《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》筆記

《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》筆記第一章統(tǒng)計(jì)學(xué)導(dǎo)論1.1統(tǒng)計(jì)學(xué)的定義與作用統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究如何收集、整理、分析和解釋數(shù)據(jù)的科學(xué)。它不僅涉及對(duì)數(shù)據(jù)的描述，還包括通過數(shù)據(jù)分析來推斷總體特征以及預(yù)測未來趨勢。統(tǒng)計(jì)學(xué)在科學(xué)研究、商業(yè)決策、政策制定和社會(huì)科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域中發(fā)揮著重要作用。定義：統(tǒng)計(jì)學(xué)是利用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的一門學(xué)科。作用：描述性統(tǒng)計(jì)：總結(jié)和展示數(shù)據(jù)的基本特征。推斷性統(tǒng)計(jì)：基于樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)或檢驗(yàn)假設(shè)。預(yù)測分析：根據(jù)歷史數(shù)據(jù)預(yù)測未來的趨勢或行為。1.2數(shù)據(jù)類型與數(shù)據(jù)收集在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，正確理解不同類型的數(shù)據(jù)對(duì)于后續(xù)的分析至關(guān)重要。常見的數(shù)據(jù)類型包括定量數(shù)據(jù)和定性數(shù)據(jù)。定量數(shù)據(jù)（QuantitativeData）：可以進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算的數(shù)據(jù)，分為離散型和連續(xù)型。離散型數(shù)據(jù)：只能取整數(shù)或有限個(gè)值，如人數(shù)、車輛數(shù)量等。連續(xù)型數(shù)據(jù)：可以在一定區(qū)間內(nèi)取任意值，如溫度、時(shí)間等。定性數(shù)據(jù)（QualitativeData）：描述性質(zhì)或?qū)傩缘臄?shù)據(jù)，通常是非數(shù)值形式。名義數(shù)據(jù)：沒有順序關(guān)系的分類數(shù)據(jù)，如性別、顏色等。有序數(shù)據(jù)：具有順序關(guān)系的分類數(shù)據(jù)，如教育水平（小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)）。數(shù)據(jù)收集的方法多種多樣，每種方法都有其適用場景和局限性：觀察法：直接觀察并記錄現(xiàn)象，適用于自然狀態(tài)下的數(shù)據(jù)收集。實(shí)驗(yàn)法：控制某些變量，觀察其他變量的變化，適用于因果關(guān)系的研究。調(diào)查問卷：通過設(shè)計(jì)問卷收集信息，廣泛應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)研究。1.3統(tǒng)計(jì)軟件介紹隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，統(tǒng)計(jì)分析變得越來越依賴于軟件工具。常用的統(tǒng)計(jì)軟件有R、SPSS、SAS和Excel等。R語言：開源且功能強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)計(jì)算和圖形繪制軟件，適合科研人員和高級(jí)用戶。安裝與基本操作：從CRAN網(wǎng)站下載并安裝R和RStudio，熟悉工作環(huán)境和基本命令。SPSS：用戶友好的統(tǒng)計(jì)軟件，廣泛應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域。數(shù)據(jù)導(dǎo)入與處理：學(xué)習(xí)如何導(dǎo)入數(shù)據(jù)文件、進(jìn)行數(shù)據(jù)清洗和變量定義。SAS：企業(yè)級(jí)統(tǒng)計(jì)軟件，適用于大規(guī)模數(shù)據(jù)分析。編程基礎(chǔ)：了解SAS程序結(jié)構(gòu)，掌握數(shù)據(jù)步和過程步的基本語法。Excel：辦公軟件中的表格處理工具，適合初級(jí)數(shù)據(jù)分析。常用函數(shù)：SUM,AVERAGE,COUNT,VLOOKUP等，用于簡單的數(shù)據(jù)處理和可視化。第二章描述性統(tǒng)計(jì)2.1頻數(shù)分布表和直方圖頻數(shù)分布表和直方圖是描述數(shù)據(jù)分布的有效工具。頻數(shù)分布表：將數(shù)據(jù)按照一定的區(qū)間分組，并統(tǒng)計(jì)每個(gè)區(qū)間的頻數(shù)。步驟：確定數(shù)據(jù)范圍。選擇合適的組距。計(jì)算各組的頻數(shù)。直方圖：用條形圖表示頻數(shù)分布，條形的高度代表頻數(shù)。制作步驟：畫出橫軸和縱軸。標(biāo)注橫軸上的組界。在每個(gè)組界上畫出相應(yīng)高度的條形。2.2中心趨勢度量中心趨勢度量用來描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。平均數(shù)（Mean）：所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。公式：xˉ=∑xinxˉ=n∑xi??特點(diǎn)：受極端值影響較大。中位數(shù)（Median）：將數(shù)據(jù)按大小順序排列后位于中間位置的值。計(jì)算方法：奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)：中間位置的值。偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)：中間兩個(gè)值的平均數(shù)。特點(diǎn)：不受極端值影響。眾數(shù)（Mode）：出現(xiàn)次數(shù)最多的值。特點(diǎn)：可以有多個(gè)眾數(shù)，適用于定性數(shù)據(jù)。2.3離散程度度量離散程度度量用來描述數(shù)據(jù)的分散程度，主要指標(biāo)有方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差和四分位差。方差（Variance）：衡量數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度。公式：s2=∑(xi?xˉ)2n?1s2=n?1∑(xi??xˉ)2?標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation）：方差的平方根，單位與原始數(shù)據(jù)相同。公式：s=s2s=s2?極差（Range）：最大值與最小值之差。公式：R=max?(x)?min?(x)R=max(x)?min(x)四分位差（InterquartileRange,IQR）：第75百分位數(shù)（Q3）與第25百分位數(shù)（Q1）之差。公式：IQR=Q3-Q12.4圖形展示圖形展示是直觀地呈現(xiàn)數(shù)據(jù)分布和關(guān)系的重要手段，常用的圖形包括散點(diǎn)圖、箱線圖和正態(tài)概率圖。散點(diǎn)圖（ScatterPlot）：展示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。用途：發(fā)現(xiàn)相關(guān)性、異常值。箱線圖（BoxPlot）：展示數(shù)據(jù)的五數(shù)概括（最小值、第一四分位數(shù)、中位數(shù)、第三四分位數(shù)、最大值）。用途：識(shí)別異常值、比較不同組的數(shù)據(jù)分布。正態(tài)概率圖（NormalProbabilityPlot）：檢查數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布。用途：評(píng)估數(shù)據(jù)的正態(tài)性。第三章概率基礎(chǔ)3.1事件與樣本空間事件是隨機(jī)試驗(yàn)中可能發(fā)生的任何結(jié)果，而樣本空間則是所有可能結(jié)果的集合。事件（Event）：一個(gè)或多個(gè)結(jié)果的集合。簡單事件：只有一個(gè)結(jié)果的事件。復(fù)合事件：包含多個(gè)結(jié)果的事件。樣本空間（SampleSpace,S）：所有可能結(jié)果的集合。示例：拋一枚硬幣的樣本空間為{正面,反面}。3.2概率的計(jì)算概率是描述事件發(fā)生可能性的數(shù)值，介于0到1之間。古典概率：當(dāng)所有結(jié)果等可能時(shí)，事件A的概率為：公式：P(A)=事件A的結(jié)果數(shù)總結(jié)果數(shù)P(A)=總結(jié)果數(shù)事件A的結(jié)果數(shù)?幾何概率：適用于無限多個(gè)結(jié)果的情況，例如在一個(gè)區(qū)域內(nèi)隨機(jī)選擇一點(diǎn)。公式：P(A)=事件A對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積總區(qū)域面積P(A)=總區(qū)域面積事件A對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積?3.3條件概率與獨(dú)立性條件概率是指在已知某事件B發(fā)生的情況下，事件A發(fā)生的概率。獨(dú)立事件是指兩個(gè)事件的發(fā)生互不影響。條件概率（ConditionalProbability）：公式：P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A∣B)=P(B)P(A∩B)?解釋：在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率。獨(dú)立事件：定義：如果P(A∣B)=P(A)P(A∣B)=P(A)，則A和B是獨(dú)立事件。乘法規(guī)則：如果A和B是獨(dú)立事件，則P(A∩B)=P(A)?P(B)P(A∩B)=P(A)?P(B)3.4概率分布概率分布描述了隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率。離散型隨機(jī)變量的概率分布：概率質(zhì)量函數(shù)（ProbabilityMassFunction,PMF）：P(X=x)P(X=x)累積分布函數(shù)（CumulativeDistributionFunction,CDF）：F(x)=P(X≤x)F(x)=P(X≤x)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布：概率密度函數(shù)（ProbabilityDensityFunction,PDF）：f(x)累積分布函數(shù)（CDF）：F(x)=∫?∞xf(t)?dtF(x)=∫?∞x?f(t)dt第四章離散型概率分布4.1二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布是離散型概率分布的一種，描述了在n次獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)中成功次數(shù)的概率分布。每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗。定義：如果一個(gè)隨機(jī)變量X表示n次獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)中的成功次數(shù)，且每次試驗(yàn)成功的概率為p，則X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布。公式：P(X=k)=(nk)pk(1?p)n?kP(X=k)=(kn?)pk(1?p)n?k其中，(nk)(kn?)

