2024年高考數(shù)學復(fù)習：函數(shù)的基本性質(zhì)Ⅰ-單調(diào)性與最值（解析版）

【一輪復(fù)習講義】2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

第07講函數(shù)的基本性質(zhì)I.單調(diào)性與最值

(精講)

題型目錄一覽

①函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

③復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

④函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

⑤函數(shù)的最值(值域)

一、知識點梳理

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)增函數(shù)：若對于定義域/內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量為、/，當

西＜々時，都有/(再)＜/(/),那么就說函數(shù)/(X)在區(qū)間。上是增函數(shù)；

(2)減函數(shù)：若對于定義域/內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量西、/，當

X時,都有

/(x1)＞/(x2),那么就說函數(shù)/(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).

(3)【特別提醒】

①單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式或集合表示.

②有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用符號連接，也不能用“或”連接，只能用“逗號”或“和”

連接.

2.函數(shù)的最值

(1)最大值：一般地，設(shè)函數(shù)＞=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：

①對于任意的xe/,都有②存在使得

那么，我們稱/是函數(shù)＞=/(x)的最大值.

(2)最小值：一般地，設(shè)函數(shù)＞=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)加滿足：

①對于任意的xe/,都有/(x)之加；②存在x°e/,使得/(%)=加.

那么，我們稱加是函數(shù)＞=/(x)的最小值.

(3)函數(shù)最值存在的兩個結(jié)論

①閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.②開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大

(小)值.

【常用結(jié)論】

l.Vxi,x2er＞(xi#2),"*)―)＞0o/(x)在D上是增函數(shù);八“)—，」2)〈09)

在。上是減函數(shù).

2.對勾函數(shù)y=x+@(。＞0)的增區(qū)間為(一%—6］和［Ji,+oo),減區(qū)間為［一0)

x

和(0,4a］.

3.當4)，g(x)都是增(減)函數(shù)時，々)+g(x)是增(減)函數(shù).

4.若左＞0,則飲x)與加)單調(diào)性相同；若左V0,則軟x)與外)的單調(diào)性相反.

5.函數(shù)y=/(x)在公共定義域內(nèi)與y=的單調(diào)性相反.

/(x)

6.復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］的單調(diào)性與函數(shù)了=/3)和"=g(x)的單調(diào)性關(guān)系是“同增異減”.

二、題型分類精講

題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

畬策略方法1.定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

設(shè)元任取%],%￡且％1<%2

作差/(%)-/(%)

晶籥亮花建芟的裝芬林:帝沅亮芬裝而

變形

一般要通分

定號面驪際二元G高定責...........

前藉由商藪7(￡)茬要兔反面萬工面簞?wù)b

下結(jié)論

性

2.判斷函數(shù)單調(diào)性的四種方法

(1)圖象法;(2)性質(zhì)法;(3)導(dǎo)數(shù)法;(4)定義法.

3.證明函數(shù)單調(diào)性的兩種方法

(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法.

【典例1】設(shè)函數(shù)〃x)=土在x>2),指出了⑺在(2,+s)上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.

x—2

【答案】"X)在(2,+8)上單調(diào)遞增，證明見解析

【分析】設(shè)定義域內(nèi)再>%>2,再計算/&)-/a)的正負判斷即可.

【詳解】"X)在(2,+8)上單調(diào)遞增，證明如下:

,、~X+1—X+2—11TJ.crt,r

/r(x)=—~=一1—9取再>々>2,貝！]

x-2x-2x-2

11再-2-馬+2X]-%

—

x2—2再—2(M—2)(X22)(再—2)(%2—2)

x_

因為西〉%>2,貝!|石一％2>0,(i2)(X2-2)>0,得

/(^)-/(^)>0,所以，/(X)在(2,+⑹上單調(diào)遞增.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

西-x

1.設(shè)函數(shù)V=/(x)滿足：對任意的士,乙eR都有2>。，則〃一3)與/(一兀)大

/(xj-/(x2)

小關(guān)系是()

A.〃-3)>〃-兀)B./(-3)>/(-7t)

C./(-3)</(-K)D./(-3)</(-7i)

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件確定函數(shù)的單調(diào)性，進而比較函數(shù)值大小即可.

【詳解】因為〃；］；(/)>°'當國時/(否)>/(無2)；當X]<%2時/(%)</(%);

所以函數(shù)在實數(shù)R上單調(diào)遞增，又-3>-兀，所以/(-3)>〃-兀).

故選：A

2.設(shè)函數(shù)/(&)的定義域為我，已知。"(x)為我上的減函數(shù)，q:3xi<x1,/(^)>/(x2),則

。是0的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與充分必要條件定義判斷即可.

