新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算（原卷版+解析）

專題14導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

【命題方向目錄】

命題方向一：導(dǎo)數(shù)的定義

命題方向二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

命題方向三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

方向1、在點(diǎn)尸處切線

方向2、過點(diǎn)尸的切線

方向3、公切線

方向4、已知切線求參數(shù)問題

方向5、切線的條數(shù)問題

方向6、切線平行、垂直、重合問題

方向7、最值問題

方向8、牛頓迭代法

【2024年高考預(yù)測】

2024年高考仍然重點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線.

【知識點(diǎn)總結(jié)】

知識點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

1、導(dǎo)數(shù)的概念

(1)函數(shù)y=/(x)在x=/處的導(dǎo)數(shù)記作了〈尤。)或y'L

小。)力唬

Ar-0A%

(2)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)

r(x)=iim/(-Y+Ar)-/(%)

Ax-0AX

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(尤)在X=X0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線、=/(尤)在點(diǎn)尸(％,〃%))處的切線的斜率，相應(yīng)

的切線方程為=.

知識點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/(X)=c(c為常數(shù))rw=o

rax

/(x)=xa(aEQ)f(x)=ax~

f(x)=ax(a>0,aw1)fr(x)=axina

f(x)=log。%(a>0,aw1)

/(X)—

xlna

fM=e'r(x)=e*

f(x)=lnx

/V)=-

f(x)=sinxfr(x)=cosx

/(x)=cosX/"(%)=-sinx

2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則："(X)土g(x)]'=f\x)+g'(x);

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則："(x)g(x)]=((尤)g(x)+/(x)g，(x)；

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x)wO,則[&2]=尸(x)g(＞一"x)g'(x).

g。)g2(尤)

3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為y"x=%'"；

【方法技巧與總結(jié)】

1、區(qū)分在點(diǎn)處的切線與過點(diǎn)處的切線

(1)在點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)一定是切點(diǎn)，切線有且僅有一條.

(2)過點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，切線至少有一條.

【典例例題】

命題方向一：導(dǎo)數(shù)的定義

例1.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)y=/(x)的圖像如圖所示，下列不等關(guān)系正確的是()

A.0</,(2)</，(3)</(3)-/(2)

B.0</(2)</(3)-/(2)</(3)

C.0<r(3)</(3)-/(2)</X2)

D.0</(3)-/(2)<r(2)<r(3)

例2.(2023?全國?高三專題練習(xí))一個(gè)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動，其位移s(單位：米)與時(shí)間f(單位：秒)滿足關(guān)

系式S=?(4/-3)3,則當(dāng)f=l時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為()

A.5米/秒B.8米/秒

C.14米/秒D.16米/秒

例3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=21nx+8x,則lim)°+2Ax)一/⑴的值為()

ArfOAX

A.-20B.-10C.10D.20

變式L(2023?河南洛陽?高三欒川縣第一高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知f(x)是函數(shù)〃%)的導(dǎo)函數(shù)，若

尸(%)=4,則lim()

-Ax

A.-2B.2C.-8D.8

變式2.(2023?上海楊浦?高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí))設(shè)/(A)在％處可導(dǎo)，下列式子與/'(毛)相等的是()

A〃尤。)一“龍。+祠B/(M+AX)-“毛――)

?11111-----------------------------------------------13.11111----------------------------------------------------------

-Ax-2Ax

/U+2Ax)-/(%0)/(x0)-/(x0-Ax)

V—1?11111?lllli

-Ax——Ax

變式3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若lim,⑶-〃2+Ax)

■一。Ax2

則/(2)=()

A.0B.2C.4D.--

22

【通性通解總結(jié)】

對所給函數(shù)式經(jīng)過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等恒等變形與導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)相同，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接寫出.

命題方向二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例4.(2023?高三課時(shí)練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(l)y=e*+麻；

(2)y=2sin(l-3%)；

(3)y=^cos(2x+x)；

(4)y=\nV1+sinx；

(5)y=lgsin^|+x2

2門+馬

(6)>=cos-——.