是組合數(shù)，表示從n次試驗(yàn)中選擇k次成功的組合方式。期望與方差：期望（ExpectedValue）：E(X)=npE(X)=np方差（Variance）：Var(X)=np(1?p)Var(X)=np(1?p)4.2泊松分布泊松分布是一種描述單位時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生次數(shù)的概率分布，適用于稀有事件的發(fā)生率分析。定義：如果一個(gè)隨機(jī)變量X表示在固定時(shí)間間隔內(nèi)某事件發(fā)生的次數(shù)，且該事件的平均發(fā)生率為λ，則X服從參數(shù)為λ的泊松分布。公式：P(X=k)=λke?λk!P(X=k)=k!λke?λ?其中，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，約為2.71828。期望與方差：期望：E(X)=λE(X)=λ方差：Var(X)=λVar(X)=λ泊松分布的應(yīng)用：電話呼叫中心的來電量預(yù)測交通流量分析放射性衰變計(jì)數(shù)4.3超幾何分布超幾何分布用于描述有限總體中不放回抽樣時(shí)的成功次數(shù)的概率分布。定義：如果一個(gè)隨機(jī)變量X表示從含有N個(gè)物品的總體中抽取n個(gè)物品（不放回），其中有K個(gè)成功物品，則X服從參數(shù)為N,K,n的超幾何分布。公式：P(X=k)=(Kk)(N?Kn?k)(Nn)P(X=k)=(nN?)(kK?)(n?kN?K?)?其中，(Kk)(kK?)

表示從K個(gè)成功物品中選擇k個(gè)的組合數(shù)。期望與方差：期望：E(X)=nKNE(X)=nNK?方差：Var(X)=nKN(1?KN)N?nN?1Var(X)=nNK?(1?NK?)N?1N?n?超幾何分布的應(yīng)用：質(zhì)量控制中的抽樣檢驗(yàn)生物學(xué)中的基因頻率分析第五章連續(xù)型概率分布5.1正態(tài)分布正態(tài)分布（NormalDistribution）是最重要也是最常見的連續(xù)型概率分布之一，廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域。定義：如果一個(gè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=1σ2πe?(x?μ)22σ2f(x)=σ2π?1?e?2σ2(x?μ)2?則X服從均值為μ、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布，記作

X～N(μ,σ2)X～N(μ,σ2)。性質(zhì)：對(duì)稱性：正態(tài)分布關(guān)于均值μ對(duì)稱。68-95-99.7規(guī)則：約68%的數(shù)據(jù)落在均值的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，95%的數(shù)據(jù)落在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，99.7%的數(shù)據(jù)落在三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：當(dāng)均值μ=0，標(biāo)準(zhǔn)差σ=1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作

Z～N(0,1)Z～N(0,1)。Z分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換：將任意正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，使用公式

Z=X?μσZ=σX?μ?。正態(tài)分布的應(yīng)用：身高、體重等生理特征的分布測量誤差分析金融市場的收益率分析5.2t分布t分布（Student'st-distribution）是正態(tài)分布的小樣本近似，常用于小樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)推斷。定義：如果一個(gè)隨機(jī)變量T的密度函數(shù)為f(t)=Γ(ν+12)νπ?Γ(ν2)(1+t2ν)?ν+12f(t)=νπ?Γ(2ν?)Γ(2ν+1?)?(1+νt2?)?2ν+1?則T服從自由度為ν的t分布，記作

