專題08幾何證明題(不含輔助線)(原卷版+解析)

二輪復(fù)習(xí)【中考沖刺】2023年中考數(shù)學(xué)重要考點名校模擬題分類匯編專題9——幾何證明題（不含輔助線）（成都專用）1．（2022秋·四川成都·九年級成都七中?？计谥校娜切危ú皇堑妊切危┮粋€頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．(1)如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD是△ABC的完美分割線；(2)在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)；(3)如圖2，在△ABC中，AC=2，BC=2，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以AD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD2．（2020秋·四川成都·九年級成都外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在△AOB和△COD是有公共頂點的兩個直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，點E是射線BD、(1)如圖1，當(dāng)OA=OB，OC=OD時，(2)如圖2，在△AOB和△COD中，OAOB=OC(3)在（2）的條件下，△COD繞著點O旋轉(zhuǎn)，OB=5，OD=1，當(dāng)點C和點B，D三點共線時，求BD3．（2022秋·四川成都·九年級成都七中?？计谥校┮阎匦蜛BCD，點E為線段BC上的一點，連接AE，過點B作線段AE的垂線分別交線段AE，CD交于點G，F(xiàn)，延長CG交邊AB于點M．(1)如圖1，若四邊形ABCD是正方形，且點M為邊AB的中點，①求證：BE=CF；②若正方形ABCD的邊長為2，求證：CFCD(2)如圖2，若GC平分∠FGE，若ABBC=34．（2022秋·四川成都·九年級冠城實驗學(xué)校期中）在△ABC中，∠C=90°，D為BC邊上一點，連接AD，AF∥CD，DF⊥AB于點(1)如圖1，若AF=AD，連接BF．求證：四邊形ADBF為菱形；(2)如圖2，連接CE交AD于點G，若CE平分∠ACB．求證：△GEA∽△FAD；(3)在（2）的條件下，CD=1,AC=3，求EF的值．5．（2022秋·四川成都·九年級龍泉驛區(qū)統(tǒng)考期中）（1）如圖，矩形ABCD，AB=4，BC=10，點E為BC邊上一動點，∠AED=90°，且BE<CE，求DEAE（2）如圖，矩形ABCD，點E為對角線BD上一動點，連接AE，作AE⊥EF，交CD的延長線于點F，連接AF．①求證：△ABD∽②若AB=AE，求證：四邊形ABDF為平行四邊形．6．（2021秋·四川成都·九年級成都七中校考期中）如圖1，點E是正方形ABCD的邊DC延長線上一點，CE=CG，連接DG并延長交BE于點F．(1)求證：∠BGF=∠E；(2)求證：BG?BC=BF?BE；(3)如圖2，連接AC交DF于H，若點G為CB的中點，求HGGF7．（2023秋·四川成都·九年級成華區(qū)統(tǒng)考期末）如圖，點E是正方形ABCD的對角線CA延長線上一點，連接BE，將BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°至BF，連接EF，EF交AD于點G．(1)求證：△ABE∽△AEG；(2)若正方形ABCD的邊長為4，點G為AD的中點，求AE的長．8．（2023秋·四川成都·九年級高新區(qū)統(tǒng)考期末）矩形ABCD中，連接AC，∠CAD的平分線交CD于點E，交BC的延長線于點F，在線段EF上取點G，使∠ECG=∠CAE．(1)判斷三角形ACF的形狀，并證明；(2)若AD=6，AB=8，求CE及CG的長．9．（2022秋·四川成都·九年級武侯區(qū)西川實驗學(xué)校階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點E為BC的中點，EF⊥CD于點F，點G為CD上一點，連接OG，OE，且(1)求證：四邊形OEFG為矩形；(2)若AC=10，BD=62，∠ABD=45°，求矩形OEFG10．（2022秋·四川成都·九年級成都市第十八中學(xué)校校考階段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應(yīng)點是點G，交AD于E，連結(jié)BE交PC于F，且BE⊥CG，連結(jié)FG(1)求證：四邊形BPGF是菱形；(2)當(dāng)AD=25，且AE<DE時，求AE的長；(3)當(dāng)BE?EF=108時，求BP的值．11．（2022秋·四川成都·九年級西川中學(xué)階段練習(xí)）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，連接AE，BF，交點為G．