專題08最值模型之將軍飲馬11個?？寄Ｐ停Ｐ途殻?/h1>

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08最值模型之將軍飲馬（11個?？寄Ｐ停?．如圖，正方形ABCD的邊長為1，∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E．若點(diǎn)P，Q分別是AD和AE上的動點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值是22試題分析：過D作AE的垂線交AE于F，交AC于D'，再過D'作D'P'⊥AD，由角平分線的性質(zhì)可得出D'是D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)，進(jìn)而可知D'P'即為DQ+PQ的最小值．答案詳解：解：作D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)D'，再過D'作D'P'⊥AD于P'，∵DD'⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD'，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D'AF（ASA），∴D'是D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)，AD'＝AD＝1，∴D'P'即為DQ+PQ的最小值，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAD'＝45°，∴AP'＝P'D'，在Rt△Rt△AP'D'中，P'D'2+AP'2＝AD'2，∵AP'＝P'D'，2P'D'2＝AD'2＝1，∴P'D'=22，即所以答案是：222．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，a）在y軸正半軸上，點(diǎn)B（b，0）在x軸正半軸上，AB⊥AD且AB＝AD，|a﹣4|+（b﹣3）2＝0．（1）求線段AB的長；（2）若點(diǎn)P為y軸上的一個動點(diǎn)，則當(dāng)PB+PD最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3）．試題分析：（1）根據(jù)題意求出a＝4，b＝3，可求OA、OB的長，再由勾股定理求AB即可；（2）過D點(diǎn)作DE⊥y軸交于E，證明△ADE≌△BAO（AAS），可求D點(diǎn)坐標(biāo)；作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)F，連接DF交于y軸于點(diǎn)P，連接BP，當(dāng)P、D、F三點(diǎn)共線時，PB+PD有最小值，用待定系數(shù)法求值直線FD的解析式，再求P點(diǎn)坐標(biāo)即可．答案詳解：解：（1）∵|a﹣4|+（b﹣3）2＝0，∴a＝4，b＝3，∴A（0，4），B（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5；（2）過D點(diǎn)作DE⊥y軸交于E，∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∴∠EAD+∠OAB＝90°，∵∠EDA+∠EAD＝90°∴∠OAB＝∠EDA，∵AD＝AB，∴△ADE≌△BAO（AAS），∴EC＝OA＝4，AE＝BO＝3，∴D（4，7），作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)F，連接DF交于y軸于點(diǎn)P，連接BP，由對稱性可知，BP＝PF，∴PB+PD＝PF+PD≥FD，當(dāng)P、D、F三點(diǎn)共線時，PB+PD有最小值，∵B（3，0），∴F（﹣3，0），設(shè)直線DF的解析式為y＝kx+b，∴-3k+b=0解得k=1b=3∴y＝x+3，∴P（0，3），所以答案是：（0，3）．3．如圖，正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線BC上一動點(diǎn)．若AB＝4，則AE+OE的最小值是（）A．42 B．25+2 C．213試題分析：本題為典型的將軍飲馬模型問題，需要通過軸對稱，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)A'，再連接A'O，運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短得到A'O為所求最小值，再運(yùn)用勾股定理求線段A'O的長度即可．答案詳解：解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)A'，連接A'O，其與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，再作OF⊥AB交AB于點(diǎn)F，∵A與A'關(guān)于BC對稱，∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，當(dāng)且僅當(dāng)A'，O，E在同一條線上的時候和最小，如圖所示，此時AE+OE＝A'E+OE＝A'O，∵正方形ABCD，點(diǎn)O為對角線的交點(diǎn)，∴OF=FB=1∵A與A'關(guān)于BC對稱，∴AB＝BA'＝4，∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，在Rt△OFA'中，OA'所以選：D．4．如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E是AB邊上一動點(diǎn)，連接ED，將ED繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DF，CF，則當(dāng)DF+CF之和取最小值時，△DCF的周長為（）A．35+3 B．43+3 C．