專題39圓中的線段數(shù)量關(guān)系問題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)下冊(cè)）?？碱}專練（北師大版）

專題39圓中的線段數(shù)量關(guān)系問題在幾何綜合題中，探索三條線段的數(shù)量關(guān)系是一種常見考點(diǎn)，通常這類問題的解決是將這三條線段通過轉(zhuǎn)換，變成兩條線段或一個(gè)特殊三角形例如直角三角形，從而得到它們之間的數(shù)量關(guān)系。簡(jiǎn)單的關(guān)系即兩條線段和等于第三條線段，稍復(fù)雜的結(jié)果是三條線段滿足勾股定理，或者在這二者基礎(chǔ)上再加以變化，但萬變不離其宗，合理構(gòu)造全等或相似是第一步。1．如圖，點(diǎn)為外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在上，且不與點(diǎn)，重合），．若連接，請(qǐng)寫出，，的數(shù)量關(guān)系式．【解答】解：連接，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，如圖，（1）弧弧，，又，，，是該外接圓的直徑，，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，而，，為等腰直角三角形，，，故答案為：．2．如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，的角平分線與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至，連結(jié)，使得，過點(diǎn)作的平行線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）求證：與相切；（2）試給出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．【解答】證明：（1）是直徑，，，平分，，，，，，，與相切；（2），理由如下：，，，，是直徑，，，，，，，，，，，．3．阿基米德，公元前287年公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一．他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯年年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，前蘇聯(lián)在1964年根據(jù)譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖①，已知和是的兩條弦（即折線是的一條折弦），，是的中點(diǎn)．那么從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明思路：證明：如圖②，在上截取，連接，，【定理證明】按照上面的思路，寫出剩余部分的證明過程．【問題解決】如圖③，等邊內(nèi)接于，，為上一點(diǎn)，，求的周長(zhǎng)．【解答】解：【定理證明】如圖②，在上截取，連接，，，，可得，是的中點(diǎn)，，在中，，，，，，，即；【問題解決】如圖③，作，是等邊三角形，，，由阿基米德折弦定理，可得，，，，，，故的周長(zhǎng)為：．4．【探索發(fā)現(xiàn)】小迪同學(xué)在學(xué)習(xí)圓的內(nèi)接正多邊形時(shí)，發(fā)現(xiàn)：如圖1，若是圓內(nèi)接正三角形的外接圓的上任一點(diǎn)，則，在上截?。B接，可證明是等邊（填“等腰”“等邊”或“直角”三角形，從而得到，再進(jìn)一步證明，得到，可證得：．【拓展應(yīng)用】小迪同學(xué)對(duì)以上推理進(jìn)行類比研究，發(fā)現(xiàn)：如圖2，若是圓內(nèi)接正四邊形的外接圓的上任一點(diǎn)，則，分別過點(diǎn)、作于、于．【猜想證明】寫出、與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】解：探索發(fā)現(xiàn)：①，，，又，為等邊三角形，則，，，為正三角形，②，在和中，，；拓展應(yīng)用是圓內(nèi)接正四邊形的外接圓上一點(diǎn)，，，每個(gè)弧所對(duì)的圓心角度數(shù)和為，與所對(duì)的圓心角為，；【猜想證明】，證明：，，，為等腰直角三角形，由勾股定理得，，，，，為等腰直角三角形．，由勾股定理得，，又，，又，，，，即．5．如圖1，是的外接圓，是直徑，是外一點(diǎn)且滿足，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，，，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，當(dāng)時(shí)，與交于點(diǎn)，試寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【解答】解：（1）連接，如圖1所示：是的直徑，，，，，，，，是半徑，是的切線；（2），，又，，，即，，即的長(zhǎng)為；（3）關(guān)系是：，理由如下：在上截取使，連接、，如圖2所示：是直徑，，，為等腰直角三角形，，，在和中，，，，，為等腰直角三角形．，．6．如圖，內(nèi)接于，，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求的長(zhǎng)度；（2）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，弦的延長(zhǎng)線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，問的值是否變化？若不變，請(qǐng)求出的值；若變化，請(qǐng)說明理由；（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)作，求證：．【解答】解：（1）作，，，，，，在中，，；（2）連接，，，四邊形內(nèi)接于圓，，，，公共角，，，；（3）在上取一點(diǎn)，使得，在和中，，，，，，，，．7．已知內(nèi)接于，的平分線交于點(diǎn)，連接，．（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段，，之間滿足的等量關(guān)系式：；（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，試探究線段，，之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖③，若，，求的值．【解答】解：（1）如圖①在上截取，連接，，的平分線交于點(diǎn)，，，和都是等邊三角形，，，，，，；故答案為：．（2）．理由如下：如圖②，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，四邊形內(nèi)接于，，，，，，，．，即，；（3）如圖③，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，四邊形內(nèi)接于，，，，，，，，，，，又，，，．8．如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接交于點(diǎn)．