2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測(cè)《圓》及答案解析

中考?jí)狠S題-圓12.在圓中解三角形或四邊形的常用思路形中求出一些中間量。題型題型題型1題型題型題型題型題型題型題型1(2024·黑龍江哈爾濱·一模)已知，ADBC為⊙O兩條弦，AD⊥BC于點(diǎn)EOEAE=CE．(1)如圖1OE∠AEO的度數(shù)；(2)如圖2ACEO交AC于點(diǎn)NF為ACEFEF上方作等腰直角三角形EFG∠EGF=90°NG：NG∥BC；(3)在(2)ABCDG落在線(xiàn)段ABO做OL⊥OECD于點(diǎn)LCE于點(diǎn)TOE=62,EG=2CL⊙O半徑的長(zhǎng)．(1)45°(2)見(jiàn)詳解(3)65(1)連接OA,OC明△AEO≌△CEO即可；(2)過(guò)點(diǎn)G作GR⊥GN交EN于點(diǎn)R△GER≌△GFNGR=GN，所以∠GNR=∠GRN=45°∠GNR=∠NECGN∥BC．(3)過(guò)G作GR⊥GN交NE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)ROD,OCOK⊥CD于點(diǎn)KOH⊥CE于點(diǎn)H12明△ABE≌△CDE∴EG=CDCL=a,EG=2a,AB=CD=4a,DL=3aOD=OC=22a，OK=DK=2a,KL=a出∠KOL=∠OCTtan∠KOL=tan∠OCT，最后在Rt△OCH中運(yùn)用勾股定理求OC=65．(1)連接OA,OC，∵OA,OC為⊙O半徑，∴OA=OC，∵EA=EC,OE=OE，∴△AEO≌△CEO，∴∠AEO=∠CEO，∵AD⊥BC，∴∠AEC=90°，212∴∠AEO=∠CEO=∠AEC=45°；(2)G作GR⊥GN交EN于點(diǎn)R，∴∠RGN=90°，∴∠RGN=∠EGF，∴∠RGN-∠RGF=∠EGF-∠RGF，∴∠EGR=∠FGNAE=CE,∠AEN=∠CEN，∴EN⊥AC,AN=CN，∴∠ENC=90°，∴∠ENC=90°=∠EGF，∴∠GEN=∠GFN，又∵GE=GF，∴△GER≌△GFN，∴GR=GN，∴∠GNR=∠GRN=45°，∴∠GNR=∠NEC，∴GN∥BC．(3)過(guò)G作GR⊥GN交NE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)ROD,OCOK⊥CD于點(diǎn)KOH⊥CE于點(diǎn)H，由(2)得△GFN≌△GERGN∥BC，ANCNAGBG∴=，∵AN=CN，∴AG=BG∠AEB=90°，12∴EG=AB,∠BAD=∠BCD,AE=CE,∠AEB=∠CED，∴△ABE≌△CDE，∴AB=CD，1∴EG=CD，2設(shè)CL=a,EG=2a,AB=CD=4a,DL=3a∠EAC=90°-∠AEN=45°，∴∠DOC=90°，∴∠DOK=∠COK=45°，∴∠ODC=∠OCD=45°，則OD=OC=22aOK=DK=2a,KL=a，12在Rt△OKL中，tan∠LOK=，∵OL⊥OE，∴∠EOL=90°，∴∠OED=∠OTE=45°，∵∠KOL+∠LOC=45°∠OCT+∠LOC=45°，∴∠KOL=∠OCT，∴tan∠KOL=tan∠OCT，∵OE=62,OH=6,HC=12，在Rt△OCH中，OC=OH+HC2∴OC=65．，32(2024·黑龍江哈爾濱·一模)已知：AB為⊙OC為ABACD為BC上一ADD作ABF⊙O于點(diǎn)ECEAD和AB于點(diǎn)H和點(diǎn)K，且∠AHE=90°．(1)如圖1：∠CAD=∠BAD；(2)如圖2HFH作HF的垂線(xiàn)交AB于點(diǎn)T：AB=2FT；(3)如圖3(2)BC交AD于點(diǎn)GCD交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)MCM=AGFT=5，求CG的長(zhǎng)．(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解83(3)(1)證明△AHC∽△AFD(2)連接BC△AHC≌△AHKASACH=KH,∠ACH=∠AKH明△TKH∽△FDH∠HTK=∠HFDHF=DF∠THK=∠ACHACTHCKHK2HKHK出AC∥TH△AKC∽△TKH===2△ABC∽△TFH論；(3)連接GKM作CBN明△AHC≌△AHKASACH=KH,AC=AK，進(jìn)而推出∠ACG=∠AKG△GAK≌△MCNAASAC=AK=CNGK=MN=CG△GBK≌△MBNAASBK=BNBK=BN=aAK=AC=CN=10-a,CB=10-2aBK=2,AC=8,BC=6CG=GK=mGB=6-m(1)解：∵AB⊥DE，∴∠AFD=90°∵∠AHE=90°∠C=∠D∴△AHC∽△AFD∴∠CAD=∠DAB；(2)2BC，由(1)知∠CAD=∠DAB，∵∠AHK=∠AHC=90°,AH=AH，∴△AHC≌△AHKASA，∴CH=KH,∠ACH=∠AKH，∵∠BAD+∠AKH=∠BAD+∠ADF=90°，∴∠ADF=∠AKH，∵TH⊥FH，∴∠THK+∠FHK=∠FHK+∠FHD=90°，∴∠THK=∠FHD，4∴△TKH∽△FDH，∴∠HTK=∠HFD，∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，∠EHD=90°，∴HF=DF，∴∠FHD=∠FDH，∴∠THK=∠TKH，∵∠TKH=∠ACH，∴∠THK=∠ACH，∴AC∥TH，∴△AKC∽△TKHACTHCKHK2HKHK∴===2∵AC∥TH∴∠CAB=∠HTB，∵∠ACB=∠THF=90°∴△ABC∽△TFHABTFACTH∴==2∴AB=2FT；(3)3GK點(diǎn)M作CBN，∵∠CAD=∠BAD,∠AHC=∠AHK=90°,AH=AH∴△AHC≌△AHKASA∴CH=KH,AC=AK∴∠ACK=∠AKC∴CG=GK∴∠GCK=∠GKC∴∠ACK+∠GCK=∠AKC+∠GKC∴∠ACG=∠AKG∵AB是⊙O直徑∴∠ACB=∠AKG=∠GKB=90°∵∠AKG=∠CNM=90°∠GAK=∠MCN,AG=CM∴△GAK≌△MCNAAS∴AC=AK=CN∴GK=MN=CG∵∠GKB=∠MNB=90°,∠GBK=∠MBN∴△GBK≌△MBNAAS∴BK=BN∵TF=5AB=2FT，∴AB=10OA=OB=5，設(shè)BK=BN=aAK=AC=CN=10-a,CB=10-2a在Rt△ABC中，AC+BC=AB2即10-a+10-2a=102∴a=2或a=10(舍去)∴BK=2,AC=8,BC=6設(shè)CG=GK=mGB=6-m，5在Rt△GKB中，GK即m+2=6-m2+BK=GB283∴m=83∴CG=．形．3(2024·黑龍江哈爾濱·一模)如圖1⊙OAB垂直弦CD于點(diǎn)GADC作CF⊥AD于FAB于點(diǎn)H⊙O于點(diǎn)EDE．(1)如圖1：∠E=2∠C；(2)如圖2：DE=CH；(3)如圖3BEADCD于點(diǎn)MNOH=2OGHF=10EN的長(zhǎng)．