(1)求證：AE⊥BF；(2)將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2)，延長FP交BA的延長線于點Q，求sin∠BQP12．（2022秋·四川成都·九年級蜀西實驗學(xué)校期末）如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一點（不與C，D兩點重合），連接BE，過點C作CH⊥BE于點F，交對角線BD于點G，交AD邊于點H，連接GE．(1)求證：CH＝BE；(2)如圖2，若點E是CD的中點，當(dāng)BE＝8時，求線段GH的長；(3)設(shè)正方形ABCD的面積為S1，四邊形DEGH的面積為S2，當(dāng)CEDE的值為34時，求13．（2022秋·四川成都·九年級青白江區(qū)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E在AD邊上運動，且不與點A和點D重合，連接CE，過點C作CF⊥CE交AB的延長線于點F，連接EF交BC于點G．(1)求證：△CDE≌△CBF；(2)當(dāng)E是AD的中點時，求CG的長．14．（2022秋·四川成都·九年級青羊區(qū)統(tǒng)考期）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG是矩形且ABAD=AEAG，點(1)連接DG，求證：∠BDG＝90°；(2)連接DF，當(dāng)AB＝AE時，求證：DF＝FG；(3)在（2）的條件下，連接EG，若∠DGE＝45°，AB＝2，求AD的長．15．（2022秋·四川成都·九年級成華區(qū)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延長線于點E，連結(jié)AE交BD于點F，交CD于點G，連結(jié)CF．(1)求證：AF＝CF；(2)求證：AF2＝EF?GF；(3)若菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，求FG的長．16.（2021·四川成都·新都區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點D是邊AB上的動點（點D不與A，B重合），過點D作DE⊥BC于E，過點D作DF∥BC，交AC于點F，連接EF，設(shè)BD的長度為a．（1）求證：△BED∽△DAF；（2）若存在一點D，使得四邊形BEFD為平行四邊形，求出此時a的值；（3）若四邊形BEFD的面積為S，請用a的表達(dá)式表示S．17．（2022秋·四川成都·九年級高新區(qū)統(tǒng)考期末）如圖1，在矩形ABCD中，點E是CD上一動點，連接AE，將△ADE沿AE折疊，點D落在點F處，AE與DF交于點O．(1)射線EF經(jīng)過點B，射線DF與BC交于點G．（?。┣笞C：△ADE∽△DCG；（ⅱ）若AB＝10，AD＝6，求CG的長；(2)如圖2，射線EF與AB交于點H，射線DF與BC交于點G，連接HG，若HG∥AE，AD＝10，DE＝5，求CE的長．18．（2021秋·四川成都·九年級天府第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，與BD交O一點，直線EF過點O分別交直線AB，CD，BC于E，F(xiàn)，H．（1）求證：△BOE≌△DOF；（2）若OC2＝HC?BC，OC：BH＝310，求sin∠BAC；（3）在△AOF中，若AF＝8，AO＝OF＝45，求平行四邊形ABCD的面積．二輪復(fù)習(xí)【中考沖刺】2023年中考數(shù)學(xué)重要考點名校模擬題分類匯編專題9——幾何證明題（不含輔助線）（成都專用）1．（2022秋·四川成都·九年級成都七中?？计谥校娜切危ú皇堑妊切危┮粋€頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．(1)如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD是△ABC的完美分割線；(2)在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)；(3)如圖2，在△ABC中，AC=2，BC=2，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以AD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD【答案】(1)見詳解；(2)114°或96°；(3)CD=【分析】（1）根據(jù)完美分割線的定義只要證明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可得到答案；（2）分三種情形討論即可①如圖2，當(dāng)AD=CD時，②如圖3中，當(dāng)AD