【詳解】若函數(shù)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，貝！|叫<孫/區(qū))>/(%),反之不成立，所以

〃是0的的充分不必要條件.

故選：A

二、填空題

3.若/(司=去，則函數(shù)在xe［O,l］上的值域是.

【答案】［05

【分析】先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在［05上單調(diào)遞增，進而即可求得值域.

2x+124+1+2

【詳解】/(x)=—=()-(^)=26+1-2_4，

v7x+1x+1I7X+1

任取毛，x2G［0,1］,且王＜工2，

則小)-小)=含-臺=%言瑞產(chǎn)＜。，

所以〃再)＜八/),

所以函數(shù)“X)在［0』上單調(diào)遞增，

則/(力砧=/(。)=。，〃無。=〃1)=1，

所以函數(shù)在X?0,1］上的值域是［0,1］.

故答案為：［0』.

4.對于函數(shù)/(無)=/定義域內(nèi)的任意占,三且占7%,給出下列結(jié)論：

(1)/(^+%2)=/(^)/(%2)

(2)f(xlx2)=f(xl)f(x2)

(3)也“?＞o

X］-x2

(4)〃3)+小)

其中正確結(jié)論為：

【答案】(2)(3)(4)

【分析】舉反例否定(1);利用塞的運算性質(zhì)判斷(2)；利用塞函數(shù)單調(diào)性判斷(3)；利

用求差法比較二者的大小判斷(4).

【詳解】(1)當網(wǎng)=1,%=2時，/(X1+X2)=/(3)=V3,/(oi)/(x2)=/(l)/(2)=V2

則小+々)片W?),故錯誤；

(2)/(無/)=7^="?后=/(再)/(々)，故正確；

(3)函數(shù)/(x)=￡為增函數(shù)，則">0,故正確;

(4)由再工建可得>0,

2

貝uf［七t-尤)=-惠；《>o,故正確

故(2)(3)(4)正確.

故答案為：(2)(3)(4)

三、解答題

5.根據(jù)定義證明函數(shù)y=x+^在區(qū)間(1,+網(wǎng)上單調(diào)遞增.

X

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義創(chuàng)建相關(guān)不等式證明即可.

【詳解】VX］,x2e(l,+oo),且無］</，有

=(X]-x2)+%占=%>(xj-1).

由X1,X,e(l,+oo),得%>1,x2>1,所以再遍>1,xlx2-l>Q,

又由尤］<%，得再一/<0,于是土紋(再%-1)<。，即必〈外.

所以，函數(shù)y=x+^在區(qū)間(1,+⑹上單調(diào)遞增.

X

6.已知函數(shù)〃"=筌,/⑴=；,/(0)=0.

⑴求/(x)的解析式；

⑵判斷并證明函數(shù)/(x)在(f,-2)上的單調(diào)性.

【答案】(1)〃》)=金

(2)單調(diào)遞增，證明見解析

【分析】⑴根據(jù)〃1)=；J(0)=0代入即可求得的解析式;

(2)先判斷/"(x)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性的定義證明即可.

/(o)=-=0

【詳解】(1)解:由題意得2,

解得。=1,6=0,

(2)“X)在(f,-2)上單調(diào)遞增，證明如下:

設(shè)任意網(wǎng)<馬<-2,

則〃不)一〃工2)=^^一音

玉(％2+2)—％2(X1+2)

(再+2)(X2+2)

2(^.-^2)

(再+2)(X2+2)

由/<-2,

得石+2<0,%+2<0,玉一/<0,

即"再)<仆2),

故/(X)在(-8,-2)上單調(diào)遞增.

7.設(shè)〃x)對任意的x,"R有/(x+力=/(0+/(力,且當x>0時,/(%)<0.

⑴求證〃力是R上的減函數(shù)；

(2)若〃1)=-：,求/(x)在［T3］上的最大值與最小值.

【答案】⑴證明見解析；

⑵〃1M=2

【分析】(D由遞推關(guān)系得"0)=0、/(-x)=-/(x),利用單調(diào)性定義證明結(jié)論即可;

(2)由(1)知/(x)在［-3,3］上單調(diào)遞減，結(jié)合遞推關(guān)系和奇偶性求最值即可.

【詳解】⑴令x=y=0,則有/(0+0)=/(0)+/(0)n/(0)=0,

令尸f,則/(0)=/(%)+/(-%)=0=>/(-%)=-/?,

設(shè)再,％€R且再</，則/(工2-尤1)=/(X2)+/(-尤1)=/(Z)-/(再)，

因為x>o時/(x)<0,所以/(%)-/(xJ<0,

所以〃尤)是R上的減函數(shù).

