2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊3.7二次函數(shù)與一元二次方程第2課時(shí)教案

2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊3.7二次函數(shù)與一元二次方程(第2課時(shí)）教案授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，包括如何將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，以及如何通過一元二次方程求解二次函數(shù)的零點(diǎn)。

2.教學(xué)內(nèi)容與九年級(jí)學(xué)生已有知識(shí)緊密聯(lián)系，學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的定義、圖像及性質(zhì)，以及一元二次方程的求解方法。本節(jié)課將這兩部分知識(shí)結(jié)合起來，使學(xué)生能夠更好地理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。本節(jié)課內(nèi)容來源于2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第三章第七節(jié)，具體包括二次函數(shù)的一般式與頂點(diǎn)式之間的轉(zhuǎn)換，以及通過一元二次方程求解二次函數(shù)的零點(diǎn)等。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。通過將二次函數(shù)與一元二次方程相結(jié)合，學(xué)生將提升對數(shù)學(xué)模型的理解和運(yùn)用，能夠?qū)?shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。此外，通過探究二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像，學(xué)生將增強(qiáng)空間想象力和數(shù)據(jù)分析能力，為未來學(xué)習(xí)更高級(jí)數(shù)學(xué)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了二次函數(shù)的基本概念、圖像特點(diǎn)以及一元二次方程的求解方法。他們對二次函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)等性質(zhì)有一定的理解，并能夠繪制簡單的二次函數(shù)圖像。

2.九年級(jí)的學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯思維和學(xué)習(xí)興趣，他們喜歡探索數(shù)學(xué)問題，對圖形和方程有較高的好奇心。在能力上，學(xué)生能夠獨(dú)立完成基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，具備一定的解題技巧和問題解決能力。在風(fēng)格上，學(xué)生傾向于通過實(shí)例和練習(xí)來加深理解，喜歡直觀和互動(dòng)的學(xué)習(xí)方式。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：

-對二次函數(shù)與一元二次方程之間關(guān)系的理解可能不夠深入，需要通過具體例子來強(qiáng)化。

-在將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式時(shí)，可能會(huì)混淆配方法的步驟，需要通過練習(xí)來熟練掌握。

-在求解二次函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，可能會(huì)在一元二次方程的求解過程中出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，需要加強(qiáng)計(jì)算能力和檢查習(xí)慣。

-對于一些復(fù)雜的二次函數(shù)問題，學(xué)生可能缺乏解題策略和思路，需要教師的引導(dǎo)和啟發(fā)。教學(xué)資源-教科書（2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊）

-黑板和粉筆

-投影儀或智能板

-二次函數(shù)圖像模型

-練習(xí)題和作業(yè)紙

-計(jì)算器

-教學(xué)PPT

-在線數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)平臺(tái)（如學(xué)校指定的教學(xué)系統(tǒng)）教學(xué)實(shí)施過程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過在線平臺(tái)發(fā)布預(yù)習(xí)資料，包括本節(jié)課的PPT和預(yù)習(xí)指南，明確要求學(xué)生預(yù)習(xí)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，特別是頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)換。

-設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題：設(shè)計(jì)問題如“如何從二次函數(shù)的一般式推導(dǎo)出頂點(diǎn)式？”“一元二次方程的解與二次函數(shù)的零點(diǎn)有何關(guān)聯(lián)？”

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過平臺(tái)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)功能監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，對進(jìn)度慢的學(xué)生進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生根據(jù)預(yù)習(xí)指南，閱讀相關(guān)內(nèi)容，理解二次函數(shù)與一元二次方程的基本關(guān)系。

-思考預(yù)習(xí)問題：針對預(yù)習(xí)問題進(jìn)行思考，嘗試用自己的語言解釋問題，記錄疑問。

-提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將預(yù)習(xí)筆記和思考的答案通過在線平臺(tái)提交。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：鼓勵(lì)學(xué)生自主探索，培養(yǎng)獨(dú)立思考能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)資源的有效共享。

-作用與目的：為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，讓學(xué)生對重難點(diǎn)有初步理解。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

-導(dǎo)入新課：通過一個(gè)實(shí)際生活中的例子，如投籃時(shí)籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡，引出二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。

-講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解二次函數(shù)的頂點(diǎn)式推導(dǎo)過程，通過例題演示如何將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式。

-組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論活動(dòng)，讓學(xué)生合作探討二次函數(shù)的圖像變化與一元二次方程的根的關(guān)系。

-解答疑問：對學(xué)生在學(xué)習(xí)和討論中提出的問題進(jìn)行解答。

學(xué)生活動(dòng)：

-聽講并思考：學(xué)生認(rèn)真聽講，跟隨老師的思路思考問題。

-參與課堂活動(dòng)：積極參與小組討論，通過合作學(xué)習(xí)深化理解。

-提問與討論：對不懂的問題提出疑問，與同學(xué)和老師討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過講解，幫助學(xué)生理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。