=AC時，③如圖4中，當(dāng)AC=CD時，分別求出∠ACB即可；（3）設(shè)BD=x，利用△BCD【詳解】（1）解：∵∠A=40°，∴∠ACB∴△ABC不是等腰三角形，∵CD為角平分線，∠ACD∴∠ACD∴△ACD是等腰三角形，∵∠CDB=∠ABC∴△BDC∴CD是△ABC（2）解：∵△ACD為等腰三角形，當(dāng)AD=∠ACD∵ΔBDC∴∠BCD∠ACB當(dāng)AD=∠ACD∵ΔBDC∴∠BCD∴∠ACB當(dāng)AC=∠ADC∵ΔBDC∴∠BCD∵∠ACD矛盾舍去；綜上所述114°或96°；（3）解：由題意可得，AC=∵ΔBDC∴BCBA設(shè)BD=∴(2∵x>0∴x=∵ΔBDC∴CDAC∴CD=6【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會分類討論思想．2．（2020秋·四川成都·九年級成都外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在△AOB和△COD是有公共頂點的兩個直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，點E是射線BD、(1)如圖1，當(dāng)OA=OB，OC=OD時，(2)如圖2，在△AOB和△COD中，OAOB=OC(3)在（2）的條件下，△COD繞著點O旋轉(zhuǎn)，OB=5，OD=1，當(dāng)點C和點B，D三點共線時，求BD【答案】(1)相等且垂直(2)2(3)105?5【分析】（1）證明△BOD≌△AOC即可得AC=BC（2）由題意易得△BOD∽△AOC，從而可求得結(jié)果；（3）有兩種情況：當(dāng)點C在線段BD的延長線上時；當(dāng)點C在線段BD上時，利用勾股定理建立方程即可求得BD長．【詳解】（1）解：∵∠AOB∴∠AOB即∠BOD∵OA∴△BOD∴AC=BC∵∠=∠=∠=∠=90°，∴BD∴AC與BD的關(guān)系是：相等且垂直；故答案為：相等且垂直；（2）解：∵∠AOB∴∠AOB即∠BOD∵OA∴△BOD∴AC（3）解：當(dāng)點C在線段BD的延長線上時，點C與點E重合，如圖，由題意得：OA=25，由勾股定理得：AB=OA由（2）得△BOD∽△AOC∴∠OBD∵∠=∠=∠=∠=90°，∴BC由勾股定理得：AB2=即(2BD整理得：5B解得：BD=105?5所以BD=105當(dāng)點C在線段BD上時，點C與點E重合，如圖，同理：AC=2BD，由勾股定理得：AB即(2BD整理得：5B解得：BD=105+5所以BD=105綜上，BD的值為105?55【點睛】本題是全等與相似的綜合問題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，關(guān)鍵是證明三角形全等或相似，注意分類討論思想的運用．3．（2022秋·四川成都·九年級成都七中?？计谥校┮阎匦蜛BCD，點E為線段BC上的一點，連接AE，過點B作線段AE的垂線分別交線段AE，CD交于點G，F(xiàn)，延長CG交邊AB于點M．(1)如圖1，若四邊形ABCD是正方形，且點M為邊AB的中點，①求證：BE=CF；②若正方形ABCD的邊長為2，求證：CFCD(2)如圖2，若GC平分∠FGE，若ABBC=3【答案】(1)①見詳解；②見詳解；(2)28【分析】（1）①通過正方形的性質(zhì)可證明△ABE≌△BCF，進(jìn)而即可得到結(jié)論；②先求出CG=5?1，再證明（2）由（1）可知ABBC=BECF=32，設(shè)CF=2a，則BE=3a，由E【詳解】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=∵BF⊥∴∠AEB∴∠AEB∴△ABE∴BE=②解：∵正方形ABCD的邊長為2，∴AB∵點M為邊AB的中點，BF⊥∴MG=∵CM=1∴CG=∵CD∥∴△GCF∴CFBM∴CFCD（2）解：由（1）可知：∠AEB∵∠ABE∴△ABE∴ABBC∴設(shè)CF=2a，則∵∠BCF∴E、C、F、G四點共圓，∵GC平分∠FGE∴∠FGC=∠EDC∴BC=∴AB=32BC∵12∴BG=∴FG=∵CF∥∴△GCF∴BMCF∴BM=∴AM=∴CEAM【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理的推論，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.4．（2022秋·四川成都·九年級冠城實驗學(xué)校期中）在△ABC中，∠C=90°，D為BC邊上一點，連接AD，AF∥CD，DF⊥AB于點(1)如圖1，若AF=AD，連接BF．求證：四邊形ADBF為菱形；(2)如圖2，連接CE交AD于點G，若CE平分∠ACB．