2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：等式與不等式的性質(zhì)（五大題型）講義（解析版）

第03講等式與不等式的性質(zhì)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識點(diǎn)1：比較大小基本方法.....................................................................4

知識點(diǎn)2:不等式的性質(zhì).........................................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................................5

題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用......................................................................6

題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式..................................................8

題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍.................................................10

題型四：不等式的綜合問題.....................................................................12

題型五：糖水不等式............................................................................14

04真題練習(xí)?命題洞見...........................................................17

05課本典例?高考素材...........................................................18

06易錯分析?答題模板...........................................................20

易錯點(diǎn)：多次使用同向相加性質(zhì)，擴(kuò)大了取值范圍.................................................20

答題模板：利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的范圍.....................................................20

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對不等式的性質(zhì)的考查相對較少，考查

(1)掌握等式性質(zhì).

內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，單獨(dú)考查的

(2)會比較兩個(gè)數(shù)的大

題目雖然不多，但不等式的性質(zhì)幾乎可以滲透到

小.2022年〃卷第12題，5分

高考的每一個(gè)考點(diǎn)，是進(jìn)行不等式變形、證明以

(3)理解不等式的性

及解不等式的依據(jù)，所以它不僅是數(shù)學(xué)中的不可

質(zhì)，并能簡單應(yīng)用.

或缺的工具，也是高考考查的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1、理解用作差法、作商法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.

2、理解等式與不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用.

匐2

〃二知識導(dǎo)圖?思維引航\\

考點(diǎn)突確.題理輝寶

知識固本

知識點(diǎn)1:比較大小基本方法

方法

關(guān)系做差法做商法

與0比較與1比較

a>ba-b>04>1(<2方>0)或@<13方<0)

bb

a=ba-b=0?=1(K)

b

a<ba-b=0@<1(。，Z?>0)或@>l(a,Z?<0)

bb

【診斷自測】（2024?北京豐臺?二模）若a,bwR,且則（）

A.B.a2b>ab1

a+1b+\

C.a2>ab>b2D.a>--->b

2

【答案】D

【解析】由十〃>人，取a=L)=—1,—―7=-^7=~,a2b=ab1=1,無法得至~~7<7^—7，a2b>/,

a2+lb2+l2/+i。2+1

故AB錯誤，

取。=。,。=-2，則〃2=o,〃b=o*2=4,無法得到標(biāo)C錯誤，

由于a>b,貝!J2a>Z?+a>2Z?,所以〃〉"+">b,

2

故選：D

知識點(diǎn)2：不等式的性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容

對稱性a>b=b〈a；a<b=b>a

傳遞性a>b,b>c=>a>c；a<b,b<c^a<c

可加性a>b<=>a+c>b>c

可乘性a>b,c>0^>ac>bc；a>b,c<0^ac<bc

同向a>c,c>d^>a+c>b+d

可加性

同向同正a>b>Q,c>d>Q^>ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>0,neN*n

【診斷自測】（2024?陜西?模擬預(yù)測）已知3<b<l,則以下錯誤的是（）

A.-\5<ab<5B.-4<Z7+Z?<6

c5QL

C.—2<a—b<8D.——<—<5

3b

【答案】D

【解析】因?yàn)橐弧?所以一1<一〃<3,

-l<tz<5-l<a<5—1<a<5

對于A,-15<ab<3,n=0,n—1<<5,

-3<b<0b=00<Z?<l

綜上可得-15<"<5,故A正確;

對于B,—3—l=T<a+b<l+5=6,故B正確;

對于C,—1—1=—2<a—b<3+5=8,故C正確;

對于D,當(dāng)Q=4,Z?=：時(shí)，，=8,故D錯誤;

2b

故選：D.

解題方法總結(jié)

1、應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時(shí)要做到言必有據(jù)，特別提醒的是在

解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí)，有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率.

2、比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單

調(diào)性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大?。唬?）下結(jié)論.

作商比較大?。ㄒ话阌脕肀容^兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大??；（4）下結(jié)論.

其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于?；?比較大

作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是幕或者因式

乘積的形式，也可考慮使用作商法.

