新教材蘇教版必修第二冊第二課時兩平面垂直

第二課時兩平面垂直

新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)

借助長方體，通過直觀感知，了解空間中平面與平面垂

邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象

直的判定定理與性質(zhì)定理

知識桅理BBSS”…

目情境導(dǎo)入

如圖所示，筆記本電腦在打開的過程中，會給人以面面“夾角”變大的感覺.

［問題】你認(rèn)為應(yīng)該怎樣刻畫不同的面面“夾角”呢?

格新知初探

知識點一二面角的概念

1.半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩部分,其中的每一部分都叫作半平面.

2.二面角：一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角,這條

直線叫作二面角的棱，每個半平面叫作二面角的面.如圖①，②中，棱為/或面為a,

B記作二面角或P-l-Q(P-AB-Q)(P,Q分別為在a,4內(nèi)且不在棱上的點).

3.二面角的平面角

文字表述：以二面角的棱上任意一點為端點,在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的射線,這兩

條射線所成的角叫作二面角的平面角.

圖形語言：

符號語言：aCB=l,00,OAUa,OBU°,QAU,為二面角a-l-8的

平面角.

4.二面角大小的度量

二面角的大小可以用它的壬面魚來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是

多少度.

二面角a的大小范圍是0°WaW180。.平面角是直角的二面角叫作直二面角.

力想一想

1.二面角與平面幾何中的角有什么區(qū)別？

提示：平面幾何中的角是從一點出發(fā)的兩條射線組成的圖形；二面角是從一條直線出發(fā)

的兩個半平面所組成的圖形.

2.二面角的平面角的大小與其頂點在二面角棱上的位置是否有關(guān)？

提示：由等角定理可知二面角的平面角的大小與其頂點在二面角棱上的位置無關(guān).

Q做一做

1.在二面角a-//的棱/上任選一點O,若/AOB是二面角a-//的平面角，則必須具

有的條件是（）

A.AOLBO,AOUa,BOU/3

B.AO1l,BO±l

C.AB±l,AOCa,BOU0

D.AO±l,BOLI,且AOUa,BOU0

答案：D

2.一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角

的大小關(guān)系為（）

A.相等B.互補

C.相等或互補D.不確定

解析：選D如圖所示，在正方體ABCZX4i5CQi中，E,尸分別是CD,Glh的中點，

二面角O-AAi-E與二面角的兩個半平面就是分別對應(yīng)垂直的，但是這兩個二面角

既不相等，也不互補，故選D.

知識點二平面與平面垂直的判定定理

1.平面垂直的定義：一般地，如果兩個平面所成的二面角是直二面角,那么就說這兩

個平面互相垂直;

2.平面垂直的畫法：兩個互相垂直的平面通常畫成如圖①，②所示.

此時，把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直，平面a與￡垂直，記作a_L￡.

3.平面與平面垂直的判定定理

文字語言如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直

圖形語言

符號語言l.La,/U夕,a_L￡

"想一想

一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面一定垂直.這種說法是否正確？

提示：正確.

。做一做

對于直線"％w和平面a,/J,能得出a_L￡的一個條件是()

A.m//a,n〃BB.mXn,aC°=m,nUa

C.m//n,w_L￡,mUaD.m//n,mJ_a,〃_!_￡

解析：選C\'n-L/3,m//n,又wiUa,由面面垂直的判定定理得a_L￡.

知識點三平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線,那么這

文字語言

條直線與另一個平面垂直

圖形語言

符號語言a邛,aC0=l,aUa,遑』

??＞點一點?

對面面垂直的性質(zhì)定理的再理解

(1)定理成立的條件有三個：

①兩個平面互相垂直；

②直線在其中一個平面內(nèi)；

③直線與兩平面的交線垂直；

(2)定理的實質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直；

(3)已知面面垂直時，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直.

。想一想

如果兩個平面垂直，那么垂直于交線的直線必垂直于其中一個平面.這種說法正確嗎？

提示：不正確.當(dāng)垂直于交線的直線不落在兩個互相垂直平面其中之一時，該直線可能

與兩個平面都不垂直.

。做一做

平面aJ_平面aC/3=l,mUa,mLl,貝1］()

A.m//PB.mUp

C.D.7"與/相交但不一定垂直

答案：C

..............必?卜蜀懿銅典例精析.........

oa求二面角

［例1］(鏈接教科書第180頁例3)如圖所示，平面ABC,ACLBC,AB=2,BC=

6，PB=y［6,求二面角P-BC-A的大小.

［解］：陰_1_平面ABC,BCU平面ABC,：.PA±BC.

X"/AC±BC,E4AAC=A,B4U平面E4C,ACU平面B4C,.*.BC_L平面陰C.

又：PCU平面RIC,：.BC1.PC.

又；BC_LAC.；.ZPCA為二面角P-BC-A的平面角.

在RtzXPBC中，；PB=*,BC=y/2,

：.PC=、PB2—BCK6—2=2.

在RtZSBC中，AC^AB'-BC2=^2,

A(J

，在Rt2\B4C中，cosZPCA=^;=^-,

ZPCA=45°,即二面角P-BC-A的大小為45°.