求證：△GEA∽△FAD；(3)在（2）的條件下，CD=1,AC=3，求EF的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)5【分析】（1）證明△AEF≌△BED根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到AF=BD，進(jìn)而根據(jù)菱形的判定定理即可得證；（2）由角平分線的定義得出∠ACE=∠DCE=45°，根據(jù)∠ACD=90°,∠AED=90°得出A（3）勾股定理求得AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理得出EA,ED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出DF，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：∵∴∵AF∴∠在△AEF和△∠∴△∴∵AF∴四邊形ADBF是平行四邊形，∵∴四邊形ADBF是菱形；（2）∵CE平分∠∴∠∵∠∴A∴∠∴∠∵AF∥∴∠∵∴∠∴∠∴△（3）在Rt△ACD∴AD∵∠∴在Rt△CDA中，∴AD=1∵CE平分∠ACB，設(shè)點G到AC的距離為?，則G到CD的距離為?，設(shè)C到AD的距離為d∴S△∴ACCD∴AG=∴AG∵△GEA∴AG310DF=∴EF【點睛】本題考查了菱形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·四川成都·九年級龍泉驛區(qū)統(tǒng)考期中）（1）如圖，矩形ABCD，AB=4，BC=10，點E為BC邊上一動點，∠AED=90°，且BE<CE，求DEAE（2）如圖，矩形ABCD，點E為對角線BD上一動點，連接AE，作AE⊥EF，交CD的延長線于點F，連接AF．①求證：△ABD∽②若AB=AE，求證：四邊形ABDF為平行四邊形．【答案】（1）DEAE【分析】（1）設(shè)BE=x，則CE=10?x.利用相似三角形的性質(zhì)求出x，可得結(jié)論；（2）①證明ΔAGE∽ΔFGD，推出AGFG=GEDG，推出AGGE=【詳解】解：（1）設(shè)BE=x，則CE=10?x∵四邊形ABCD是矩形∴∠B=∠C=90∴∠AED=∴∠AEB+∠DEC=90°∴∠AEB=∠EDC∴Δ∴AB∴4解得x=2或8經(jīng)檢驗x=2或8是分時候方程的解，∵BE∴8不符合題意；當(dāng)x=2時，DE∴DE（2）①證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ADC=∵∠AED=∴∠AEG=∠GDF=∵∠AGE=∠FGD∴Δ∴AG∴AG∵∠AGF=∠EGD∴Δ∴∠AFG=∠GDE∵∠BAD=∠AED∴Δ②∵Δ∴AB∵AB=AE∴BD=AF∵AB=AE∴∠ABD=∠AEB∴∠EAF=∠AEB∴AF∥BD∴四邊形ABDF是平行四邊形【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，正確尋找相似三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋·四川成都·九年級成都七中校考期中）如圖1，點E是正方形ABCD的邊DC延長線上一點，CE=CG，連接DG并延長交BE于點F．(1)求證：∠BGF=∠E；(2)求證：BG?BC=BF?BE；(3)如圖2，連接AC交DF于H，若點G為CB的中點，求HGGF【答案】(1)見解析(2)見解析(3)5【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及已知條件，證明△DCG≌△BCE，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，進(jìn)而證明△BGF∽△BCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得證；（3）證明△ADH∽△CGH，通過相似比求出GH=5a3【詳解】（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴BC=DC在△BCE和△BC=∴△BCE≌△∴∠∵∠∴∠BGF（2）∵∠BGF=∠E∴△BGF∴BFBC∴BG?（3）解：∵在Rt△DCG中，設(shè)DC=2∴DG=∵BE⊥∴∠又∵∠DCG∴∠DCG又∵∠∴△DCG∽△∴DGBG∴5aa∴GF=5a∵AD∴△ADH∽△∴ADCG∴2a∴GH=∴HGGF【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定以及相似三角形的性質(zhì)與判定．7．（2023秋·四川成都·九年級成華區(qū)統(tǒng)考期末）如圖，點E是正方形ABCD的對角線CA延長線上一點，連接BE，將BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°至BF，連接EF，EF交AD于點G．(1)求證：△ABE∽△AEG；(2)若正方形ABCD的邊長為4，點G為AD的中點，求AE的長．