題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用

【典例1-1】（2024?北京海淀?二模）設(shè)“,6eR,Hw。，S.a>b,則

C.sin(a-6)<a-6D.3">2"

【答案】C

【解析】對于A,取。=24=-1,則2=一!>￡=一2,故A錯誤,

a2b

對于B,故B錯誤,

對于C,由于y=sinx-x（x>0）,y=cosx-l<0,故y=sinx—%在（0,+e）單調(diào)遞減，故sinx—九<0,因止匕

sinx<x,A：G（0,+oo）,

由于Q>〃，所以〃一人>0,i^sin（a-b）<a-b,C正確，

對于D,。=-3*=-4廁3"='<2b=',故D錯誤，

故選：C

【典例1-2］（多選題）（2024?高三?湖南常德?期末）已知a>b>Q,則下列不等式一定成立的

是（）

22

---->----a+b

a+1b+1

C.a+Z?+ln(曲)>2D.---------<---------

1+In〃1+Inb

【答案】AB

【解析】?:a>b>0,*,*1H—<1+—即。v---<--—，------->，A正確;

ababa+1b+1

由基本不等式知：~~~7-=，當(dāng)且僅當(dāng)?=〃時(shí)等號成立

a+b27ab2

又22ab,2（/+/?2）N（Q+/?）2

.??片+〃3（〃+"）：即巴蟲.卜2+4,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立;

242-V2

已知a>6>0,故生<」上々，B正確；

a+bV2

令”=l,b=La+b+\n（ab）=l+—+ln-=—<2,C錯誤；

eeee

令6=,，l+ln/?=l+ln-=0,分母為零無意義，D錯誤.

ee

故選：AB.

【方法技巧】

1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明.

2、充分利用基本初等函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.

3、小題可以利用特殊值排除法.

【變式1-11（2024?北京房山?一模）已知a,6,ceR,則下列命題為假命題的是（）

A.若a>b,貝!|o+c>>+cB.若a>b>0,貝!

C.若a>b,貝<f-D.若人>0,c>0,則2>。。

（2）^2）aa+c

【答案】D

【解析】對于A,因?yàn)椤?gt;人，所以a+c>6+c,故A結(jié)論正確；

對于B,當(dāng)a>6>0時(shí)，因?yàn)槟缓瘮?shù)y=x°4在（0,+e）上單調(diào)遞增，所以“乜〉/“,故B結(jié)論正確;

對于C,因?yàn)椤?gt;0，所以4+C>>+C,

而函數(shù)y=為減函數(shù)，所以g[，故c結(jié)論正確；

bb+cb（a+c}-a（b+c}c（b-a}

對于D,-----------=---------7------<------=-7------7?

aa+c磯4+c）a^a+c）

因?yàn)閍>b>0,c>0,所以。（6-4乂0,〃（4+。））0,

bZ7+cc（b—ci\hb+c

所以-------==一（<0,所以故D結(jié)論錯誤.

aa+ca[a+c）aa+c

故選：D.

【變式1-2］（2024?北京西城?一模）設(shè)。=，一；,/?=，+；,c=/（2+，），其中—則（）

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】C

【解析】由—故？￡（—8,—1）,故。=，—；〉。，

由對勾函數(shù)性質(zhì)可得b=/+；<—（1+1）=—2,

c=r（2+r）<0,且c=/.（2+/）=廠+2r=+1）—1>—1,

綜上所述，有6<c<a.

故選：C.

題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式

3

【典例2-1】已知4>0且（7力1,P=loga（a+1）,Q=log式〃+1）,則尸與。的大小關(guān)系為.

【答案】P>Q

【解析】P-Q=log”（/+1）_log”（°2+］）=iogfl^-±1.

當(dāng)4>1時(shí)，?3+1>?2+1,所以￡^>1,則10g“M出>0；

。+16Z+1

當(dāng)0<。<1時(shí)，0<q3+i<q2+］,所以0<+1<1,則log”",+1>0.

力+16aa2+l

綜上可知，當(dāng)a>0且awl時(shí)，P-Q>0,即P>Q.

【典例2-2】（2024?高三?河南?開學(xué)考試）已知：a>b>c>0,A=ab+bc,B=ac+b2,C=a2+b2,

則A、B、C大小關(guān)系是.

【答案】C>A>B

【解析】由a>/?>c>0,得a2>ab,護(hù)〉be,因止匕0=4+/>°/+歷=A,

顯然A-8=（。6+歷）-（。。+/）=（a-b）（6-c）>。，則/>B,

所以A、B、C大小關(guān)系是C>A>8

故答案為：C>A>8

【方法技巧】

比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)

性.比較法又分為作差比較法和作商比較法.