5試題分析：連接BF，過點(diǎn)F作FG⊥AB交AB延長線于點(diǎn)G，先證明△AED≌△GFE，即可得到點(diǎn)F在∠CBG的角平分線上運(yùn)動，作點(diǎn)C關(guān)于BF的對稱點(diǎn)C′，當(dāng)點(diǎn)D，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線時，DF+CF＝DC'最小，根據(jù)勾股定理求出DC'＝DF+CF的最小值為35，即可求出此時△DCF的周長為35+3答案詳解：解：連接BF，過點(diǎn)F作FG⊥AB交AB延長線于點(diǎn)G，∵將ED繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°到EF，∴EF⊥DE，EF＝DE，∴∠DEA+∠FEG＝∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠FEG，又∵∠DAE＝∠FGE＝90°，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，AD＝EG，∴AD＝EG＝AB，即BG＝AE＝FG，∴∠CBF＝∠GBF＝45°，即點(diǎn)F在∠CBG的角平分線上運(yùn)動，作點(diǎn)C關(guān)于BF的對稱點(diǎn)C′，∴C'點(diǎn)在AB的延長線上，當(dāng)點(diǎn)D，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線時，DF+CF＝DC'最?。赗t△ADC'中，AD＝3，AC'＝6，∴DC'＝35，∴DF+CF的最小值為35，∴此時△DCF的周長為35+3所以選：A．5．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對角線BD上的點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AB，AD的中點(diǎn)，連接PM，PN．若AB＝2，BD＝4，則PM+PN的最小值為（）A．7 B．2 C．2+2 D．1試題分析：作M點(diǎn)關(guān)于BD的對稱點(diǎn)M'，過M'作M'E⊥AB交延長于點(diǎn)E，過M'作M'F⊥AD交于F，當(dāng)M'、N、P三點(diǎn)共線時，MP+NP的值最小，求出NM'即為所求答案詳解：解：作M點(diǎn)關(guān)于BD的對稱點(diǎn)M'，過M'作M'E⊥AB交延長于點(diǎn)E，過M'作M'F⊥AD交于F，∴MP＝M'P，∴MP+PN＝M'P+NP≥M'N，當(dāng)M'、N、P三點(diǎn)共線時，MP+NP的值最小，∵AB＝2，BD＝4，∴AD＝23，∵AB=12∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，∵M(jìn)M'⊥BD，∴∠BMM'＝30°，∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴BM＝1，∴MM'=3，EM'=32，∴AE=5∴FM'=5∵N是AD的中點(diǎn)，∴AN=3∴FN=3∴M'N=(∴PM+PN的最小值為7，所以選：A．6．如圖，直線y＝x+8分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C，D分別為線段AB，OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OA上一動點(diǎn)，當(dāng)PC+PD值最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（﹣4，0） B．（﹣3，0） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）試題分析：根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，根據(jù)對稱的性質(zhì)找出點(diǎn)D′的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C、D′的坐標(biāo)求出直線CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．答案詳解：解：作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′，連接CD′交x軸于點(diǎn)P，此時PC+PD值最小，最小值為CD′，如圖．令y＝x+8中x＝0，則y＝8，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，8）；令y＝x+8中y＝0，則x+8＝0，解得：x＝﹣8，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣8，0）．∵點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C（﹣4，4），點(diǎn)D（0，4）．∵點(diǎn)D′和點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（0，﹣4）．設(shè)直線CD′的解析式為y＝kx+b，∵直線CD′過點(diǎn)C（﹣4，4），D′（0，﹣4），∴-4k+b=4b=-4，解得：∴直線CD′的解析式為y＝﹣2x﹣4．令y＝0，則0＝﹣2x﹣4，解得：x＝﹣2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0）．所以選：C．7．如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)，設(shè)PC＝x，PE+PB＝y(tǒng)，圖②是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，則圖象上最低點(diǎn)Q的坐標(biāo)可能為（）A．（2，5） B．（22，35） C．（4，3） D．（42，35）試題分析：連接PD．由B、D關(guān)于AC對稱，推出PB＝PD，推出PB+PE＝PD+PE，推出當(dāng)D、P、E共線時，PE+PB的值最小，設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，則AE＝BE＝a，AD＝AB＝2a，分別求出PB+PE的最小值，PC的長即可解決問題．答案詳解：解：如圖，連接PD，設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，則AE＝BE＝a．