1.求空間角，如二面角、直線和平面所成的角等，都是找出或作出平面角，再把平面

角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值.

2.求二面角的大小，其步驟一般有三步：

(1)“作”：作出二面角的平面角；

(2)“證”：證明所作的角是二面角的平面角；

(3)“求”：解三角形，求出這個角.

［跟蹤訓(xùn)練］

在正方體ABCD-A由Cid中，求平面AiBD和平面BBQiD所成的二面角的正弦值.

解：如圖所示，設(shè)正方體棱長為。，連接4G交Bid于。1.設(shè)。為

2。中點，連接0。1,AiO,則OiOLBD

又AQ=AiB=pa,所以所以NAQOi是所求二面角的

平面角.

在RtZkAiOB中，因為AiB=@a,BO=^a,故AIO=7AR-BO?=凈,

5

在RtZ\4OOi中A\Oi=2〃，

?/4八八AiOi

所以sinNAiOOi—.八一2.

AiOj

REa平面與平面垂直的判定

［例2］（鏈接教科書第181頁例4）如圖所示，在四面體A-BCS中，BA

知NBSC=90。，ZBSA=ZCSA=60°,又SA=SB=SC.求證：平面ABC

_L平面SBC.

［證明］法一（利用定義證明）：因為NBSA=NCSA=60°,SA=SB=

SC,

所以AASB和aASC是等邊三角形,

A

則有S4=SB=SC=AB=AC,令其值為a,A

則△A3C和3c為共底邊BC的等腰三角形./或、

取3c的中點D,如圖所示，二力、'\c

連接AO,SD,則AD_LBC,SD-LBC,

所以乙M）S為二面角A-2C-S的平面角.

在RtABSC中，因為SB=SC=a,

所以SD等a,BD=^=^a.

正

在RtAABD中，AZ)=2a,

在中，因為SZA+AD=SA2,

所以NAOS=90°,即二面角A-BC-S為直二面角，

故平面48c_L平面SBC.

法二（利用判定定理）：因為SA=SB=SC,且NBSA=NCSA=60°,

所以SA=AB=AC,

所以點A在平面SBC上的射影為△S2C的外心.

因為△S2C為直角三角形，

所以點A在△SBC上的射影。為斜邊BC的中點，

所以AZ)_L平面SBC.

又因為AOU平面ABC,所以平面ABC_L平面SBC.

證明面面垂直常用的方法

(1)定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理法：在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為

“線面垂直”；

(3)性質(zhì)法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面.

［跟蹤訓(xùn)練］

如圖所示，三棱柱ABC-AiBiCi中，側(cè)棱垂直于底面，ZACB=90°,AAi=2AC,D是

棱的中點.

求證：平面平面BDC.

證明：由題設(shè)知BC_LCG,BC-LAC,CCiHAC=C,

；.BC_L平面ACCW

又,?OC1U平面ACC1A1,；.DCi±BC.

由題設(shè)知ZAiZ)Ci=ZADC=45°,

ZCDCi=90°,即OGJLDC.

又：。CCIBC=C,

.?.DCJ平面BDC,

；OCiU平面BDCi,

：.平面BDGJ_平面BDC.

面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用

［例3］如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長為a的菱

形，且/r)AB=60。.側(cè)面B4。為正三角形，其所在平面垂直于底面ABC，G

為邊的中點.

(1)求證：平面以。；

(2)求證：ADLPB.

［證明］⑴連接PG(圖略)，???△孫。為正三角形，且點G為AD邊的中點，，尸GJ-AD.

又平面B4O_L平面ABCD且交線為A。，尸GU平面陰￡),...尸3_1-平面48。。

■「BGU平面ABC。，.-.PG-LBG.

又四邊形ABCD是菱形，且ND4B=60°,連接則是正三角形，二次；-14￡）.

又AZ）riPG=G,且AOU平面R4O,PGU平面也。，

，BG_L平面PAD.

（2）由（1）可知3GJLAZ）,PG-LAD.

又BG,尸G為平面PBG內(nèi)兩條相交直線，，4D_L平面PBG.

:PBU平面PBG,：.AD-LPB.

1.在應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時，若沒有與交線垂直的直線，一般需作輔助線，基本

作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而轉(zhuǎn)化

為線線垂直.

2.面面垂直的性質(zhì)定理等價于：如果兩個平面互相垂直，則過一個平面內(nèi)一點垂直于

另一個平面的直線在這個平面內(nèi).

［跟蹤訓(xùn)練］

如圖所示，AE_L平面ABC,平面BCD_L平面ABC,BD=CD求證:

AE〃平面BCD.

證明：如圖所示，取2C的中點跖連接DM,AM,

因為BD=CD,

所以

又因為平面BCD_L平面ABC,平面BCQn平面ABC=BC,

所以。平面ABC,

所以AE〃DA￡

又因為AE&平面BCD,DMU平面BCD,

所以AE〃平面BCD.

冒隨堂檢測

1.已知/_La,則過/與a垂直的平面（）

A.有1個B.有2個