(2)由(1)：〃x)是R上的減函數(shù)，所以在［T3］上單調(diào)遞減，

又〃3)=〃2)+41)=〃1)+〃1)+〃1)=3〃1)=一2,/(一3)=-/(3)=2,

所以小)四=〃一3)=2，/(尤)1mli=〃3)=-2?

題型二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

畬策略方法求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

(1)求函數(shù)的定義域(定義域先行).

(2)求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(3)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其依據(jù)是“同增異減”.

【典例1】已知函數(shù)"x)=|x|(x-2)

(1)畫出函數(shù)圖象

(2)結(jié)合圖象寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和的單調(diào)減區(qū)間.

【答案】(1)圖象見解析；

⑵增區(qū)間為(-*0)和(1,+8),減區(qū)間為(0,1).

【分析】(1)根據(jù)絕對值的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)作出圖象即可;

(2)利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的定義進行求解即可.

【詳解】(1)因為〃x)=|x|(x-2)=卜;2：轉(zhuǎn)0

[-x+2x,x<0

所以該函數(shù)的圖象如下圖所示：

(2)由(1)中的函數(shù)圖象可知，該函數(shù)的增區(qū)間為(-%0)和(1,+8),

減區(qū)間為(0,1).

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.函數(shù)了=V+x+2,xe(-5,5)的單調(diào)減區(qū)間為()

A.(一甩一!)B.(-^-,+oo)C.(一:，5)D.(-5,-1)

【答案】D

【分析】首先求出函數(shù)的對稱軸，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性.

【詳解】解：函數(shù)＞=/+工+2對稱軸為x=-g,開口向上，

所以函數(shù)了=/+尤+2,X€（-5,5）的單調(diào)減區(qū)間為15,-￡|.

故選：D

2.函數(shù)〃x）=--2同+5的單調(diào)增區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（一叫一1）和（1,+8）

C.［TO］和口,+⑹D.卜1,0）和（0,1）

【答案】C

【分析】由〃x）可得/'（—）=（-4-2/耳+5=/卜），即〃x）為偶函數(shù)，貝！I當X20時，可

得〃x）的單調(diào)區(qū)間，進而得到xWO時，〃x）的單調(diào)區(qū)間，即可得到答案

【詳解】解：由/（r）=（-x）2-2卜X|+5=X2_2M+5=/（X）,

則〃X）為偶函數(shù)，“X）的圖像關(guān)于了軸對稱.

當X20時,/（X）=X2-2X+5,對稱軸為X=1,所以J（x）在口,內(nèi)）上遞增,在［0』遞減；

則當xWO時，/（x）在卜1,0］遞增,在（-巴-1］遞減，

則有“X）的遞增區(qū)間為［TO］,［1,+動.

3.如果函數(shù)了=/（x）在區(qū)間/上是減函數(shù)，且函數(shù)＞=4”在區(qū)間/上是增函數(shù)，那么稱

X

函數(shù)＞=/（x）是區(qū)間/上的“可變函數(shù)”，區(qū)間/叫做“可變區(qū)間”.若函數(shù)〃x）=d-4x+2是

區(qū)間/上的“可變函數(shù)”，貝■］"可變區(qū)間”/為（）

A.~,-④］和2］B.|^V2,2J

C.(o/D.［1祠

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，分析函數(shù)y=f(x)和y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合“可變函數(shù)”的定義分析可得

答案.

【詳解】因為/'(x)=%2-4尤+2的單調(diào)遞減區(qū)間為(--2］,

了==x+2_4在［拒,+oo)和(-co,上為增函數(shù)，

XX

所以/'(X)=%2-4X+2的“可變區(qū)間，，/為［也,2］和(-00,-72］,

故選：A

【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判定以及應(yīng)用，關(guān)鍵是理解“可變函數(shù)”，“可變區(qū)間”

的含義，屬于中檔題.

二、填空題

Y-L1

4.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________.

x-2

【答案】(-8,2)和(2,+8)

【分析】分離參數(shù)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得>=—3=的單調(diào)區(qū)間，進而可求解.

x-2

［詳解】￡±L=(x-2)+3=］+—,由于函數(shù)了=2的單調(diào)減區(qū)間為(一叫2)和

x-2x-2x-2x-2

(2,+℃).

故函數(shù)y=」的單調(diào)減區(qū)間為(-叫2)和(2,+網(wǎng).

x-2

故答案為：(-8,2)和(2,+⑼

5.函數(shù)f(x)=\x-2\(x+1)的單調(diào)增區(qū)間是.

【答案】［一%;和［2,+8)

【分析】先分類討論，去掉絕對值符號，然后利用二次函數(shù)的開口方向和對稱軸判斷單調(diào)

遞增區(qū)間即可.

