數(shù)字信號處理簡明教程-數(shù)字濾波器原理

回顧：任意離散時間序列都可以用單位采樣序列的加權(quán)的表征離散時間系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)h(n)因果性與穩(wěn)定性任何離散線性時不變系統(tǒng)都可以用常系數(shù)差分程來表征離散線性時不變系統(tǒng)的h(n)利用差分方程導(dǎo)出系統(tǒng)函數(shù)H(z)

有限長沖激響應(yīng)FIR無限長沖激響應(yīng)IIR1

時域（兩類）、頻域（四種類型）實現(xiàn)結(jié)構(gòu)（遞歸、非遞歸）

26.1.1濾波器的基本

類型與指標(biāo)36.1.2濾波器的基本方程與分類

4濾波器的系統(tǒng)函數(shù)與沖激響應(yīng)5

()

h(n)是FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)，長度為N，則其系統(tǒng)函數(shù)為：

收斂域包括單位圓；

z平面上有N-1個零點；

z=0是N-1階極點;（展開級數(shù)可以說明）特點：FIR濾波器的單位沖沖激響應(yīng)是有限長的，

因此是穩(wěn)定和容易實現(xiàn)線性相位。6.2.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的基本特性6

FIR濾波器的基本特性

7

對于長度為N的h(n)系統(tǒng)函數(shù)為：注意：

H

(ω)為ω的實函數(shù)，可能取負(fù)值；

|H(ejω)|稱為幅度響應(yīng)，總是正值；

相頻特性與濾波器對輸入信號產(chǎn)生

的時延有密切關(guān)系H

(ω)稱為幅頻函數(shù)，θ(ω)稱為相頻函數(shù)1、線性相位與廣義線性相位

8

線性相位廣義線性相位

線性相位是指θ(ω)是ω的線性函數(shù)，產(chǎn)生的相移是一常數(shù)，即：什么是線性相位（舉例：理想延遲系統(tǒng)）

910（舉例：理想延遲系統(tǒng)）等式中間和等式右邊的實部與虛部應(yīng)當(dāng)各自相等，同樣實部與虛部的比值應(yīng)當(dāng)相等:2、相位與h(n)的對稱性（1）線性相位與偶對稱11（討論）將上式兩邊交叉相乘，再將等式右邊各項移到左邊，應(yīng)用三角函數(shù)的恒等關(guān)系嚴(yán)格線性相位的條件12（討論）h(n)是以(N-1)/2偶對稱實序列，即：h(n)=h(N1n)13（2）廣義線性相位與奇對稱廣義線性相位的條件14（討論）h(n)是以(N-1)/2奇對稱實序列，即：

-h(n)=h(N1n)15h(n)是FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)，長度為N，則其系統(tǒng)函數(shù)為：特點：FIR濾波器的單位沖沖激響應(yīng)是有限長的，因此是穩(wěn)定和容易實現(xiàn)線性相位；線性相位是指θ(ω)是ω的線性函數(shù)，產(chǎn)生的相移是一常數(shù)

，相頻特性與濾波器對輸入信號產(chǎn)生的時延有密切關(guān)系。

線性相位FIR數(shù)字濾波器的基本特性[**]16

線性相位廣義線性相位幅頻函數(shù)相頻函數(shù)其中：或：17相延遲：群延遲：群延遲偏離某個常數(shù)的程度表明濾波器相位特性的非線性程度，線性相位和廣義線性相位都滿足群延遲是一個常數(shù)，即定義：2、相位與h(n)的對稱性[**]（1）線性相位對應(yīng)h(n)的偶對稱18h(n)是以(N-1)/2偶對稱實序列，即：h(n)=h(N1n)

(應(yīng)用三角函數(shù)的恒等關(guān)系)

h(n)是以(N-1)/2的偶對稱實序列，即：h(n)=h(N

1

n)19

線性相位的條件

h(n)的長度N又可分奇偶數(shù)（2）廣義線性相位對應(yīng)h(n)的奇對稱廣義線性相位的條件：20

h(n)是以(N-1)/2奇對稱實序列，即：

h(n)=-h(N1n)20線性相位FIR濾波器h(n)的四種時域特性2、偶對稱N為奇數(shù)1、偶對稱N為偶數(shù)4、奇對稱N為奇數(shù)3、奇對稱N為偶數(shù)21h(n)=h(N

1

n)h(n)=-h(N1n)由頻率響應(yīng)函數(shù)的級數(shù)展開

推導(dǎo)h(n)分別在偶對稱和奇對稱時的幅頻函數(shù)H(ω)

（討論）22線性相位一般形式23

FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

將上式右邊的級數(shù)展開：

24

合并同類項25

偶對稱情況：

h(n)=h(N

1

n)

（討論N分別為奇數(shù)和偶數(shù)時的幅頻函數(shù)）幅頻函數(shù)特點：(1)式中cosω

n項對ω

=0,

,

皆為偶對稱，則幅度特性對ω

=0,,

是偶對稱的。(2)可實現(xiàn)所有濾波特性（低通、高通、帶通、帶阻）。H(ω)=26（1）I

型

h(n)=h(N-n-1)，N為奇數(shù)[**](下面討論N為偶數(shù)時的幅頻函數(shù))幅頻函數(shù)特點：(1)由于奇對稱，所以H(ω)在ω=呈奇對稱；(2)當(dāng)ω=