【答案】(1)檢查詳解(2)2【分析】（1）根據(jù)AC是正方形ABCD的對角線得到∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA=45°，∠D=∠ABC=90°，結(jié)合三角形內(nèi)外角關(guān)系即可得到∠EAG=∠EAB，根據(jù)BE（2）根據(jù)中點得到AG=12AD=2【詳解】（1）證明：∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠BAC=∠BCA=∠DAC∵∠BAE∠EAG∴∠EAG∵BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°至BF，∴BE=BF，∴∠F∴∠FEC又∵∠EAG∴△ABE（2）解：∵正方形ABCD的邊長為4，點G為AD的中點，∴AG=由（1）得，∵△ABE∴AEAB∴AE=【點睛】本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，同角余角相等及三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到判斷三角形相似的條件．8．（2023秋·四川成都·九年級高新區(qū)統(tǒng)考期末）矩形ABCD中，連接AC，∠CAD的平分線交CD于點E，交BC的延長線于點F，在線段EF上取點G，使∠ECG=∠CAE．(1)判斷三角形ACF的形狀，并證明；(2)若AD=6，AB=8，求CE及CG的長．【答案】(1)等腰三角形，見解析(2)CE=5，【分析】（1）根據(jù)AE為∠CAD的角平分線得∠CAE=∠DAE，根據(jù)四邊形ABCD是矩形得AD∥（2）根據(jù)四邊形ABCD是矩形得∠B=90°，AD=BC，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可求出AC=10，即可得CF=AC=10，根據(jù)∠DAE=∠EFC，∠AED=∠CEF可證明△ADE【詳解】（1）解：∵AE為∠CAD的角平分線，∴∠CAE∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠DAE∴∠AFC∴△ACF是等腰三角形．（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°又∵AD=6，AB∴在Rt△ABC中，∴CF∵∠DAE=∠∴△又∵AD=6，CF∴CE∴DE∴在Rt△ADE中，∵∠DAE=∠∴△∴AECE∴35∴CG=2【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點．9．（2022秋·四川成都·九年級武侯區(qū)西川實驗學(xué)校階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點E為BC的中點，EF⊥CD于點F，點G為CD上一點，連接OG，OE，且(1)求證：四邊形OEFG為矩形；(2)若AC=10，BD=62，∠ABD=45°，求矩形OEFG【答案】(1)見解析(2)21【分析】（1）證OE是△BCD的中位線，得OE∥CD，再證四邊形OEFG是平行四邊形，然后證（2）AB∥CD，∠ODG=∠ABD=45°，證△ODG是等腰直角三角形，得DG【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=∵點E為BC的中點，∴OE是△BCD∴OE∥∵OG∥∴四邊形OEFG是平行四邊形，又∵EF⊥∴∠EFG∴平行四邊形OEFG為矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ODG由（1）可知，四邊形OEFG為矩形，∴∠OGF∴∠OGD∴△ODG是等腰直角三角形，∴DG=∵OD∴DG=∵GCGC∴GC=4∴DC=∴OE=∴S矩形故答案為：212【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·四川成都·九年級成都市第十八中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應(yīng)點是點G，交AD于E，連結(jié)BE交PC于F，且BE⊥CG，連結(jié)FG(1)求證：四邊形BPGF是菱形；(2)當(dāng)AD=25，且AE<DE時，求AE的長；(3)當(dāng)BE?EF=108時，求BP的值．