-實(shí)踐活動(dòng)法：通過小組討論，讓學(xué)生在實(shí)踐中學(xué)習(xí)如何應(yīng)用知識(shí)。

-合作學(xué)習(xí)法：培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神，提高溝通能力。

作用與目的：突破本節(jié)課的重難點(diǎn)，即二次函數(shù)的頂點(diǎn)式轉(zhuǎn)換和與一元二次方程的關(guān)系。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

-布置作業(yè)：布置針對性的練習(xí)題，包括二次函數(shù)的圖像分析和一元二次方程的根的求解。

-提供拓展資源：提供相關(guān)的數(shù)學(xué)網(wǎng)站鏈接，讓學(xué)生進(jìn)一步探索二次函數(shù)的應(yīng)用。

-反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，對學(xué)生的作業(yè)情況進(jìn)行反饋。

學(xué)生活動(dòng)：

-完成作業(yè)：學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)，鞏固課堂所學(xué)。

-拓展學(xué)習(xí)：利用老師提供的資源進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，拓寬知識(shí)面。

-反思總結(jié)：對作業(yè)中的錯(cuò)誤進(jìn)行反思，總結(jié)學(xué)習(xí)方法和解題技巧。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：鼓勵(lì)學(xué)生自主完成作業(yè)，培養(yǎng)自我學(xué)習(xí)能力。

-反思總結(jié)法：通過反思總結(jié)，提高學(xué)生的自我監(jiān)控和調(diào)整能力。

作用與目的：通過作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)，鞏固和深化學(xué)生對二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的理解，提高解決問題的能力。拓展與延伸1.拓展閱讀材料

-《二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用》：深入探討二次函數(shù)的各種性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性等，并介紹二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

-《一元二次方程的解法研究》：詳細(xì)解析一元二次方程的求解方法，包括配方法、公式法、圖像法等，并探討各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

-《數(shù)學(xué)之美——二次函數(shù)與自然界》：介紹二次函數(shù)在自然界中的廣泛應(yīng)用，如拋物線運(yùn)動(dòng)、生長規(guī)律等，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與自然的聯(lián)系。

-《數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練——二次函數(shù)問題解決》：通過一系列具有挑戰(zhàn)性的二次函數(shù)問題，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題技巧。

2.課后自主學(xué)習(xí)和探究

-探索二次函數(shù)的圖像變化：學(xué)生可以自主繪制不同參數(shù)的二次函數(shù)圖像，觀察參數(shù)變化對圖像的影響，如頂點(diǎn)位置、開口方向等。

-二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用：學(xué)生可以收集生活中的實(shí)際問題，嘗試用二次函數(shù)模型來描述和解決問題，如物體拋射、投資收益等。

-一元二次方程的根與二次函數(shù)的交點(diǎn)：學(xué)生可以通過計(jì)算和繪圖，探究一元二次方程的根與二次函數(shù)圖像交點(diǎn)之間的關(guān)系。

-二次函數(shù)的性質(zhì)探究：學(xué)生可以自主選擇一個(gè)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行深入研究，如最值問題、對稱性問題等，并撰寫研究報(bào)告。

-數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：學(xué)生可以進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，如使用物理實(shí)驗(yàn)器材模擬拋物線運(yùn)動(dòng)，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證二次函數(shù)的性質(zhì)。

-數(shù)學(xué)競賽題目：鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，挑戰(zhàn)更高難度的二次函數(shù)問題，提高解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

-在線學(xué)習(xí)平臺(tái)：利用學(xué)校指定的在線學(xué)習(xí)平臺(tái)，學(xué)生可以觀看額外的教學(xué)視頻，參與在線討論，與同學(xué)交流學(xué)習(xí)心得。典型例題講解例題1：將二次函數(shù)的一般式\(y=x^2-4x+3\)轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式。

解：通過配方法，我們可以將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式。首先，找到一次項(xiàng)系數(shù)的一半，即\(-4/2=-2\)，然后平方得到\(4\)。接著，將這個(gè)平方項(xiàng)添加到原方程中，并從常數(shù)項(xiàng)中減去同樣的數(shù)，保持等式不變：

\[y=x^2-4x+4-1\]

\[y=(x-2)^2-1\]

所以，頂點(diǎn)式為\(y=(x-2)^2-1\)。

例題2：已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-2)，求該二次函數(shù)的一般式。

解：由于頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-2)，頂點(diǎn)式可以直接寫為：

\[y=a(x-3)^2-2\]

為了找到\(a\)的值，我們需要另一個(gè)點(diǎn)。假設(shè)我們知道當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=1\)，代入頂點(diǎn)式得：

\[1=a(0-3)^2-2\]

\[1=9a-2\]

\[9a=3\]

\[a=\frac{1}{3}\]

所以，一般式為\(y=\frac{1}{3}(x-3)^2-2\)。

例題3：求解二次函數(shù)\(y=-2x^2+4x+2\)的零點(diǎn)。

解：為了找到零點(diǎn)，我們需要解一元二次方程\(-2x^2+4x+2=0\)。使用配方法或公式法，我們得到：

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

\[x=\frac{-4\pm\sqrt{16-4(-2)(2)}}{2(-2)}\]

\[x=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{-4}\]

\[x=\frac{-4\pm2\sqrt{6}}{-4}\]

\[x=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}\]