∴AE＝EB＝a，AD＝AB＝2a，∵B、D關(guān)于AC對稱，∴PB＝PD，∴PB+PE＝PD+PE，∴當(dāng)D、P、E共線時，PE+PB的值最小，如下圖：在Rt△AED中，DE=5a∴PB+PE的最小值為5a，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為5a，∵AE∥CD，∴PCPA=∵AC＝22a，∴PC＝22a×2∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為423∴Q（423a，5結(jié)合選項(xiàng)可知，當(dāng)a＝3時，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（42，35）．所以選：D．8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在EF上．且滿足PQ＝2，則四邊形APQB周長的最小值為12．試題分析：由于四邊形APQB的周長可表示為AP+BQ+7，則要使其最小，只要AP+BQ最小即可．在AB邊上截取AM＝PQ，因?yàn)辄c(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B關(guān)于EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，連接CM，交EF于點(diǎn)Q，則CM即為AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，利用勾股定理可求出MC的值，進(jìn)而可得出答案．答案詳解：解：∵AB＝5，PQ＝2，∴四邊形APQB的周長為AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，則要使四邊形APQB的周長最小，只要AP+BQ最小即可．在AB邊上截取AM＝PQ，∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)B關(guān)于EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，連接CM，交EF于點(diǎn)Q，則CM即為AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，∴CM=32∴四邊形APQB的周長最小值為5+7＝12．所以答案是：12．9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，滿足∠ABP＝∠BCP．（1）若點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，B，P，E在同一條直線上，則BP的長為161313（2）若E為AD上一動點(diǎn)，則BE+PE的最小值為410-4試題分析：（1）根據(jù)題意可得△ABE∽△PCB，所以AEBP=BEBC，再利用勾股定理可求得（2）作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B'，連接B'E，可知當(dāng)B'，E，P三點(diǎn)在同一條直線上時，BE+PE取得最小值，即為B'P的長．設(shè)BC的中點(diǎn)為O，連接B'O，交以BC為直徑的圓于點(diǎn)P，此時即為B'P的最小值，再利用勾股定理可求得B'O的長，進(jìn)而可得出答案．答案詳解：解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠ABP＝∠BCP，∴∠BCP+∠PBC＝90°，∴∠BPC＝90°，∴點(diǎn)P是在以BC為直徑為圓上．∵點(diǎn)B，P，E在同一條直線上，∴△ABE∽△PCB，∴AEBP在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝4，BE=A∴4BP∴BP=16（2）作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B'，連接B'E，則BE+PE＝B'E+PE．∴當(dāng)B'，E，P三點(diǎn)在同一條直線上時，BE+PE取得最小值，即為B'P的長．設(shè)BC的中點(diǎn)為O，連接B'O，交以BC為直徑的圓于點(diǎn)P，此時即為B'P的最小值．∴B'P＝B'0﹣OP．在Rt△OBB'中，B'O=BB∴B'P＝410-4∴BE+PE的最小值為410-410．如圖，正方形中，AB＝2，連接AC，∠ACD的平分線交AD于點(diǎn)E，在AB上截取AF＝DE，連接DF，分別交CE，AC于點(diǎn)G，H，點(diǎn)P是線段GC上的動點(diǎn)，PQ⊥AC于點(diǎn)Q，連接PH．下列結(jié)論：①CE⊥DF；②DE+DC＝AC；③EA=2AH；④PH+PQ的最小值是22．其中所有正確結(jié)論的序號是試題分析：①先證△DEC≌△AFD，可得∠ADF＝∠DCE，由∠ADF+∠CDG＝90°，可得∠DCG+∠CDG＝90°，即∠CGD＝90°，則①正確；②由①可知∠CGD＝90°，易證△CDG≌△△CHG，可得CD＝CH，∠CDG＝∠CHG，由AB∥CD，可得∠CDG＝∠AFH，而∠AHF＝∠CHG，則∠AFH＝∠AHF，即AH＝AF，從而可得②正確；③由于AD＝CD＝AH＝2，根據(jù)勾股定理可得AC的長，進(jìn)而可得AH的長，而AH＝DE，所以EA可求，即可得出③正確；④由①②可得DG＝GH，CG⊥DH，即H關(guān)于CE的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D，過點(diǎn)D作GQ⊥AC，交CE于點(diǎn)P，此時PH+PQ取得最小值，最小值即為DQ的長，在等腰直角三角形ADQ中，可求得DQ的長，從而可得④不正確．答案詳解：解：①∵在正方形ABCD中，DE＝AF，∠CDE＝∠DAF＝90°，CD＝AD，∴△DEC≌△AFD，∴∠ADF＝∠DCE，∵∠ADF+∠CDG＝90°，∴∠DCG+∠CDG＝90°，即∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，∴①正確．②由①可知∠CGD＝∠CGH＝90°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACG＝∠DCG，∵CG＝CG，∴△CDG≌△△CHG，∴CD＝CH，∠CDG＝∠CHG，∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠AFH，∵∠AHF＝∠CHG，∴∠AFH＝∠AHF，即△AFH為等腰三角形，∴AH＝AF，∴DE+DC＝AF+CH＝AH+CH＝AC．