例5.(2023?全國?高三專題練習(xí))求下列函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)，其中:

(1)/(X)=〃2+2dX-X2;

⑵"％)=xsinx

Inx

⑶〃x)=(3尤2-4X)(2X+1)；

⑷/(x)=sin』-2cos2qJ

⑸“xf；

(6)/(X)=(2%2-1)(3%+1)；

(7)/(%)=cosx；

(8)/(x)=lnx+-；

(9)〃力=邛

(10)/(x)=(x2+2x-l)e2-x.

例6.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)為了'(%),且滿足〃力=24”)+lnx,則/⑴=(

A.1B.C.-1D.e

2

TT

變式4.(2023?四川成都?高三石室中學(xué)校考開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=sinx+acosx的圖像關(guān)于x對稱，則

/KJ的值是（

A,史

B.V2C.2D.6

2

變式5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在等比數(shù)列｛%｝中，4=1,%=3,函數(shù)/（%）=耳%-4｝（%-%）（x-q）,

則/'（O）等于（）

A.36B.34C.38D.212

變式6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知函數(shù)〃x）的導(dǎo)函數(shù)為尸⑺，且滿足〃x）=V+x2尸⑴+2x-1,

則/（2）=（）

A.1B.-9C.-6D.4

【通性通解總結(jié)】

對所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求導(dǎo)問題.

命題方向三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

方向1、在點(diǎn)尸處切線

例7.（2023?黑龍江七臺河?高三?？计谥校┮阎瘮?shù)/（x）=x2ln.x+l-f'（l）x，則函數(shù)/（%）的圖象在點(diǎn)（1,/（D）

處的切線斜率為（）

A.士B.--C.---3eD.3e--

2222

例8.（2023?陜西榆林?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃力=/1+2犬+1,則/⑺的圖象在x=0處的切線方程為

（）

A.4x-y+l=0B.2x-y+l=0

C.4ex-y+2=0D.2ex-y+l=0

例9.（2023?江西贛州?統(tǒng)考二模）已知曲線》=3"在x=2處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為I,貝打九=（）

A.1B.2C.3D.4

變式7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃同=/+2尤3的圖象在點(diǎn)（I"⑴）處的切線方程為（）

A.y=10x-7B.y=10x+13C.y=2%+13D.y=2x-rl

2

變式8.（2023?陜西寶雞?高三寶雞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）曲線y=ln%+—在犬=1處切線的傾斜角為a,則

x

sina/、

-----------=（）

2sina+cos&

A.2B.-2C.1D.-1

方向2、過點(diǎn)尸的切線

變式9.（2023?北京?高三專題練習(xí)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=e-+i的切線，則切線方程為（）

A.尸了B.y=2xC.y=\xD.>=前

變式10.（2023?山東煙臺?高三統(tǒng)考期末）過點(diǎn)（。,3）且與曲線、=尤3-2工+1相切的直線方程為（）

A.X-3=0B.x-y+3=0C.x+y+3=0D.x+y-3=0

變式11.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知/（x）=2/+（a-2）尤2—3x是奇函數(shù)，則過點(diǎn)尸（-1,2）向曲線

y=/（x）可作的切線條數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.不確定

變式12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃x）=de”過點(diǎn)（0,0）的切線方程為（）

A.y=0B.ex+y=0C.y=0或x+ey=0D.y=0或ex+y=0

曲線y=2xlnx+3過點(diǎn)［-的切線方程是（

變式13.（2023?全國?高三專題練習(xí)）)

A.2%+y+l=0B.2x-y+l=0

C.2x+4y+l=0D.2%-4y+l=0

方向3、公切線

變式14.（2023?山東威海?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)〃x）=alnx,g（x）=G,若總存在兩條不同的直線與曲線

y=〃尤），y=g（x）均相切，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.日+jB.1臼C.foD.序

變式15.（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若曲線/（元）=3/-2與曲線g（x）=-2-〃zlnx（mw0）存在公切線，則實(shí)

數(shù)加的最小值為（）

A.-6eB.-3eC.2\/eD.6e

變式16.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若曲線y=ln%+l與曲線>=/+工+3〃有公切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

21n2-33-ln21—41n23—ln2

B.12-，-

21n2-31—41n2

C.,+coD.,+oo

6-12

變式17.（2023?陜西榆林?校考模擬預(yù)測）若直線/與曲線丁=/相切，切點(diǎn)為與曲線產(chǎn)（％+3丫也

相切，切點(diǎn)為NG，%），貝同玉一乙的值為（）

A.-2B.-1C.0D.1

變式18.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（%）=改+2的圖象在點(diǎn)（1,3）處的切線也是拋物線％2==〉的切線，

貝！J〃-b=（）

A.1B.3C.6D.2

變式19.（2023?內(nèi)蒙古阿拉善盟?高三阿拉善盟第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)/（x）=e*-依+瓦g（x）=%2—x.

