第14章 勾股定理 華東師大版數(shù)學(xué)八年級上冊單元測試卷(含答案)

第14章勾股定理時間:60分鐘 滿分:100分一、選擇題(每小題3分,共30分)1.直角三角形中∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c,且∠C=90°.若a2=9,b2=16,則c2等于()A.5 B.7 C.25 D.492.下列各組數(shù)中,以它們?yōu)檫叢荒軜?gòu)成直角三角形的是 ()A.3,4,5 B.6,8,10 C.9,12,15 D.5,6,73.如圖,長方形ABCD中,AB=3,AD=1,點A,B在數(shù)軸上,若以點A為圓心,對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點M,則點M表示的數(shù)為()A.10-1 B.10 C.5-1 D.54.如圖,點E在正方形ABCD的內(nèi)部,且∠AEB=90°,AE=6,BE=8,則陰影部分的面積是()A.80 B.76 C.60 D.485.一架長10m的梯子,斜靠在一面豎直的墻上,這時梯足距離墻角6m,若梯子的頂端下滑2m,則梯足將滑動 ()A.0m B.2m C.1m D.3m6.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D為AC上一點,且DA=DB=10,如果△DAB的面積為40,那么DC的長為()A.6 B.7 C.8 D.97.如圖,網(wǎng)格中的小正方形的邊長為1,且點A,B,P都在小正方形的格點上,則∠PAB+∠PBA=()A.30° B.60° C.45° D.75°8.如圖,有一個由傳感器控制的燈A,裝在門上方離地4.5m的墻上,任何物體只要移至該燈周圍5m及5m以內(nèi),燈就會自動發(fā)光.一個身高1.5m的學(xué)生要走到離門多遠(yuǎn)的地方,燈剛好發(fā)光?()A.5m B.7m C.4m D.3m9.在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的第九章《勾股》中記載了這樣一個問題:“今有開門去閫一尺,不合二寸.問門廣幾何?”其大意是:如圖,推開兩扇門(AD和BC),門邊緣D,C兩點到門檻AB的距離是1尺,兩扇門的間隙CD為2寸,則門寬AB是(1尺=10寸)()A.101寸 B.100寸 C.52寸 D.96寸10.如圖,圓柱形容器的高為0.9m,底面周長為1.2m,在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子.此時,一只壁虎正好在容器外壁,離容器頂部0.2m,且與蚊子相對的點A處,則壁虎捕捉蚊子的最短距離為()A.1.3m B.1.2m C.1.1m D.1m二、填空題(每小題3分,共18分)11.木工師傅要做一扇長方形紗窗,做好后量得長為6分米,寬為4分米,對角線為7分米,則這扇紗窗(填“合格”或“不合格”).

12.已知a,b,c是△ABC的三邊長,且滿足關(guān)系c2-a2-b213.如圖是一個圓柱形飲料罐,底面半徑是5,高是12,上底面中心有一個小圓孔,則一條通過小圓孔到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度(罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計)的取值范圍是.

14.已知直角三角形的周長為24,斜邊長為10,則三角形的面積為.

15.如圖,我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形較短的直角邊為a,較長的直角邊為b,那么(a+b)2的值為.

16.如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,點P是BC邊上的動點,過點P分別作PD⊥AB于點D,PE⊥AC于點E,則PD+PE的長是.