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)12(1)連接AC(2)連接BC(等弧)BC=CHBC=DE；(3)根據(jù)已知設(shè)出OG和OH(2)表示BGx表示半徑CH,BE△BGN∽△BEA(1)AC，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，∴BC=BD∠BAD+∠ADG=90°1212∴∠CAB=∠BAD=∠CAD=∠CED，∵AF⊥CE，∴∠ECD+∠ADG=90°，∴∠ECD=∠BAD，∴∠E=2∠DCE；(2)連接BC，∵AB⊥CD,CE⊥AD，∴∠ECD+∠CHG=∠ECD+∠CDF=90°，6∴∠CHG=∠ADC，又∵∠ADC=∠B，∴∠CHG=∠B，∴CH=CB，由(1)知：∠E=2∠ECD，∴CD=2DE，∵CD=2BC，∴DE=BC，∴DE=BC=CH；(3)連接OC,AE：∠AEB=90°，∵OH=2OG，∴設(shè)OG=xOH=2x，∴HG=OH+OG=3x，由(2)知，BC=CH，∵AB⊥CD，∴BG=GH=3x，∴OB=BG+OG=4x，∴OC=4xAB=8xAH=2x，∵∠CHB=∠AHE,∠CBH=∠CEA∠CHB=∠CBH，∴∠AHE=∠CEA，∴AE=AH=2x，∴Rt△ABE中，BE=AB-AE2=215x，Rt△OGC中，CG=OC-OG2=15x，Rt△HGC中，CH=CG+GH2=26x，∵DE=BC=BD，∴∠BAD=∠DCE，HFAHHGCH∴sin∠BAD=sin∠DCE：=，102x3x26x∴=，2153∴x=，16153∴BE=215x=20BG=3x=215,AB=8x=，∵∠ABE=∠GBN,∠BGN=∠AEB=90°，∴△BGN∽△BEA，BNABBGBE∴=，3215×BG?AB∴BN===8，BE20∴EN=BE-BN=12．4(2024·浙江·模擬預(yù)測(cè))如圖1△ABC內(nèi)接于⊙OAD⊥BC于點(diǎn)D．7(1)連結(jié)AOBO．求證：∠AOB+2∠DAC=180°；(2)如圖2E為弧ACBE交AD于點(diǎn)F∠BAD=2∠CAD∠DBF+4∠CAD=90°，連結(jié)OF：OF平分∠AFB；(3)在(2)3G為BCEG∠BGE=2∠C．若AD=6BD+EG=3DF的長(zhǎng)．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析6(3)6】(1)AD⊥BC(2)先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，得∠ABF=∠BAD=2αBF=AF△AOF≌△BOFSSS(3)∠AEB=90°-α∠BAE=90°-αAB=BE△ABD≌△BEMAASME=BDEG=ENMN=ME63ME6+EN=3∠MBE=∠MNBBMN=∠BMN=90°△BME∽△NMB=ME=2(1)證明：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠C+∠DAC=90°，∴2∠C+2∠DAC=180°，∵∠AOB=2∠C，∴∠AOB+2∠DAC=180°；(2)∠CAD=α，∵∠BAD=2∠CAD∠DBF+4∠CAD=90°，∴∠BAD=2α∠FBD=90°-4α，∴∠BFD=4α，∴∠ABF=∠BAD=2α，∴BF=AF，∵OB=OAOF=OF，∴△AOF≌△BOFSSS，∴∠BFO=∠AFO，∴OF平分∠AFB；(3)AEE作EM⊥AB于點(diǎn)M交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，8由(2)得，∠ACB=90°-α，∴∠AEB=90°-α，∵∠ABF=∠BAD=2α，∴∠ABE=2α，∵∠BGE=2∠C∠C=90°-α，∴∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=90°-α∠BGE=180°-2α，∴∠BEA=∠BAE∠EGC=2α，∴AB=BE，∵∠BAD=∠ABE∠BME=∠ADB=90°，∴△ABD≌△BEMAAS，∴ME=BDAD=MB=6∠MEB=∠DBA=90°-2α，∵∠EBN=90°-4α，∴∠N=2α，∴∠EGC=∠ENG，∴EG=EN，∵BD+EG=3，∴MN=ME+EN=3，∵∠MBE=∠MNBBMN=∠BMN=90°，∴△BME∽△NMB，BMNM6MEMB∴∴=，ME=，36∴ME=2，∴ME=BD=2，∵BD+DF=BF2，∴2+DF=6-DF2，66∴DF=.解題的關(guān)鍵．題型5(2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè))ABCD內(nèi)接于⊙OAC為⊙O的直徑，DE⊥AC于點(diǎn)F交BC于點(diǎn)E．(1)設(shè)∠DBC=αα的代數(shù)式表示∠ADE；9BDDE(2)如圖2BE=3CE的值；FGCF(3)在(2)AC,BD交于點(diǎn)G=xcos∠BDE=y．①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．②若BC=BDy的值．(1)90°-α(2)221116(3)①y=②x+1(1)BDDE(2)圓周角定理得到∠ADC=90°=∠AFD∠DAC=∠CDF△DCE∽△BCD=BCCDCDCE=CE=aCDCECHCFCGEFGHGHDE(3)①過(guò)點(diǎn)G作GH∥DE△CEF∽△CHG,△BHG∽△BED==,=BHBEBGBDFGCFx34x3x+1DFDG==xBE=3CEDG=BDDF=?DEy=cos∠BDE=BDDE結(jié)合=2進(jìn)行求解即可；②作EW⊥BD于WBD=4CE,DE=2CECE=aDW=mm=118DWDEay=cos∠BDE=求解即可．(1)解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DAC=∠CBD=α，∵DE⊥AC，∴∠AFD=90°，∴∠ADE=90°-∠DAC=90°-α；(2)∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°=∠AFD，∴∠DAC=∠CDF=90°-∠ADF，∵∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠CDF，∵∠DCE=∠BCD，∴△DCE∽△BCD，BDDEBCCDCDCE∴==，∵BE=3CE，∴設(shè)CE=a：BE=3a，∴BC=4a，∴CD=BC?CE=4a?a=4a2，∴CD=2a(負(fù)值舍去)；BDDEBCCD4a2a∴===2；(3)①過(guò)點(diǎn)G作GH∥DE，則：△CEF∽△CHG,△BHG∽△BED，CECHCFCGEFGHGHDEBHBEBGBD∴==,==，10FGCFCECH∵∴=xBE=3CE，EFGH11==BC=4CE，x+1∴EF=GHCH=x+1CE，x+1∴BH=BC-CH=4CE-x+1CE=3-xCE，∵BE=3CE，BGBDGHDE3-x3BHBE3-x33-x3∴===，∴GH=DEBG=BD，x313-x3x+1∴DG=BD-BG=BDEF=GH=?DE，x+14x3x+1∴DF=DE-EF=?DE，x3x+1?DEDFDG∴y=cos∠BDE==，xBD3BDDE由(2)知：=2，x3x+12∴y==；x3x+1?2EW⊥BD于W，∵BC=BD,BD=2DE,BC=4CE，∴BD=4CE,DE=2CE，設(shè)CE=aDW=m：BD=4a,DE=2a,BE=3aBW=BD-DW=4a-m，∵EW=DE-DW=BE-BW2，∴4a-m=9a-4a-m2，118解得：m=a，82aaDWDE1116∴y=cos∠BDE===．6(2024·廣東珠海·一模)如圖1F為正方形ABCD邊BCAFAF上取一點(diǎn)OOA為半徑作圓，恰好使得⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且與CD相切于點(diǎn)E．11(1)若正方形的邊長(zhǎng)為4⊙O的半徑；(2)如圖2AF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°⊙O交于點(diǎn)GCD交于點(diǎn)HDG，BG．①求∠ADG的度數(shù)；②求證：AB·BF+AG·FG=BG2．