角平分線的性質(zhì)課件

八年級(jí)人教版數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章全等三角形12.3角平分線的性質(zhì)目錄/CONTENTS新知探究情景導(dǎo)入學(xué)習(xí)目標(biāo)課堂反饋分層練習(xí)課堂小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用尺規(guī)作圖法作一個(gè)角的平分線，知道作法的理論依據(jù).（重點(diǎn)）

2.探究并證明角平分線的性質(zhì).（難點(diǎn)）

3.會(huì)用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題.

4.探究并證明角的平分線的判定.（重點(diǎn)）

5.會(huì)用角的平分線的判定解決實(shí)際問題.（難點(diǎn)）

6.熟練掌握角的平分線的性質(zhì)和角的平分線的判定的綜合運(yùn)用.情景導(dǎo)入舊知回顧判定三角形全等的基本事實(shí)有哪些？SSS：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等SAS：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等ASA：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等AAS：兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)

三角形全等HL：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等不利用工具，將一張紙片分成兩個(gè)相等的角.有什么辦法可以做到？AOBC再打開紙片后，這個(gè)折痕與這個(gè)角有何關(guān)系？我們將紙對(duì)折情景導(dǎo)入1.角平分線的性質(zhì)新知探究如圖，是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABDCE證明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）那么該如何用尺規(guī)作已知角的平分線呢？ABMNCO作已知角的平分線的方法.已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.作法：（1)以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，

交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.(2)分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長

為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.(3)畫射線OC.射線OC即為所求（如圖).為什么說射線OC

是∠AOB

的平分線嗎？注意:（1）以“適當(dāng)?shù)拈L為半徑”是為了方便畫圖，不能太長，也不能太短.（2）“以大于MN的長為半徑畫弧”是因?yàn)樾∮?/p>

MN的長為半徑畫弧時(shí)兩弧沒有交點(diǎn)，等于MN的長為半徑畫弧時(shí)不容易操作.ABOC（3）應(yīng)該在角的內(nèi)部找所作兩弧的交點(diǎn)，因?yàn)樗鞯纳渚€為角的平分線，而角的平分線應(yīng)該在角的內(nèi)部.（4）“畫射線OC”不能說成“連接OC”，因?yàn)檫B接OC得到的是線段，而角的平分線是一條射線.概念歸納已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分線.結(jié)論：作平角的平分線的方法就是過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法.ABOC畫一畫如右圖，任意作一個(gè)角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC.在OC上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P畫出OA、OB的垂線，分別記垂足為D、E，測(cè)量PD、PE并作比較，你得到什么結(jié)論？在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試.經(jīng)過測(cè)量我們可以發(fā)現(xiàn)，PD=PE，在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)，都能得到同樣的結(jié)論.通過測(cè)量你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等結(jié)論驗(yàn)證不必證全等∵OC是∠AOB的平分線，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．幾何語言：角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．概念歸納應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明兩條線段相等.證明的書寫格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE三者缺一不可，否則不可證明兩線段相等PD⊥OA,PE⊥OB，

一般情況下，我們要證明一個(gè)幾何命題時(shí)，可以按照類似的步驟進(jìn)行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.概念歸納例1.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BE＝FC，求證：BD＝DF.

典例剖析點(diǎn)撥：要證BD＝DF，可考慮證兩線段所在的△BDE和△FDC全等，兩個(gè)三角形中已有一角和一邊相等，只要再證DE＝CD即可，這可由AD平分∠CAB及垂直條件證得．在△BDE和△FDC中，DE=CD,∠DEB=∠C,BE=FC,∴△BDE≌△FDC,∴BD=DF.證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，

∠C＝90°，∴DE＝DC.1.已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，

DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.練一練

如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4，AB=14.（1）求△APB的面積.·AB·PD=28.由垂直平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，2.角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用新知探究ABCPD=（2）求?PDB的周長.ABCPD=如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4，AB=14.1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：面積周長條件利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解概念歸納猜想：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．

交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個(gè)新結(jié)論正確嗎？

我們知道，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.那么到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.3.角平分線的判定定理新知探究如圖，已知PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.證明：作射線OP，

∴點(diǎn)P在∠AOB

角的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），BADOPE∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP驗(yàn)證結(jié)論角平分的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.應(yīng)用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.概念歸納這個(gè)結(jié)論與角的平分線的性質(zhì)在應(yīng)用上有什么不同？角平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“線段相等”之間的一種特殊關(guān)系.這個(gè)結(jié)論可以用來判定角的平分線，而角的平分線的性質(zhì)可用來證明線段相等．角相等角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)定理的逆定理線段相等這為今后我們證明角相等，線段相等提供了一種解題思路. 1.如右圖所示，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建在何處（比例尺為1︰20000）？思考探究P圖上距離500m120000=解：∵∴圖上距離=0.025m=2.5cm.如圖所示：P點(diǎn)即為所求;理由：P點(diǎn)在這個(gè)交叉口的角平分線上，所以P點(diǎn)到公路與鐵路的距離相等.