若曲線>=/（%）和丁=且。）在公共點(diǎn)41,0）處有相同的切線，則〃，b的值分別為（）

A.e—1,—1B.-l,e—1C.e,-1D.—l,e

變式20.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考一模）已知直線曠="+優(yōu)。€艮6>0）是曲線〃工）=3與曲線8（引=1僦+2的

公切線，則。+人等于（）

A.e+2B.3C.e+1D.2

變式21.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若曲線y=?ZT和y=N+7?x+l有公切線，則實(shí)數(shù)機(jī)=（）

A.士B.--C.1D.-1

22

變式22.（2023?寧夏石嘴山?高三石嘴山市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線/為曲線y=x+l+ln尤在4（1,2）

處的切線，若/與二次曲線y=ox2+（a+2）x+l也相切，則。=（）

A.0B.-4C.4D.0或4

方向4、已知切線求參數(shù)問題

變式23.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=xe",若2辦-go恒成立，則實(shí)數(shù)。的最大值為

（）

1-1

A.—e2B.e+1C.2eD.e+4

2

變式24.（2023?新疆塔城?高二烏蘇市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若直線/：、=履是曲線y=ln尤的切線，則

實(shí)數(shù)氏=（）

A.-B.--C.-D.e

ee2

變式25.（2023?四川綿陽?高二四川省綿陽江油中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)

，若過點(diǎn)A（0,16）的直線方程為>=辦+16,與曲線

廣州

相切，則實(shí)數(shù)。的值是

A.-3B.3C.6D.9

變式26.（2023?內(nèi)蒙古包頭?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)〃力=無3+依+1的圖象在點(diǎn)（1,〃1））處的切線過點(diǎn)（2,7）,

則”=（）

A.-1B.1C.2D.3

變式27.（2023?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第六中學(xué)校校考期末）過點(diǎn)尸（1,0）可以作曲線f（x）=xe'的兩

條切線，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為"3n,則加+〃2的值為（）

A.1B.2C.75D.3

變式28.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知直線y=匕x與y=左24匕>&）是曲線V=依+2山W（aeR）的兩條

切線，則勺-勺=（）

4

A.-B.2aC.4D.無法確定

e

14

變式29.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知a>0,b>0,直線>=x+。與曲線y=e工一"相切，則一+二的最小

ab

值是（）

A.8B.9C.10D.12

方向5、切線的條數(shù)問題

變式30.（2023.廣西玉林.統(tǒng)考模擬預(yù)測）若曲線，（力=十有三條過點(diǎn)（0,。）的切線，則實(shí)數(shù)，的取值范圍

為（）

A.心］B.［。，mC.日D.

變式31.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若直線，與曲線y=e，和y=lnx都相切，則直線/的條數(shù)有（）

A.0B.1C.2D.無數(shù)條

變式32.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知。>0,若過點(diǎn)（。向可以作曲線y=V的三條切線，貝I］（）

A.b<0B.0<b<a3C.b>a3D.b（b-a3）=0

變式33.（2023?全國?高三專題練習(xí)）過點(diǎn)P（0,。）作曲線y=xe'的切線，當(dāng)-3<6<0時(shí)，切線的條數(shù)是（）

e

A.0B.1C.2D.3

變式34.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若過點(diǎn)3切可以作曲線y=ln%的兩條切線，貝|（）

A.a<lnbB.b<lnaC.\nb<aD.lna<b

變式35.（2023?全國?高三專題練習(xí)）過曲線=丁一依+6外一點(diǎn)A（l,0）作C的切線恰有兩條,則（）

A.a=bB.a—b=lC.b=a+lD.a=2b

變式36.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若過點(diǎn)尸（1,?？勺鞒銮€y=V的三條切線,則實(shí)數(shù)，的取值范圍是（）

A.（一8,1）B.（0,+8）C.（0,1）D.{0,1}

變式37.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若過點(diǎn)尸（-1必）可以作三條直線與曲線C：y=xe*相切，則根的取值

范圍是（）

A.1-

C.D.

