第7章銳角三角函數(shù)（單元重點綜合測試）

第七章銳角三角函數(shù)（單元重點綜合測試）一、單選題（每題3分，共24分）1．在直角三角形中，各邊的長度都擴大到原來的3倍，則銳角A的三角函數(shù)值（

）A．都擴大到原來的3倍 B．都縮小為原來的3倍C．都保持原來的數(shù)值不變 D．有的變大，有的縮小【答案】C【分析】理解銳角三角函數(shù)的概念：銳角三角函數(shù)值即為直角三角形中邊的比值．【詳解】解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，可知在直角三角形中，各邊的長度都擴大3倍，銳角的三角函數(shù)值不變．故選：C．2．如圖，滑雪場有一坡角的滑雪道，滑雪道長為200米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度的長為（

）米．

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦的定義進行解答即可．【詳解】解：，，故選：．3．下列三角函數(shù)的值是的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．【詳解】解：，，，，觀察四個選項，選項A符合題意，故選：A．4．如圖，在中，是斜邊上的高，，則下列比值中等于的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可；【詳解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．=cosA，不符合題意；B．=tanA，不符合題意；C．=cos∠DBC=cosA，不符合題意；D．=sin∠DBC=sinA，符合題意；故選：D．5．在ABC中，，則ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】結(jié)合題意，根據(jù)乘方和絕對值的性質(zhì)，得，，從而得，，根據(jù)特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)，得，；根據(jù)等腰三角形和三角形內(nèi)角和性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】解：∵∴，∴，∴，∴，∴，∴ABC一定是等腰直角三角形故選：D．6．在△ABC中，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，知，設(shè)BC=x，AC=2x，根據(jù)勾股定理可求得AB，再根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以求出的值．【詳解】解：在△ABC中，，∵，∴設(shè)BC=x，AC=2x，，，故選：C．7．在中，，，則下列式子成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)各個三角函數(shù)的定義即可解答．【詳解】解：A、∵，∴，故A不成立，不符合題意；B、，∴，故B成立，符合題意；C、，∴，故C不成立，不符合題意；D、，∴，故D不成立，不符合題意；故選：B．

8．如圖，在中，，平分，，那么的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明，設(shè),表示出的長，根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明，得到答案．【詳解】解：作于E，

∵平分，，，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，則，，則，∴，故選：B．二、填空題(共10小題，每題4分，共40分）9．滿足的銳角的度數(shù)是．【答案】/30度【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解可得．【詳解】解：∵∴故答案為：．10．在中，如果滿足，則．【答案】/75度【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值求出，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【詳解】解：，，，，，，．故答案為：．11．如圖，在矩形中，點在邊上，把沿直線翻折，得到，的延長線交于點為的中點，連接，若點在同一條直線上，，則的值為．

【答案】【分析】根據(jù)題意可得，即，設(shè)，則，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可證，由此可求出的值，根據(jù)題意可得，，在中，根據(jù)余弦的計算方法即可求解．【詳解】解：四邊形是矩形，∴，，，，∴，，∵點是的中點，∴，∵沿直線翻折得到，∴，，∵點在同一條直線上，∴，即，設(shè)，則，且，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴或（不符合題意，舍去），∴，∵，，∴，∴故答案為：．12．如圖，，于點，，則．

【答案】/【分析】設(shè)，，則，根據(jù)已知條件得出，根據(jù)真切的定義得出，進而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)，，則∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，整理得，，解得：或，∴故答案為：．13．在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則的值為．【答案】【分析】過點A作于點D，設(shè)小正方形的邊長為a，首先根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)正弦的概念求解即可．【詳解】解：過點A作于點D，如圖所示，設(shè)小正方形的邊長為a，則，∵，，∴，故答案為：．14．在中，，、、的對邊分別為、、，且，則的值為．【答案】/【分析】先利用勾股定理求出的長，然后再利用銳角三角函數(shù)進行計算即可解答．【詳解】解：在中，，，，．故答案為：．15．為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市大力開展植樹造林活動．如圖，在坡度的山坡上植樹，要求相鄰兩樹間的水平距離為米，則斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離為米．

【答案】4【分析】利用坡度求得垂直高度，進而利用勾股定理可求得相鄰兩樹間的坡面距離．【詳解】解：∵相鄰兩樹間的水平距離是米，坡比．∴，即解得∴（米）．故答案為：4．16．在中，，，點為上一動點，，則的最小值是．

【答案】【分析】作的外接圓，連接，，，作，根據(jù)圓周角定理求出，過點作，垂足為，根據(jù)等腰三角形三線合一求出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形邊長關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作的外接圓，連接，，，作，

，，過點作，垂足為，

，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，的最小值為，故答案為：．17．如圖，內(nèi)接于圓，為的直徑，，，為圓上一點，連接，，為直徑上一點，連接、，則的最小值為．

【答案】【分析】作點B關(guān)于直徑的對稱點E，連接，則，可得當(dāng)點D，P，E三點共線時，的值最小，最小值為的長，連接，過點E作于點F，過點D作于點G，可得，從而得到，再根據(jù)，可求出，，從而得到，，，再由是等邊三角形，可得，，從而得到，，進而得到，，即可求解．【詳解】解：如圖，作點B關(guān)于直徑的對稱點E，連接，則，，∴，即當(dāng)點D，P，E三點共線時，的值最小，最小值為的長，連接，過點E作于點F，過點D作于點G，