T～t(ν)T～t(ν)。性質(zhì)：當(dāng)自由度ν較大時(shí)，t分布趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。t分布的峰度比正態(tài)分布更高，尾部更厚。t分布的應(yīng)用：小樣本均值的區(qū)間估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)中的t檢驗(yàn)5.3卡方分布卡方分布（Chi-SquaredDistribution）是多個(gè)獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布平方和的概率分布，常用于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)。定義：如果一個(gè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x;k)=12k/2Γ(k/2)xk/2?1e?x/2f(x;k)=2k/2Γ(k/2)1?xk/2?1e?x/2則X服從自由度為k的卡方分布，記作

X～χ2(k)X～χ2(k)。性質(zhì)：卡方分布是非負(fù)的。隨著自由度增加，卡方分布逐漸接近正態(tài)分布。卡方分布的應(yīng)用：擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方差分析獨(dú)立性檢驗(yàn)5.4F分布F分布（F-Distribution）是兩個(gè)獨(dú)立卡方分布的比值的概率分布，常用于方差分析（ANOVA）和回歸分析中的假設(shè)檢驗(yàn)。定義：如果一個(gè)隨機(jī)變量F的密度函數(shù)為f(x;d1,d2)=(d1x)d1d2d2(d1x+d2)d1+d2xB(d12,d22)f(x;d1?,d2?)=xB(2d1??,2d2??)(d1?x+d2?)d1?+d2?(d1?x)d1?d2d2?????則F服從第一自由度為d1、第二自由度為d2的F分布，記作

F～F(d1,d2)F～F(d1?,d2?)。性質(zhì)：F分布是非負(fù)的。當(dāng)d1和d2都較大時(shí)，F(xiàn)分布趨近于正態(tài)分布。F分布的應(yīng)用：方差分析中的F檢驗(yàn)回歸分析中的方差齊性檢驗(yàn)第六章抽樣與抽樣分布6.1抽樣的基本原則抽樣是從總體中選取一部分個(gè)體進(jìn)行研究的過程，目的是通過對(duì)樣本的研究來推斷總體的特征。簡單隨機(jī)抽樣（SimpleRandomSampling,SRS）：每個(gè)個(gè)體被選中的概率相同。方法：使用隨機(jī)數(shù)表或計(jì)算機(jī)生成的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣。分層抽樣（StratifiedSampling）：將總體分成若干互不重疊的子群體（層），然后從每一層中隨機(jī)抽取樣本。優(yōu)點(diǎn)：提高樣本的代表性，減少抽樣誤差。系統(tǒng)抽樣（SystematicSampling）：按一定順序排列總體，每隔固定的間隔抽取一個(gè)個(gè)體。方法：確定抽樣間隔k，從1到k中隨機(jī)選擇一個(gè)起始點(diǎn)，然后每隔k個(gè)個(gè)體抽取一個(gè)樣本。整群抽樣（ClusterSampling）：將總體分成若干群組，隨機(jī)抽取一些群組作為樣本，然后對(duì)這些群組中的所有個(gè)體進(jìn)行調(diào)查。優(yōu)點(diǎn)：操作簡便，適合大規(guī)模調(diào)查。6.2抽樣誤差抽樣誤差是指由于樣本不能完全代表總體而產(chǎn)生的誤差。定義：抽樣誤差是樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的差異。影響因素：樣本大?。簶颖驹酱螅闃诱`差越小?？傮w變異程度：總體變異越大，抽樣誤差越大。抽樣方法：不同的抽樣方法會(huì)導(dǎo)致不同程度的抽樣誤差。減小抽樣誤差的方法：增加樣本量采用更有效的抽樣方法提高數(shù)據(jù)質(zhì)量6.3中心極限定理中心極限定理（CentralLimitTheorem,CLT）是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要定理，描述了大量獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的分布趨近于正態(tài)分布。定理內(nèi)容：對(duì)于任意分布的總體，當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)（通常n≥30），樣本均值的分布趨近于正態(tài)分布，其均值等于總體均值，方差等于總體方差除以樣本容量。公式：若總體均值為μ，總體方差為σ2，則樣本均值XˉXˉ的分布為Xˉ～N(μ,σ2n)Xˉ～N(μ,nσ2?)應(yīng)用：樣本均值的置信區(qū)間的構(gòu)建假設(shè)檢驗(yàn)中的z檢驗(yàn)6.4抽樣分布抽樣分布是指樣本統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值、樣本比例等）的概率分布。樣本均值的抽樣分布：中心極限定理：當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，樣本均值的分布趨近于正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)誤差：樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為SEXˉ=σnSEXˉ?=n?σ?樣本比例的抽樣分布：二項(xiàng)分布近似：當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，樣本比例的分布可以近似為正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)誤差：樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤差為SEp^=p(1?p)nSEp^??=np(1?p)??

第七章參數(shù)估計(jì)7.1點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)是通過樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)總體參數(shù)的一種方法。它提供了一個(gè)具體的數(shù)值作為參數(shù)的估計(jì)值。定義：點(diǎn)估計(jì)是用一個(gè)統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值、樣本比例等）來估計(jì)總體參數(shù)。常用點(diǎn)估計(jì)量：樣本均值

XˉXˉ

估計(jì)總體均值

μμ。樣本方差

S2S2

估計(jì)總體方差

σ2σ2。樣本比例

p^p^?

估計(jì)總體比例

pp。無偏性：如果估計(jì)量的期望值等于被估計(jì)的參數(shù)，則該估計(jì)量是無偏的。公式：E(θ^)=θE(θ^)=θ有效性：在所有無偏估計(jì)量中，具有最小方差的估計(jì)量是最有效的。公式：Var(θ^1)≤Var(θ^2)Var(θ^1?)≤Var(θ^2?)7.2區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)是通過樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)總體參數(shù)的一個(gè)范圍，而不是一個(gè)具體的數(shù)值。這個(gè)范圍通常包含真實(shí)的總體參數(shù)，并且有一定的置信水平。置信區(qū)間（ConfidenceInterval,CI）：給定一個(gè)置信水平

1?α1?α，置信區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間，有

1?α1?α

的概率包含真實(shí)的總體參數(shù)。構(gòu)造步驟：選擇估計(jì)量：選擇合適的統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值

XˉXˉ）。確定標(biāo)準(zhǔn)誤差：計(jì)算估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差（如

σnn?σ?

或

Snn?S?）。選擇臨界值：根據(jù)置信水平

1?α1?α

和分布類型（如正態(tài)分布或t分布），查找相應(yīng)的臨界值（如

zα/2zα/2?