X

變式38.（2。23?全國?高三專題練習(xí)）若過點(diǎn)依⑷）可以作三條直線與曲線C:y丁相切’則利的取值范圍

為()

A.C.(-oo,0)

變式39.(2023?全國高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(幻=4-3尤2,若過點(diǎn)尸(2J)可以作出三條直線與曲線Ax)

相切，貝"的取值范圍是()

A.(-2,-1)B.(-3,-2)C.(-4-3)D.(-5,-4)

變式40.(2023?福建泉州?高三福建省晉江市養(yǎng)正中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知過點(diǎn)A(a,0)作曲線y=(l-x)e*的

切線有且僅有1條，貝()

A.一3B.3C.-3或1D.3或1

方向6、切線平行、垂直、重合問題

變式41.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知曲線y=V+3x在點(diǎn)尸處的切線與直線，=15尤+3平行，則點(diǎn)尸的

坐標(biāo)為()

A.(2,14)B.(-2,-14)C.(2,14)或(-2,-14)D.以上都不對

變式42.(2023?甘肅張掖?高三高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知直線/與直線x-y+2=0平行，且與曲

2

線y=lnx——+1相切，則直線/的方程是

x

A.%+y+In2—2—0B.x—y+In2—2—0

C.%—y—In2—2=0D.JV—y+In2+2=0

變式43.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)=d-alnx(aeR)在x=l處的切線與直線y=-6x+10平行,

則。的值為()

A.-4B.-5C.7D.8

變式44.(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)/(x)=3x+(-3(x>0)的圖象與函數(shù)g⑺=oe*的圖象有公切線

/,且直線/與直線y=+2互相垂直，則實(shí)數(shù)/=()

A.—B.e2C.—或2A/^D.-或4五

eee

變式45.(2023?山東日照?高三校聯(lián)考期末)若曲線y=在點(diǎn)(0,-1)處的切線與曲線>=lnx在點(diǎn)P處

的切線垂直，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

A.（e,l）B.（1,0）C.（2,In2）D.Q,-ln2j

變式46.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)加）=/+2x的圖象在點(diǎn)AQ/,兀⑺）與點(diǎn)仇孫f（x^{xi<x2

<0）處的切線互相垂直，則無2一用的最小值為（）

A.；B.1

3

C.-D.2

2

變式47.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)）=/（%）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互

相垂直，則稱丁=/（力具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（）

A.y=sinxB.y=]nxC.y=exD.y=x3

x2+X+2Q（X<0）

變式48.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（X）=1的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A3,使

—（x>0）

得曲線>=/（元）在這兩點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)“的取值范圍是（）

A.B.（-1,-）C.（1,+?）D.+oo）

888

變式49.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)y=/（x）的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A3,使得曲線>=/（尤）在

這兩點(diǎn)處的切線重合，稱函數(shù)y=/（x）為“自重合”函數(shù).下列函數(shù)中是“自重合”函數(shù)的為（）

A.y=lnx+xB.y=e'+1

C.y=x3D.J=x-cosx

變式50.（2023?江蘇無錫?校聯(lián)考三模）定義：若函數(shù)/'（X）圖象上存在相異的兩點(diǎn)P,。滿足曲線y=/（x）

在尸和。處的切線重合，則稱是“重切函數(shù)”，P,。為曲線y=的“雙重切點(diǎn)”，直線PQ為曲線

y=〃尤）的“雙重切線”.由上述定義可知曲線〃尤）=爐+J的“雙重切線”的方程為.

方向7、最值問題

變式51.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若點(diǎn)A（o,t）與曲線>=InX上點(diǎn)8距離最小值為2石，則實(shí)數(shù)f為.

變式52.（2023?全國?高三專題練習(xí)）曲線/（x）=ln（x-l）+x+l上的點(diǎn)到直線y=2尤+4的距離的最小值為

?一1""2,上，則|PQ|的最小

變式53.（2023?全國?高三專題練習(xí)）點(diǎn)P在曲線y=e”上，點(diǎn)。在曲線y=，

3x-6,x>2

值為______

變式54.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)。，b,c,d滿足。+/_3皿。）2+（°々+2）2=o,則

J(a-c)2+(6-d)2的最小值為一?