根據(jù)角平分線的判定定理，要求作的點(diǎn)到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據(jù)要求取點(diǎn).我們?nèi)我獾脑诩埳袭嬋齻€(gè)三角形，如下圖所示，沿頂點(diǎn)作分別畫出三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？三角形的三條角平分線都相交于一點(diǎn)由上圖，我們分別過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？我們可以發(fā)現(xiàn)，過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線段相等你可以證明這個(gè)結(jié)論嗎？如右圖，已知：△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

結(jié)論驗(yàn)證點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？點(diǎn)P在∠A的平分線上.

結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

2.如圖，△ABC的∠ABC的外角的平分線BD

與∠ACB

的外角的平分線CE

相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P

到三邊AB，BC，CA

所在直線的距離相等.證明：如圖，過點(diǎn)P證明：如圖，過點(diǎn)P作PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，因?yàn)椤鰽BC的∠ABC的外角的平分線BD與∠ACB的外角的平分線CE相交于P，∴PF=PG，PG=PH，∴PF=PG=PH，∴點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA所在直線的距離相等.練一練判定方法：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．書寫格式：如圖，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上(或∠AOC＝∠BOC)．證明角平分線的“兩種方法”(1)定義法：應(yīng)用角平分線的定義.(2)定理法：應(yīng)用“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”來判定.判定角平分線時(shí)，需要滿足兩個(gè)條件：“垂直”和“相等”.MENABCPOD如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AC,若OM＝4,(1)求點(diǎn)O到△ABC三邊的距離和.點(diǎn)到邊的距離即過點(diǎn)作該邊的垂線如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥BC于點(diǎn)F，連接OC∵AP平分∠BAC，OE⊥AB，OM⊥AC∴OE=OM（角平分上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）又∵BD平分∠ABC且OE⊥AB，OF⊥BC∴OE=OF，∴OE=OF=OM，又∵OM=4，∴OE=OF=OM=4∴OE+OF+OM=124.角平分線的判定定理的應(yīng)用新知探究解：連接OCMENABCPOD

如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AC,若OM＝4.(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題

2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：距離面積周長條件概念歸納3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為(

)A．110°B．120°C．130°D．140°A解：由已知，O到三角形三邊的距離相等，所以O(shè)是內(nèi)心，即三條角平分線的交點(diǎn)，AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.練一練

點(diǎn)撥：由已知，O到三角形三邊的距離相等，得O是內(nèi)心，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)．內(nèi)容圖形已知條件結(jié)論角的平分線的性質(zhì)PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分線的判定角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上概念歸納1.如圖，在直線MN

上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P

到射線OA

和OB

的距離相等.BOANM課本練習(xí)解：如圖所示2.如圖，△ABC的∠ABC的外角的平分線BD

與∠ACB

的外角的平分線CE

相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P

到三邊AB，BC，CA

所在直線的距離相等.課本練習(xí)證明：過P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PQ⊥AB于Q.∵CE為∠MCN的平分線，∴PM=PN，同理PN=PQ，∴點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.QNM1.用三角尺可按下面方法畫角平分線:在已知的∠AOB的兩邊上,分別取OM=ON,再分別過點(diǎn)M，N作OA，OB的垂線,交點(diǎn)為P,畫射線OP,則OP平分∠AOB.為什么?解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠OMP=∠ONP=90°．在Rt△MOP和Rt△PON中，∴Rt△OMP

≌

Rt△ONP（HL）.∴∠MOP=∠NOP，即OP是∠AOB的平分線．習(xí)題12.3證明：∵AD是∠BAC的平分線，且DE，DF分別垂直AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，∴DE=DF．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF（HL）．∴EB=FC．2.如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,

DF⊥AC,垂足分別為E,F,求證EB=FC.證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90°．又∵∠DOB=∠EOC，OB=OC，∴△DOB≌△EOC（AAS）．∴OD=OE．∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線上．∴∠1=∠2．3.如圖,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D，E，BE，CD相交于點(diǎn)

O,OB=OC.求證∠1=∠2.證明：∵AD

是△ABC的角平分線，

∴∠BAD=∠CAD．

又∵PE∥AB，PF∥AC，

∴∠EPD=∠BAD，∠FPD=∠CAD．∴∠EPD=∠FPD．即PD平分∠EPF．

∴點(diǎn)D

到PE

和PF

的距離相等．4.如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,P是AD上的一點(diǎn),PE∥

AB,交BC于點(diǎn)E,PF∥AC,交BC于點(diǎn)F,求證:點(diǎn)D到PE和PF的距離相等.證明：∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠ODP=∠OEP=90°．又∠DPF=∠DOP+∠ODP，∠EPF=∠EOP+∠OEP，∴∠DPF=∠EPF．在△DPF和△EPF中，

PD=PE，∠DPF=∠EPF，PF=PF．∴△DPF≌△EPF(SAS)．∴DF=EF．5.如圖,OC是∠AOB的平分線,P是OC上的一點(diǎn)，PD⊥OA,PE⊥

OB,垂足分別為D,E.F是OC上的另一點(diǎn),連接DF,EF.求證DF=EF.解：AD與EF垂直．證明如下：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠ADE=∠ADF．又∵DG=DG，∴△GDE

≌△GDF(SAS)．∴∠