或

tα/2,n?1tα/2,n?1?）。構(gòu)建置信區(qū)間：使用公式

Xˉ±zα/2?σnXˉ±zα/2??n?σ?

或

Xˉ±tα/2,n?1?SnXˉ±tα/2,n?1??n?S?

構(gòu)建置信區(qū)間。常見置信區(qū)間的構(gòu)造：總體均值的置信區(qū)間：已知總體方差

σ2σ2：Xˉ±zα/2?σnXˉ±zα/2??n?σ?未知總體方差

σ2σ2：Xˉ±tα/2,n?1?SnXˉ±tα/2,n?1??n?S?總體比例的置信區(qū)間：p^±zα/2?p^(1?p^)np^?±zα/2??np^?(1?p^?)??7.3總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)是基于樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)誤差來估計(jì)總體均值的一個(gè)范圍。已知總體方差

σ2σ2：公式：Xˉ±zα/2?σnXˉ±zα/2??n?σ?應(yīng)用：當(dāng)總體方差已知時(shí)，可以使用正態(tài)分布來構(gòu)造置信區(qū)間。未知總體方差

σ2σ2：公式：Xˉ±tα/2,n?1?SnXˉ±tα/2,n?1??n?S?應(yīng)用：當(dāng)總體方差未知時(shí)，需要使用t分布來構(gòu)造置信區(qū)間。樣本大小的影響：增加樣本大小可以減小置信區(qū)間的寬度，提高估計(jì)的精度。置信水平的影響：提高置信水平會(huì)增加置信區(qū)間的寬度，降低估計(jì)的精度。7.4總體比例的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)是基于樣本比例來估計(jì)總體比例的一個(gè)范圍。公式：p^±zα/2?p^(1?p^)np^?±zα/2??np^?(1?p^?)??應(yīng)用：適用于二項(xiàng)分布數(shù)據(jù)，如調(diào)查中的支持率、患病率等。樣本大小的影響：增加樣本大小可以減小置信區(qū)間的寬度，提高估計(jì)的精度。置信水平的影響：提高置信水平會(huì)增加置信區(qū)間的寬度，降低估計(jì)的精度。第八章假設(shè)檢驗(yàn)8.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理假設(shè)檢驗(yàn)是一種統(tǒng)計(jì)方法，用于判斷關(guān)于總體參數(shù)的某個(gè)假設(shè)是否成立。它通過樣本數(shù)據(jù)來推斷總體參數(shù)的真實(shí)情況。原假設(shè)（NullHypothesis,

H0H0?）：假設(shè)總體參數(shù)等于某個(gè)特定值。備擇假設(shè)（AlternativeHypothesis,

H1H1?）：假設(shè)總體參數(shù)不等于、大于或小于某個(gè)特定值。顯著性水平（SignificanceLevel,

αα）：預(yù)先設(shè)定的拒絕原假設(shè)的概率閾值。P值（P-value）：在原假設(shè)成立的情況下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。決策規(guī)則：如果P值小于顯著性水平

αα，則拒絕原假設(shè)。如果P值大于或等于顯著性水平

αα，則不拒絕原假設(shè)。8.2I類錯(cuò)誤與II類錯(cuò)誤在假設(shè)檢驗(yàn)中，可能會(huì)犯兩種類型的錯(cuò)誤：I類錯(cuò)誤和II類錯(cuò)誤。I類錯(cuò)誤（TypeIError）：當(dāng)原假設(shè)

H0H0?

為真時(shí)，錯(cuò)誤地拒絕了原假設(shè)。概率：記作

αα，即顯著性水平。II類錯(cuò)誤（TypeIIError）：當(dāng)原假設(shè)

H0H0?

為假時(shí)，錯(cuò)誤地接受了原假設(shè)。概率：記作

ββ。功效（PoweroftheTest）：正確拒絕原假設(shè)的概率，即

1?β1?β。影響因素：樣本大?。涸龃髽颖敬笮】梢詼p少I類錯(cuò)誤和II類錯(cuò)誤的概率。顯著性水平：提高顯著性水平

αα

可以減少I類錯(cuò)誤的概率，但會(huì)增加II類錯(cuò)誤的概率。效應(yīng)大小：效應(yīng)越大，越容易檢測到，從而減少II類錯(cuò)誤的概率。8.3單個(gè)總體均值的檢驗(yàn)單個(gè)總體均值的檢驗(yàn)是通過樣本均值來檢驗(yàn)總體均值是否等于某個(gè)特定值。已知總體方差

σ2σ2：Z檢驗(yàn)：公式：Z=Xˉ?μ0σ/nZ=σ/n?Xˉ?μ0??應(yīng)用：當(dāng)總體方差已知時(shí)，使用正態(tài)分布進(jìn)行檢驗(yàn)。未知總體方差

σ2σ2：t檢驗(yàn)：公式：t=Xˉ?μ0S/nt=S/n?Xˉ?μ0??應(yīng)用：當(dāng)總體方差未知時(shí)，使用t分布進(jìn)行檢驗(yàn)。步驟：提出假設(shè)：設(shè)定原假設(shè)

H0H0?

和備擇假設(shè)

H1H1?。選擇顯著性水平

αα。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算Z或t值。確定臨界值：查找相應(yīng)的臨界值

zα/2zα/2?

或

tα/2,n?1tα/2,n?1?。做出決策：比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與臨界值，決定是否拒絕原假設(shè)。8.4單個(gè)總體比例的檢驗(yàn)單個(gè)總體比例的檢驗(yàn)是通過樣本比例來檢驗(yàn)總體比例是否等于某個(gè)特定值。公式：Z=p^?p0p0(1?p0)nZ=np0?(1?p0?)??p^??p0??應(yīng)用：適用于二項(xiàng)分布數(shù)據(jù)，如調(diào)查中的支持率、患病率等。步驟：提出假設(shè)：設(shè)定原假設(shè)

H0H0?

和備擇假設(shè)

H1H1?。選擇顯著性水平

αα。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算Z值。確定臨界值：查找相應(yīng)的臨界值

zα/2zα/2?。做出決策：比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與臨界值，決定是否拒絕原假設(shè)。第九章兩個(gè)總體的比較9.1兩個(gè)獨(dú)立樣本均值的比較兩個(gè)獨(dú)立樣本均值的比較是通過兩組獨(dú)立樣本的數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否存在顯著差異。已知總體方差

σ12σ12?