所以，零點(diǎn)為\(x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2}\)和\(x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}\)。

例題4：已知二次函數(shù)的圖像開口向下，且頂點(diǎn)在x軸上，求該二次函數(shù)的一般式。

解：由于頂點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)的y坐標(biāo)為0。設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,0)，則頂點(diǎn)式為\(y=a(x-h)^2\)。因?yàn)閳D像開口向下，所以\(a<0\)。假設(shè)我們知道當(dāng)\(x=1\)和\(x=3\)時(shí)，\(y\)的值都為0，代入頂點(diǎn)式得：

\[0=a(1-h)^2\]

\[0=a(3-h)^2\]

由于\(a\neq0\)，我們得出\(h=1\)和\(h=3\)。但是，這不可能，因?yàn)轫旤c(diǎn)只能有一個(gè)。這意味著頂點(diǎn)實(shí)際上在\(x=2\)的位置，因此\(h=2\)。我們可以選擇任意一個(gè)點(diǎn)來解\(a\)，比如\(x=0\)時(shí)，\(y=-1\)：

\[-1=a(0-2)^2\]

\[-1=4a\]

\[a=-\frac{1}{4}\]

所以，一般式為\(y=-\frac{1}{4}(x-2)^2\)。

例題5：二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,2)和(2,5)，且頂點(diǎn)在y軸上，求該二次函數(shù)的一般式。

解：由于頂點(diǎn)在y軸上，頂點(diǎn)的x坐標(biāo)為0。這意味著\(b=0\)，因此二次函數(shù)簡化為\(y=ax^2+c\)?，F(xiàn)在我們有兩個(gè)方程：

\[2=a(1)^2+c\]

\[5=a(2)^2+c\]

\[2=a+c\]

\[5=4a+c\]

解這個(gè)方程組，我們得到\(a=1\)和\(c=1\)。所以，一般式為\(y=x^2+1\)。教學(xué)評價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：觀察學(xué)生在課堂上的參與度和積極性，包括提問、回答問題、參與討論等，以評估學(xué)生對二次函數(shù)與一元二次方程的理解程度。

2.小組討論成果展示：評估學(xué)生在小組討論中的合作能力和解決問題的能力，通過展示討論成果，了解學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。

3.隨堂測試：通過隨堂測試，評估學(xué)生對二次函數(shù)與一元二次方程的基礎(chǔ)知識(shí)和技能的掌握程度，以及解題能力的提高情況。

4.課后作業(yè)：評估學(xué)生對課后作業(yè)的完成情況，包括正確率、解題思路、解答過程的規(guī)范性等，以了解學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的鞏固和應(yīng)用情況。

5.教師評價(jià)與反饋：針對學(xué)生在課堂表現(xiàn)、小組討論、隨堂測試和課后作業(yè)中的表現(xiàn)，教師進(jìn)行及時(shí)的評價(jià)和反饋，指出學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)和不足，提供改進(jìn)建議，幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效果。同時(shí)，教師根據(jù)學(xué)生的反饋，調(diào)整教學(xué)方法和策略，以提高教學(xué)質(zhì)量。板書設(shè)計(jì)①二次函數(shù)的一般式與頂點(diǎn)式的關(guān)系：展示二次函數(shù)的一般式\(y=ax^2+bx+c\)和頂點(diǎn)式\(y=a(x-h)^2+k\)，并說明如何通過配方法將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式。

②一元二次方程的解法：列出解一元二次方程的方法，包括配方法、公式法、圖像法等，并簡要說明每種方法的步驟和適用條件。

③二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)：展示二次函數(shù)的圖像，并標(biāo)注出頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向等關(guān)鍵要素，同時(shí)列舉二次函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性等。教學(xué)反思與總結(jié)教學(xué)反思：

今天的教學(xué)過程讓我對學(xué)生的理解能力和學(xué)習(xí)態(tài)度有了更深的認(rèn)識(shí)。在教學(xué)方法上，我嘗試了多種方式來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，例如通過生活中的實(shí)例引入二次函數(shù)的概念，以及通過小組討論來加深學(xué)生對一元二次方程解法的理解。我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在面對實(shí)際問題時(shí)的學(xué)習(xí)興趣更濃，也更愿意主動(dòng)參與討論和思考。

在教學(xué)策略上，我注重了理論與實(shí)踐的結(jié)合，通過實(shí)例和練習(xí)來鞏固學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的理解。例如，在講解二次函數(shù)的頂點(diǎn)式時(shí)，我不僅講解了推導(dǎo)過程，還讓學(xué)生通過實(shí)際計(jì)算來驗(yàn)證和理解。這種方式有效地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

在教學(xué)管理上，我注重了課堂紀(jì)律和學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)。例如，我要求學(xué)生在課堂上保持專注，積極參與討論，并在課后認(rèn)真完成作業(yè)。我發(fā)現(xiàn)，良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣對學(xué)生的學(xué)習(xí)效果有著重要的影響。

教學(xué)總結(jié)：

本節(jié)課的教學(xué)效果總體來說是比較好的。學(xué)生在課堂上積極參與，對二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系有了更深的理解，同時(shí)也掌握了一些基本的