【詳解】當x22時，/(x)=(x-2)(x+l)=x2-x-2,此時/(x)開口向上，對稱軸為x=:，

因為x?2,所以在［2,+8)上單調(diào)遞增；當x<2時，/(X)=(2-X)(X+1)=-X2+X+2,此時

/(x)開口向下，對稱軸為x=:，因為x<2,所以在(-叱；單調(diào)遞增；

故答案為：f-00,—和［2,+co)

三、解答題

6.已知二次函數(shù)/（x）的最小值為1,且滿足/（力=/（-2-力，/（0）=2,點（3,￡|在幕函數(shù)

g（x）的圖像上.

（1）求/（X）和g（x）的解析式；

⑵定義函數(shù)試畫出函數(shù)的圖象，并求函數(shù)人⑴的定義域、

值域和單調(diào)區(qū)間.

【答案】（l）f（x）=x2+2x+2-g（x）=x-1

⑵作圖見解析；定義域為（-8,0）U（0,+8）,〃（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1,0）,單調(diào)減區(qū)間是

（-co,-1）,（0,+oo）,h（x）的值域為（T,0）u（0,+oo）

【分析】（D設(shè)二次函數(shù)/（耳=。（》-療+左，g（x）=x〃，由待定系數(shù)法求解即可；

（2）由（1）結(jié)合題意求出，⑴1/x「l或x>0'畫出函數(shù)圖象求出函數(shù)〃（x）的

定義域、值域和單調(diào)區(qū)間.

【詳解】⑴設(shè)二次函數(shù)/（力=次％-汗+后,g（x）=x\

因為〃x）的最小值為1，所以a=1;因為〃力=/（-2-司，所以〃=一1；

因為"0）=2,所以“=1.所以/"（x）=f+2x+2.

將點卜代入gG）=d,求得6=T,所以，g（x）=x]

（2）分別畫出函數(shù)V=/（尤）和了=-8卜）的圖象，觀察圖象可得,

x?+2,x+2,-1W%<0,

因為?(%)=所以?(x)=,

g(x),/(x)>-g(x),1或x)o

所以，函數(shù)力卜）的定義域為（-8,0"（0,+8）

作出函數(shù)〃（》）的圖象如下:

由圖象得，力⑴的單調(diào)遞增區(qū)間為（TO）,單調(diào)減區(qū)間是（-叫-1）,（0,+8）.

Mx)的值域為(T0)u(0,+s).

7.已知函數(shù)/(x)=(x-a)|x|+l.1其中a>0)

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

⑵若對任意占用?-1,。-1],使得|〃西)-/d),2a恒成立，求實數(shù)0的取值范圍.

【答案】(l)(f0)和已+8)

(2)4W(0,8]

丫2_C1~X+1v>0

;\.由分段函數(shù)的性質(zhì)以及二

)-x+6ZX+1,x<0

次函數(shù)的單調(diào)性即可求解；

(2)由(1)可以對參數(shù)進行分類討論0<aVI,當。>1時，需要討論。-1與巴大小關(guān)系，

2

結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，分別求出函數(shù)的最值，列出關(guān)于。的不等式，求解即可得出答

案.

【詳解】⑴/(x)=(x-a)Jx|+l=\X-￡Zx+1'x-°

[-X+6ZX+l,x<0

因為。〉0

所以函數(shù)“X)為(-。,0)上為增函數(shù)，在(o,\上為減函數(shù)，在惇,+，|上為增函數(shù)，即其

單調(diào)增區(qū)間為(-8,0)和g+6.

⑵因為〃x)=(x-2

[-x+ax+l,x<0

①當0<a41時，a-140,由(1)可知/'(x)=x2-ar+l在上為增函數(shù)，所以

|/(占)_/(工2)|"("1)-/(T)=2a二ae(O,l]滿足題設(shè)，

②當。>1時，由(1)可知，需要討論與9大小關(guān)系，

(i)當l<aV2時，函數(shù)/⑺為[T0]上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

所以/(x)最大值為"0)=1，最小值在兩端點取，

所以[/J(")<2產(chǎn)儲*2/4又1<屋2，

所以ae(l,2],

(ii)當“＞2時，函數(shù)/(x)為[TO]上為增函數(shù)，在0成上為減函數(shù),

在|,?-1上為增函數(shù)，

又⑷=/⑼，

所以/(x)最大值為/'(0)=1，最小值在T或合處取，

/(0)-/(-1)＜2?11+4?2a

所以＞(0)一/修/匕?

又。＞2,

所以。?2,8],

綜上所述，ae(0,8],

8.已知函數(shù)/(x)=|x-a|,g(無)=￡+2辦+1(a為正常數(shù))，且函數(shù)與g(x)的圖象在y

軸上的截距相等.

