指對冪函數(shù)及函數(shù)與方程-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題04指對幕函數(shù)及函數(shù)與方程

品：曰足鈣

勿4:匕勿十日

混笏錯?睢券?然

易錯點1指數(shù)與對數(shù)函數(shù)中忽略對底數(shù)的討論

點撥：指數(shù)與對數(shù)函數(shù)問題中，其底數(shù)若不是確定的數(shù)值，需要對底數(shù)分或0＜。＜1兩種情況進(jìn)

行討論。

【典例1】（2023?四川攀枝花?模擬預(yù)測）已知奇函數(shù)，（了）=優(yōu)+"。-'（。＞。,々*1）在［-1,1］上的最大值為|,

則a=。

A.』或3B.g或2C.3D.2

32

【典例2］（23-24高三上?上海浦東新?月考）設(shè)常數(shù)?！?且awl,若函數(shù)y=log.（x+1）在區(qū)間［0,1］上的最

大值為1,最小值為0,則實數(shù)。=.

易錯點2求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性時忽略定義域

點撥：求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間一般步驟是①求函數(shù)的定義域；②作出內(nèi)層函數(shù)的圖象；③用“同增異減”法則

寫單調(diào)區(qū)間。解此類題通常會出現(xiàn)以下兩類錯誤：一是忽視定義域；二是“同增異減”法則不會或法則用錯。

1—Y

【典例1］（2023?陜西安康?模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）=log2——的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（。」）B.］。,［C,1,+［D.

【典例2］（23-24高三上.遼寧沈陽?月考）〃%）=坨（尤2+2了-3）的單調(diào)增區(qū)間是.

易錯點3忽視轉(zhuǎn)化的等價性

點撥：等價轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，處理得當(dāng)會起到意想不到的效果，但等價轉(zhuǎn)化的前提是轉(zhuǎn)化

的等價性，反之會出現(xiàn)各種離奇的錯誤。

【典例1］（23-24高三上.全國.專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=3xTlnx存在兩個零點，則實數(shù)f的取值范圍為

A.2C.(3e,+co)D.(ro,3e)

【典例2］(2024高三?全國?專題練習(xí))設(shè)。、人分別是方程21+x+2=0與。2兀+x+2=0的根，則a+b=.

【典例3】(2024.河南南陽.一模)已知函數(shù)/(x)=3x2—21nx+(a-l)x+3在區(qū)間(1,2)上有最小值，則整數(shù)。

的一個取值可以是

易錯點4函數(shù)零點定理的理解不準(zhǔn)確

點撥：函數(shù)零點定理是指如果函數(shù)/(x)在區(qū)間切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有

/(?)/(/?)＜0,那么函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點。解決函數(shù)零點問題常用方法有定理法、圖象法和方

程法。函數(shù)零點又分為“變號零點”和“不變號零點”，函數(shù)零點定理僅適用于“變號零點”，對“不變號零點”無

能為力。

【典例1】(2023?寧夏銀川三模)函數(shù)〃力=1。員工+必+根在區(qū)間(2,4)上存在零點，則實數(shù)加的取值范圍

是()

A.(-oo,-18)B.(5,+8)C.(5,18)D.(-18,-5)

【典例2】(23-24高三上?黑龍江哈爾濱?月考)函數(shù)y=e"3與y=—x+5的圖象交點為優(yōu),%).若x°e(w,"+D,

〃￡N,則〃二.

參考答案與試題解析

專題04指對幕函數(shù)及函數(shù)與方程

縣：日足鈣

勿/比勿步曰

混笏錯?睢券用轉(zhuǎn)

易錯點1指數(shù)與對數(shù)函數(shù)中忽略對底數(shù)的討論

點撥：指數(shù)與對數(shù)函數(shù)問題中，其底數(shù)若不是確定的數(shù)值，需要對底數(shù)分。＞1或0＜。＜1兩種情況進(jìn)

行討論。

Q

【典例1】(2023?四川攀枝花?模擬預(yù)測)己知奇函數(shù)〃*)=優(yōu)+方才％。＞。,。工1)在［-1,1］上的最大值為,

則。=()

A.g或3B.■!■或2C.3D.2

【答案】A

【解析】因為是奇函數(shù)，所以〃-*）=-7⑺，所以〃f）+F（x）=O.

^a-x+b-ax+ax+b-ax=0,則儂+1乂罐+「）=0,解得萬二」,

經(jīng)檢驗b=T符合題意，所以/（司=優(yōu)-/\

當(dāng)”>1時，0<，<1,

a

則函數(shù)y=4在［-U］上單調(diào)遞增，y=ax=^在［-U］上單調(diào)遞減,

所以/（x）="-在［-1,1］上單調(diào)遞增，

Q

所以，整理得3〃一8a-3=0,

解得4=3或Q=一§（舍去），所以4=3;

當(dāng)Ovavl時，—>1,

a

則函數(shù)尸優(yōu)在［-M］上單調(diào)遞減，y=ax=^在［-M］上單調(diào)遞增,

所以〃％）=優(yōu)—1在［―1』上單調(diào)遞減，

Q

所以，/（x）max=/（T）=aT-a=§，整理得36+8〃一3=。，

解得a=；或a=-3（舍去），所以a=；,

綜上，或3.故選：A.

【典例2］（23-24高三上?上海浦東新?月考）設(shè)常數(shù)。〉0且。片1,若函數(shù)y=log."+l）在區(qū)間［0』上的最

大值為1，最小值為0,則實數(shù)。=.