【答案】(1)見解析(2)AE(3)9【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BF=GF，BP=PG，再由BE⊥CG，∠PGC=∠ABC（2）通過證明△ABE∽△DEC，利用相似比即可求解；（3）通過證明△GEF∽△EAB，得到AB?GF=12【詳解】（1）證明：由折疊可知，BC=CG，∴△BCF≌△∴BF∵BE⊥CG∴BE∥∴∠GPF∵∠GPF∴∠BPF∴BP=又∵BP∴BF∴四邊形BPGF是平行四邊形，∵PB∴四邊形BPGF是菱形；（2）解：∵BE∴∠BEC∵∠A∴∠AEB∴∠ABE∴△ABE∽△∴AB∴12解得EA=9或AE∴AE∴AE（3）解：∵四邊形PBEG是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE∴△GEF∽△∴EF∴BE∵BE∴AB∴GF∴BP【點睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，圖形折疊的性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·四川成都·九年級西川中學(xué)階段練習(xí)）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，連接AE，BF，交點為G．(1)求證：AE⊥BF；(2)將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2)，延長FP交BA的延長線于點Q，求sin∠BQP【答案】(1)證明過程見詳解(2)4【分析】（1）運用△ABE≌△BCF（2）△BCF沿BF對折，得到△BPF，利用角的關(guān)系求出QF=QB，解出【詳解】（1）證明：∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，∴CF=在△ABE和△AB=∴△ABE∠BAE又∵∠BAE∴∠CBF∴∠BGE∴AE⊥（2）解：根據(jù)題意得，F(xiàn)P=FC，∠PFB∵CD∥∴∠CFB∴∠ABF∴QF=令PF=CF=k(k>0)在Rt△BPQ中，設(shè)QB=∴x2∴x=∴sin∠BQP【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的計算，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判斷，解直角三角形的綜合應(yīng)用．12．（2022秋·四川成都·九年級蜀西實驗學(xué)校期末）如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一點（不與C，D兩點重合），連接BE，過點C作CH⊥BE于點F，交對角線BD于點G，交AD邊于點H，連接GE．(1)求證：CH＝BE；(2)如圖2，若點E是CD的中點，當(dāng)BE＝8時，求線段GH的長；(3)設(shè)正方形ABCD的面積為S1，四邊形DEGH的面積為S2，當(dāng)CEDE的值為34時，求【答案】(1)證明見解析(2)GH＝8(3)20【分析】（1）可得∠CHD＝∠BEC，根據(jù)AAS可證明△DHC≌△CEB，即可求解；（2）由三角形全等，可得DHCB=GHCG=12（3）設(shè)S△DGH＝9a，則S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，求出S1和S2即可得出答案．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，∴∠DHC+∠DCH＝90°，∵CH⊥BE，∴∠EFC＝90°，∴∠ECF+∠BEC＝90°，∴∠CHD＝∠BEC，∴△DHC≌△CEB（AAS），∴CH＝BE；（2）解：∵△DHC≌△CEB，∴CH＝BE，DH＝CE，∵CE＝DE＝12CD，CD＝CB∴DH＝12BC∵DH∥BC，∴DHCB∴GC＝2GH，設(shè)GH＝x，則CG＝2x，∴3x＝8，∴x＝83即GH＝83（3）解：當(dāng)CEDE的值為34時，則∵DH＝CE，DC＝BC，∴DH∵DH∥BC，∴DH∴S設(shè)S△DGH＝9a，則S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，∴S△BCD＝49a+21a＝70a，∴S1＝2S△BCD＝140a，∵S△DEG：S△CEG＝4：3，∴S△DEG＝12a，∴S2＝12a+9a＝21a．∴S1【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題．13．（2022秋·四川成都·九年級青白江區(qū)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E在AD邊上運動，且不與點A和點D重合，連接CE，過點C作CF⊥CE交AB的延長線于點F，連接EF交BC于點G．(1)求證：△CDE≌△CBF；(2)當(dāng)E是AD的中點時，求CG的長．【答案】(1)答案見解析(2)5【分析】（1）先判斷出∠CBF=90°，進(jìn)而可以證明∠DCE=∠BCF，即可得出結(jié)論；（2）先求出AF、AE，再判斷出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出結(jié)論．