〃2h2

【變式2-1】已知。涉為正實(shí)數(shù).求證：—+—>a+b.

ba

【解析】證明：因?yàn)椤?打_(<3+?="+/4%一"_a一(a-b)-b-(a-b)=(a-by(a+b)

baababab

又因?yàn)椤?gt;0*>0,所以及二夕①2之o,當(dāng)且僅當(dāng)。=人時(shí)等號成立，

ab

21

所以幺a+土b>°+從

ba

【變式2-21(1)比較。0與6/3>0”>0)的大小；

(2)己知a>2,比較log—i)。與log“(a+D大小

【解析】(1)因?yàn)椤?gt;。,6>。，

所以①當(dāng)a=6>0時(shí)，裝=[幺]=1)

baabyb)

所以廢法=。"7,

②當(dāng)a>b>0時(shí)，一>1,。一6>0,

b

所以"法>萬斯,

③當(dāng)6><7>0時(shí)，0<—<1,4—6<0,

所以相

ahab

綜上所述：當(dāng)夕>0力>0,ab>ba.

(2)log(a_no-logo(a+l)

Igalg(a+l)

lg(?-l)lg?

_[g?”1gg+])lg(q_l)

Igfllg(tZ-l)

因?yàn)椤?gt;2,所以炮(°+1)>0,炫(0_1)>0,四<2>0,

所以lgalg(a_l)>0,

2

lg(a-l)+lg(a+l)

由lg(Q+l)lg(Q_l)V

2

所以lg2〃—lg(a+l)lg(a—l)>0,

所以史二嗎粵"

即log(i)〃Toga(〃+l)〉°,

故10g（aT）〃>10g<〃+l）.

【變式2-3】希羅平均數(shù)（Heronianmean）是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的一種平均，若〃，匕是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，則

它們的希羅平均數(shù)手3.記4=手，G=g則AG,“從小到大的關(guān)系為—.（用M連接）

【答案】G<H<A

【解析】由基本不等式可知，G<A,當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)等號成立；

因?yàn)镠G_a+嵐+b2疝+b_（G訪）

333

當(dāng)且僅當(dāng)右=指，即1=〃時(shí)等號成立，所以HNG；

因?yàn)椤≦+^/^+，a+b—a+2\[ab—b（A/^一6）

—/JH—A=--------------=-----------=----------<0，

3266

當(dāng)且僅當(dāng)八=揚(yáng),即a=b時(shí)等號成立，所以HVA；

綜上所述，G<H<A,當(dāng)且僅當(dāng)。=》時(shí)等號成立.

故答案為：G<H<A

題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍

【典例3-1】已知〃一Z?W2,3<6Z+/?<4,則出?的最大值為()

159

A.—B.—C.3D.4

42

【答案】A

【尚軍析】4aZ?=(〃+b)2—(。一/?)2,

由不等式的性質(zhì)9W(〃+b)2<16,1<(6/-/?)2<4,所以一44—(〃—bp4―1

所以5V(a+b￥_(a_b)2W15,所以一<abV—,

44

5

2a=-

(Q+Z?)=162

時(shí)，且已知a+>>O,a—>>。，解得<

當(dāng)且僅當(dāng)<2

(a叫=1b=)

2

即油的最大值為"

故選：A.

【典例3-2]已知ASC的三邊長分別為a,b,c,且滿足6+cV3a,則反的取值范圍為()

a

A.(l,+oo)B.(1,3)C.(0,2)D.(0,3)

【答案】C

a<b+c<3a

【解析】由已知及三角形三邊關(guān)系得，a+b>c,

a+c>b

rI—+Z3

,bc,則°\,兩式相加得?！瓷瓷?/p>

所以1+—>—

aa1cb1a

ycb

1+—>—

aa

所以。<￡<2.

a

：C

【方法技巧】

在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時(shí)，不能離開變量之間的約束關(guān)系而獨(dú)立分析每個(gè)變量的范圍,

否則會導(dǎo)致范圍變大，而只可以建立已知與未知的關(guān)系.

【變式3?1](多選題)已知2cb<4,則()

C.a—3Z?￡(—11,0)D.a—-6,—5)

【答案】BC

【解析】依題意1<。<6,2<Z?<4,

所以：<：<:，所以!<：<3,所以A選項(xiàng)錯誤，B選項(xiàng)正確.

4624b

所以-12<—36<-6,所以沙<0,所以C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯誤.