(1)求a的值；

⑵求函數(shù)/(x)+g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

【答案】(1)。=1;(2)[--,+℃)；

【詳解】(1)由/(0)=g(0)得|。=1,又。＞0,所以。=1；

(2)fW+g(x)—\x-l\+x2+2x+\,

尤21時，〃x)+g(x)=/+3x,它在口,+s)上是增函數(shù)，

尤＜1時，/(x)+g(x)=x2+x+2,它在上是增函數(shù)，

所以函數(shù)〃x)+g(x)的增區(qū)間是[-J,+8);

題型三復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

畬策略方法集合運算三步驟

產(chǎn)兔集者手葩元豪友虞函定而■秦祥:如菌累

歸國一1的定義域、值域，一元二次不等式的解集等！

J

瓶施元豪滿定咫秦祥搟為癟豆示攣裝，得百元素

信含］一；滿足的最簡條件，將集合清晰地表示出來：

J

忸引J布麗交集最笄篥而定爻重解,必荽后司應(yīng)即

|求解數(shù)軸或Venn圖來直觀解決；

【典例1】函數(shù)/(工)=歷，_2工-3)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-oo,-l)B.(-<?,1)C.(1,+℃)D.(3,-Ko)

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】/(x)=ln(x2-2x-3),函數(shù)有意義，貝！J有一-2》-3>0,得x<—l或x>3,

設(shè)“一2X-3,則當時，u關(guān)于x單調(diào)遞減，當xe(3,+s)時，u關(guān)于x單調(diào)

遞增，

又因為函數(shù)了=山“在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知可知"X)的單調(diào)遞減區(qū)間為

(-00,-1).

故選：A

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.函數(shù)〃x)=G7的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.［0,1］B.1*;C.D.0,1

【答案】D

【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷法則：“同增異減”即可

求解.

【詳解】^t=x-x2>0,解得/卜卜人與7的定義域為［0』

/=--+丫在卜，「上遞增，在上遞減，函數(shù)y=〃在［0,+句上為增函數(shù)

.??函數(shù)〃X)=G7的單調(diào)增區(qū)間為0，；

故選：D

2.已知=在[1,3]上是減函數(shù)，則實數(shù)0的取值范圍為（）

A.（-℃,1]B.[1,2]C.[2,3]D.[3,-Ko）

【答案】A

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】令1一2"，貝!）砌=（；1,

因為/'（可在[1,3]上是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，

函數(shù)-2"與W）U的單調(diào)性相反；

又因為單調(diào)遞減，

所以:=/-2a無需在[1,3]上單調(diào)遞增.

函數(shù)/=的對稱軸為x=a,所以只需要

故選:A.

【答案】A

rA訴】曲提題音相提〃、槎蛇尸徂到fSJ（0r，a,俎捉怎加

【分析】根據(jù)題意，根據(jù)/（%）,轉(zhuǎn)換后得到歹二/（2-％）=r7，根據(jù)復(fù)合函數(shù)

-ln（2-x）,x<l.

的單調(diào)性，可求得了（2-x）的單調(diào)性，進而可得正確選項.

【詳解】函數(shù)/(x)=<(?)L,則y=/(2-x)=.(亞)，X-1,

-lnx,x>1,|^-ln(2-x),x<l.

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，

當x21時，函數(shù)/'(2-x)單調(diào)遞減；

當x<l時，函數(shù)〃2-x)單調(diào)遞增，只有A符合.

故選：A.

二、填空題

4.函數(shù)y=logz(l-x)(x-2)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

【答案］

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原則即可由"=(1-刈。-2),y=log”,的單調(diào)性進行求解.

【詳解】令(I)(x-2)>0,解得l<x<2,

貝!|y=log2(l-x)(x-2)的定義域為(1,2),

3

記1/=(1—x)(x-2),y=log2u,由于〃=(1_x)(x-2)的對稱軸為x,

故其在［1,2］上單調(diào)遞減，而>=i°gz"在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的原則可知：”1幅(1-月(》2)在］|,2］單調(diào)遞減，

故答案為：

5.已知/'(x)=log/3-依)在［0,2］上是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(I，：

【分析】由題意利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，求得實數(shù)a的

取值范圍.

【詳解】已知/■(x)=log/3-ax)在［0,2］上是嚴格減函數(shù)，

由。>0,函數(shù)=3-"在［0,2］上是嚴格減函數(shù)，所以函數(shù)y=log/在定義域內(nèi)是嚴格增函

數(shù)，則有。>1,

又函數(shù)”3-"在［0,2］上最小值3-2“>0,解得a<5，

所以實數(shù)a的取值范圍是［I(：

故答案為：fh|］

6.已知函數(shù)/(x)=/4-*+匕>0且。w1)在區(qū)間［一g,2j上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范

圍是.