變式55.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)。、b、c、d滿足彳匕=三=1,則（"cf+S-dy的最

小值為.

b

變式56.（2023?寧夏中衛(wèi)?統(tǒng)考二模）當(dāng)〃>0時(shí)，若不等式111%<以2+人X—1恒成立，則一的最小值是

a

變式57.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)尸在曲線>=/>2+1上，點(diǎn)。在曲線y=i+in?TT上，則|尸。|

的最小值為.

變式58.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)尸（。，與為曲線y=ln（2x+l）上的一個(gè)動點(diǎn)，則生￡臼的最小

值為.

方向8、牛頓迭代法

變式59.（2023?全國?高三專題練習(xí)）牛頓迭代法又稱牛頓-拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在

實(shí)數(shù)集上近似求解方程根的一種方法.具體步驟如下：設(shè)/是函數(shù)y=/（x）的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取與作為"的

初始近似值，作曲線y=/（x）在點(diǎn)（％,八％））處的切線人設(shè)L與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為毛，并稱均為『的1次

近似值；作曲線y=/（x）在點(diǎn)（5，/&））處的切線4,設(shè)4與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為々，并稱々為r的2次近似

值.一般的，作曲線y=/（x）在點(diǎn)（x“J（X"））（〃eN）處的切線/向，記/“I與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為尤向，并稱無用

為r的”+1次近似值.設(shè)/0）=丁+》-1的零點(diǎn)為r,取毛=0,貝卜的2次近似值為.

變式60.（2023?浙江寧波?鎮(zhèn)海中學(xué)?？级＃┤藗兒茉缫郧熬烷_始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓

（1643-1727）給出了牛頓法——用“作切線”的方法求方程的近似解如圖，方程/（此=。的根就是函數(shù)/（x）的

零點(diǎn)廠，取初始值與處的切線與x軸的交點(diǎn)為冷/（無）在4處的切線與x軸的交點(diǎn)為巧，一直這樣下去，得

到飛,項(xiàng),無2,…馬,它們越來越接近r.若/（x）=d-x+l,為=-1,則用牛頓法得到的r的近似值巧約為

（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.

變式61.（2023?重慶北倍?高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）牛頓迭代法（.Newton'smethod）是牛頓在17

世紀(jì)提出的一種求方程近似根的方法.如圖，設(shè)「是/（動=0的根，選取看作為，?的初始近似值，過點(diǎn)

&J（%））作曲線＞=的切線口與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)%,=%-荒',（尸（無。^0）,稱玉是廠的“一次

近似值”，過點(diǎn)（%工（%））作曲線y=的切線，則該切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

々=占-犬^，（r（王）中0）,稱巧是"的“二次近似值”，重復(fù)以上過程，得到「的近似值序列.若/（x）=f-2,

取4=2作為"的初始近似值，則/（力=0的正根的“三次近似值”為.（請用分?jǐn)?shù)做答）

變式62.（2023?全國?高二專題練習(xí)）數(shù)學(xué)中，多數(shù)方程不存在求根公式.因此求精確根非常困難，甚至不可

能.從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.例如牛頓迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下:

假設(shè)R是方程〃x）=0的根，選取％作為R的初始近似值，在點(diǎn)&,〃/））處作曲線y=〃尤）的切線4,則乙

與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)4稱為R的一次近似值,在點(diǎn)（占,〃占））處作曲線y=/（%）的切線4.則4與x軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)4稱為R的二次近似值.重復(fù)上述過程，用無〃逐步逼近R.若給定方程gv+x_i=o,取x°=0,貝|］%=

【通性通解總結(jié)】

函數(shù)＞=/（尤）在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0,/@））處的切線的斜率.這里要注意曲線