∴②正確．③由②可知，AH＝AF＝DE，CD＝CH，∵AB＝2，∴AC=22∴AH=22-∴EA＝2﹣（22-2）＝4∴EAAH∴③正確．④由①②可得DG＝GH，CG⊥DH，∴點(diǎn)H關(guān)于CE的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D，過點(diǎn)D作GQ⊥AC，交CE于點(diǎn)P，此時PH+PQ取得最小值，最小值即為DQ的長，在等腰直角三角形ADQ中，AD＝2，∴DQ=2∴PH+PQ的最小值為2，∴④不正確．所以答案是：①②③．11．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為BC上兩個動點(diǎn)（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右邊）．①若連結(jié)AP、PE，則PE+AP的最小值為10；②連結(jié)QE，若PQ＝3，當(dāng)CQ＝53時，四邊形APQE試題分析：（1）延長AB到M，使BM＝AB＝4，則A和M關(guān)于BC對稱，連接EM，交BC于點(diǎn)P，此時AP+PE的值最小，過點(diǎn)M作MN⊥DC，交DC的延長線于點(diǎn)N，在Rt△EMN中，根據(jù)勾股定理求出EM的長即可解答；（2）點(diǎn)A向右平移3個單位到點(diǎn)G，點(diǎn)E關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接GF，交BC于點(diǎn)Q，此時GQ+QE的值最小，根據(jù)題意可知AE，PQ的值是定值，要使四邊形APQE的周長最小，只要GQ+EQ的值最小即可，然后根據(jù)A字模型相似三角形證明△FCQ∽△FDG，利用相似三角形的性質(zhì)，即可解答．答案詳解：解：（1）延長AB到M，使BM＝AB＝4，則A和M關(guān)于BC對稱，∴AP＝PM，連接EM，交BC于點(diǎn)P，此時AP+PE的值最小，∴AP+PE＝PM+EP＝EM，過點(diǎn)M作MN⊥DC，交DC的延長線于點(diǎn)N，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠MBC＝∠BCN＝90°，∵∠MND＝90°，∴四邊形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝4，BC＝MN＝8，∵E為CD的中點(diǎn)，∴EC=12CD＝∴EN＝EC+CN＝6，∴ME=MN∴PE+AP的最小值為10，所以答案是：10；（2）點(diǎn)A向右平移3個單位到點(diǎn)G，點(diǎn)E關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接GF，交BC于點(diǎn)Q，∴EQ＝FQ，∴GQ+EQ＝GQ+FQ＝FG，此時GQ+QE的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∵AG＝PQ＝3，∴四邊形APQG是平行四邊形，∴AP＝GQ，∴GQ+EQ＝AP+EQ＝FG，∵AE，PQ的值是定值，∴要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+EQ的值最小即可，設(shè)CQ＝x，∵BC∥AD，∴∠BCF＝∠D，∠CQF＝∠DGF，∴△FCQ∽△FDG，∴CQDG∴x5∴x=5∴當(dāng)CQ=53時，四邊形所以答案是：5312．如圖，扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝60°，點(diǎn)C是AB上的一個定點(diǎn)（不與A，B重合），點(diǎn)D，E分別是OA，OB上的動點(diǎn)，則△CDE周長的最小值為33．試題分析：如圖，連接OC，作點(diǎn)C關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)T，P，連接OT，OP，PT，PT交AO于點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)E，連接CD，CE，此時△CDE的周長最小，最小值＝線段TP的長．解直角三角形求出PT的長，即可解決問題．答案詳解：解：如圖，連接OC，作點(diǎn)C關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)T，P，連接OT，OP，PT，PT交AO于點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)E，連接CD，CE，此時△CDE的周長最小，最小值＝線段TP的長．過點(diǎn)O作OH⊥PT于點(diǎn)H．∵OC＝OA＝OP＝OT＝3，∠AOC＝∠AOT，∠BOC＝∠BOP，∴∠POT＝2∠AOB＝120°，∵OH⊥PT，OP＝OT，∴TH＝PH，∠TOH＝∠POH＝60°，∴TH＝PH＝OT?sin60°=3∴PT＝2TH＝33，∴△CDE的周長的最小值為33．所以答案是：33．13．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，以AB為直徑作⊙O，交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線DM交BC于點(diǎn)M．（1）求證：CM＝BM．（2）若AD＝23，P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)PM+PD為最小值時，求AP的長．試題分析：（1）連接OD，OM，先利用圓周角定理求出∠DOB＝60°，再利用切線的性質(zhì)可得∠ODM＝90°，然后利用HL證明Rt△ODM≌Rt△OBM，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得∠DOM＝∠BOM＝30°，進(jìn)而可得AC∥OM，即可解答；（2）連接DB，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，并延長交⊙O于點(diǎn)D′，連接D′M交AB于點(diǎn)P，連接DP，此時PM+PD的值最小，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，從而在Rt△ADB中，求出DB，AB的長，再在Rt△ABC中，求出BC的長，從而求出BM的長，然后證明△DOB是等邊三角形，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出OE的長，從而求出DE的長，最后證明8字模型相似三角形△MBP∽△D′EP，利用相似三角形的性質(zhì)求出BP的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．