專題5.1矩形的判定與性質(zhì)（壓軸題專項(xiàng)講練）（浙教版）（原卷版）

專題5.1矩形的判定與性質(zhì)【典例1】在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩個(gè)動點(diǎn)，分別從A，C同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為1cm/s，運(yùn)動時(shí)間為t秒，0≤t≤5．（1）若G，H分別是AB，DC中點(diǎn)，試說明：四邊形EGFH為平行四邊形；（2）在（1）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形EGFH為矩形．【思路點(diǎn)撥】（1）證明△AFG≌△CEH（SAS），得GF＝HE，同理GE＝HF，即可得出結(jié)論；（2）由“對角線相等的平行四邊形是矩形”得EF＝GH，再證四邊形AGHD是平行四邊形，得GH＝BC＝4，然后分兩種情況分別求出t的值即可．【解題過程】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠GAF＝∠HCE，∵G、H分別是AB、DC的中點(diǎn)，∴AG＝BG，CH＝DH，∴AG＝CH，∵AE＝CF，∴AF＝CE，在△AFG與△CEH中，AG=∴△AFG≌△CEH（SAS），∴GF＝HE，同理：GE＝HF，∴四邊形EGFH是平行四邊形．（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC=AB由（2）可知四邊形EGFH是平行四邊形，連接GH，∵點(diǎn)G、H分別是矩形ABCD的邊AB、DC的中點(diǎn)，∴AG＝DH，AG∥DH，∴四邊形AGHD是平行四邊形，∴GH＝BC＝4，∴當(dāng)EF＝GH＝4時(shí)，四邊形EGFH是矩形，分兩種情況：①如圖1，AE＝CF＝t，則EF＝5﹣2t＝4，解得：t＝0.5；②如圖2，AE＝CF＝t，則EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，解得：t＝4.5；綜上所述，當(dāng)t為0.5或4.5時(shí)，四邊形EGFH為矩形．1．（2021?富平縣二模）如圖，點(diǎn)O是菱形ABCD對角線的交點(diǎn)，DE∥AC，CE∥BD，連接OE，設(shè)AC＝12，BD＝16，則OE的長為（）A．8 B．9 C．10 D．122．（2021春?武安市期末）如圖，四邊形ABCD中，以對角線AC為斜邊作Rt△ACE，連接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，則BD的值為（）A．25 B．5 C．3 D．43．（2020春?江津區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD，∠D＝∠C＝90°，CD＝2，點(diǎn)E在邊AB，且AD＝AE，BE＝BC，則AE?BE的值為（）A．2 B．1 C．22 D．4．（2021?灞橋區(qū)模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD邊上一點(diǎn)，M、N、E分別是PA、PB、AB的中點(diǎn)，以下四種情況，哪一種四邊形PMEN不可能為矩形（）A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝65．（2021春?梁山縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P為邊BC上一動點(diǎn)（P不與B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的取值范圍是（）A．125≤AM＜6 B．125≤AM＜12 C．3013≤AM＜12 6．（2021春?十堰期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，則∠OAB的度數(shù)為．7．（2020春?石城縣期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)D以每秒1cm的速度運(yùn)動，Q以每秒4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在B、C兩點(diǎn)之間做往返運(yùn)動，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D為止（同時(shí)點(diǎn)Q也停止），這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為時(shí)，P、Q、C、D四點(diǎn)組成矩形．8．（2021春?川匯區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的動點(diǎn)，P是線段EF的中點(diǎn)，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H為垂足，連接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，則GH的最小值是．9．（2021秋?龍崗區(qū)校級期中）如圖，點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動點(diǎn)，作PM⊥y軸于點(diǎn)M，作PN⊥x軸于點(diǎn)N，連接MN，當(dāng)MN取最小值時(shí)，則PN為．10．（2022?龍崗區(qū)一模）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D點(diǎn)，E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，分別過D，E兩點(diǎn)作線段AC的垂線，垂足分別為G，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）求證：四邊形DEFG為矩形；（2）若AB＝10，EF＝4，求CG的長．11．（2021秋?萍鄉(xiāng)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，延長BC至點(diǎn)F，使CF＝BE，連接AF，DE，DF．（1）求證：四邊形AEFD為矩形；（2）若AB＝3，DE＝4，BF＝5，求DF的長．12．（2021秋?羅湖區(qū)校級月考）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．（1）求證：四邊形AECF是矩形；（2）連接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求平行四邊形ABCD的面積．13．（2022春?東臺市月考）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DE∥AC，且DE=12AC，連接AE、（1）求證：四邊形OCED為矩形；（2）若菱形ABCD的邊長為2，∠BCD＝60°，求AE的長．14．（2022?云南模擬）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F．（1）試判斷四邊形ADCF的形狀，并加以證明；（2）若AB＝17，BC＝30，求四邊形ADCF的面積．15．（2021?峨山縣模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)O是斜邊AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AD∥BC，與BO的延長線交于點(diǎn)D，連接CD、DE．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，∠BAC＝30°，求DE的長．16．（2021秋?法庫縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．（1）如圖1，求證：四邊形ABCD為矩形；（2）如圖2，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分別是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．17．（2021春?淮濱縣期中）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝60°，G是CD的中點(diǎn)，E是邊AD上的動點(diǎn)（E不與A，D重合），且點(diǎn)E由點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動，速度為1cm/s，EG的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)F，連接CE，DF，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動時(shí)間為t．（1）求證：無論t為何值，四邊形CEDF都是平行四邊形；（2）①當(dāng)t＝s時(shí)，四邊形CEDF是矩形；②當(dāng)t＝s時(shí)，四邊形CEDF是菱形．18．（2021秋?峽江縣期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接EF，∠AEF、∠CFE的平分線交于點(diǎn)G，∠BEF、∠DFE的平分線交于點(diǎn)H．（1）求證：四邊形EGFH是矩形；（2）小明在完成（1）的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索，過G作MN∥EF，分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，過H作PQ∥EF，分別交AB，CD于點(diǎn)P，Q，得到四邊形MNQP，此時(shí)，他猜想四邊形MNQP是菱形，他的猜想是否正確，請予以說明．19．（2021春?番禺區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點(diǎn)．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）延長AE至G，使EG＝AE，連接CG，延長CF，交AD于點(diǎn)P．①當(dāng)AB與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EGCF是矩形？請說明理由；②若AP＝2DP＝8，CP=17，CD＝5，求四邊