52(1)(2)①45°②證明見(jiàn)解析(1)連接OBOEAF是⊙OOE⊙O的半徑為rFC=2r-4BF=8-2rAF=2rRt△ABF列方程求解即可得到答案；(2)①連接BD交⊙O于H旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及圓周角定理得到BG與BD得到答案；②過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC于MGN⊥AB于NBMGN腰直角三角形的判定全等的判定與性質(zhì)BMGN的邊長(zhǎng)為aAN=FM=bAB=BN+AN=a+bBF=BM-FM=a-bRt△GMFGF=a+b2Rt△GMBGB=2a2(1)OBOE∴OA=OBOE⊥DC，∴∠BAC=∠OBAOE∥AD∥BC，在正方形ABCD中，∠ABF=90°∠BAC+∠AFB=90°∠OBA+∠OBF=90°，∴∠OBF=∠OFBOB=OFOA=OB=OF，∴O為AF的中點(diǎn)，∵OE∥AD∥BC，DECEOAOF∴==1E是DC中點(diǎn)，12∴OEOE=AD+FC，設(shè)⊙O的半徑為rFC=2r-4，∴BF=4-FC=8-2rAF=2r，52在Rt△ABFAB+BF=AF24+8-2r=2r2r=；(2)BD交⊙O于I在正方形ABCD中，∠ABD=45°，∵AF是⊙OAF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到AH，∴∠FAH=45°,∠AGF=90°，∴∠AFG=45°，∵AG=AG，12∴∠ABG=∠AFG=45°，∴BG與BD∠ADG=45°；②過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC于MGN⊥AB于N∴四邊形BMGN是矩形，由①知∠ABG=45°∠GBF=45°，∴△BMGMG=MB，∴四邊形BMGN是正方形，∴GN=GM，由①知△AGFGA=GF，∴Rt△GNA≌Rt△GMFHL，∴AN=FM，設(shè)正方形BMGN的邊長(zhǎng)為aAN=FM=bAB=BN+AN=a+bBF=BM-FM=a-b，在Rt△GMFGF=GM+FM=a+b2，在Rt△GMBGB=GM+BM=a+a=2a2AB·BF+AG·FG，=AB·BF+FG·FG=a+ba-b+a+b2=2a2=BG2，∴AB·BF+AG·FG=BG2．題型7(2024·廣東·一模)綜合探究：AB=10AB為直徑作半圓OOA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OCA的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)停止．連接BC并延長(zhǎng)到點(diǎn)DCD=BCD作DE⊥AB于點(diǎn)EAD，AC．(1)如圖1E與點(diǎn)O△ABD(2)如圖2OE=1BC的長(zhǎng)；(3)如圖3P是線(xiàn)段ADPCPC與半圓OPC與AD說(shuō)明理由．(1)△ABD(2)BC的長(zhǎng)為30或2513(3)PC⊥AD．理由見(jiàn)解析(1)由圓周角定理得到AC⊥BCCD=BC和等腰三角形性質(zhì)推知AD=AB=10性質(zhì)得到AD=BD(2)E在線(xiàn)段AO和線(xiàn)段OBBC的長(zhǎng)度；(3)由三角形中位線(xiàn)定理知OC∥ADPC⊥OC(1)△ABD如圖1∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，又∵CD=BC，∴AD=AB=10，∵點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，∴AE=BE，∵DE⊥AB，∴AD=BD，∵AD=AB，∴AD=AB=DB，∴△ABD是等邊三角形；(2)∵AB=10，∴AO=BO=5，當(dāng)點(diǎn)E在AO上時(shí)，則AE=AO-OE=4BE=BO+OE=6，∵AD=10DE⊥AO，∴在Rt△ADE和Rt△BDE中，由勾股定理得AD-AE=BD-BE2，即10-4=BD-62，解得BD=230，1∴BC=BD=30；2當(dāng)點(diǎn)E在OB10-6=BD-42，解得BD=45，1∴BC=BD=25；2綜上所述，BC的長(zhǎng)為30或25；(3)PC⊥AD．理由如下：如圖3OC．∵點(diǎn)C是BDO是AB的中點(diǎn)，∴OC是△ABD的中位線(xiàn)，∴OC∥AD又∵PC與半圓O相切，∴PC⊥OC∴PC⊥AD．E的位置正確分類(lèi)是解題的關(guān)鍵．148(2024·浙江湖州·一模)?ABCD中，∠B是銳角，AB=62BC=10BA上取一點(diǎn)PP作PE⊥BC于點(diǎn)EPEC三點(diǎn)作⊙O．3(1)當(dāng)cosB=時(shí)，5①如圖1AB與⊙O相切于點(diǎn)PCPCP的長(zhǎng)；②如圖2⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D⊙O的半徑長(zhǎng)．(2)如圖3⊙O與射線(xiàn)BA交于另一點(diǎn)F△BEF沿EFB的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為恰好同時(shí)落在⊙O和邊ADPA的長(zhǎng)．(1)①CP=8②⊙O的半徑長(zhǎng)為34；32(2)PA=2．(1)①利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠BPC=90°BP可；②連結(jié)PDPCPC是⊙O(2)過(guò)點(diǎn)F作FM⊥DA交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M結(jié)CFCPPC∠PFC=90°得BF和AF=6．再求得平行四邊形BC邊上的高NEPN=AN=x股定理即可求解．(1)解∵PE⊥BC∠PEC=90°，∴CP是⊙O的直徑，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)P，∴∠BPC=90°．35∵cosB=BC=10，∴BP=BC?cosB=6，CP=BC-BP2=8PDPC，；∵∠PEC=90°，∴PC是⊙O的直徑，∠PDC=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BCAB∥DCAD=BCCD=AB，35∴cos∠PAD=cosB=∠APD=∠PDC=90°AD=BC=10CD=AB=62，∴AP=AD?cos∠PAD=6，PD=AD-AP=64PC=PD+CD2=234．∴⊙O的半徑長(zhǎng)為34；，15(2)F作FM⊥DA交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)MCFCPPE于AD交于點(diǎn)N，∵∠E=∠B∠E=∠FPE，∴∠B=∠FPE，∵PE⊥BC，∴∠B=∠FPE=45°，∵∠PEC=90°，∴PC是直徑，∴∠PFC=90°，∴BF=BC?cos45°=52AF=2，∵∠MAF=∠B=45°，2∴AM=MF=AF?∵F=BF=52，=1，2∴=F-MF2=7=6．∵NE為平行四邊形BC邊上的高，∴NE=62?sin45°=6，又∵∠PAN=∠B=45°，∴PN=AN．設(shè)PN=AN=xPE=x+6=6-x∵PE=BE=E，，∴E=x+6，+NE=E2(6-x)+6=(6+x)2，3232解得x=∴PA=，2．9(2024·云南昭通·模擬預(yù)測(cè))⊙O中，AB是⊙OM是直徑ABM的弦CD⊥AB⊙O于點(diǎn)CDBCF為BCDFAB于點(diǎn)E⊙O于點(diǎn)G．