4

【答案】0<a<-^a>6

【分析】先明確/(x)=g>0且。片1)可看作由函數(shù)了=心〃=x?-(a-2)尤+1復(fù)合

而成，分類討論。>1和根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，即可求得實數(shù)a的取值范

圍.

【詳解】由題意可知/(X)=屋"("2)用(a>0且aw1)可看作由函數(shù)了=?！?〃=尤2一①一2)x+1

復(fù)合而成，

當a>l時，>=a〃為R上的增函數(shù)，

若函數(shù)〃x)=JY7)㈤①>0且aw1)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

需滿足〃=--(a-2)x+1在1-|,21上單調(diào)遞減，即922,二a26；

當0<a<l時，y=a"為R上的遞減函數(shù)，

若函數(shù)/(x)=@+匕>o且。w1)在區(qū)間2)上單調(diào)遞減，

需滿足〃=公-(”2)尤+1在上單調(diào)遞增,即則o<a.,

\J’NJJJ

4

故實數(shù)a的取值范圍是0<aV《或。26.

4

故答案為：0<。4］或。>6.

三、解答題

2—

7.已知函數(shù)〃x)=bg1一不為奇函數(shù).

3x-2

(1)求常數(shù)上的值；

⑵判斷函數(shù)/(X)在(2,+向上的單調(diào)性.

【答案】⑴左=7

⑵函數(shù)/。)在(2,+網(wǎng)上單調(diào)遞增

【分析】(1)由奇函數(shù)的定義可知對于定義域內(nèi)任意x有/'(》)+/(-x)=0恒成立，由此即

可求出答案；

(2)設(shè)〃(x)=V(x>2),由函數(shù)單調(diào)性的定義易知〃(x)在(2,+對單調(diào)遞減，利用復(fù)合函

x-2

數(shù)的單調(diào)性判斷“同增異減”，則說明函數(shù)/(X)在(2,+8)上單調(diào)遞增.

【詳解】(I)?.?函數(shù)"x)=logi-7為奇函數(shù)，

3x-2

,,、,2—kx,2+kx八

二/(x)+/(-x)=0恒成立，即log1―-+log1------=0,

§%—23—%—2

,(2-kx2+Ax\11

???logi―7X----7=bg|l，

八%—2-x-2J1

則log],=logj,貝！J//-4=/一4恒成立，解得后=±i.

3尤一4?

2—x

當左=1時，/(x)=log|-舍去；

3x-2

x+2

當左=-1時，/(x)=lo-滿足題意.

gl3X-2

故左二—1.

x+2

(2)由⑴知"加嗔二P

設(shè)〃(無)=￥y+2(彳>2),

x-2

任取巧，x2e(2,+oo),且再A%，

4(

x2+2七一為)

/z(xt)-/z(x2)=1^|

%-2(%1-2)(x2-2)

*/x1>x29x2-xl<0,

又；X],%e(2,+8),(X]-2)(尤2-2)>0,

:./z(x1)</z(x2)

...函數(shù)力(X)在(2,+網(wǎng)上單調(diào)遞減.

又；函數(shù)尸題;在(1,+s)上單調(diào)遞減，

:.函數(shù)f(x)在(2,+W上單調(diào)遞增.

8.已知函數(shù)/(x)=一依(0-0)

,1a

(1)若。＞0,求/(x)的定義域.

⑵若函數(shù)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù)，求實數(shù)〃的取值范圍.

【答案】(l)(f-](a＞0)

a

(2)ae(-oo,0)u(0,1]

【分析】(1)由題意，1-GN0,結(jié)合。＞0解不等式即可；

(2)分。＞0,。＜0兩種情況討論，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)定義域，分析即得解.

【詳解】(1)由題意，a>0,\-ax>0ax—

a

故函數(shù)的定義域為(-〉o)

a

(2)當Q>0時，，=1-?在(OJ是減函數(shù)，y=〃在［0,+s)是增函數(shù).

.〃x)=YEW在(o,i］上是減函數(shù)，

a

且%min=1一。0/.0<6Z<1

當。<0時，”1-"在(0,1］是增函數(shù)，了=〃在［0,+◎是增函數(shù).

，函數(shù)Vi=而在(0,1］是增函數(shù).

y=/(x)=XEE在(0,1］是減函數(shù)，y1>1,Vxe(0,l］恒成立.

a

：.a<0時，/(x)在(0,1］是減函數(shù).綜上，在a?(-8,0)50』時，/")在(0』上是減函數(shù)

題型四函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

畬策略方法1.比較函數(shù)值大小的解題思路

比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì),

轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖

象法求解.