在某點(diǎn)處的切線與曲線經(jīng)過某點(diǎn)的切線的區(qū)別.（1）已知f（x）在點(diǎn)（無。"（％））處的切線方程為

f

y-y0=/（x0）（x-x0）.（2）若求曲線y=/（x）過點(diǎn)（a,b）的切線方程，應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（飛,/（%））,由

y-%=-（x0）（x-不）過點(diǎn)（。/），求得飛的值，從而求得切線方程?另外，要注意切點(diǎn)既在曲線上又在切線

上.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第四中學(xué)校?？寄M預(yù)測）若曲線＞=y三在原點(diǎn)處的切線與直線

e

3x一胡+1=0垂直，則實(shí)數(shù)〃的值是（）

A.3B.-1C.1D.0

2.（2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？级＃┠抄h(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)

要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間f的關(guān)系為W=/（。，用-〃6）一”“）的大小評價(jià)在逐句這段

b-a

時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.則

下列正確的命題是（）

污

水

達(dá)

標(biāo)

排

放

量

A.在，1，匕］這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；

B.在芍時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；

C.在與時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都不達(dá)標(biāo)；

D.甲企業(yè)在［0,1,，小也?這三段時(shí)間中，在在川的污水治理能力最強(qiáng)

3.（2023?山東濰坊?三模）若尸為函數(shù)=圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，以P為切點(diǎn)作曲線y=的

切線，則切線傾斜角的取值范圍是（）

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）曲線y=e2“'在點(diǎn)（0,1）處的切線垂直于直線2x-y=0,貝1］。=（）

A.1B.—1C.—D.—

44

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若曲線〃九）=e*+sinx+%在l=0處的切線方程為2x-〃y+l=0,則（）

A.m=Ln=—lB.m=-l,n=l

C.m=0,n=—lD.m=0,n=l

6.（2023?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知曲線y=五在點(diǎn)［0,<與<處的切線也與曲線y=e'相

切，則%所在的區(qū)間是（）

7.（2023?全國?模擬預(yù)測）若曲線y=x3-3/+依-1在點(diǎn)與處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，貝也。=（）

A.—B.2C.1或—D.1或2

22

8.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=x（x+l）（x-l）,過點(diǎn)（1,0）的直線/與曲線y=/（x）相切，現(xiàn)有如

下三條直線：①4x-y+2=0；②x-2y+8=0；③x+y-5=0.則上述直線中與直線/垂直的直線條數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

二、多選題

9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃"=三+%-2的圖象在點(diǎn)尸處的切線平行于直線y=4x-l,則p點(diǎn)的

坐標(biāo)可以為（）

A.（1,0）B.（2,8）C.（―LT）D.（1,4）

10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知曲線〃尤）=2（尤+1丫+1,則曲線過點(diǎn)尸（0,3）的切線方程為（）

A.6x+y—3=0B.6x—y+3=0

C.5x—2y+6=0D.3x—2y+6=0

IL（2023?全國?高三專題練習(xí)）（多選）若函數(shù)y=〃x）的圖象上至少存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在兩點(diǎn)處

的切線互相平行，則稱y=/（x）為R函數(shù)，則下列函數(shù)可稱為R函數(shù)的有（）

A.f(x)=x2+sinxB.于(x)=x2Inx

c./（x）=e'-4D-（x）=泮

3e

12.（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)〃％）=優(yōu)（。>0且awl）,g（x）=logax（〃>0且awl）,貝!J（）

A.當(dāng)。='時(shí)，〃x）與g（x）有唯一的公共點(diǎn)

B.當(dāng)。=弓時(shí)，"力與g（x）沒有公共點(diǎn)

C.當(dāng)°時(shí)，〃尤）與g（x）有唯一公共點(diǎn)

D.當(dāng)1<“<“時(shí)，與g（x）有兩公共點(diǎn)

三、填空題

13.（2023?安徽合肥?合肥一中?？寄M預(yù)測）曲線y=—在點(diǎn)Q-3）處的切線方程為___________

1-x

14.（2023?海南海口?海南中學(xué)?？级＃┘褐瘮?shù)/（x）=x3+lnx的圖像在點(diǎn)■⑴）處的切線為/,若/

與函數(shù)g（尤）的圖像也相切，切點(diǎn)為3（2,〃?），貝|g（2）+g，（2）=.

15.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=（cosx+sim:）ex+b在x=0處的切

線方程為了=依+2,則上+6=.