和

σ22σ22?：Z檢驗(yàn)：公式：Z=(Xˉ1?Xˉ2)?(μ1?μ2)σ12n1+σ22n2Z=n1?σ12??+n2?σ22???(Xˉ1??Xˉ2?)?(μ1??μ2?)?應(yīng)用：當(dāng)兩個(gè)總體方差已知時(shí)，使用正態(tài)分布進(jìn)行檢驗(yàn)。未知總體方差

σ12σ12?

和

σ22σ22?：t檢驗(yàn)：公式：t=(Xˉ1?Xˉ2)?(μ1?μ2)S12n1+S22n2t=n1?S12??+n2?S22???(Xˉ1??Xˉ2?)?(μ1??μ2?)?應(yīng)用：當(dāng)兩個(gè)總體方差未知時(shí)，使用t分布進(jìn)行檢驗(yàn)。方差齊性檢驗(yàn)：在進(jìn)行t檢驗(yàn)之前，需要檢驗(yàn)兩個(gè)總體的方差是否相等。F檢驗(yàn)：公式：F=S12S22F=S22?S12??應(yīng)用：如果F值落在臨界值范圍內(nèi)，則認(rèn)為方差相等。步驟：提出假設(shè)：設(shè)定原假設(shè)

H0H0?

和備擇假設(shè)

H1H1?。選擇顯著性水平

αα。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算Z或t值。確定臨界值：查找相應(yīng)的臨界值

zα/2zα/2?

或

tα/2,dftα/2,df?。做出決策：比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與臨界值，決定是否拒絕原假設(shè)。9.2成對(duì)樣本均值的比較成對(duì)樣本均值的比較是通過配對(duì)樣本的數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否存在顯著差異。t檢驗(yàn)：公式：t=Dˉ?μDSD/nt=SD?/n?Dˉ?μD??應(yīng)用：適用于前后測量、對(duì)照實(shí)驗(yàn)等配對(duì)設(shè)計(jì)。其中：DˉDˉ

是差值的均值，SDSD?

是差值的標(biāo)準(zhǔn)差，nn

是樣本對(duì)數(shù)。步驟：提出假設(shè)：設(shè)定原假設(shè)

H0H0?

和備擇假設(shè)

H1H1?。選擇顯著性水平

αα。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算t值。確定臨界值：查找相應(yīng)的臨界值

tα/2,n?1tα/2,n?1?。做出決策：比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與臨界值，決定是否拒絕原假設(shè)。9.3兩個(gè)總體比例的比較兩個(gè)總體比例的比較是通過兩組獨(dú)立樣本的數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)兩個(gè)總體比例是否存在顯著差異。Z檢驗(yàn)：公式：Z=(p^1?p^2)?(p1?p2)p^(1?p^)(1n1+1n2)Z=p^?(1?p^?)(n1?1?+n2?1?)?(p^?1??p^?2?)?(p1??p2?)?其中：p^=x1+x2n1+n2p^?=n1?+n2?x1?+x2??，x1x1?

和

x2x2?

分別是兩組樣本中成功事件的數(shù)量。應(yīng)用：適用于二項(xiàng)分布數(shù)據(jù)，如不同群體的支持率、患病率等。步驟：提出假設(shè)：設(shè)定原假設(shè)

H0H0?

和備擇假設(shè)

H1H1?。選擇顯著性水平

αα。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算Z值。確定臨界值：查找相應(yīng)的臨界值

zα/2zα/2?。做出決策：比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與臨界值，決定是否拒絕原假設(shè)。第十章方差分析10.1單因素ANOVA單因素方差分析（One-WayANOVA）用于比較兩個(gè)或多個(gè)獨(dú)立組的均值是否存在顯著差異。它假設(shè)所有組的數(shù)據(jù)來自具有相同方差的正態(tài)分布總體。定義：單因素方差分析是通過比較組間變異與組內(nèi)變異來判斷不同組的均值是否顯著不同的方法。基本原理：組間變異（Between-GroupsVariance,

SSBSSB）：各組均值與總均值之間的差異。組內(nèi)變異（Within-GroupsVariance,

SSWSSW）：每個(gè)組內(nèi)部數(shù)據(jù)與其組均值之間的差異?？傋儺悾═otalVariance,

SSTSST）：所有數(shù)據(jù)與其總均值之間的差異。公式：SST=SSB+SSWSST=SSB+SSWF統(tǒng)計(jì)量：計(jì)算公式：F=MSBMSWF=MSWMSB?其中：MSB=SSBdfBMSB=dfB?SSB?，MSW=SSWdfWMSW=dfW?SSW?自由度：dfB=k?1dfB?=k?1，dfW=N?kdfW?=N?k，kk

是組數(shù)，NN

是總樣本量。步驟：提出假設(shè)：原假設(shè)

H0H0?：所有組的均值相等；備擇假設(shè)

H1H1?：至少有一組的均值與其他組不同。選擇顯著性水平

αα。計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算F值。確定臨界值：查找相應(yīng)的臨界值

Fα,dfB,dfWFα,dfB?,dfW??。做出決策：如果F值大于臨界值，則拒絕原假設(shè)，否則不拒絕原假設(shè)。10.2多重比較在單因素ANOVA中，當(dāng)拒絕原假設(shè)時(shí)，表明至少有一組的均值與其他組不同，但具體哪些組之間存在顯著差異需要進(jìn)一步進(jìn)行多重比較。TukeyHSD法（HonestlySignificantDifference）：定義：通過計(jì)算每對(duì)組均值之間的差異，并與一個(gè)臨界值進(jìn)行比較，以確定哪些組之間存在顯著差異。公式：q=Xˉi?XˉjMSWnq=nMSW??Xˉi??Xˉj??臨界值：查表得到

qα,k,N?kqα,k,N?k?Bonferroni校正：定義：通過對(duì)每個(gè)比較的顯著性水平進(jìn)行調(diào)整，以控制整體的I類錯(cuò)誤率。公式：調(diào)整后的顯著性水平

α′=αmα′=mα?，其中

mm

是比較的次數(shù)。其他方法：Duncan'sMultipleRangeTestScheffé'sMethod10.3雙因素ANOVA雙因素方差分析（Two-WayANOVA）用于研究兩個(gè)因素及其交互作用對(duì)響應(yīng)變量的影響。定義：雙因素方差分析考慮了兩個(gè)因素（A和B）及其交互作用對(duì)響應(yīng)變量的影響。主效應(yīng)（MainEffects）：因素A的主效應(yīng)：不同水平的A對(duì)響應(yīng)變量的影響。因素B的主效應(yīng)：不同水平的B對(duì)響應(yīng)變量的影響。交互效應(yīng)（InteractionEffect）：定義：因素A和因素B的組合對(duì)響應(yīng)變量的影響。公式：交互效應(yīng)的檢驗(yàn)通過計(jì)算交互項(xiàng)的平方和

SSABSSAB?

