數(shù)學(xué)-課堂探究：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算（第課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一復(fù)數(shù)的加法與減法運(yùn)算1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減法運(yùn)算實(shí)質(zhì)就是將實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減之后分別作為結(jié)果的實(shí)部與虛部，因此要準(zhǔn)確地提取復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部．2．復(fù)數(shù)的運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的運(yùn)算：若有括號(hào)，括號(hào)優(yōu)先；若無括號(hào)，可以從左到右依次進(jìn)行計(jì)算．【典型例題1】計(jì)算：(1)（3＋5i)＋（3－4i）；（2）(－3＋2i）－(4－5i)；(3）（5－6i）＋（－2－2i）－(3＋3i)．解：(1）(3＋5i)＋（3－4i）＝（3＋3)＋(5－4）i＝6＋i；(2）(－3＋2i）－（4－5i）＝（－3－4）＋［2－（－5）］i＝－7＋7i；(3）（5－6i)＋(－2－2i）－（3＋3i）＝（5－2－3)＋［－6＋（－2）－3］i＝－11i。探究二復(fù)數(shù)加、減法運(yùn)算的幾何意義1．復(fù)數(shù)加法、減法運(yùn)算的幾何意義與平面向量的平行四邊形法則、三角形法則有關(guān),因此在求解與平行四邊形、三角形有關(guān)的復(fù)數(shù)問題時(shí),主要應(yīng)根據(jù)復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義求解計(jì)算．2．由于復(fù)數(shù)可用向量表示,因而可將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為向量問題,利用向量的方法解決復(fù)數(shù)問題．【典型例題2】復(fù)數(shù)z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它們在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．思路分析：利用，或者，求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；也可以利用正方形的性質(zhì)求解，正方形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是其對(duì)稱中心．解法一:如圖，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2,z3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B，C,正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x＋yi(x,y∈R)．則＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i。因?yàn)?，所以（x－1）＋（y－2)i＝1－3i，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－1＝1，，y－2＝－3,））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2，,y＝－1.))故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2－i.解法二:設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2，z3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x＋yi(x，y∈R)．因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以原點(diǎn)O為正方形的中心,所以點(diǎn)O也是點(diǎn)B與點(diǎn)D連線的中點(diǎn),于是(－2＋i）＋（x＋yi)＝0，所以x＝2,y＝－1，故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2－i.探究三復(fù)數(shù)加、減法幾何意義的應(yīng)用1．|z－z0|（z，z0∈C)的幾何意義設(shè)復(fù)數(shù)z，z0在復(fù)平面內(nèi)分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B，則｜z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離．2．｜z－z0|(z，z0∈C)幾何意義的應(yīng)用（1)判斷點(diǎn)的軌跡．（2)利用幾何知識(shí)解決代數(shù)問題．【典型例題3】設(shè)z1，z2∈C，已知｜z1|＝|z2｜＝1，｜z1＋z2｜＝eq\r（2），求｜z1－z2|.分析:解法一：設(shè)出z1，z2的代數(shù)形式，利用模的定義求解．解法二：利用復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義求解．解法一：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）．由題設(shè)知，a2＋b2＝1，c2＋d2＝1,（a＋c)2＋（b＋d）2＝2，∴2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝（a－c)2＋（b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－2ac－2bd＝2，∴｜z1－z2｜＝eq\r（2)。解法二：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2,z1＋z2分別對(duì)應(yīng)向量，,。∵｜z1|＝|z2|＝1，｜z1＋z2|＝eq\r（2），∴平行四邊形OZ1ZZ2為正方形，∴|z1－z2|＝＝＝eq\r（2）.探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)模的幾何意義掌握不到位而導(dǎo)致出錯(cuò)【典型例題4】已知｜z－2＋2i|＝｜z｜，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡方程為________．錯(cuò)解：∵｜z－2＋2i|＝|z|表示點(diǎn)Z到點(diǎn)A(－2,2）和點(diǎn)B(0，0）的距離相等，∴點(diǎn)Z的軌跡為線段AB的垂直平分線，即y＝x＋2。錯(cuò)因分析:｜z－2＋2i｜