16.（2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考三模）已知函數(shù)/（力=向-/,直線/：x+y-4=0,若直線

x-y+〃?=O與/（尤）的圖象交于A點(diǎn)，與直線/交于3點(diǎn)，則A,3之間的最短距離是.

17.（2023?福建廈門?廈門外國語學(xué)校校考模擬預(yù)測）若曲線y=xlnx有兩條過（l,a）的切線，貝心的范圍是

18.（2023.上海?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知〃x）=e，-1,g（x）=lnx+l,請寫出與和g（尤）均

相切的一條直線方程.（只需寫一條）

專題14導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

【命題方向目錄】

命題方向一：導(dǎo)數(shù)的定義

命題方向二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

命題方向三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

方向1、在點(diǎn)尸處切線

方向2、過點(diǎn)尸的切線

方向3、公切線

方向4、已知切線求參數(shù)問題

方向5、切線的條數(shù)問題

方向6、切線平行、垂直、重合問題

方向7、最值問題

方向8、牛頓迭代法

[2024年高考預(yù)測】

2024年高考仍然重點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線.

【知識點(diǎn)總結(jié)】

知識點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

1、導(dǎo)數(shù)的概念

(1)函數(shù)y=/(x)在x=/處的導(dǎo)數(shù)記作/'(不)或y'L%

'7--oAx--0Ax

(2)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)

八x)=lim&±9二皿

--0Ax

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(x)在x=/處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=/(x)在點(diǎn)P(x0,/(x0))處的切

線的斜率，相應(yīng)的切線方程為y-/(x0)=r(%)a-x。).

知識點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/(X)=c(C為常數(shù))尸(x)=o

/(X)=x"(aeQ)f'(x)=axcl~x

/(x)=ax(a>0,aw1)f\x)=axIna

/(x)=log。x(a>0,aw1)

fW-.

xma

/(x)=//(x)=e*

f(x)=lnx

f'M=-

X

/(x)=sinxff(x)=cosx

/(x)=cosx/'(%)=-sinx

2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

⑴函數(shù)和差求導(dǎo)法則："(X)土g(x)]=y'(x)土g'(x);

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則："O)g(x)]'=7'(x)g(尤)+/(尤)g，(尤)；

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(尤)*0,則[%]=、'(x)g(x)-/(尤)g'(x).

g(x)g2M

3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=/Ig(x)]的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/(a),〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為％=yuux

【方法技巧與總結(jié)】

1、區(qū)分在點(diǎn)處的切線與過點(diǎn)處的切線

(1)在點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)一定是切點(diǎn)，切線有且僅有一條.

(2)過點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，切線至少有一條.

【典例例題】

命題方向一：導(dǎo)數(shù)的定義

例1.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)y=/(%)的圖像如圖所示，下列不等關(guān)系正確的是()

A.0<r(2)<r(3)</(3)-/(2)

B.0</(2)</(3)-/(2)</(3)

c.0＜r（3）＜/（3）-/（2）＜r（2）

D.0＜/（3）-/（2）＜r（2）＜r（3）

【答案】c

【解析】如圖所示，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得r（2）表示切線自斜率%＞0,

（（3）表示切線4斜率%＞。，

又由平均變化率的定義，可得幺2二譽(yù)=7（3）-7（2）,表示割線4的斜率心,

結(jié)合圖象,可得。＜%＜&＜勺，即0＜/'（3）＜〃3）-/（2）＜/（2）.

例2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）一個(gè)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動，其位移s（單位：米）與時(shí)間f（單

位：秒）滿足關(guān)系式s=/⑷_3兒則當(dāng)/=1時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（）

A.5米/秒B.8米/秒

C.14米/秒D,16米/秒

【答案】C

［解析］由題得s'=2f（4/-3）3+⑵2（左-3）2,

當(dāng)/=1時(shí)，s'=14,

故當(dāng)f=l時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為14米/秒.

故選：C

例3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=21nx+8x,則1加工^型包上的值

-Ax

為（）

A.-20B.-10C.10D.20

【答案】D

2

【解析】因?yàn)椤▁）=21nx+8x,所以f（x）=1+8,

所以lim+⑴=2lim”…?、?2f,（1）=20.

Arf0Ax2202Ax

故選：D

變式L（2023?河南洛陽?