并構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行。模型：無重復(fù)測量的設(shè)計(jì)：每個(gè)單元格只有一個(gè)觀測值。有重復(fù)測量的設(shè)計(jì)：每個(gè)單元格有多個(gè)觀測值。步驟：提出假設(shè)：設(shè)定原假設(shè)

H0H0?

和備擇假設(shè)

H1H1?。選擇顯著性水平

αα。計(jì)算平方和：計(jì)算各個(gè)效應(yīng)的平方和

SSASSA?,

SSBSSB?,

SSABSSAB?,

SSWSSW。計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量：構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量

FAFA?,

FBFB?,

FABFAB?。確定臨界值：查找相應(yīng)的臨界值

Fα,dfA,dfWFα,dfA?,dfW??,

Fα,dfB,dfWFα,dfB?,dfW??,

Fα,dfAB,dfWFα,dfAB?,dfW??。做出決策：比較F統(tǒng)計(jì)量與臨界值，決定是否拒絕原假設(shè)。第十一章回歸分析11.1簡單線性回歸簡單線性回歸（SimpleLinearRegression）是一種用于研究兩個(gè)連續(xù)變量之間線性關(guān)系的方法。定義：簡單線性回歸通過擬合一條直線來描述自變量

XX

與因變量

YY

之間的關(guān)系。模型：Y=β0+β1X+?Y=β0?+β1?X+?其中：β0β0?

是截距，β1β1?

是斜率，??

是誤差項(xiàng)。最小二乘法（LeastSquaresMethod）：目標(biāo)：使殘差平方和最小化。公式：∑(Yi?Y^i)2∑(Yi??Y^i?)2

最小估計(jì)參數(shù)：β^1=∑(Xi?Xˉ)(Yi?Yˉ)∑(Xi?Xˉ)2β^?1?=∑(Xi??Xˉ)2∑(Xi??Xˉ)(Yi??Yˉ)?，β^0=Yˉ?β^1Xˉβ^?0?=Yˉ?β^?1?Xˉ假設(shè)檢驗(yàn)：斜率的顯著性檢驗(yàn)：t=β^1SE(β^1)t=SE(β^?1?)β^?1??相關(guān)系數(shù)

rr：衡量

XX

和

YY

之間的線性相關(guān)程度。應(yīng)用：預(yù)測因變量

YY

的值評(píng)估自變量

XX

對(duì)因變量

YY

的影響11.2多元線性回歸多元線性回歸（MultipleLinearRegression）是一種用于研究多個(gè)自變量與一個(gè)因變量之間線性關(guān)系的方法。定義：多元線性回歸通過擬合一個(gè)平面或超平面來描述多個(gè)自變量

X1,X2,…,XkX1?,X2?,…,Xk?

與因變量

YY

之間的關(guān)系。模型：Y=β0+β1X1+β2X2+?+βkXk+?Y=β0?+β1?X1?+β2?X2?+?+βk?Xk?+?最小二乘法：目標(biāo)：使殘差平方和最小化。公式：∑(Yi?Y^i)2∑(Yi??Y^i?)2

最小估計(jì)參數(shù)：使用矩陣方法或逐步回歸法估計(jì)參數(shù)。假設(shè)檢驗(yàn)：整體顯著性檢驗(yàn)：F=MSRMSEF=MSEMSR?，其中

MSRMSR

是回歸平方和的均值，MSEMSE

是誤差平方和的均值。個(gè)別回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)：t=β^jSE(β^j)t=SE(β^?j?)β^?j??應(yīng)用：預(yù)測因變量

YY

的值評(píng)估多個(gè)自變量對(duì)因變量

YY

的聯(lián)合影響11.3回歸診斷回歸診斷用于評(píng)估回歸模型的假設(shè)是否成立，以及模型的擬合效果如何。殘差分析：定義：殘差是實(shí)際觀測值與預(yù)測值之間的差異。圖形：殘差圖、標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖目的：檢查殘差是否符合正態(tài)分布、是否存在異方差、是否有異常值異方差性：定義：誤差項(xiàng)的方差隨自變量的變化而變化。檢測方法：Breusch-Pagan檢驗(yàn)、White檢驗(yàn)解決方法：加權(quán)最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS）多重共線性：定義：自變量之間存在高度相關(guān)性。檢測方法：方差膨脹因子（VIF）解決方法：刪除冗余變量、使用主成分回歸（PCR）、嶺回歸（RidgeRegression）異常值檢測：定義：離群點(diǎn)是指與其他觀測值顯著不同的數(shù)據(jù)點(diǎn)。檢測方法：Cook'sDistance、Leverage處理方法：刪除異常值、穩(wěn)健回歸第十二章相關(guān)分析12.1Pearson相關(guān)系數(shù)Pearson相關(guān)系數(shù)（PearsonCorrelationCoefficient）用于衡量兩個(gè)連續(xù)變量之間的線性相關(guān)程度。定義：Pearson相關(guān)系數(shù)

rr

表示兩個(gè)變量

XX

和

YY

之間的線性相關(guān)程度。公式：r=∑(Xi?Xˉ)(Yi?Yˉ)∑(Xi?Xˉ)2∑(Yi?Yˉ)2r=∑(Xi??Xˉ)2∑(Yi??Yˉ)2?∑(Xi??Xˉ)(Yi??Yˉ)?取值范圍：?1≤r≤1?1≤r≤1r=1r=1：完全正相關(guān)r=?1r=?1：完全負(fù)相關(guān)r=0r=0：無線性相關(guān)顯著性檢驗(yàn)：假設(shè)：H0:ρ=0H0?:ρ=0，H1:ρ≠0H1?:ρ=0檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t=rn?21?r2t=1?r2?rn?2??自由度：df=n?2df=n?212.2Spearman秩相關(guān)Spearman秩相關(guān)（SpearmanRankCorrelation）用于衡量兩個(gè)變量之間的單調(diào)關(guān)系，適用于非線性關(guān)系或定序數(shù)據(jù)。定義：Spearman秩相關(guān)系數(shù)

rsrs?