三、解答題(共52分)17.(6分)如圖,有一架秋千,當(dāng)它靜止時,踏板離地的垂直高度DE=1m,將它往前推送6m(水平距離BC=6m)時,秋千的踏板離地的垂直高度BF=3m,秋千的繩索始終拉得很直,求繩索AD的長度.18.(7分)古埃及人曾用下面的方法得到直角.如圖1,他們用13個等距的結(jié)把一根繩子分成等長的12段(以結(jié)為端點),一個人站在A處同時握住繩子的第1個結(jié)和第13個結(jié),另外兩個人分別握住第4個結(jié)和第8個結(jié),拉緊繩子,就會得到一個直角三角形,其直角在第4個結(jié)處.(1)你能說說其中的原理嗎?(2)請你仿照上面的方法,用繩子在圖2中設(shè)計一種不同于圖1的直角三角形.(只需畫出示意圖)圖1圖219.(8分)如圖,在△ABC中,D是BC邊上的中點,DE⊥BC于點D,交AB邊于點E,且BE2-EA2=AC2.(1)判斷△ABC的形狀并說明理由;(2)若DE=3,BD=4,求AE的長.20.(9分)如圖,兩個村子A,B在河的同側(cè),A,B兩村到河邊CD的距離分別為AC=1千米,BD=3千米,已知CD=3千米.現(xiàn)要在河邊CD上建造一水廠,向A,B兩村送自來水.鋪設(shè)水管的費用為每千米20000元.(1)請你在CD上確定水廠位置O,使鋪設(shè)水管的費用最省;(2)求出(1)中鋪設(shè)水管的總費用W.21.(10分)勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,其巧妙之處也各有不同,其中的“面積法”給了小聰以靈感,他驚喜地發(fā)現(xiàn):當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時,都可以用“面積法”來證明.下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程:將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放,其中∠DAB=90°,求證:a2+b2=c2.證明:如圖1,連接DB,CD,過點D作BC邊上的高DF,則DF=EC=b-a.∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab,S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b-a),∴12b2+12ab=∴a2+b2=c2.請參照上述證法,利用圖2完成下面的證明:將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放,其中∠DAB=90°,求證:a2+b2=c2.圖1圖222.(12分)如圖,在△ABC中,AB=5cm,BC=3cm.若點P從點A出發(fā),以每秒2cm的速度沿折線A—C—B—A運動,設(shè)運動時間為ts(t>0).(1)當(dāng)點P在AC上,且滿足PA=PB時,求t的值;(2)若點P恰好在∠BAC的平分線上,求t的值;(3)在運動過程中,直接寫出當(dāng)t為何值時,△BCP為等腰三角形(PC≠BC).參考答案與解析1.C2.D3.AAC=AB2+BC2=32+12=10,則AM=10.∵點4.B根據(jù)勾股定理得,AB2=AE2+BE2=62+82=100,故S正方形ABCD=100.又S△ABE=126×8=24,所以S陰影部分=S正方形ABCD-S△ABE=76.5.B如圖,OB=6m,AB=CD=10m,∴在Rt△AOB中,OA=AB2-O=2m,∴OC=OA-AC=6m.在Rt△COD中,OD=CD2-O6=2(m).6.A∵∠C=90°,∴△DAB的面積=12×DA×BC,∴12×10×BC=40,解得BC=8.由勾股定理得,CD=BD2-BC27.C如圖,延長AP交格點于點D,連接BD,∵PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,∴PD2+DB2=PB2,∴∠PDB=90°.又PD=BD,∴△PDB是等腰直角三角形,∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°.8.C如圖,設(shè)CD表示該學(xué)生的身高,點C到點A的距離為5m,則CD=1.5m,AC=5m.過點C作CE⊥AB于點E.由題意可知,BE=CD=1.5m,所以AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m).在Rt△ACE中,由勾股定理得CE=52-32=4(m),所以BD=CE=4m,故一個身高1.5m的學(xué)生要走到離門4m9.A如圖,過點D作DE⊥AB于點E,則DE=10寸.設(shè)單門的寬度AO=x寸,則AE=(x-1)寸.根據(jù)勾股定理,得AD2=DE2+AE2,即x2=102+(x-1)2,解得x=50.5,所以AB=101寸.10.D如圖,由題意得A'D=0.6m,BD=0.8m,∴A'B=A'D2=1(m).11.不合格∵42+62=52≠72=49,∴這扇紗窗不是長方形,故不合格.12.等腰直角三角形由c2-a2-b2+|a-b|=0,得c2-a2-b2=0,且a-b=0,即∴△ABC是等腰直角三角形.13.12≤a≤13如圖,設(shè)點O是下底面的中心,點A是下底面的邊緣上的一點,點B是上底面的中心,當(dāng)吸管底部在O點時,吸管在罐內(nèi)部分a的長度最短,此時a的長等于飲料罐的高,即a=12.當(dāng)吸管底部在A點時,吸管在罐內(nèi)部分a的長度最長,此時a的長等于線段AB的長.在Rt△ABO中,AB2=AO2+BO2=52+122=132,所以AB=13,此時a=13.綜上,a的長度的取值范圍是12≤a≤13.14.24設(shè)該直角三角形兩直角邊長為a,b,∵該直角三角形的周長為24,其斜邊長為10,∴a+b=14,由勾股定理得,a2+b2=102=100.∵(a+b)2=142,∴a2+b2+2ab=196,即ab=48,∴直角三角形的面積=1215.25由題圖可知4×12ab=2ab=13-1=12,a2+b2=13,所以(a+b)2=a2+b如圖,過點A作AF⊥BC于點F,連接AP.在△ABC中,∵AB=AC=5,BC=8,∴BF=4.在Rt△ABF中,由勾股定理,得AF=AB2-BF2=3.∵S△ABC=S△∴12×8×3=12×5PD+12×5PE,即12=117.解：設(shè)秋千的繩索長為xm,則AB=xm,AC=(x-2)m.(2分)在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理可得x2=62+(x-2)2,解得x=10.(5分)答:繩索AD的長度是10m. (6分)18.解：(1)設(shè)相鄰兩結(jié)點之間的距離為a,則此三角形三邊的長分別為3a,4a,5a.∵(3a)2+(4a)2=(5a)2,∴以3a,4a,5a為邊長的三角形是直角三角形,且長為5a的邊所對的角為直角.(5分)(2)如圖所示.(答案不唯一,符合題意即可)(7分)19.解：(1)△ABC是直角三角形.(1分)理由:連接CE,如圖.∵D是BC邊上的中點,DE⊥BC,∴CE=BE.∵BE2-EA2=AC2,∴CE2-EA2=AC2,即EA2+AC2=CE2,∴△ACE是直角三角形,且∠A=90°,∴△ABC是直角三角形.(4分)(2)∵DE⊥BC,DE=3,BD=4,∴BE=DE2+BD2=5=CE,∴AC2=EC2∵D是BC邊上的中點,BD=4,∴BC=2BD=8.在Rt△BAC中,BC2-BA2=64-(5+AE)2=AC2,∴64-(5+AE)2=25-AE2,解得AE=75.(8分20.解：(1)如圖,延長AC到點M,使CM=AC,連接BM交CD于點O,點O就是所選擇的位置.(4分)(2)如圖,連接OA,過點M作MN⊥BD,交BD的延長線于點N.(5分)在Rt△BMN中,BN=BD+DN=4千米,MN=CD=3千米,∴MB=MN2+BN2=32+4∴最短路線AO+BO=MB=5千米,∴鋪設(shè)水管的總費用W=5×20000=100000(元).答:最省的鋪設(shè)水管的總費用是100000元.(9分)“將軍飲馬”問題的解題通法