答案詳解：（1）證明：連接OD，OM，∵∠BAC＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，∵DM與⊙O相切于點(diǎn)D，∴∠ODM＝90°，∵∠ABC＝90°，OD＝OB，OM＝OM，∴Rt△ODM≌Rt△OBM（HL），∴∠DOM＝∠BOM=12∠DOB＝∴∠A＝∠BOM，∴AC∥OM，∵OA＝OB，∴BM＝CM；解法二：連接BD，∵DM，BC都是⊙O的切線，∴MD＝MB，∴∠MBD＝∠MDB，∵∠C+∠CBD＝90°，∠CDM+∠BDM＝90°，∴∠C＝∠MDC，∴MC＝MD，∴CM＝MB．（2）連接DB，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，并延長交⊙O于點(diǎn)D′，則DE＝D′E，∴點(diǎn)D與點(diǎn)D′關(guān)于AB對稱，連接D′M交AB于點(diǎn)P，連接DP，此時PM+PD的值最小，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AD＝23，∠DAB＝30°，∴BD＝AD?tan30°＝23×3∴AB＝2BD＝4，∴OA＝OB＝OD=12AB＝在Rt△ABC中，BC＝AB?tan30°＝4×3∴CM＝BM=12BC∵∠DOB＝60°，∴△DOB是等邊三角形，∵DE⊥OB，∴OE＝EB=12OB＝∴DE=3OE=∴DE＝D′E=3∵∠D′EP＝∠CBP＝90°，∠MPB＝∠EPD′，∴△MBP∽△D′EP，∴BMD'E∴23∴BP=2∴AP＝AB﹣BP=18∴AP的長為185解法二：以B為原點(diǎn)，構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系．作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F，連接FM交AB于點(diǎn)P，連接PD，此時PD+PM的值最?。煞椒ㄒ豢芍狥（﹣1，-3），M（0，2設(shè)直線FM的解析式為y＝kx+b，則有-k+b=∴直線FM放解析式為y=533令y＝0，可得x=-∴AP＝AB﹣PB=1814．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A（﹣3，0），拋物線的最低點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）．（1）求出該拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖1，線段BC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD，CD與拋物線相交于點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．（3）如圖2，點(diǎn)M，N是線段AC上的動點(diǎn)，且MN=2，求△OMN試題分析：（1）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，然后用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點(diǎn)C作直線l∥x軸，過點(diǎn)D作DG⊥l于點(diǎn)G，則∠DGC＝90°，所以∠D+∠DCG＝90°，過點(diǎn)B作BF⊥l于D，則∠BFC＝90°，先求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，得到BF＝3，CF＝1，再證△BCF≌△CGD（AAS），得到CG＝BF＝3，DG＝CF＝1，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）先求得直線AC的解析式，然后設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣3），進(jìn)而得到點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m+1，﹣m﹣4），再由兩點(diǎn)間的距離公式求得OM+ON的值，然后利用軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短求得OM+ON的最小值，最后得到△OMN的周長最小值．答案詳解：解：（1）∵拋物線的最低點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），即頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）2﹣4，把點(diǎn)A（﹣3，0）代入解析式，得4a﹣4＝0，∴a＝1，∴拋物線的解析式為y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3．（2）當(dāng)y＝0時，x2+2x﹣3＝0，解得：x＝﹣3或x＝1，∴B（1，0），如圖1，過點(diǎn)C作直線l∥x軸，過點(diǎn)D作DG⊥l于點(diǎn)G，則∠DGC＝90°，∴∠D+∠DCG＝90°，過點(diǎn)B作BF⊥l于F，則∠BFC＝90°，∵線段BC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∴∠DCG+∠BCF＝90°，∴∠D＝∠BCF，又∵∠BFC＝∠DGC＝90°，∴△BCF≌△CGD（AAS），∴BF＝CG，CF＝DG，∵B（1，0），C（0，﹣3），∴BF＝3，CF＝1，∴CG＝BF＝3，DG＝CF＝1，∴BF﹣DG＝2，∴D（﹣3，﹣2），設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+b，則-3k+b=-2∴直線CD的解析式為y=-13x由y=-13x-3y=∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-73，（3）