圖1圖2備用圖(1)如圖1CGG的直線(xiàn)交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)M與圓心O∠PGC=∠MDE，求證：PG是⊙O的切線(xiàn)；(2)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，DE=kDF(k為常數(shù))k的值；(3)如圖2BGOFMF△MOF∠BGD的正切值．16(1)見(jiàn)解析23(2)k=33(3)∠BGD的正切值為3或(1)連接OG∠CGO+∠PGC=90°OG⊥PG，即可得證；DMDH23(2)過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CDHFH是△BCM=△DME∽23△DHFDE=DF(3)分點(diǎn)M在圓心O的左側(cè)和點(diǎn)M在圓心O(1)1OGOD=OG，∴∠MDE=∠OGE，當(dāng)點(diǎn)M與圓心O重合時(shí)，CD是⊙O的直徑，∴∠CGD=90°∠CGO+∠OGE=90°，∵∠PGC=∠MDE，∴∠PGC=∠OGE，∴∠CGO+∠PGC=90°，即OG⊥PG，∵OG是⊙O的半徑，∴PG是⊙O的切線(xiàn)．(2)1F作FH⊥CDHFH∥AB，∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，CHHMCFBF∴==1，∴H為CM的中點(diǎn)，∴FH是△BCM的中位線(xiàn)，12∴CH=MH=CM，∵AB是⊙OCD⊥AB，1∴CM=DM=CD，2DMDH23∴=，∵∠DME=∠DHF=90°∠MDE=∠HDF，∴△DME∽△DHF，DEDFDMDH23∵==，2∴DE=DF，323∴k=．(3)2M在圓心O的左側(cè)時(shí)，OF=OMCO，∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∴OF⊥BC，CO=CO在Rt△OFC和Rt△OMC中，，OF=OM17∴Rt△OFC≌Rt△OMCHL，∴CF=CM．在Rt△CMB中F為BC的中點(diǎn)，∴MF=CF=BF，∴MF=CF=CM，∴△CMF是等邊三角形，∴∠DCB=60°，∴∠BGD=60°，∴tan∠BGD=tan60°=3；如圖3M在圓心O的右側(cè)時(shí)，OF=OM∠FOM=∠OFM，∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∴OF⊥BC，∴∠OFB=90°，∴∠OFM+∠MFB=90°∠FOM+∠MBF=90°，∴∠MFB=∠MBF，∴MF=MB，在Rt△CMB中F為BC的中點(diǎn)，∴MF=BF=CF，∴MF=MB=BF，∴△MBF是等邊三角形，∴∠MBF=60°，∴∠MCF=30°，∴∠BGD=∠BCD=30°，3∴tan∠BGD=tan30°=．333綜上所述，∠BGD的正切值為3或．題型10(2024·福建龍巖·一模)y=-x+3x+4與軸分別交于AB兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左x(AB側(cè))與y軸交于點(diǎn)C．(1)直接寫(xiě)出ABC三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖(1)P是拋物線(xiàn)上異于ABB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到點(diǎn)QQ恰好在直線(xiàn)18APP的坐標(biāo)；(3)如圖(2)MN是拋物線(xiàn)上異于BCBN與直線(xiàn)CM交于點(diǎn)TMN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)1,3T的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條定直線(xiàn)．(1)A-1,0,B4,0C0,4(2)P1,6或P2,6(3)見(jiàn)解析】(1)分別令x,y=0352212(2)以AB為斜邊向上作等腰直角三角形△ABDD,∠APB=45°=∠ADBP是半5徑為2的⊙DPm,-m+3m+4-1<m<42n4n4-mn-4m(3)設(shè)Tm,nTB,TC的解析式y(tǒng)=x+,y=x+41m-4nn-4mxN=--1xM=3-MN的解析式為y=kx-1+3y=kx-m-4k+3x+x=3-kx?x=-k-1MNMN出關(guān)于m,n(1)y=-x+3x+4當(dāng)y=0-x+3x+4=0x=0時(shí)，y=4C0,4，解得：x=-1,x=4，12∴A-1,0,B4,0(2)AB為斜邊向上作等腰直角三角形△ABD，∵A-1,0,B4,0AB=5，-1+4351252∴x==,y=AB=23522∴D,1依題意，∠APB=45°=∠ADB，252∴P是半徑為2的⊙D與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，設(shè)Pm,-m+3m+4中-1<m<4325252222∴m-+-m+3m+4-=2，整理得m+1m-4m-2m-1=0解得：m=±1,2,4∵-1<m<4∴m=1或m=2則P1,6或P2,6；(3)Tm,n，∵B4,0C0,4，設(shè)直線(xiàn)TB,TC的解析式分別為y=kx+b,y=kx+b21112b=44k+b=011，∴mk+b=nmk+b=n112219nk=b=nn-4k=m-42m解得：b=4n4-m4n4-mnn-4m∴y=x+,y=x+4m-4nn-4my=1x+y=x+4m-4y=-x+3x+44-m2聯(lián)立，y=-x+3x+4n4n4-m消去y得：x+n-4-3x-4+=0，m-4x+-3x=0mnn∴x+x=3-xN=--1BNm-4m-4n-4mn-4m+由x-3x=0可得x=3-MMN的解析式為y=kx-1+3即y=kx-k+3y=kx-k+3y=-x+3x+4聯(lián)立則x+k-3x-k+1=0∴x+x=3-kx?x=-k-1，MNMNnn-4mn-4m--13-=-k-1m-4∴--1+3-=3-knm-4nn-4mnn-4m消去k得：++1=+13--1m-4m-4解得：n=-m+4(與直線(xiàn)BC)或n=m+8即點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條定直線(xiàn)y=x+8．11(2024·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè))xOy中，PQP(x,y),Q(x,y)．若：x+y=x+yQ為點(diǎn)P11221122(1)如圖1P21P在直線(xiàn)y=x+1(2)如圖2⊙A的半徑為1A坐標(biāo)為20．若點(diǎn)P0m在⊙Am的值；(3)若函數(shù)y=-x+2x≤m的圖像記為Wx=m翻折后的圖像記為W．當(dāng)WW兩部分1212組成的圖像上恰有點(diǎn)P0mm的取值范圍．(1)1,2(2)m=2+2或2-22094(3)-2<m<2或m>是解題的關(guān)鍵．(1)設(shè)點(diǎn)P在直線(xiàn)y=x+1的坐標(biāo)為aa+1(2)設(shè)點(diǎn)P0m在⊙A的坐標(biāo)為xyx+y=mP在直線(xiàn)y=-x+mP在⊙A上有且只有一個(gè)y=-x+m與⊙A94(3)當(dāng)Δ=0mm>時(shí)，W,W部分組成的圖象上恰有2y=-x+2與12直線(xiàn)x=m的交點(diǎn)為m,-m+2m,-m+2y=-x+m或m=-2m=2在直線(xiàn)合圖象可知：-2<m<2時(shí)，W,W兩部分組成的圖象上恰有2．