表示兩個(gè)變量

XX

和

YY

之間的單調(diào)相關(guān)程度。公式：rs=1?6∑di2n(n2?1)rs?=1?n(n2?1)6∑di2??其中，didi?

是

XX

和

YY

的秩次之差。取值范圍：?1≤rs≤1?1≤rs?≤1rs=1rs?=1：完全正單調(diào)相關(guān)rs=?1rs?=?1：完全負(fù)單調(diào)相關(guān)rs=0rs?=0：無單調(diào)相關(guān)顯著性檢驗(yàn)：假設(shè)：H0:ρs=0H0?:ρs?=0，H1:ρs≠0H1?:ρs?=0檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t=rsn?21?rs2t=1?rs2??rs?n?2??自由度：df=n?2df=n?212.3Kendall'stauKendall'stau（肯德爾等級(jí)相關(guān)系數(shù)）用于衡量兩個(gè)變量之間的單調(diào)關(guān)系，適用于小樣本數(shù)據(jù)。定義：Kendall'stau

ττ

表示兩個(gè)變量

XX

和

YY

之間的單調(diào)相關(guān)程度。公式：τ=P?Q(P+Q+Tx)(P+Q+Ty)τ=(P+Q+Tx?)(P+Q+Ty?)?P?Q?其中，PP

是一致對(duì)數(shù)，QQ

是不一致對(duì)數(shù)，TxTx?

和

TyTy?

是結(jié)點(diǎn)數(shù)。取值范圍：?1≤τ≤1?1≤τ≤1τ=1τ=1：完全正單調(diào)相關(guān)τ=?1τ=?1：完全負(fù)單調(diào)相關(guān)τ=0τ=0：無單調(diào)相關(guān)顯著性檢驗(yàn)：假設(shè)：H0:τ=0H0?:τ=0，H1:τ≠0H1?:τ=0檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：z=3τn(n?1)2(2n+5)z=2(2n+5)?3τn(n?1)??自由度：df=1df=1第十三章時(shí)間序列分析13.1時(shí)間序列的基本概念時(shí)間序列（TimeSeries）是一組按時(shí)間順序排列的數(shù)據(jù)，通常用于分析和預(yù)測未來趨勢。定義：時(shí)間序列是一組按時(shí)間順序記錄的數(shù)據(jù)點(diǎn)。組成：趨勢（Trend）：長期的上升或下降趨勢。季節(jié)性（Seasonality）：周期性的波動(dòng)。周期性（Cyclicality）：非固定的、較長周期的波動(dòng)。隨機(jī)性（Randomness）：不可預(yù)測的隨機(jī)波動(dòng)。平穩(wěn)性（Stationarity）：定義：時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特性（如均值、方差）不隨時(shí)間變化。重要性：許多時(shí)間序列分析方法要求數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。分解：加法模型：Yt=Tt+St+Ct+RtYt?=Tt?+St?+Ct?+Rt?乘法模型：Yt=Tt×St×Ct×RtYt?=Tt?×St?×Ct?×Rt?13.2平滑技術(shù)平滑技術(shù)用于減少時(shí)間序列中的隨機(jī)波動(dòng)，使其更容易識(shí)別趨勢和季節(jié)性。移動(dòng)平均法（MovingAverage,MA）：定義：通過計(jì)算一定窗口內(nèi)的平均值來平滑數(shù)據(jù)。公式：MAt=1k∑i=0k?1Yt?iMAt?=k1?∑i=0k?1?Yt?i?優(yōu)點(diǎn)：簡單易用缺點(diǎn)：滯后效應(yīng)指數(shù)平滑法（ExponentialSmoothing,ES）：定義：通過賦予近期數(shù)據(jù)更高的權(quán)重來平滑數(shù)據(jù)。公式：ESt=αYt+(1?α)ESt?1ESt?=αYt?+(1?α)ESt?1?參數(shù)：平滑系數(shù)

αα（0<

αα

<1）類型：簡單指數(shù)平滑：適用于無趨勢、無季節(jié)性的數(shù)據(jù)雙重指數(shù)平滑（Holt'sMethod）：適用于有趨勢的數(shù)據(jù)三重指數(shù)平滑（Holt-WintersMethod）：適用于有趨勢和季節(jié)性的數(shù)據(jù)13.3自回歸模型自回歸模型（AutoregressiveModel,AR）用于建模時(shí)間序列數(shù)據(jù)，基于當(dāng)前值與過去值之間的線性關(guān)系。定義：AR(p)模型表示當(dāng)前值

YtYt?

是其前p個(gè)值的線性組合加上一個(gè)誤差項(xiàng)。公式：Yt=c+?1Yt?1+?2Yt?2+?+?pYt?p+?tYt?=c+?1?Yt?1?+?2?Yt?2?+?+?p?Yt?p?+?t?其中，cc

是常數(shù)項(xiàng)，?1,?2,…,?p?1?,?2?,…,?p?

是自回歸系數(shù)，?t?t?

是誤差項(xiàng)。參數(shù)估計(jì)：使用最大似然估計(jì)或最小二乘法估計(jì)參數(shù)。模型選擇：通過AIC（AkaikeInformationCriterion）或BIC（BayesianInformationCriterion）選擇最優(yōu)模型。13.4季節(jié)性時(shí)間序列模型季節(jié)性時(shí)間序列模型用于處理具有明顯季節(jié)性特征的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。SARIMA模型（SeasonalAutoregressiveIntegratedMovingAverage）：定義：結(jié)合自回歸、差分、移動(dòng)平均和平穩(wěn)性處理的季節(jié)性時(shí)間序列模型。公式：SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s其中，p,d,q分別是非季節(jié)部分的自回歸階數(shù)、差分階數(shù)和移動(dòng)平均階數(shù)。P,D,Q分別是季節(jié)部分的自回歸階數(shù)、差分階數(shù)和移動(dòng)平均階數(shù)。s是季節(jié)周期長度。季節(jié)性調(diào)整：定義：從時(shí)間序列中去除季節(jié)性成分，以便更好地分析趨勢和其他特征。方法：X-13ARIMA-SEATS、TRAMO/SEATS應(yīng)用：經(jīng)濟(jì)指標(biāo)：GDP、失業(yè)率氣象數(shù)據(jù)：溫度、降水量銷售數(shù)據(jù)：月度銷售額第十四章非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法14.1符號(hào)檢驗(yàn)符號(hào)檢驗(yàn)（SignTest）是一種非參數(shù)檢驗(yàn)方法，用于檢驗(yàn)兩個(gè)相關(guān)樣本的中位數(shù)是否相同。它基于符號(hào)（正或負(fù)）的數(shù)量來進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。定義：符號(hào)檢驗(yàn)通過比較兩組配對(duì)數(shù)據(jù)之間的差異符號(hào)來判斷兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是否有顯著差異。步驟：提出假設(shè)：原假設(shè)