故選：BC

【變式3-2](多選題)已知實(shí)數(shù)X,y滿足一3<x+2y<2,-l<2x—y<4,貝。()

A.尤的取值范圍為(-1,2)B.y的取值范圍為(-2,1)

C.x+y的取值范圍為（-3,3）D.x—y的取值范圍為（-1,3）

【答案】ABD

【解析】利用不等式的性質(zhì)直接求解.因?yàn)?l<2x-y<4,所以-2<4x—2y<8.因?yàn)?3<x+2y<2,所以

-5<5x<10,貝故A正確；

因?yàn)?3<x+2y<2,所以一6<2x+4y<4.因?yàn)?l<2x-y<4,所以-4<-2x+y<l,所以-10<5y<5,

所以故8正確；

,Q36114

因?yàn)橐?<x+2y<2,-l<2x-y<4,所以一（<1（》+2、）<1,一《<《（2》一、）<二，則一2<x+y<2,故C

錯誤；

2133312

因?yàn)?3<x+2y<2,-l<2x-y<4,所以一《<-二0；+2、）<],—]<|<2;<:->）<（，貝,故O

正確.

故選：ABD.

【變式3-3]已知實(shí)數(shù)°,6滿足2a2+3他-2〃=1,且1<23?<2，則3a+b的取值范圍是（）

A.卜6-2｝（2,⑹B.（2,君）C.（-V5,0）（0,A/5）D.（-A/5,-2）

【答案】A

【解析】由題意得：2?2+3ab-2b2-（2a-b^（a+2Z?）=1,記m=2a-b,n=a+2b,貝=

又1<2%一"=2"一"<2，0<M—m<1,/.4<（m+n）2=（n-m）2+4mn<5,

,\3a+b=m+nE：卜蓬,-2）（2,仆）.

故選：A

題型四：不等式的綜合問題

【典例44】記max｛4%2,電｝表示不入2，工3這3個(gè)數(shù)中最大的數(shù).已知〃，b,。都是正實(shí)數(shù)，

[\lbcA

M=max〃,一+一,三，則M的最小值為（）

[acb]

A.y]3B.y[2C.3^3D.3^2

【答案】A

【解析】因?yàn)椤?max]。,一+一|,所以aWAf,^-<M,所以二+三；<，+"KM,

VacbjbMMac

3cf-

所以77MM,即石，當(dāng)且僅當(dāng)〃=7=省時(shí)取等號，所以M的最小值為6.

Mb

故選：A

【典例4-2】（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測）設(shè)實(shí)數(shù)〃，b,c滿足，/+/wcwi貝ijQ+b+。的最小值

為()

A.變一1B.--C.一變D.-1

222

【答案】B

【解析】由"+62WC41可得：

a+b+c>a+b+cr+tr=(<7+—)2+(Jb+—)2——>——,

2222

當(dāng)。=b=-g時(shí)取等號，

所以a+6+c的最小值為

故選：B

【方法技巧】

綜合利用等式與不等式的性質(zhì)

【變式4?1](多選題)若實(shí)數(shù)x,y滿足4^+69+9/=3,則()

A.4x+3y42相B.4x+3y>-l

C.4x2-6xy+9y2<8D.4x?-6孫+9/N1

【答案】AD

i271

【解析】對于AB,H^j4x2+6xy+9/=-(4x+3y)2+—/=3,所以:(4尤+3y)2V3,當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)

444

取等號，

所以(4x+3y)2W12,所以-26v4x+3y42山，所以A正確，B錯誤，

對于C,因?yàn)?(2尤+3〉)220,所以2(4/+12孫+9V)z。，當(dāng)且僅當(dāng)2x=-3、時(shí)取等號，

所以8/+24xy+18y2>0,所以12x?+18xy+27y2>4x2-6xy+9y2,

所以3(4x?+6xy+9y~)>4x2-6xy+9_y2,

所以4/一6孫+9y2<9,當(dāng)且僅當(dāng)2x=-3y時(shí)取等號，所以C錯誤，

對于D,因?yàn)?(2x-3y)220,2(4.x2-12xy+9y2)>0,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)取等號，

所以8--24孫+18/>0,所以12/一18孫+27/24—+6孫+9/，

所以416沖+9/產(chǎn)+67+9/=],當(dāng)且僅當(dāng)2元=3y時(shí)取等號，所以D正確，

故選：AD

4151

【變式4-2](多選題)已知。>0,b>0,且滿足—+7，b>-+~.則/+及的取值可以為()

abba

A.10B.11C.12D.20

【答案】CD

4151

【解析】因?yàn)椤狧—,b>—+—,

abba

所以〃2>4+，，/?2>5+—,

ba

?a2+&2>4+-+5+->9+2.E^=ll,

ba\ba

當(dāng)“2=4+:,尸=5+2且f=2,而。=6時(shí)4片〃，即等號不能同時(shí)成立,

baba

所以〃2+》2>II,故AB錯誤，CD正確.