【答案】2

【解析】當(dāng)”>1時，函數(shù)y=iog.（x+i）在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增，

Wax=log“(1+1)Toga2=1

,解得a=2

Xnin=bg0(0+l)=lOgfll=0

當(dāng)0<"1時，函數(shù)y=log.（x+l）在區(qū)間[0』上單調(diào)遞減,

/max=10ga(0+l)=lOgal=l

所以無解

=10ga(l+l)=10ga2=0

易錯點2求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性時忽略定義域

點撥：求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間一般步驟是①求函數(shù)的定義域；②作出內(nèi)層函數(shù)的圖象；③用“同增異減”法則

寫單調(diào)區(qū)間。解此類題通常會出現(xiàn)以下兩類錯誤：一是忽視定義域；二是“同增異減”法則不會或法則用錯。

1—jr

【典例1]（2023?陜西安康?模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）=log2—的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（0,1）B.[ol]C.D.

【答案】D

【解析】由上3>0,得Ovx<l,所以的定義域為（0,1）.

X

設(shè)g（x）=log2L/=log2,因為函數(shù)y=log?X在（0,1）上單調(diào)遞增，

函數(shù)y=工-1在（0,1）上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)可得g（X）在（0,1）上單調(diào)遞減,

X

1—Y1

當(dāng)——>1,即?！从取匆粫r，g（x）>0,此時〃尤）=g（尤）單調(diào)遞減，

x2

I_r1

S0<—<1,即—〈尤<1時，g（x）<0,此時〃x）=—g（x）單調(diào)遞增，

X2

所以“X）的單調(diào)遞增區(qū)間為d故D正確.故選：D.

【典例2]（23-24高三上.遼寧沈陽?月考）〃口=3（1+2%-3）的單調(diào)增區(qū)間是.

【答案】。,+8）

【解析】要使函數(shù)〃。=坨（犬+2%-3）有意義，

貝"+2x—3>0,解得x<—3或x〉l,

因為二次函數(shù)y=/+2x-3在（-8,-3）單調(diào)遞減，（1,內(nèi)）單調(diào)遞增，

所以〃同=3（爐+2>3）的單調(diào)增區(qū)間是（l,4w）.

易錯點3忽視轉(zhuǎn)化的等價性

點撥：等價轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，處理得當(dāng)會起到意想不到的效果，但等價轉(zhuǎn)化的前提是轉(zhuǎn)化

的等價性，反之會出現(xiàn)各種離奇的錯誤。

【典例1](23-24高三上?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)，(x)=3xTlnx存在兩個零點，則實數(shù)f的取值范圍為

()

e

—,+oo—00—C.（3e,+co）

33

【答案】C

【解析】由〃X)=3x-rlnx=。，x>0,可得：,令g(x)=處，

tXX

依題意，函數(shù)〃%)=3尤TinX存在兩個零點，

3Inx

等價于函數(shù)y=-與函數(shù)g(無)=—的圖象有兩個交點.

t尤

又8'。)=上及，當(dāng)0<x<e時，g'(尤)>。，g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>e時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

故x=e時，g(x)取得極大值1,且當(dāng)x->0+時，g(x)-—8,當(dāng)x-+8時，g(x)-o+,

31nx3

故要使函數(shù)y=-與函數(shù)g(無)=—的圖象有兩個交點.，需使0<-<e,解得/>3e.故選：C.

tXt

【典例21(2024高三?全國?專題練習(xí))設(shè)。、b分另IJ是方程2，+x+2=0與log2》+x+2=0的根，貝.

【答案】-2

【解析】如圖，分別作出函數(shù)y=1。82x，y=2x,y=-2-x的圖象，

且函數(shù)y=-2-尤與>=2"、y=log?無分別相交于點P,Q.

由題意log2O=-2-a,2h=-2-b.而yTogzH》>。)與y=2”互為反函數(shù)，

直線>=-2-x與直線y=x互相垂直，所以點p與。關(guān)于直線y=x對稱.

所以a=2'=—2—。.所以a+b=—2.

【典例3】(2024?河南南陽?一模)已知函數(shù)〃x)=3x2—21nx+(a-l)x+3在區(qū)間(1,2)上有最小值，則整數(shù)。

的一個取值可以是.

【答案】-4(答案不唯一，ae{aeZ|T0<“<-3}中的任意整數(shù)均可)

【解析】由/'(x)=3x2-21nx+(a-l)x+3可知，f'(x')=6x-—+a-l=^X~~,

XX

又/(尤)=3尤2-2111苫+(°-1)N+3在(1,2)上有最小值，

所以/’(X)在(L2)上有變號零點且在零點兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，

令〃(x)=6/+(a-1口一2,則心)在(1,2)上有變號零點且在零點兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，

'A=(a-l)2+4x6x2>0

所以/Z(1)=6+G-1-2<0,解得—10<。<一3,

/?⑵=6x4+2(a—l)-2>0

又因為aeZ,所以ae{aeZ|-10<a<-3}.

故答案為：T(答案不唯一，"e{aeZ|T0<a<-3}中的任意整數(shù)均可).

易錯點4函數(shù)零點定理的理解不準(zhǔn)確

點撥：函數(shù)零點定理是指如果函數(shù)/(X)在區(qū)間句上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有

/(aW)<0,