2.求解含7"的函數(shù)不等式的解題思路

先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為/(g(x))>/(〃(x))的形式，再根據(jù)函數(shù)的單

調(diào)性去掉，丁，得到一般的不等式g(x)〉〃(%)(或g(x)<〃(%)).此時要特別注意函數(shù)

的定義域.

3.利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的策略

(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與

已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).

(2)解決分段函數(shù)的單調(diào)性問題，要注意上、下段端點函數(shù)值的大小關(guān)系.

【典例1］已知函數(shù)〃x)=f-Ax-8在［1,4］上單調(diào)，則實數(shù)左的取值范圍為()

A.［2,8］B.［-8,-2］C.(―°0,—8］U［—2,+oo)D.(―°°,2］u［8,+oo)

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】〃幻=--6一8的對稱軸為x=。，

若"x)=x2-質(zhì)-8在口,4］上單調(diào)遞增，則gwi,解得上42,

若〃x)=--履-8在［1,4］上單調(diào)遞減，貝?。荩篘4,解得斤28,

所以實數(shù)k的取值范圍為(-*2］38,+旬.

故選：D.

10g3X+6ZX>1

【典例2】已知函數(shù)〃x)=3-+工x<i，若〃。)=1，貝U不等式一8)<〃2x)的解

+yX<

集為()

A.(-2,4)B.(-2,+oo)C.?2)D.(-1,4)

【答案】A

【分析】先由/(。)=1,求得“X),再判斷其單調(diào)性，然后由/(/-8)<〃2x),利用其單

調(diào)性求解.

10g3X+4ZX>1

【詳解】解：因為函數(shù)/(x)="_22,且/⑷=1,

3+-x<l

I3

當a21時，log3a+a=l,解得q=l,

當a<l時，3力+§=1,解得。=1(舍去)，

log3x+l,x>1

所以〃X)=2,

JH---,A<1

I3

當時，〃X)=log3X+l單調(diào)遞增；

當X<1時，fM=y-2+-,單調(diào)遞增，且1嗚1+1=3修+9

所以/(X)在R上遞增，

因為/-8)<〃2X),

所以％2_8<2X,BPX2-2X-8<0,

解得-2<x<4,故選：A

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.是“〃x)=x+巴在(0,+co)上單調(diào)遞增”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】充分性直接證明，必要性舉特值驗證.

【詳解】Qa<2J(x)=x+?在(0,+⑼單調(diào)遞增，充分性成立，

若。=-1時/(x)=x+q在(0,+功單調(diào)遞增，但是不滿足。<-2,所以必要性不成立.

故選：A

2.若函數(shù)/(#=］-：+加在［2,4］上單調(diào)遞增，則實數(shù)加的范圍為()

111

A.m>1B.m>—C.—<m<\D.m<—

222

【答案】A

【分析】通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)，則所給區(qū)間即為已知函數(shù)單調(diào)區(qū)間的子集，即

可求得相的取值范圍.

【詳解】令工=g則tel，(］,貝!|g(/)=/-加+加，對稱軸為/=-?=_?=F，則函

x1_42」2a22

數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為因為V」為減函數(shù)，且/(力=3-3+機在［2,4］上單調(diào)遞

I2」xxx

增，所以［-鞏;，則臺;，解得機"

所以實數(shù)冽的范圍為〃?N1.

故選：A

3.已知函數(shù)/(尤)=log“(3-")在［0』上是減函數(shù)，則實數(shù)°的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,3)

C.(O,l)U(l,3)D.(0,3)

【答案】B

【分析】根據(jù)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集可知：3-辦>0在［0』上恒成立，然后再將原函數(shù)

看成一個對數(shù)和一個一次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特性可得答案.

【詳解】依題意3-辦>0在［0,1］上恒成立且a>0,aw1,

3-a>0ae(O,l)u(l,3)

又/(x)可看成y=log“",w=3-ax的復(fù)合函數(shù)，"=3-ax單調(diào)遞減，欲使/(x)是減函數(shù)，

只需y=log/遞增，ae(l,3).

故選：B

f(3a-l)x+4a,x<1f(x^

4.已知函數(shù)/(x)=;滿足對任意乙,當無尸一時都有八"'〃>0成

[x-ax+6,x>1xt—x2

立，則。的取值范圍是()

A.[2,+℃)B.Q,2C.Q,1D.[1,2]

【答案】C

【分析】利用增函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】對任意不多，當尤?9時都有"x?2)>0成立，

國-x2

所以函數(shù)/(x)=2/：,在R上是增函數(shù)，

[x-ax+6,x>1

3d—1>0

所以“1,解得(<。41,所以實數(shù)。的取值范圍是.