“將軍飲馬”問題是中考的熱點問題之一,解決這類問題的關(guān)鍵在于找出兩定點中任一點關(guān)于動點所在直線的對稱點,再將另一點與對稱點相連,連線與直線的交點即為所求的點.幾何問題中求線段和的最小值時,通常有兩種模型,即“將軍飲馬”和“兩點之間線段最短”,當(dāng)兩點在直線同側(cè)時,運用前者;當(dāng)兩點在直線異側(cè)時,運用后者.通常情況下,求三角形或四邊形的周長的最小值時,往往也是運用上述兩種模型進(jìn)行解題.21.解：證明:連接BD,過點B作DE邊上的高BF,則BF=b-a.(2分)∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab,(5S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a(b-a),(8∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a(b-a),∴a2+b2=c22.解：(1)∵AB=5cm,BC=3cm,∠C=90°,∴AC=52由PA=PB,PA=2tcm,可得PB=2tcm,PC=(4-2t)cm.在Rt△PCB中,PC2+CB2=PB2,即(4-2t)2+32=(2t)2,解得t=2516∴當(dāng)t=2516時,PA=PB.(4分)(2)當(dāng)點P在∠BAC的平分線上時,如圖1,過點P作PE⊥AB于點E,此時BP=(7-2t)cm,PE=PC=(2t-4)cm,BE=5-4=1(cm).在Rt△BEP中,PE2+BE2=BP2,即(2t