12(1)P在直線(xiàn)y=x+1aa+1，由題知：2+1=a+a+1，解得a=1，∴點(diǎn)P在直線(xiàn)y=x+112．(2)設(shè)點(diǎn)P0m在⊙Axy，由題知：x+y=m，∴點(diǎn)Py=-x+m上，∵點(diǎn)P在⊙A∴直線(xiàn)y=-x+m與⊙A相切，如圖所示，∠ABE=∠ACD=90°,∠AEB=∠EAB=∠CAD=∠CDA=45°,∴EB=AB=CA=CD=1,∴AE=AD=2,∴OE=2-2,OD=2+2,∴E2-2,0,D2+2,0，將E2-2,0,D2+2,0代入y=-x+m，得-2-2+m=0,-2+2+m=0,解得m=2+2或2-2．(3)函數(shù)y=-x+2關(guān)于直線(xiàn)x=m的翻折后的拋物線(xiàn)解析式為y=-(x-2m)+2，設(shè)點(diǎn)P0m在WWxy，12由題知：x+y=m，∴點(diǎn)Py=-x+m上，y=-x+m聯(lián)立方程組,y=-(x-2m)+2整理得x-(4m+1)x+4m+m-2=0Δ=(4m+1)-44m+m-2=0，，94解得m=-，y=-x+2y=-x+m聯(lián)立方程組，，整理得x-x+m-2=0Δ=1-4m-2=0，94解得m=，219494當(dāng)m>時(shí)，y=-(x-2m)+2與y=-x+m與有兩個(gè)交點(diǎn)，y=-x+my=-x+2∴m>時(shí)，W,W兩部分組成的圖象上恰有212當(dāng)x=m時(shí)，y=-m+2，∴函數(shù)y=-x+2與直線(xiàn)x=m的交點(diǎn)為m,-m2+2),m,-m+2在直線(xiàn)y=-x+m上時(shí)，-m+2=-m+m，解得m=-2或m=2，當(dāng)m=-2時(shí)，W,W兩部分組成的圖象上恰有112∴m<-2時(shí)，W,W兩部分組成的圖象上恰有212當(dāng)m=2時(shí)，W,W兩部分組成的圖象上恰有312∴m<2時(shí)，W,W兩部分組成的圖象上恰有212∴-2<m<2時(shí)，W,W兩部分組成的圖象上恰有21294綜上所述：-2<m<2或m>時(shí)，W,W兩部分組成的圖象上恰有21212(2024·江蘇宿遷·一模)如圖1xOyy=ax+bx+3與軸分別相交于xABy軸相交于點(diǎn)CA的坐標(biāo)為(-10)B的坐標(biāo)為(30)．(1)求出這條拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；22(2)如圖2DD作直線(xiàn)l∥yl與△ABD的外接圓相交于點(diǎn)E．①僅用無(wú)刻度直尺找出圖2中△ABD外接圓的圓心P．②連接BCCEBC與直線(xiàn)DE的交點(diǎn)記為Q3△CQE的面積為SD運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，S是否S(1)y=-x+2x+3(2)①圖見(jiàn)解析②存在，2(1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；(2)①D,F兩點(diǎn)關(guān)DF∠FDE=90°EFEF與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；②連接BEAB,DE相交于點(diǎn)HDm,-m+2m+3△HAD∽△HEBHE12出QES=QE?OH。(1)解A-1,0B3,0a-b+3=09a+3b+3=0a=-1b=2，∴y=-x+2x+3；(2)P即為所求；②存在；連接BEAB,DE相交于點(diǎn)HDm,-m+2m+3：OH=m,DH=-m+2m+3，∵A-1,0B3,0，∴OA=1,OB=3,AB=4,AH=m+1,BH=3-m，∵DE⊥AB，∴∠AHD=∠BHE=90°，∵∠DAB=∠DEB，∴△HAD∽△HEB，HEAHBHDH∴∴=，HE3-m=，m+1-m+2m+33-mm+1∴HE==1，3-mm+1∵y=-x+2x+3，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴C0,3，23∴OC=OB=3，∴∠OBC=45°，∴HQ=BH=3-m，∴QE=HQ+HE=4-m，121212∴S=QE?OH=4-m?m=-m-2+2，∴當(dāng)m=2時(shí)，S有最大值為：2．進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．13(2024·江蘇宿遷·二模)Px,y1是圖形GQx,y是圖形Gl∶y=kx+bk≠0滿(mǎn)足y≤kx122211+b且y≥kx+by=k+b(k≠0)就是圖形G與G1l∶y=-x22126x-4是函數(shù)y=(x<0)的圖像與正方形OABC6x(1)在直線(xiàn)①y=-2xy=4x-1y=-2x+3y=-3x-11函數(shù)y=(x<0)的圖像與正方形OABC(填序號(hào))(2)如圖2△EDFD的坐標(biāo)是2,1△EDF與⊙O(3)正方形ABCD的一邊在yyM(2,t)1111y=-2x+b是函數(shù)y=-x+2x+3(0≤x≤4)的圖像與正方形ABCDt的取值范1111圍．(1)①④；(2)y=-2x+5；(3)t≤-7或t≥9．6x(1)y=-3x或y=-3x-1與雙曲線(xiàn)y=(x<0)及正方形ABCD(2)先作出以原點(diǎn)O為圓心且經(jīng)過(guò)△EDF的頂點(diǎn)DD作⊙O可；(3)t的取值范圍即可．24(1)6x6x從圖可知，y=-2x與雙曲線(xiàn)y=(x<0)和正方形OABC只有一個(gè)公共點(diǎn)，y=-3x-1與雙曲線(xiàn)y=6(x<0)和正方形OABC沒(méi)有公共點(diǎn)，y=4x-1y=-2x+3不在雙曲線(xiàn)y=(x<0)及正方形ABCD之x6y=-2xy=-3x-1是雙曲線(xiàn)y=(x<0)與正方形OABCx(2)ODO為圓心，OD長(zhǎng)為半徑作⊙ODG⊥x軸于點(diǎn)GD作⊙O的切線(xiàn)DMMD⊥OD，∵M(jìn)D⊥ODDG⊥x軸，∴∠ODM=∠OGD=90°，∴∠MOD+∠OMD=90°，∵∠MOD+∠DOG=90°，∴∠OMD=∠DOG，∴tan∠OMD=tan∠DOG，∵D2,1，∴DG=1OG=2，∴tan∠OMD=tan∠DOG=ODDGOG12=OG=1+22=5，∵tan∠OMD=，DM5DM12∴=，112∴∴MN=DM=×25=5，2∴OM=OD+DM2=5+252=5，∴M0,5，設(shè)直線(xiàn)MD的解析式為y=mx+nM0,5D2,1代入得，n=5，2m+n=1m=-2n=5解得，∴y=-2x+5，25∴△EDF與⊙Oy=-2x+5；y=-2x+b(3)得，x-4x+b-3=0，y=-x+2x+3∵直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有唯一公共點(diǎn)，∴△=0，∴16-4b+12=0，解得b=7，∴y=-2x+7，當(dāng)正方形ABCD在直線(xiàn)y=-2x+71111∵點(diǎn)M2,t是此正方形的中心，∴頂點(diǎn)A0,t-2，1∵頂點(diǎn)A0,t-2不能在直線(xiàn)y=-2x+7t-2≥7，1解得t≥9；當(dāng)正方形ABCD在直線(xiàn)y=2x-71111對(duì)于拋物線(xiàn)y=-x+2x+3x=0時(shí)，y=3x=4y=-5時(shí)，；∴直線(xiàn)y=-2x+3恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,3和點(diǎn)4,-5；對(duì)于直線(xiàn)y=-2x+3x=4時(shí)，y=-5C12,t+2不能在直線(xiàn)y=-2x+3上方，26得t+2≤-5，解得t≤-7；綜上所述，t≤-7或t≥9．