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，則-3k+b=0b=-3，解得：∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣3），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m+1，﹣m﹣4），∴OM+ON=(m-0∴OM+ON表示點(diǎn)（m，﹣m）到點(diǎn)P（0，3）和點(diǎn)Q（﹣1，4）的距離之和，點(diǎn)（m，﹣m）在直線y＝﹣x上，如圖2，作點(diǎn)P（0，3）關(guān)于直線y＝﹣x的對稱點(diǎn)P'，連接P'Q，與直線y＝﹣x的交點(diǎn)即為點(diǎn)（m，﹣m），此時，OM+ON取得最小值即為P'Q的值，∵直線y＝﹣x是第二、四象限的角平分線，∴∠POH＝∠P'OH＝45°，由對稱得，PP'⊥OH，∴∠PHO＝∠P'HO＝90°，∴△PHO和△P'HO都是等腰直角三角形，∴OP'＝OP＝3，∴P'（﹣3，0），∴P'Q=[-1-(-3)]2∴OM+ON的最小值為25，∴△OMN的最小值為25+15．（1）如圖①，點(diǎn)A、點(diǎn)B在直線l同側(cè)，請你在直線l上找一點(diǎn)P，使得AP+BP的值最??；（不需要說明理由）（2）如圖②，∠AOB＝60°，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，OP＝5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在OA，OB上，△PEF的周長是否存在最小值？若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由；（3）如圖③，已知四邊形OABC中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，BC＝2，OC=1033，點(diǎn)H為OA邊上的一點(diǎn)且OH＝4，點(diǎn)P，F(xiàn)分別在邊AB，OC上運(yùn)動，點(diǎn)E在線段OH上運(yùn)動，連接EF，EP，PF，△EFP的周長是否存在最小值？若存在，請求出△EFP試題分析：（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'，連接A'B交直線l于點(diǎn)P，即為所求；（2）作點(diǎn)P關(guān)于OA和OB的對稱點(diǎn)P'和P''，連接P'P''，交OA和OB于點(diǎn)E、F，此時△PEF的周長最小，連接OP'、OP''，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得P'P''的長即為△PEF的周長最小值；（3）作點(diǎn)E關(guān)于AB和OC的對稱點(diǎn)E'和E''，連接EE''交OC于點(diǎn)Q，連接E'E''，交AB和OC于點(diǎn)P、F，此時△PEF的周長最小，過點(diǎn)C作CG⊥OA于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BN⊥CG于點(diǎn)N，從而利用含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系求得BC、AG、OG的長，即可得到OA、OH的長，設(shè)OE＝x，得到AE、EQ、AE'、EE''的長，過點(diǎn)E''作E''M⊥OA于點(diǎn)M，然后得到EM、E''M、E'M的長，再根據(jù)直角三角形的勾股定理求得E'E''2的大小，進(jìn)而利用二次函數(shù)的最小值求得E'E''2的最小值，最后得到△PEF的周長最小值和OE的長．答案詳解：解：（1）如圖①，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'，連接A'B交直線l于點(diǎn)P，即為所求．（2）△PEF的周長存在最小值，理由如下，如圖②，作點(diǎn)P關(guān)于OA和OB的對稱點(diǎn)P'和P''，連接P'P''，交OA和OB于點(diǎn)E、F，此時△PEF的周長最小，連接OP'、OP''、OP，由對稱得，OP'＝OP＝OP''＝5，∠P'OA＝∠POA，∠POB＝∠P''OB，∴∠P'OP''＝∠P'OA+∠AOB+∠P''OB＝∠AOB+∠POA+∠POB＝∠AOB+∠AOB＝60°+60°＝120°，∴∠OP'P''＝30°，過點(diǎn)O作OH⊥P'P''于點(diǎn)H，則P'H＝P''H，∠OHP'＝∠OHP''＝90°，∴OH=12OP'=1∴P'H=OP∴P'P''＝2P'H＝2×532∴△PEF周長最小值為53．（3）△EFP周長存在最小值，理由如下，如圖③，作點(diǎn)E關(guān)于AB和OC的對稱點(diǎn)E'和E''，連接EE''交OC于點(diǎn)Q，則∠EQO＝90°，連接E'E''，交AB和OC于點(diǎn)P、F，此時△PEF的周長最小，過點(diǎn)C作CG⊥OA于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BN⊥CG于點(diǎn)N，則∠BNC＝∠ABN＝90°，四邊形ABNG是矩形，∴BN＝AG，∵∠ABC＝150°，∠OAB＝∠OCB＝90°，∴∠CBN＝150°﹣90°＝60°，∠AOC＝30°，∴∠BCN＝30°，∵BC＝2，OC=10∴BN=12BC=12×2＝1，∴AG＝1，OG=OC∴OA＝AG+OG＝1+5＝6，設(shè)OE＝x（0≤x≤4），則AE＝OA﹣OE＝6﹣x，∵∠AOC＝30°，∴EQ=12OE=12x，∠E''由對稱的性質(zhì)得，AE'＝AE＝6﹣x，EQ＝E''Q=12∴EE''＝EQ+E''Q=12x+12過點(diǎn)E''作E''M⊥OA于點(diǎn)M，則∠E''ME＝90°，∴∠EE''M＝30°，∴EM=12E''E=∴E''M=E″E2-EM2=x2-(x2)2=32x，E'M＝E'∴E'E''2＝E'M2+E''M2＝（12-32x）2+（32x）2＝3x2﹣36x+144＝3（x﹣∴當(dāng)0≤x≤4時，E'E''的值隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝4時，E'E''2最小值＝3×（4﹣6）2+36＝48，∴OE的長為4時，△EFP周長最小值為43．16．