(1)解：在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠DCE+∠BCE=∠DCB=90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，∴∠BCF+∠BCE=∠ECF=90°，∴∠DCE=∠BCF，在△CDE和△CBF中，{∠∴△CDE≌CBF(ASA)；(2)在正方形ABCD中，AD∥BC，∴△GBF∽△EAF，∴BGAE由（1）知，△CDE≌CBF，∵E是AD的中點，正方形的邊長為1，∴BF=DE=12∴AF=AB+BF=32，AE=1∴BG1∴BG＝16∴CG=BC-BG=56∴CG的長為56【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△GBF∽△EAF．14．（2022秋·四川成都·九年級青羊區(qū)統(tǒng)考期）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG是矩形且ABAD=AEAG，點(1)連接DG，求證：∠BDG＝90°；(2)連接DF，當(dāng)AB＝AE時，求證：DF＝FG；(3)在（2）的條件下，連接EG，若∠DGE＝45°，AB＝2，求AD的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2【分析】（1）利用兩邊成比例且夾角相等，可證明△ABE∽△ADG，得∠AEB＝∠AGD，再利用EF∥AG，得∠EMD＝∠AGD，則∠EMD＝∠AEB，從而解決問題；（2）由SAS可證明△DEF≌△EDA，得DF＝EA，即可證明結(jié)論；（3）由∠EDG＝∠EFG＝90°，得D，E，F(xiàn)，G四點共圓，證明△ANE是等腰直角三角形，得NE＝AE＝AB＝2，AN＝2AE＝22，從而求出答案．【詳解】（1）證明：∵∠BAE+∠EAD＝∠BAD＝90°，∠DAG+∠EAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，又∵ABAD∴△ABE∽△ADG，∴∠AEB＝∠AGD，設(shè)EF交DG于M，∵EF∥AG，∴∠EMD＝∠AGD，∴∠EMD＝∠AEB，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠DEM＝180°﹣∠AEF＝90°，即∠EMD+∠DEM＝90°，∴∠BDG＝∠EDM＝180°﹣（∠DEM+∠DME）＝90°；（2）證明：∵ABAD=AEAG，∴AD＝AG，∠ADG＝∠AGD，∵AG＝FE，∴FE＝AD，∵△ABE∽△ADG，∴∠AEB＝∠AGD＝∠ADG，∵∠DEF＝90°﹣∠AEB，∠EDA＝∠EDG﹣∠ADG＝90°﹣∠ADG，∴∠DEF＝∠EDA，在△DEF與△EDA中，F(xiàn)E=∴△DEF≌△EDA（SAS），∴DF＝EA，∵EA＝FG，∴DF＝FG；（3）解：∵∠EDG＝∠EFG＝90°，∴D，E，F(xiàn)，G四點共圓，設(shè)EF交AD于N，∵∠DGE＝45°，∴∠DFE＝45°，∵△DEF≌△EDA，∴∠EAD＝∠DFE＝45°，∵∠AEN＝90°，∴△ANE是等腰直角三角形，∴NE＝AE＝AB＝2，AN＝2AE＝22，∵△DEF≌△EDA，∴∠FED＝∠ADE，∴ND＝NE＝2，∴AD＝AN+ND＝22+2．【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用四點共圓得出∠DFE＝45°是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·四川成都·九年級成華區(qū)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延長線于點E，連結(jié)AE交BD于點F，交CD于點G，連結(jié)CF．(1)求證：AF＝CF；(2)求證：AF2＝EF?GF；(3)若菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，求FG的長．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)4【分析】(1)先由菱形的性質(zhì)得到AB=BC，∠ABF=∠CBF，然后結(jié)合BF=BF，得到△ABF≌△CBF，進(jìn)而得到AF=CF；(2)先由菱形得到∠BAD=∠BCD，AD//BE，從而得到∠DAF=∠DCF，∠DAF=∠FEC，再結(jié)合∠CFG=∠EFC，得到△CFG∽△EFC，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到CF2=EF×GF，最后結(jié)合AF=CF，得到AF2=EF×GF；(3)先由∠BAD=120°，得到∠DCE=60°，然后結(jié)合菱形邊長為2得到CD的長，進(jìn)而利用DE⊥BC，得到CE、AE的長，然后通過證明△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，進(jìn)而得到AF、AG的長，最后得到FG的長．