題型14(2024·陜西西安·一模(1)如圖15的等邊△ABCD在邊BC上，BD=3AD△ACD的面積為；(2)如圖26的正方形ABCDE在邊BCF在邊CD∠EAF=45°EF=5△AEF的面積；(3)如圖3AB=4米，AD=43米的矩形ABCD區(qū)域內(nèi)開(kāi)挖一個(gè)△AEFBF分別在BCCD邊上(不與BCD重合)∠EAF=60°△AEF△AEF△AEF532(1)(2)15(3)96-48312(1)A作AE⊥BC于EAC=BC=5CE=BC=5253212AE=S=AE?CD求出答案；(2)EB到G使得BG=DFAG△ABG≌△ADFSASAG=AF∠DAF12=∠BAG△AEF≌△AEGSASEG=EF=5SAEF=SAEGSAEF=S=AB?EG=15；(3)把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°并把邊長(zhǎng)縮小為原來(lái)的3333到△ABGAG=AF∠FAG=90°∠EAG=30°點(diǎn)E作EM⊥AG于MEN⊥AF于NAMENME=AN1AG?MEAF?NESS3NE313直角三角形得到ME=AN==2=SAEF=3S△AEGAEG12的面積最小時(shí)，△AEF△AEGOOAOGOEO作OH⊥EG于HOG=OA=OE=r∠GOE=2∠GAE=60°∠GOH=∠EOH323212=30°OH=OG=rGE=2GH=rS=GE?AB=2GE=2rr最小時(shí)，△AEGAOH三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，r16-83S=3S=3×2×16-83=96-483△AEF96-483．27(1)A作AE⊥BC于E，∵△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，1252∴AC=BC=5CE=BC=，532∴AE=AC-CE2=∵BD=3，，；∴CD=BC-BD=2，1532∴S=AE?CD=2(2)EB到G使得BG=DFAG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD∠D=∠ABG=∠BAD=90°，∴△ABG≌△ADFSAS，∴AG=AF∠DAF=∠BAG，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=45°，∴∠BAG+∠BAE=45°，∴∠EAG=∠EAF=45°，又∵AE=AE，∴△AEF≌△AEGSAS，∴EG=EF=5SAEF=S，又∵AB=6，12∴SAEF=S=AB?EG=15；33(3)把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°并把邊長(zhǎng)縮小為原來(lái)的到△ABG，33∴AG=AF∠FAG=90°，∵∠EAF=60°，∴∠EAG=30°，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AG于MEN⊥AF于NAMEN是矩形，∴ME=AN，NEtan∠EAN3NE3∴ME=AN==，1AG?MESS132∴==，12AF?NE∴SAEF=3S，∴當(dāng)△AEG的面積最小時(shí)，△AEF的面積最?。弧鰽EGOOAOGOEO作OH⊥EG于HOG=OA=OE=r，∴∠GOE=2∠GAE=60°，∴∠GOH=∠EOH=30°，283232∴OH=OG=rGE=2GH=r，12∵S=GE?AB=2GE=2r，∴當(dāng)r最小時(shí)，△AEG的面積最小，∵OA+OH≥AB，32∴r+r≥4，∴r≥16-83，∴當(dāng)AOH三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，r16-83，∴S=3S=3×2×16-83=96-483，∴存在一個(gè)面積最小的△AEF96-483．是解題的關(guān)鍵．15(2024·陜西西安·一模BDAB23(1)如圖1D為△ABC的邊BCAD,∠BDA=∠BAC,=△ABD的面積為4△ACD的面積為；BECF65(2)如圖2ABCD中，AB=6,BC=5BC和射線(xiàn)CD上分別取點(diǎn)EF=AEBF相交于點(diǎn)PCPCP的最小值；(3)如圖3ABCDAB=120米，∠ABC=60°．社區(qū)管委會(huì)計(jì)劃對(duì)該空AD上取一點(diǎn)EBECEBE上取點(diǎn)HCH段鋪設(shè)成某種具有較高觀(guān)賞價(jià)值的休閑通道(通道寬度忽略不計(jì))∠BHC=∠BCECHCHCH長(zhǎng)度的最小(1)5(2)34-3(3)403米94(1)證明△ABD∽△CBAS△CBA=S△ABD=9△ACD的面積；(2)證明△ABE∽△BCF∠APB=90°P在矩形ABCD內(nèi)部以AB為直徑的⊙O上OP,OCOC交⊙O于點(diǎn)=OP=OB=3,OC=3434-3CP≥OC-OPCP的最小值；=OC-=(3)證明△CBH∽△EBC,得到BC=BE?BHAB=BE?BH△ABH∽△EBA,得到∠AHB=∠EAB=120°H在⊙O的劣弧AB∠OBC=90°OH=AO=BO=403OC=803OC與⊙O相交于點(diǎn)H=403CH≥OC-OH=403OH=OH=403CH=OC-OH29(1)解：∵∠BDA=∠BAC,∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，SBDAB2349∴===，S△CBA94∴S△CBA=S△ABD=9，∴△ACD的面積為S△CBA-S△ABD=9-4=5，故答案為：5(2)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BCF=90°，BECFBECF65ABBC∵∴==AB=6,BC=5，65=，∴△ABE∽△BCF，∴∠BAE=∠CBF，∵∠CBF+∠ABP=90°∴∠BAE+∠ABP=90°∴∠APB=180°-∠BAE+∠ABP=90°∴點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)部以AB為直徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)，連接OP,OCOC交⊙O于點(diǎn)，∵AB=6,BC=5∠ABC=90°，12∴=OP=OB=AB=3,OC=BO+BC2=34，∴=OC-=34-3∵CP≥OC-OP，∴當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)的位置時(shí)，CP34-3；(3)連接AH△ABH的外接圓⊙OOH,OB,OC,OA3，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=120米，AD∥BC，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=180°-∠ABC=120°∵∠BHC=∠BCE,∠CBH=∠EBC,∴△CBH∽△EBC,BCBEBHBC∴=BC=BE?BH∴AB=BE?BH，ABBEBHAB∴=，∵∠ABH=∠EBA,∴△ABH∽△EBA,∴∠AHB=∠EAB=120°∴點(diǎn)H在⊙O的劣弧AB上運(yùn)動(dòng)，∵∠AHB=120°∴∠AOB=2180°-∠AHB=120°，30∵OA=OB，12∴∠OAB=∠OBA=180°-∠AOB=30°，∴∠OBC=∠ABO+∠ABC=90°在△AOB中，AB=120米，∠OAB=∠OBA=30°O作OM⊥AB于點(diǎn)M12則BM=AM=AB=60米，32∴AO=BO=BM÷=403米，∴OH=AO=BO=403米，∴OC=BO+BC2=803米，記OC與⊙O相交于點(diǎn)H∴CH=OC-OH=403米，∵CH≥OC-OH=403米，OH=OH=403米，∴CH的最小值為CHCH的最小值為403米題型1216(2024·湖南長(zhǎng)沙·三模)如圖1A,B,C為⊙O上不重合的三點(diǎn)，GC為⊙O的切線(xiàn)，∠G+∠A=90°．