故選：CD.

題型五：糖水不等式

【典例5-1】（多選題）生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們：?？颂撬杏?克糖（。>0,b>0,且。>萬），若再添加

h/7+

加克糖（〃7>0）后，糖水會更甜.于是得出一個(gè)不等式：—〈巴—,趣稱之為“糖水不等式”.根據(jù)“糖水不

aa+m

等式”判斷下列命題一定正確的是（）

h/7+H7

A.若a>b>0,m<0,則一<----

aa+m

B.log32<log1510

MC三條邊長，則士+￡>士

C.若〃，b,c為

D.若4,b,。為ABC三條邊長，貝！J]<------1---------1-------<2

b+ca+ca+b

【答案】BCD

機(jī)時(shí)，?>b+m,故人錯誤.

【解析】A.由糖水不等式得：a>5>0,<0

aa+m

i小坨2Ig2+lg5IglO,s

BM=11rli^=證=*1。，故B正確.

ababa+bc

-------1------->------------1-----------=----------->------故C正確.

1+tz1+b1+Q+61+a+Z?1+Q+Z?1+c

abcabc

D.+----H------->------------1-------------1------------=1,

b+ca+ca+ba+b+ca+b+ca+b+c

abc2a2b2c

-------1---------1-------<------------1-------------1------------=2,故D正確.

b+ca+ca+ba+b+ca+b+ca+b+c

故選：BCD

b

【典例5-2]（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）若〃克不飽和糖水中含有5克糖，則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為一,

a

這個(gè)質(zhì)量分?jǐn)?shù)決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加加克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會變甜，從而可抽

象出不等式h+"TT%I>h'（a>6>0,相>0）數(shù)學(xué)中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可得出logs2

a+ma

Sgl51。（用或“〉”填空）；并寫出上述結(jié)論所對應(yīng)的一個(gè)糖水不等式.

In2+ln5In2

【答案】<------------〉-----

In3+ln5In3

【解析】空1：因?yàn)椤?lt;log32<l,所以可得:

,4log,2log,2+1log65,2log,10,

log,2=—------=<——=log8l1s510.

logs3log53+llog531隰15'

,一，.cIn2In10In2+ln5,In2+ln5In2

空2：由空1可得:log2<log10^—<------=-----n即-r------------->——.

315In15In3+ln5In3+ln5In3

In2+ln5In2

故答案為：<；------------>-----

In3+ln5In3

【方法技巧】

糖水不等式：若。>6>0,m>0,則如或者4土

a+mab+mb

【變式5-1］（1）已知把糖水中含有ag糖（6>。>0）,若再添加7〃g（m>0）糖完全溶解在其中，則糖

水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大）.根據(jù)這個(gè)事實(shí)，則H/_____Z產(chǎn)7+m.（填<,=,>,W"之一）.

bb+m

“20192019220192016

(2)M=-------------,N=,則MN(填<=，n,e之一）.

2023202320232020

【答案】<>

aa+ma(b+m)—b(a+m)(a—b)m

【解析】（1）

bb+mb(b+m)b(b+m)

又,：,m>0,

aa+m{a-b)m八_aa+m

-------------=<0,即n一<-----

bb+mb(b+m)-----------bb+m

20192016+3z20192016

(2)因?yàn)镸=，N=-------------

20232020+320232020

故M>N.

故答案為：<；>.

【變式5-2］（2024?高三?安徽亳州?期中）已知b克糖水中含有〃克糖再添加加克糖

（m>0）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.

⑴請將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立；

ABC

⑵在銳角ABC中，根據(jù)（1）中的結(jié)論，證明：――+-—+-5—<2.

B+CC+AA+B

H(1YY]

【解析】(1)^b>a>0,m>0,貝U,〈產(chǎn).

bb+m

一raa+ma[b+m)-b^a+m)m^a—b)

證明：-

b+mb(b+m)b(b+m)

m(a—b\

因?yàn)閎>a,所以〃一/?<0,又b>0,根>0,故77^------7<。，

e“〃a+m

因此一<----

bb+m

AA+A2A

⑵在銳角三角形中A<S+C,A>°'由⑴得砧<-------------=--------------

A+3+C*A+3+C

BB+B2B

同理<--------=--------

C+AA+3+CA+3+C

CC+C2C

--------<--------------=--------------

A+BA+B+CA+B+C

ABC

以上式子相加得百+-----------1-------<---2-.