問題提出（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4．若點(diǎn)P是邊AC上一點(diǎn)，則BP的最小值為125問題探究（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．若點(diǎn)P是邊AC上一點(diǎn)，試求PB+PE的最小值；問題解決（3）某市一濕地公園內(nèi)有一條四邊形ABCD型環(huán)湖路，如圖③所示．已知AD＝2000米，CD＝1000米，∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝150°．為了進(jìn)一步提升服務(wù)休閑功能，滿足市民游園和健身需求，現(xiàn)要修一條由CE，EF，F(xiàn)C連接而成的步行景觀道，其中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上．為了節(jié)省成本，要使所修的這條步行景觀道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此時BE，DF的長．（路面寬度忽略不計(jì)）試題分析：（1）過B作BP⊥AC于P，由垂線段最短可知，BP⊥AC時，BP的值最小，由面積法可得BP=AB?BC（2）作E關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)E'，連接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，由E，E'關(guān)于直線AC對稱，可知PB+PE＝PB+PE'，而B，P，E'共線，故此時PB+PE最小，最小值為BE'的長度，根據(jù)∠B＝90°，AB＝BC＝2，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可得CE＝CE'＝1，∠BCE'＝90°，再用勾股定理可得答案；（3）作C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)M，連接DM，CM，CM交AD于H，作C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)N，連接BN，延長DC，AB交于G，連接NG，連接MN交AB于E，交AD于F，由C，N關(guān)于AB對稱，C，M關(guān)于AD對稱，CE＝NE，CF＝MF，又N，E，F(xiàn)，M共線，知此時CE+EF+CF最小，根據(jù)∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝150°，可得∠ADC＝60°，∠MCD＝∠CMD＝30°，即得DH=12CD＝500米，CH＝MH=3DH＝5003米，CM＝10003米，由∠ADC＝60°，∠A＝60°，知△ADG是等邊三角形，從而CG＝DG﹣CD＝1000米，同理可得CG＝NG＝1000米，∠BNG＝∠BCG＝30°，即得BG=12CG＝500米，BC＝BN=3BG＝5003米，故CN＝10003米＝CM，知∠CNM＝∠CMN＝30°，在Rt△BNE中，BE=BN3=50033=500米，在Rt△MHF答案詳解：解：（1）過B作BP⊥AC于P，如圖：由垂線段最短可知，BP⊥AC時，BP的值最小，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC=AB∵2S△ABC＝AB?BC＝AC?BP，∴BP=AB?BC所以答案是：125（2）作E關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)E'，連接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，如圖：∵E，E'關(guān)于直線AC對稱，∴PE＝PE'，∴PB+PE＝PB+PE'，∵B，P，E'共線，∴此時PB+PE最小，最小值為BE'的長度，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴∠ACB＝45°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝1，∵E，E'關(guān)于直線AC對稱，∴∠ACE'＝∠ACB＝45°，CE＝CE'＝1，∴∠BCE'＝90°，在Rt△BCE'中，BE'=B∴PB+PE的最小值為5；（3）作C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)M，連接DM，CM，CM交AD于H，作C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)N，連接BN，延長DC，AB交于G，連接NG，連接MN交AB于E，交AD于F，如圖：∵C，N關(guān)于AB對稱，C，M關(guān)于AD對稱，∴CE＝NE，CF＝MF，∴CE+EF+CF＝NE+EF+MF，∵N，E，F(xiàn)，M共線，∴此時CE+EF+CF最小，∵∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝150°，∴∠ADC＝60°，∵C，M關(guān)于AD對稱，∴∠MDH＝∠CDH＝60°，∠CHD＝∠MHD＝90°，CD＝MD＝1000米，∴∠MCD＝∠CMD＝30°，∴DH=12CD＝500米，CH＝MH=3DH＝∴CM＝10003米，∵∠ADC＝60°，∠A＝60°，∴△ADG是等邊三角形，∴DG＝AD＝2000米，∴CG＝DG﹣CD＝1000米，∵∠BCD＝150°，∴∠BCG＝30°，∵C，N關(guān)于AB對稱，∠ABC＝90°，∴C，B，N共線，CG＝NG＝1000米，∠BNG＝∠BCG＝30°，∴BG=12CG＝500米，BC＝BN=3BG＝∴CN＝10003米＝CM，∴∠CNM＝∠CMN，∵∠BCD＝150°，∠MCD＝30°，∴∠NCM＝120°，∴∠CNM＝∠CMN＝30°，在Rt△BNE中，BE=BN3在Rt△MHF中，F(xiàn)H=MH3∴DF＝FH+DH＝500+500＝1000（米），答：BE的長為500米，DF的長為1000米．17．