(1)求證：GB為⊙O的切線(xiàn)；34BCAG(2)若△ABC為等腰三角形，∠BAC<45°,tan∠BAC=的值；(3)如圖2AB為直徑，M為線(xiàn)段AC上一點(diǎn)且GM⊥GBAM+OB-3GB+8GB-8=00<GB<2S的最大值．(1)見(jiàn)解析815381751(2)(3)或2】(1)連接OB,OC∠GCO=90°到∠GBO=180°-90°=90°即可得到結(jié)論；(2)設(shè)⊙O的半徑為rOG交BC于點(diǎn)D接OC,OBBC為底邊，AB為底邊，AC種情況討論解答即可；(3)延長(zhǎng)AC,BG交于點(diǎn)DCG=DGOMGB31OM=GB,設(shè)GB=x,AM=yS=3S得出關(guān)于x的二次函數(shù)利用其性質(zhì)即可求解．(1)OB,OC，∵GC為⊙O的切線(xiàn)，∴∠GCO=90°．12∵∠G+∠A=90°．∴∠G+2∠A=∠G+∠COB=180°，∴∠GBO=180°-90°=90°．∵點(diǎn)B在⊙O上，∴GB為⊙O的切線(xiàn)．(2)設(shè)⊙O的半徑為r接OG交BC于點(diǎn)D接OC,OB，∵OC=OB,GC=GB，∴BC⊥ODD為BC的中點(diǎn)，1∴∠COG=∠COB=∠BAC，2344∵tan∠BAC=，35∴cos∠BAC=,sin∠BAC=，5①當(dāng)BCA在弦BC所對(duì)的優(yōu)弧上時(shí)，AC=AB，6r易知BC=2CD=2?r?sin∠COG=2?r?sin∠BAC=，5連接OA,∵AC=AB，∴BC⊥AD∴A,O,D,G四點(diǎn)共線(xiàn)，rr9r4∴AG=AO+OG=r+=r+=，cos∠COGcos∠BACBCAG815∴=；②當(dāng)AB為底邊時(shí)，AC=BC，∴AB⊥OC于點(diǎn)F，123t令CF=3tBF=AF=AB==4t,OF=r-3t，tan∠BAC∵OF+BF=OB2，即(r-3t)+(4t)=r26r，解得t=，2518r2524r25∴CF=3t=,BF=4t=，過(guò)點(diǎn)G作ABH，∵AB⊥OC,CG⊥OC，∴四邊形CFHG為矩形，171r10018r25∴AH=HF+FA=CG+BF=rtan∠COG+BF=rtan∠BAC+BF=,GH=CF=，917r∴AG=AH+GH2=，20由①知BC=2CD=2?r?sin∠BAC=6r5，32BCAG81751∴=；③當(dāng)ACAB為底邊時(shí)的情況相同．AG綜上所述，AB81581751=或．(3)延長(zhǎng)AC,BG交于點(diǎn)D，∵∠CGD=180°-∠BGC=2∠A,∠D=90°-∠A，∴∠D=∠DCG，∴CG=DG由(1)得CG=GB,∴GB=DG,G是BD的中點(diǎn)，∵GM⊥GB,AB⊥GB，∴GM∥AB,M是AD的中點(diǎn)，連接OMOMGB為矩形，∴OM=GB,，∴OB==AM-OM=AM-GB2，設(shè)GB=x,AM=y，則0<x<2，∵AM+OB-3GB+8GB-8=0，∴OB=y-x=x-4x+4=(x-2)2，3232∴S=3S=?x?y-x2=x2-x，32∴當(dāng)x=1MGBA的面積最大為助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．17(2024·重慶·模擬預(yù)測(cè))△ABC中，∠BAC=90°．點(diǎn)D為△ABC∠ADB=60°E為線(xiàn)段BDAE．(1)如圖1AB=AC=7AD=2BE的長(zhǎng)；(2)如圖2CDAB=AC∠BAE=∠ACDE作EF⊥AD交于F：AE=6DF；(3)如圖3D作DM⊥AC于點(diǎn)MDN⊥BC于點(diǎn)NMNAB=23AC=4MN的最小值．32(1)(2)見(jiàn)解析67-221(3)7(1)過(guò)點(diǎn)A作AL⊥BD于點(diǎn)LDL,LB進(jìn)而根據(jù)E為線(xiàn)段BD33(2)過(guò)點(diǎn)B作BT∥AEBT=CD接AT,DTAE,DT交于點(diǎn)G△ACD≌△ABTSASDGGTDEEB△ATD==1得出∠DAG=45°AE=2EFEF=DF?tan60°=3DF(3)以AB為邊作等邊三角形△AJB△AJB的外心為O點(diǎn)O分別作OQ⊥BCQBQ=12AB=3C,N,D,M四點(diǎn)共圓，D在⊙O上，∠MCNCD最小時(shí)，MNCOD在CO上時(shí)，CDCD=CO-DO=23-2CD的中點(diǎn)接M,N作K21-7⊥MN于點(diǎn)KMK=3aK=2a得M=7a3-1=7a得出a=7即可求解．(1)A作AL⊥BD于點(diǎn)L，∵AD=2∠ADB=60°，32∴AL=sin∠ADB×AD=2×=3DL=AD×cos∠ADB=1在Rt△ALB中，BL=AB-2=7-3=2∴DB=DL+LB=1+2=3，∵E為線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，1232∴BE=DB=；(2)B作BT∥AEBT=CDAT,DTAE,DT交于點(diǎn)G，∴∠ABT=∠BAE，∵∠BAE=∠ACD，∴∠ABT=∠ACD，又∵AB=AC，∴△ACD≌△ABTSAS，∴AT=AD∠BAT=∠CAD，∴∠BAD+∠BAT=∠BAD+∠CAD=∠CAB=90°，∴△ATD是等腰直角三角形，∵E為線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，AE∥TBDGGTDEEB∴==112∴AG⊥DT∠DAG=×90°=45°∵EF⊥AD∴AE=2EF又∠ADE=60°，∴EF=DF?tan60°=3DF∴AE=2EF=2×3DF=6DF(3)AB為邊作等邊三角形△AJB△AJB的外心為OO分別作OQ⊥BC12足為QBQ=AB=3∵DM⊥ACDN⊥BC，∴C,N,D,M四點(diǎn)共圓，又∵∠ADB=60°，∴D在⊙O上，∵AB=23AC=4∠BAC=90°BC=AB+AC2=12+16=27，3423432∴tanACB==∠MCN為定值，∴當(dāng)CD最小時(shí)，MN最小，連接COD在CO上時(shí)，CD最小，∵AB=23OQ⊥ABOBcos30°332∴OB===2OQ=1∴AS=2OQ=2∵AC=4∴CS=SO=2又∵AB=AB∴∠ASB=∠ADB=60°∴∠CSB=120°∴CO=2CS×cos30°=3SC=23∴CD=CO-DO=23-2CD的中點(diǎn)M,N點(diǎn)作K⊥MN于點(diǎn)，K∴∠MOK=∠ACB32∴tan∠MOK=tanACB=設(shè)MK=3aK=2a∴M=7a1212又∵OM=CD=23-2=3-1∴3-1=7a21-7解得：a=767-221∴MN=2MK=23a=767-221即MN的最小值為7題型18(2024·福建泉州·一模)如圖1?ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)EF是CDDF=DE．(1)求證：BE⊥EF；(2)如圖2∠A=120°FG⊥BC于點(diǎn)GH是BFDGEHEGEG與BF相交于點(diǎn)K．