C+AA+B

1.（多選題）（2022年新高考全國n卷數(shù)學(xué)真題）若X,y滿足V+y2一孫=1,貝U（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【解析】因?yàn)槭模海╝MR）,由犬+丁-⑵=1可變形為，"+a_1=3孫寄J,

解得_24x+y42,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-l時(shí)，尤+>=-2,當(dāng)且僅當(dāng)尤=y=l時(shí)，x+y=2,所以A錯誤，B

正確；

22

由V+y2一孫=1可變形為（/+>2）一1=町4土產(chǎn)，解得Y+y2V2,當(dāng)且僅當(dāng)X='=±1時(shí)取等號，所

以C正確；

因?yàn)?+/一孫=1變形可得□一力+#=1,設(shè)x/=cosa￥y=sine,所以

12222522111

x=cos^+-^sin0,y=—j=^n0,因止匕x+y=cos0+—sin^+-^sin^cos0=l+-^=sin2^-—cos+~

=：+,sin（20-上,2］，所以當(dāng)x=?l,y=一3時(shí)滿足等式，但是V+產(chǎn)21不成立，所以D錯誤.

33I6J13」3-3

故選：BC.

2.（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)II））若a>b,則（）

A.111（〃一人）>0B.3a<3b

C.a3-b3>0D.\a\>\b\

【答案】C

【解析】取。=28=1,滿足。>>，ln（a-6）=0,知A錯，排除A；因?yàn)?=3">36=3,知B錯，排除B；

取4=1,匕=-2,滿足。>8,1=時(shí)（例=2,知D錯，排除D,因?yàn)榛瘮?shù)y=V是增函數(shù)，a>b,所以

>企,故選C.

3.（2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（北京卷））已知｛%｝為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確

的是

2

A.ax+a3>2a2B.a；+必>2a2

C.若4=%,貝!=2D.若%>%,則％>。？

【答案】B

【解析】設(shè)｛an｝的首項(xiàng)為公比為I當(dāng)幻<0,4<0時(shí)，可知如<0,〃3V0,?2>0,所以A不正確；

當(dāng)9=一1時(shí)，C選項(xiàng)錯誤；當(dāng)4<0時(shí)，a3>ai^asq<aiq^a4<a2,與D選項(xiàng)矛盾.因此根據(jù)基本不等式可知

B選項(xiàng)正確.

1.下列命題為真命題的是()

A.若a>b>0,則。c2,/?/B.若a>b,則〃2>〃

C.若則。2<"<b2D.若〃</?<0,貝

ab

【答案】D

【解析】對于A,當(dāng)c=0時(shí)，ac2=bc2,所以A不是真命題；

對于B,當(dāng)〃=0,。=-2時(shí)，但/(乂，所以B不是真命題；

22

對于C,當(dāng)?=-4,b=-l時(shí)，a<b<0,a>ab>bf所以C不是真命題；

對于D,若"6<0,則!所以D是真命題.

ab

故選:D.

2.比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大?。?/p>

(1)%2+5x+6與2爐+5x+9;

(2)(I)?與-2)(1)；

(3)當(dāng)%>1時(shí)，/與％2_x+i；

(4)/+y2+i與2(1+丁一1).

【解析】(1)ia^(x2+5x+6)-(2x2+5x+9)=-x2-3<0,所以爐+5工+6<2/+5%+9.

(2)因?yàn)?兀-3)2—(尤一2)(%-4)=(爐—6%+9)——6x+8)=1>0,所以(x—3)?>(x—2)(x—4).

(3)因?yàn)楣庵?%?—尤+])=%一i>。，所以當(dāng)%>1時(shí)，X2>X2-X+1.

(4)因?yàn)椋?+)2+1_2(%+,_1)=%2+)2+1_2x_2,+2=(%_1)2+()-1)2+1>0,所以

x~+y-+1>2(x+y—1).

3.火車站有某公司待運(yùn)的甲種貨物15303乙種貨物11507,現(xiàn)計(jì)劃用A,B兩種型號的貨廂共50節(jié)運(yùn)送

這批貨物，已知35t甲種貨物和15f乙種貨物可裝滿一節(jié)A型貨廂，25f甲種貨物和35r乙種