如圖（1），二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），直線l經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為直線l上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)M，再過點(diǎn)M作y軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于另一點(diǎn)N，當(dāng)PM=12MN時，求點(diǎn)（3）如圖（2），點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段BC上的一個動點(diǎn)，連接AP，點(diǎn)Q為線段AP上一點(diǎn)，且AQ＝3PQ，連接DQ，當(dāng)3AP+4DQ的值最小時，直接寫出DQ的長．試題分析：（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設(shè)P（t，﹣t+3），則M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），則PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，由題意可得方程|t2﹣3t|=12|2﹣2t（3）由題意可知Q點(diǎn)在平行于BC的線段上，設(shè)此線段與x軸的交點(diǎn)為G，由QG∥BC，求出點(diǎn)G（2，0），作A點(diǎn)關(guān)于GQ的對稱點(diǎn)A'，連接A'D與AP交于點(diǎn)Q，則3AP+4DQ＝4（DQ+34AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，利用對稱性和∠OBC＝45°，求出A'（2，3），求出直線DA'的解析式和直線QG的解析式，聯(lián)立方程組y=-x+2y=3x-3，可求點(diǎn)Q（54答案詳解：解：（1）將點(diǎn)B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴-9+3b+c=0解得b=2c=3∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，4）；（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴3k+b=0b=3解得k=-∴y＝﹣x+3，設(shè)P（t，﹣t+3），則M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），∴PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，∵PM=12∴|t2﹣3t|=12|2﹣2t解得t＝1+2或t＝1-2或t＝2+3或t＝∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1+2或1-2或2+3或（3）過Q點(diǎn)作QG∥BC，∵C（0，3），D點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，∴D（0，﹣3），令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），∴AB＝4，∵AQ＝3PQ，∴AQAP∴34∴AG＝3，∴G（2，0），∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，作A點(diǎn)關(guān)于GQ的對稱點(diǎn)A'，連接A'D與AP交于點(diǎn)Q，∵AQ＝A'Q，∴AQ+DQ＝A'Q+DQ≥A'D，∴3AP+4DQ＝4（DQ+34AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'∵∠QGA＝∠CBO＝45°，AA'⊥QG，∴∠A'AG＝45°，∵AG＝A'G，∴∠AA'G＝45°，∴∠AGA'＝90°，∴A'（2，3），設(shè)直線DA'的解析式為y＝kx+b，∴b=-解得k=3b=-3∴y＝3x﹣3，同理可求直線QG的解析式為y＝﹣x+2，聯(lián)立方程組y=-解得x=5∴Q（54，3∴DQ=518．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在其對稱軸上，且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處．（1）求拋物線的解析式；（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將拋物線平移，使其頂點(diǎn)落在原點(diǎn)O，這時點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）利用配方法得到y(tǒng)＝﹣（x﹣1）2+4，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到C點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線的對稱軸為直線x＝1，如圖，設(shè)CD＝t，則D（1，4﹣t），根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，則P（1+t，4﹣t），然后把P（1+t，4﹣t）代入y＝﹣x2+2x+4得到關(guān)于t的方程，從而解方程求出t，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，4），利用拋物線的平移規(guī)律確定E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），找出點(diǎn)E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)F（﹣1，﹣1），連接PF交y軸于M，則MP+ME＝MP+MF＝PF的值最小，然后利用待定系數(shù)法求出直線PF的解析式，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．答案詳解：解：（1）把A（﹣1，0）和點(diǎn)B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得-1解得：b=2c=3∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴C（1，4），拋物線的對稱軸為直線x＝1，如圖，設(shè)CD＝t，則D（1，4﹣t），∵線段DC繞點(diǎn)D按