35①求證：DG=EH；KFGK②若CF=2DF的值．(1)見(jiàn)解析15(2)①見(jiàn)解析；②12(1)由平行四邊形的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的意義可知∠AEB=∠EBC=∠DDE=DF180°-∠D12∠DEF==90°-∠D∠BEF=180°-∠AEB+∠DEF=90°2(2)①由平行四邊形的性質(zhì)可證得△DEF∠DFE=60°DE=DF=EF(1)知，BE⊥EFFG⊥BC知∠BEF=∠BGF=90°HB=HG=HF=HEBGFEH∠EHG=2∠EBC=60°△HEG是等邊EH=EG∠EFG=150°∠DFG=150°∠EFG=∠DFG△EFG≌△DFGSASDG=EGDG=EH；②設(shè)DF=aCF=2aFG=CF?sin60°=3aAB=AE=3aAD=4aAM⊥BE交BE于MBE=33aBF=27aEH=EG=12KEKFBF=7a∠EBK=∠EGF∠BEK=∠KFG△BEK∽△GFK=BKGKBEGF33a3a===3KE=3KFBK=3GKEG=KE+KG=3KF+GK=7aBF=KF+78578KFGKBK=KF+3GK=27a：KF=aGK=a的值．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠DAD∥BC，∵BE平分∠ABC，1212∴∠EBC=∠ABC=∠D，∵AD∥BC，12∴∠AEB=∠EBC=∠D，∵DE=DF，180°-∠D12∴∠DEF==90°-∠D，21212∴∠BEF=180°-∠AEB+∠DEF=180°-∠D+90°-∠D=90°，∴BE⊥EF；(2)HG，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A=120°，∴∠ABC=∠D=60°，∵DE=DF，∴△DEF∠DFE=60°DE=DF=EF，∵BE平分∠ABC，12∴∠EBC=∠ABC=30°，由(1)知，BE⊥EF，∵FG⊥BC，∴∠BEF=∠BGF=90°，∵H為BF的中點(diǎn)，3612∴HB=HG=HF=HE=BF，則BGFEH，由圓周角定理可知∠EHG=2∠EBC=60°△HEG是等邊三角形，∴EH=EG，由圓的內(nèi)接四邊形可知∠EFG=180°-∠EBC=150°，∴∠DFG=360°-∠DFE-∠EFG=150°∠EFG=∠DFG，又∵FG=FG，∴△EFG≌△DFGSAS，∴DG=EG，∴DG=EH；②∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CDAD∥BC∠ABC=∠D=60°，∵CF=2DFDF=aCF=2a，∴AB=CD=3aDE=DF=EF=a，∵BE平分∠ABC，12∴∠ABE=∠EBC=∠ABC=30°，∵AD∥BC，∴∠FCG=∠D=60°∠AEB=∠EBC=30°∠AEB=∠ABE=∠EBC=30°，∴FG=CF?sin60°=3aAB=AE=3aAD=4a，ABcos30°332AEcos30°332作AM⊥BE交BE于MBM==aEM==a，∴BE=33a，在Rt△BEF中，BF=BE+EF2=27a，12∴EH=EG=BF=7a，由圓周角定理可知，∠EBK=∠EGF∠BEK=∠KFG，∴△BEK∽△GFK，KEKFBKGKBEGF33a3a∴====3，∴KE=3KFBK=3GK，又∵EG=KE+KG=3KF+GK=7aBF=KF+BK=KF+3GK=27a，3KF+GK=7aKF+3GK=27a78578即：：KF=aGK=a，7aKFGK158∴==．578aBGFE為H是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．題型19(2024·浙江·模擬預(yù)測(cè))如圖1E點(diǎn)為x軸正半軸上一點(diǎn)，⊙E交x軸于AB兩點(diǎn)，P點(diǎn)為劣弧BCA(-1,0)E(1,0)．37(1)BC的度數(shù)為°；(2)如圖2PCPC中點(diǎn)GOG的最大值為；(3)如圖3ACAPCPCB．若CQ平分∠PCD交PA于QAQ的長(zhǎng)；PC+PD(4)如圖4PAPDP點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與BC兩點(diǎn)重合)PA(1)120(2)2(3)AQ=2PC+PD(4)=3PA(1)由已知條件可以得到CD垂直平分AECA=CECE=AEACE∠CEB=120°；(2)由于直徑AB⊥CDO是CDG是CPPDOG∥12PDOG=PDOGPDP是劣弧BCPED三PD為直徑時(shí)，PDOG最大；(3)由于直徑AB⊥CDAC=AD∠ACD=∠CPACQ平分∠DCP以∠PCQ=∠DCQ∠ACQ=∠AQCAC=AQ(1)可得，AC=AE=4以AQ=4；(4)由直徑AB⊥CDAB垂直平分CDAC=AD∠CAD=2∠CAE=120°△ACP繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△ADMMDPPC+PD=PM△PAM是頂角為120°A做AG⊥PM于G于∠APM=30°PC+PDPM=3PA=3．PA(1)(1)連接ACCE，∵A(-1,0)E(1,0)，∴OA=OE=1，∵OC⊥AE，∴AC=CE，∵AE=CE，∴AC=CE=AE，∴∠CAE=60°，∴∠BEC=2∠CAB=120°，∴BC的度數(shù)為120°．故答案為：120．(2)由題可得，AB為⊙EAB⊥CD，由垂徑定理可得，CO=OD，連接PD2，38又∵G為PC的中點(diǎn)，12∴OG∥PDOG=PD，當(dāng)DEPDP取得最大值，且DP=AB=2AE=4，∴OG的最大值為2，故答案為：2．(3)連接ACBC，∵直徑AB⊥CD，∴AC=AD，∴∠ACD=∠CPA，∵CQ平分∠DCP，∴∠DCQ=∠PCQ，∴∠ACD+∠DCQ=∠CPA+∠PCQ，∴∠ACQ=∠AQC，∴AQ=AC，∵∠CAO=60°AO=1，∴AC=2，∴AQ=2．(4)AB⊥CD，∴AB垂直平分CD，如圖4ACADAC=AD，由(1)得，∠DAC=120°，將△ACP繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△ADM，∴△ACP≌△ADM，∴∠ACP=∠ADMPC=DM，∵四邊形ACPD為圓內(nèi)接四邊形，∴∠ACP+∠ADP=180°，∴∠ADM+∠ADP=180°，∴MDP三點(diǎn)共線(xiàn)，∴PD+PC=PD+DM=PM，過(guò)A作AG⊥PM于GPM=2PG，?∠APM=∠ACD=30°，在Rt△APG中，∠APM=30°，設(shè)AG=xAP=2x，∴PG=AP-AG2=3x，∴PM=2PG=23x∴PM=3AP，∴PC+PD=3APPC+PD∴=3為定值．PA120度的等腰三角形腰和底邊比是固定值．39題型20(2024·湖南長(zhǎng)沙·一模)如圖1Rt△ABC中，∠ABC=90°∠C=30°BC=43D是BC的中點(diǎn)．經(jīng)過(guò)ABD三點(diǎn)的⊙O交AC于點(diǎn)EBE．(1)求AE和BE的長(zhǎng)；(2)如圖2PQ分別同時(shí)從點(diǎn)A和點(diǎn)CP運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)EQ恰好運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)BPQPQ．①記AP=x△PQCx的值；②如圖3BP并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)FAFFE．當(dāng)BE平分∠FBCsin∠ABF的值．(1)AE=5BE=21；