時，故H()=0，即H(z)在z=1處有一零點，因此這種情況不能用于設(shè)計時的濾波器，即不能實現(xiàn)高通、帶阻濾波器。(下面討論N對稱幅頻函數(shù))27(2)II型h(n)=h(N-n-1)，N為偶數(shù)[**]幅頻函數(shù)特點：(1)幅頻函數(shù)H(ω)在ω

=0,,

呈奇對稱；(2)H(ω)在ω

=0、、2處值為0，即H(z)零點在z=1處，不能用于的濾波器設(shè)計，但可以實現(xiàn)帶通濾波器。2828(3)III型:

h(n)=-h(N-n-1)，N為奇數(shù)[**](下面討論N為偶數(shù)時的幅頻函數(shù))幅頻函數(shù)特點：(1)由于sin[ω(n-?)]在ω=0、2處都為0，因此H(ω)在ω=0，2處也為0，即H(z)在z=1處有零點；并對ω=0,2π呈奇對稱，故不能實現(xiàn)低通、帶阻濾波器。(2)由于sin[ω(n-?)]在ω=0、2處都呈奇對稱，對ω=呈偶對稱，故幅頻函數(shù)H(ω)在ω=0,也呈奇對稱，在ω=處呈偶對稱。2929(4)IV型:

h(n)=-h(N-n-1)，N為偶數(shù)[**]30I型h(n)=h(N-n-1)，N為奇數(shù)

II型h(n)=h(N-n-1)，N為偶數(shù)

III型h(n)=-h(N-n-1)，N為奇數(shù)

30III型h(n)=-h(N-n-1)，N為偶數(shù)

31四種線性相位FIR濾波器[**]I型：偶、奇，四種濾波器都可設(shè)計。II型：偶、偶，可設(shè)計低、帶通濾波器，不能設(shè)計高通和帶阻。III型：奇、奇，只能設(shè)計帶通濾波器，其它濾波器都不能設(shè)計。IV型：奇、偶，可設(shè)計高通、帶通濾波器，不能設(shè)計

低通和帶阻。4、FIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零點位置

32

（討論）

33④

zk在實軸上和單位圓上，則零點只有一個，或位于z=1或位于z=

1。②zk在實軸上，不在|z|=1上，則零點是互為倒數(shù)兩個實數(shù)零點。③當(dāng)zk不在實軸上，但在|z|=1上，由于共軛對的倒數(shù)是它們本身，故此時零點是一組共軛對。FIR濾波器的零點位置①zk既不在單位園上，也不在實軸上，有四個互為倒數(shù)的兩組共軛對。

I型h(n)=h(N-n-1)，N奇數(shù)II型h(n)=h(N-n-1)，N偶數(shù)III型h(n)=-h(N-n-1)，N奇數(shù)34IV型h(n)=-h(N-n-1)，N偶數(shù)對于第四種濾波器，h(n)奇對稱，N為偶數(shù)，H(0)=0，所以z=1是H（z）的單根。所以h(n)奇對稱→H(0)=0,N為偶數(shù)→H(π)=0；不能設(shè)計低通和帶阻。同樣道理，對于第三種FIR濾波器，h(n)奇對稱，N為奇數(shù)，因

所以z=1，z=-1都是H（z）的單根；只能設(shè)計帶通濾波器我們從幅度響應(yīng)的討論中已經(jīng)知道，對于第二種FIR濾波器（h(n)偶對稱，N為偶數(shù)），，即

是的零點，既在單位圓，又在實軸，所以，必有單根；不能設(shè)計高通和帶阻。356.2.2IIR濾波器的基本特性

()

1.IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)與極-零分布36

2.IIR濾波器的相位特性1．性能方面：FIR濾波器優(yōu)點：可以得到嚴(yán)格的線性相位。缺點：由于濾波器傳輸函數(shù)的極點固定在原點，所以只能用較高階數(shù)的濾波器達(dá)到性能指標(biāo)。IIR濾波器：極點可位于單位圓內(nèi)任何地方。優(yōu)點：較低階數(shù)濾波器實現(xiàn)，存儲單元少，所以經(jīng)濟(jì)且效率高；缺點：相位是非線性的，往往可選擇性越好，相位非線性越嚴(yán)重。6.2.3FIR和IIR數(shù)字濾波器的比較

FIR一般采用非遞歸型結(jié)構(gòu)，由于FIR的單位沖激響應(yīng)h(n)有限長，可采用FFT運算，其運算速度快，誤差小；

IIR濾波器往往對應(yīng)遞歸型結(jié)構(gòu)，極點要控制在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)才確保穩(wěn)定，缺點是有限字長效應(yīng)時，容易產(chǎn)生寄生振蕩。2．結(jié)構(gòu)方面：3.應(yīng)用方面：在語音通信中，對相位線性特性要求不高，可以選用經(jīng)濟(jì)高效的IIR濾波器實現(xiàn)；而在圖像通信中，對相位的線性特性要求較高，則要用稍為復(fù)雜的FIR濾波器來實現(xiàn)。

FIR濾波器能適應(yīng)某些特殊的應(yīng)用，如構(gòu)成微分器或積分器，因而適應(yīng)性更大，范圍更廣。

IIR設(shè)計較簡單，主要應(yīng)用于設(shè)計具有片斷常數(shù)特性的濾波器，如低通、高通、帶通及帶阻等濾波器。例：如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為(1)判斷該系統(tǒng)是否具有線性相位，說明理由。(2)求出該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。h(n)1