∴，∴，∴，∵是直徑，∴，∵，∴可設(shè)，則，∵，∴，，解得：，∴，，∵，∴，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，，∴，∴，，∴，即的最小值為．故答案為：．18．已知點E，F(xiàn)分別在正方形的邊CD，AD上，，，則．

【答案】/【分析】根據(jù)，延長，相交于，得到等腰，連接點和的中點，由，得到，設(shè)，，由，得，得出，列出方程求出，即可求出的值．【詳解】解：如圖：延長交的延長線于，設(shè)的中點為，連，∵，∴，∴，

四邊形是正方形，，，，，，則，，，，設(shè)，，，，，，，，

，，，，，整理得到：，或0（舍棄）．．故答案為．三、解答題(共8小題，共76分）19．（本題8分）（1）計算：【答案】0【分析】先計算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、絕對值及特殊角的銳角三角函數(shù)，再進行加減計算即可．【詳解】解：原式．（2）計算：．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，進行計算即可求解．【詳解】解：20．（本題8分）如圖，在中，，，，求的長．

【答案】【分析】作于點D，如圖，根據(jù)正弦的定義求出，再根據(jù)正切的定義求出，然后利用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：作于點D，如圖，

則在直角三角形中，∵，，∴，在直角三角形中，∵，∴，∴．21．（本題8分）如圖所示，小河中學(xué)九年級數(shù)學(xué)活動小組選定測量學(xué)校前面小河對岸大樹的高度，他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是，朝大樹方向下坡走6米到達坡底A處，在A處測得大樹頂端B的仰角是，若斜坡的坡比，求大樹的高度．（結(jié)果保留根號）

【答案】【分析】根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以計算出、的長，再根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，即可求得大樹的高度．【詳解】解：作于點，作于點，如圖所示，，斜坡的坡比，，，，在中，，則設(shè)米，，，在中，，，，解得，，，答：大樹的高度是．22．（本題10分）如圖，內(nèi)接于，，的延長線交于點D．(1)求證：平分；(2)若，，求和的長．【答案】(1)見解析(2)，．【分析】（1）連接，根據(jù)圓的性質(zhì)得，，利用證明，得，即可得；（2）延長交于E，連接，延長交于H，交于F，則是的直徑，，由圓周角定理得，由垂經(jīng)定理得，根據(jù)得，由勾股定理得，，根據(jù)，得，，根據(jù)得，即，進行計算即可得，則，根據(jù)，得是的中位線得，，則，在中，根據(jù)勾股定理得的長．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，根據(jù)圓的性質(zhì)得，，在和中，∴，∴，即平分．（2）解：如圖，延長交于E，連接，延長交于H，交于F，

則是的直徑，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴，∵，，∴是的中位線，∴，，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，即，．23．（本題10分）在日常生活中我們經(jīng)常使用訂書機，如圖，是訂書機的托板，壓柄繞著點B旋轉(zhuǎn)，連接桿的一端點D固定，點E從A向B滑動，在滑動過程中，的長保持不變，已知．

(1)如圖1，當(dāng)，B、E之間的距離為，求連接桿的長度．(2)現(xiàn)將壓柄從圖1的位置旋轉(zhuǎn)到與底座垂直，如圖2所示，求在此過程中點E滑動的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點D作交與點P，在中，通過解直角三角形可求出的長度，在中，利用勾股定理可求出的長度；（2）在中，利用勾股定理可求出的長度，結(jié)合（1）中的長度即可求出答案．【詳解】（1）解：在圖1中，過點D作交與點P，

在中，，在中，，∴，即連接桿的長度為；（2）解：在中，，∴，∴在此過程中點E滑動的距離為，24．（本題12分）已知：如圖，各頂點的坐標(biāo)分別是．(1)求的余切值；(2)若點在軸的正半軸，且與相似，請直接寫出點的坐標(biāo)；(3)已知點在軸上，如果，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）由兩點距離公式可求，，由直角三角形的性質(zhì)可求的長，即可求解；（2）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求解；（3）根據(jù)題意可得，再由，可得，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，如圖1，過點B作于H，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵點P在y軸上，∴，當(dāng)時，則，∴，∴，∴點P的坐標(biāo)為或；當(dāng)時，則，∴，∴，∴點P的坐標(biāo)為或；綜上所述：當(dāng)點P的坐標(biāo)為或或或時，與相似；（3）解：∵，，∴，由（1）得：，∴，∴，∴，此時點M的坐標(biāo)為或．25．（本題12分）如圖1，已知線段，，線段繞點A在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，在（1）的條件下，若，，，求的長；(3)如圖3，若，，，當(dāng)時，求此時的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）求出，延長交于點F，在中，由直角三角形的性質(zhì)求得，，進而求得的長，根據(jù)（1）的結(jié)論，得出，在中，勾股定理求得，進而根據(jù)，即可求出案．（3）如圖所示，以為邊在上方作，，連接，，同（1）可得，得到求出的長，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出的長，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，得到，利用正切的定義即可得出答案．【詳解】（1）解：在中，，在中，，，∴，，∴，∴，．∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：；（2）解：在，，，，∴，，延長交于點F，如圖所示，

∵，∴，∴，，∴，由（1）可得，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，即；（3）如圖所示，以為邊在上方作，使，則：，

同（1）可得，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴在中，．26．（本題8分）如圖，已知是的直徑，是