(1)解：證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠ABF=∠CBF，∵BF=BF，∴△ABF≌△CBF(SAS)，∴AF=CF；(2)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAD=∠BCD，AD//BE，∴∠DAF=∠FEC，∵△ABF≌△CBF，∴∠BAF=∠BCF，∴∠DAF=∠DCF，∴∠GCF=∠CEF，∵∠CFG=∠EFC，∴△CFG∽△EFC，∴CFEF∴CF2=EF×GF，∵AF=CF，∴AF2=EF×GF；(3)∵∠BAD=120°，∴∠DCE=60°，∵菱形邊長為2，∴CD=AD=2，∵DE⊥BC，∴∠ADE=∠CED=90°，∴∠CDE=30°，∴CE=12CD=1，DE=3∴AE=AD2+DE2=∵AD//BE，∴△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，∴AFEF=AD∴AF=25∴FG=AG-AF=273-27【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知菱形的性質(zhì)得到相關(guān)的角相等．16.（2021·四川成都·新都區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點D是邊AB上的動點（點D不與A，B重合），過點D作DE⊥BC于E，過點D作DF∥BC，交AC于點F，連接EF，設(shè)BD的長度為a．（1）求證：△BED∽△DAF；（2）若存在一點D，使得四邊形BEFD為平行四邊形，求出此時a的值；（3）若四邊形BEFD的面積為S，請用a的表達(dá)式表示S．【答案】16．證明見解析

17．a(chǎn)＝7517

18．S＝﹣3275a2【分析】（1）由DE⊥BC可得∠BED＝90°＝∠A，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠B＝∠ADF，由相似三角形的判定可得結(jié)論；（2）由勾股定理可求BC的長，由DF∥BC得△DAF∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得ADDF=ABBC=610=35，由（1）知△BED∽△DAF，可得BE＝35BD＝（3）求出DF＝53AD＝53（6﹣a），由（2）知BE＝35a，根據(jù)勾股定理得DE＝BD2?BE2＝a2?(35a)2＝16．證明：∵DE⊥BC，∴∠BED＝90°＝∠A，又∵DF∥BC，∴∠B＝∠ADF，∴△BED∽△DAF；∵在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝AB∵DF∥BC，∴△DAF∽△BAC，∴ADDF由（1）知：△BED∽△DAF，∴ADDF∴BE＝35BD＝35∵四邊形BEFD是平行四邊形，∴BE＝DF，∴ADDF解得：a＝7517∵ADDF∴DF＝53AD∵BD＝a，AB＝6，∴AD＝6﹣a，∴DF＝53（6﹣a由（2）知BE＝35a∴DE＝BD2?BE2＝∴四邊形BEFD的面積為S＝S△BED＋S△DEF＝12BE?DE＋12DE＝1＝6＝?32【點睛】本題屬于相似三角形的綜合題目，考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等，利用相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理得出線段之間的等量關(guān)系式解決本題的關(guān)鍵．17．（2022秋·四川成都·九年級高新區(qū)統(tǒng)考期末）如圖1，在矩形ABCD中，點E是CD上一動點，連接AE，將△ADE沿AE折疊，點D落在點F處，AE與DF交于點O．(1)射線EF經(jīng)過點B，射線DF與BC交于點G．（?。┣笞C：△ADE∽△DCG；（ⅱ）若AB＝10，AD＝6，求CG的長；(2)如圖2，射線EF與AB交于點H，射線DF與BC交于點G，連接HG，若HG∥AE，AD＝10，DE＝5，求CE的長．【答案】(1)?。┮娊馕觯虎ⅲ?0(2)9【分析】（1）i）根據(jù)翻折的性質(zhì)和相似三角形的判定解答即可；ii）根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)得出比例解答即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解得即可．（1）解：（i）由翻折可得，△ADE≌△AFE，DF⊥AE于O，∴∠ADO+∠EAD＝90o，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠CDG+∠ADO＝90o，∴∠CDG＝∠EAD，∵∠ADE