（1）如圖1，過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：與相切；（2）若，，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，把沿直線翻折得到，連接，當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】解：（1）連接，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)，，，，，，，與相切；（2）如圖1，作交于點(diǎn)，點(diǎn)是半圓周的中點(diǎn)，，是的直徑，，，，在中，，，，，在中，設(shè)，則，，，解得：，，在中，；（3）結(jié)論：．作，使得，連接，．，，，，，，，，，，，．9．如圖1，是的直徑，是上一點(diǎn)，于，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，是線段上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，求證：；（3）如圖2，若，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．請(qǐng)猜想，，的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】解：（1）證明：連接，如圖所示：，，，，又，，即，是的切線；（2）證明：是的直徑，，，又，，，，，，，，，，，又，，，，，；（3）．理由如下：如圖，連接、，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，設(shè)，則，，又，，，，即，，在中，，．10．如圖，在的邊上取一點(diǎn)，以為圓心，為半徑畫，與邊相切于點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑；（3）若是的中點(diǎn)，試探究與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【解答】解：（1）如圖，連接，與邊相切于點(diǎn)，，即，，，，，，，又是半徑，是的切線；（2），設(shè)，，，，，，，，，，，，故的半徑為；（3），理由如下：連接，，由（1）可知：，，，又，，，，，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，，，，．11．綜合與實(shí)踐問題背景：我們已經(jīng)學(xué)過平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊的四邊形，大家對(duì)它們的性質(zhì)非常熟悉．在我們身邊還有一種特殊的四邊形等鄰邊四邊形，即：一組鄰邊相等的四邊形叫等鄰邊四邊形．圓內(nèi)接等鄰邊四邊形除了一組鄰邊相等外，另兩條邊和它們所夾對(duì)角線還具有如下數(shù)量關(guān)系：如圖（1），四邊形內(nèi)接于，若，則為常數(shù)），如：當(dāng)，時(shí)，我們可以用圖（2）或圖（3）所示的“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法證得，和的數(shù)量關(guān)系為．類比探究：（1）如圖（4），四邊形內(nèi)接于，，．求證：．（2）如圖（5），四邊形內(nèi)接于，，，請(qǐng)寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．發(fā)現(xiàn)感悟：（3）若四邊形內(nèi)接于，，．請(qǐng)你借助圖（1），直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系：．（用含的式子表示，不要求證明）模型應(yīng)用：（4）如圖（6），已知，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)是外接圓上的一點(diǎn)，且．則點(diǎn)的坐標(biāo)為：．（直接寫出結(jié)果即可）【解答】（1）證明：如圖4中，延長(zhǎng)到，使得，連接．四邊形內(nèi)接于，，又，又，，，，，，是等腰直角三角形．．．（2）解：結(jié)論：．理由：如圖5中，延長(zhǎng)到，使得，連接，過點(diǎn)作，垂足為．四邊形內(nèi)接于，，又，又，，，，，，，．，即．（3）解：如圖1中，結(jié)論：．延長(zhǎng)到，使得，連接，過點(diǎn)作，垂足為．同法可知，，．故答案為．（4）如圖6中，連接、，作于．，，，由（1）可知：，，，，，，，，故答案為．12．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出并證明了“折弦定理”．如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是優(yōu)弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．（1）請(qǐng)按照下面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；證明：如圖2，在上截取，連接，，和．是的中點(diǎn)，，．（2）如圖（3），已知等邊內(nèi)接于，，為上一點(diǎn)，，，垂足為，請(qǐng)你運(yùn)用“折弦定理”求的周長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖2，在上截取，連接，，和．是的中點(diǎn)，，．在和中，，，又，，；（2）解：如圖3，截取，連接，，，由題意可得：，，在和中，，，，，則，，，則的周長(zhǎng)是．13．如圖，已知的半徑為2，為直徑，為弦．與交于點(diǎn)，將沿翻折后，點(diǎn)與圓心重合，延長(zhǎng)至，使，連接（1）求的長(zhǎng)；（2）求證：是的切線；（3）點(diǎn)為的中點(diǎn)，在延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．交于點(diǎn)與、不重合）．問是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．【解答】（1）解：如圖，連接，沿翻折后，點(diǎn)與圓心重合，，，，；（2）證明：，，，，，，，，，是的切線；（3）解：是定值，證明如下，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接點(diǎn)為的中點(diǎn)，，且．14．如圖，內(nèi)接于，，弦與交于，，過作于．（1）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求證：；（3）若，求的值．【解答】（1）解：結(jié)論：．理由：連接．，，，，．（2）證明：在上取一點(diǎn)，使得，連接，．，，，，，，，，，，，，，，．（3）解：，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，．15．已知是的外接圓，為劣弧上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，若為正三角形，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若為等腰直角三角形，且．①若為半圓一