由，，∴，∵直線l經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，∴解得：，所以k的值為1或.【點(diǎn)睛】考核拋物線的定義及過(guò)焦點(diǎn)弦的求法19、（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，談?wù)搮?shù)的范圍，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得單調(diào)區(qū)間；（2）由已知可解得，構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)（1）的結(jié)論，可知函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，可證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】定義域?yàn)?，因?yàn)?，若，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，若，,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【小問(wèn)2詳解】證明：若且對(duì)任意，都有，則在處取得最小值，由（1）得在取得最小值，得，令，則單調(diào)性相同，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，且，，，所以在(1e2，所以在和各有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有且只有兩個(gè)實(shí)根20、（1）；（2）.【解析】(1)易知為真命題，根據(jù)且命題的真假可知為假命題，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程的根之間的關(guān)系得出，解不等式即可；(2)根據(jù)一元二次不等式的解法可得和，結(jié)合必要不充分條件的概念可得，利用集合與集合之間的關(guān)系即可得出答案.【詳解】解：（1）對(duì)于：所有的非負(fù)整數(shù)都是自然數(shù)，顯然正確.因?yàn)闉榧?，所以為?所以“函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)”為真，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）對(duì)于：，解得或.對(duì)于，不等式的解集為，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以所以或，所以或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)知未參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)又未參加賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)的有30人，故至少參加上述一個(gè)培訓(xùn)的共有人.從而求得概率；（2）從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，列出其一切可能的結(jié)果，從而求得被選中且未被選中的概率.【詳解】解：由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)又未參加賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)的有30人，故至少參加上述一個(gè)培訓(xùn)的共有人.從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個(gè)培訓(xùn)的概率為；從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其一切可能的