H0H0?：中位數(shù)差為0；備擇假設(shè)

H1H1?：中位數(shù)差不為0。選擇顯著性水平

αα。計(jì)算差異符號(hào)：對(duì)于每一對(duì)數(shù)據(jù)，計(jì)算其差值，并記錄差值的符號(hào)（正或負(fù)）。統(tǒng)計(jì)符號(hào)數(shù)量：計(jì)算正符號(hào)和負(fù)符號(hào)的數(shù)量。確定臨界值：根據(jù)樣本大小查找相應(yīng)的臨界值。做出決策：如果正符號(hào)或負(fù)符號(hào)的數(shù)量落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)，否則不拒絕原假設(shè)。應(yīng)用：比較治療前后的效果檢驗(yàn)兩種測量方法的一致性14.2Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)（WilcoxonSigned-RankTest）是符號(hào)檢驗(yàn)的一種擴(kuò)展，不僅考慮了符號(hào)，還考慮了差值的大小。定義：Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)通過比較兩組配對(duì)數(shù)據(jù)之間的差異符號(hào)及其大小來判斷兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是否有顯著差異。步驟：提出假設(shè)：原假設(shè)

H0H0?：中位數(shù)差為0；備擇假設(shè)

H1H1?：中位數(shù)差不為0。選擇顯著性水平

αα。計(jì)算差異：對(duì)于每一對(duì)數(shù)據(jù)，計(jì)算其差值。排除零差值：去掉差值為0的數(shù)據(jù)。排序并賦予秩：按絕對(duì)值從小到大對(duì)差值進(jìn)行排序，并賦予秩。計(jì)算秩和：分別計(jì)算正秩和與負(fù)秩和。確定臨界值：根據(jù)樣本大小查找相應(yīng)的臨界值。做出決策：如果較小的秩和落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)，否則不拒絕原假設(shè)。應(yīng)用：比較治療前后的效果檢驗(yàn)兩種測量方法的一致性14.3Mann-WhitneyU檢驗(yàn)Mann-WhitneyU檢驗(yàn)（Mann-WhitneyUTest）是一種非參數(shù)檢驗(yàn)方法，用于比較兩個(gè)獨(dú)立樣本的分布是否存在顯著差異。定義：Mann-WhitneyU檢驗(yàn)通過比較兩個(gè)獨(dú)立樣本的秩次來判斷它們的分布是否有顯著差異。步驟：提出假設(shè)：原假設(shè)

H0H0?：兩個(gè)總體的分布相同；備擇假設(shè)

H1H1?：兩個(gè)總體的分布不同。選擇顯著性水平

αα。合并數(shù)據(jù)并排序：將兩個(gè)樣本合并，并按大小順序排列。賦秩：給每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)賦予一個(gè)秩次。計(jì)算秩和：分別計(jì)算兩個(gè)樣本的秩和。計(jì)算U統(tǒng)計(jì)量：U1=n1n2+n1(n1+1)2?R1U1?=n1?n2?+2n1?(n1?+1)??R1?

U2=n1n2+n2(n2+1)2?R2U2?=n1?n2?+2n2?(n2?+1)??R2?

其中，R1R1?

和

R2R2?

分別是兩個(gè)樣本的秩和。確定臨界值：根據(jù)樣本大小查找相應(yīng)的臨界值。做出決策：如果較小的U值落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)，否則不拒絕原假設(shè)。應(yīng)用：比較兩個(gè)獨(dú)立樣本的中心位置檢驗(yàn)兩個(gè)處理組的效果差異14.4Kruskal-Wallis檢驗(yàn)Kruskal-Wallis檢驗(yàn)（Kruskal-WallisHTest）是一種非參數(shù)檢驗(yàn)方法，用于比較多個(gè)獨(dú)立樣本的分布是否存在顯著差異。定義：Kruskal-Wallis檢驗(yàn)通過比較多個(gè)獨(dú)立樣本的秩次來判斷它們的分布是否有顯著差異。步驟：提出假設(shè)：原假設(shè)

H0H0?：所有總體的分布相同；備擇假設(shè)

H1H1?：至少有一個(gè)總體的分布與其他不同。選擇顯著性水平

αα。合并數(shù)據(jù)并排序：將所有樣本合并，并按大小順序排列。賦秩：給每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)賦予一個(gè)秩次。計(jì)算秩和：分別計(jì)算每個(gè)樣本的秩和。計(jì)算H統(tǒng)計(jì)量：H=12N(N+1)∑i=1kRi2ni?3(N+1)H=N(N+1)12?∑i=1k?ni?Ri2???3(N+1)

其中，NN

是總樣本量，kk

是樣本組數(shù)，RiRi?

是第

ii

組的秩和，nini?

是第

ii

組的樣本量。確定臨界值：根據(jù)自由度

df=k?1df=k?1

查找相應(yīng)的臨界值。做出決策：如果H值大于臨界值，則拒絕原假設(shè)，否則不拒絕原假設(shè)。應(yīng)用：比較多個(gè)獨(dú)立樣本的中心位置檢驗(yàn)多個(gè)處理組的效果差異第十五章統(tǒng)計(jì)軟件實(shí)戰(zhàn)15.1R語言入門R語言是一種開源的統(tǒng)計(jì)計(jì)算和圖形繪制軟件，廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)和統(tǒng)計(jì)建模等領(lǐng)域。15.2SPSS實(shí)戰(zhàn)SPSS（StatisticalPackagefortheSocialSciences）是一種用戶友好的統(tǒng)計(jì)分析軟件，廣泛應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域。數(shù)據(jù)導(dǎo)入與處理：導(dǎo)入數(shù)據(jù)：File->Open->Data

選擇文件類型（如CSV、Excel）導(dǎo)入數(shù)據(jù)。查看數(shù)據(jù)：在數(shù)據(jù)視圖中查看導(dǎo)入的數(shù)據(jù)。變量定義：在變量視圖中定義變量屬性（名