3d—1+4。41—Q+6

故選：C

5.已知函數(shù)〃尤)是定義域為(0,+司的減函數(shù)，若/(2-2加)>/(1+加)，則實數(shù)機的取值

范圍是()

A.1+"B.(-ool]C.[/[D.[一1,4

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性得到0<2-2"<1+",解得答案.

【詳解】函數(shù)/(x)是定義域為(0,+功的減函數(shù),因/(2—2%)>/(1+加),

故0<2—2加<1+加,解得加<1,

3

故選：C

6.已知函數(shù)｛x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且外)在(一叫0]上單調(diào)遞減，則滿足了(3x+l)</[；]

的實數(shù)x的取值范圍是()

A-R'4)B.[一力c卜:「D-1一卜力

【答案】B

【分析】根據(jù)條件，可得函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，且在區(qū)間(。,+⑼上是增函數(shù)，然后將問題轉(zhuǎn)

化為含絕對值的一次不等式來求解即可.

【詳解】函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，???/(x)為偶函數(shù)，.?J(x)]/(|x|),

:.不等式fax+i）＜/（|）可變?yōu)?（|3x+i|）＜/（!）,

???偶函數(shù)”X）在區(qū)間（-8,0］上單調(diào)遞減，

.?/（X）在區(qū)間（0,+⑹上單調(diào)遞增，

11

/.13x+11<—,解得-一<x<——

26

故選：B.

7.已知偶函數(shù)“X）的定義域為R,且對于任意西廣2?-8,0］卜產(chǎn)馬）均有史上5＜。

%2一項

成立，若/（l-。）〉/（2”1）,則實數(shù)。的取值范圍是（）

2

A.(-8,0)B.—,+00

3

C.°4D.°5

【答案】c

【分析】由題意可得“X）在（-8,0］單調(diào)遞減，又函數(shù)"X）為偶函數(shù)，故〃尤）在［0,+司單

調(diào)遞增,所以不等式〃1-。）＞〃2"1）等價于/（|1-硝＞/（|2。-1|）,即"同＞|2"1|解出

即可.

【詳解】因為/（x）的定義域為R,且對于任意再,馬€（-8,0］（工產(chǎn)馬）

均有/仁）-"%）＜0成立，

x2-xx

可得/（X）在（-鞏0］單調(diào)遞減，

又函數(shù)〃x）為偶函數(shù)，

所以〃無）在［0,+司單調(diào)遞增，

所以/（一）＞/（2"1）等價于川1-硝＞/（|2"1|）,

所以卜力區(qū)一：1|,

即（1一°）2＞（2°-1）2,

即3a2—2。＜0,

2

解得：0＜O!＜y,

所以實數(shù)。的取值范圍是:

故選：C.

8.已知函數(shù)/(x)=\^,若/g+l)</(3-2a),則實數(shù)。的取值范圍是(

）

A.MW

C.（4,+oo）

【答案】B

14

【分析】判斷/(》)=/+$的奇偶性與單調(diào)性，并用奇偶性與單調(diào)性解不等式，要注意定

義域的限制.

【詳解】/(x)=：+：為偶函數(shù)，且在(0,+8)上遞減.

V/(a+l)</(3-2fl),

|a+l|>|3—2司,.1(°+1)>(3-2a)

a+10,3—2a/0,a—1S.ci,二0

故選：B

9.已知〃x)是定義在(-1,1)上的偶函數(shù)，且在［0,1)上單調(diào)遞增，則/(x)</(x-l)的解集

為()

A..川B.C.陷D.g

【答案】C

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)化簡不等式求不等式/'(x)</(x-l)的解

集.

【詳解】因為〃x)是定義在上的偶函數(shù)，

所以當xe(T,l)時，/(x)=/(-x)=/(|x|),

所以不等式/(x)＜/(x-i)可化為卜1＜》＜1

又〃X)在［0,1)上單調(diào)遞增,

所以國且0<x<l,

解得0<x<；,

所以不等式;的解集為(o,￡|.

故選：C.

二、填空題

10.已知函數(shù)/'(》)=-/+2依與8(%)=質(zhì)在區(qū)間［1.2］上都是減函數(shù),那么。€.

【答案】(0』.

【分析】二次函數(shù)在區(qū)間［1,2］單減，則區(qū)間［L2］在二次函數(shù)的減區(qū)間范圍內(nèi)，從而求得。的

范圍；反比例型函數(shù)在區(qū)間［L2］單調(diào)遞減，得。>0,取交集即可.

【詳解】根據(jù)二次函數(shù)的表達式可知，/。)=-^+2G的對稱軸為工=.,開口向下，若/*)

在區(qū)間［1,2］上是減函數(shù)，則

g(x)==是反比例型函數(shù)，若g(x)在區(qū)間［1,2］是減函數(shù)，則。>0,所以0<aWl.

所以