第5講四邊形（講義）原卷版

第5講四邊形模塊一：平行四邊形一．多邊形1、多邊形：在平面內(nèi)，不在同一直線上的一些線段首尾順次聯(lián)結(jié)所組成的封閉圖形，叫做多邊形．由n條線段組成的多邊形就稱為n邊形（）．組成多邊形的每一條線段叫做多邊形的邊．相鄰的兩條線段的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．多邊形相鄰兩邊所在的射線組成的角叫做多邊形的內(nèi)角．聯(lián)結(jié)多邊形的兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．對(duì)于一個(gè)多邊形，畫出它的任意一邊所在的直線，如果其余各邊都在這條直線的一側(cè)，那么這個(gè)多邊形叫做凸多邊形；否則叫做凹多邊形．2、多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于（）．3、由多邊形的一個(gè)內(nèi)角的一邊和另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角，叫做多邊形的外角．對(duì)于多邊形的每一個(gè)內(nèi)角，從與它相鄰的兩個(gè)外角中取一個(gè)，這樣取得的所有外角的和，叫做多邊形的外角和．多邊形的外角和等于360°．二．平行四邊形1、平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．2、平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形性質(zhì)定理1如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別相等．簡(jiǎn)述為：平行四邊形的對(duì)邊相等．平行四邊形性質(zhì)定理2如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等．簡(jiǎn)述為：平行四邊形的對(duì)角相等．平行四邊形性質(zhì)定理3如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線相互平分．簡(jiǎn)述為：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．平行四邊形性質(zhì)定理4平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．3、平行四邊形的判定平行四邊形判定定理1如果一個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形，簡(jiǎn)述：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．平行四邊形判定定理2如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形，簡(jiǎn)述為：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．平行四邊形判定定理3如果一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形，簡(jiǎn)述為：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．平行四邊形判定定理4如果一個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形，簡(jiǎn)述為：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．三．特殊的平行四邊形1、矩形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形．菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．正方形：有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．2、矩形的性質(zhì)定理1：矩形的四個(gè)角都是直角．矩形的性質(zhì)定理2：矩形的兩條對(duì)角線相等．菱形的性質(zhì)定理1：菱形的四條邊都相等．菱形的性質(zhì)定理2：菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．正方形的性質(zhì)定理1：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等.正方形的性質(zhì)定理2：正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角．3、矩形判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．矩形判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．菱形判定定理1：四條邊都相等的四邊形是菱形．菱形判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2020·上海市西南模范中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B的直線與對(duì)角線AC、邊AD分別交于點(diǎn)E和F，過點(diǎn)E作EG∥BC，交AB于G，則圖中相似三角形有（）A．7對(duì) B．6對(duì) C．5對(duì) D．4對(duì)2．（2021·上海寶山區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，，，已知，，那么等于（）．A． B． C． D．3．（2019·上海長(zhǎng)寧區(qū)·）已知四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（）A． B．C． D．二、填空題4．（2019·上海九年級(jí)月考）如圖，為平行四邊形的對(duì)角線上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)．在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)寫出圖中一對(duì)相似三角形:________________．5．（2020·上海九年級(jí)專題練習(xí)）我們知道，四邊形不具有穩(wěn)定性，容易變形．一個(gè)矩形發(fā)生變形后成為一個(gè)平行四邊形，設(shè)這個(gè)平行四邊形相鄰兩個(gè)內(nèi)角中較小的一個(gè)內(nèi)角為α，我們把1cosα的值叫做這個(gè)平行四邊形的變形度．如圖，矩形ABCD的面積為5，如果變形后的平行四邊形A1B1C1D1的面積為3，那么這個(gè)平行四邊形的變形度為6．（2020·上海崇明區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，在中，，點(diǎn)在上，且，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié).若四邊形DCFE和△BDE的面積都為3，則△ABC的面積為____.三、解答題7．（2019·上海九年級(jí)月考）如圖，是平行四邊形的邊上一點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)若，求的長(zhǎng)．8．（2020·上海黃浦區(qū)·九年級(jí)期末）已知，如圖，點(diǎn)E在平行四邊形ABCD的邊CD上，且，設(shè)，．（1）用、表示；（直接寫出答案）（2）設(shè)，在答題卷中所給的圖上畫出的結(jié)果．能力提升一、單選題1．（2021·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)一模）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，，聯(lián)結(jié)，與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．2．（2021·上海奉賢區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，在梯形中，，對(duì)角線交于點(diǎn)是梯形的中位線，與分別交于點(diǎn)，如果的面積為，那么梯形的面積為（）A． B． C． D．二、填空題3．（2021·上海徐匯區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，在中，點(diǎn)分別在邊、上，，將沿直線翻折后與重合，、分別與邊交于點(diǎn)、，如果，，那么的長(zhǎng)是_____．4．（2021·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)一模）如果四邊形邊上的點(diǎn)，它與對(duì)邊兩個(gè)端點(diǎn)的連線將這個(gè)四邊形分成的三個(gè)三角形都相似，我們就把這個(gè)點(diǎn)叫做該四邊形的“強(qiáng)相似點(diǎn)”．如圖1，在四邊形中，點(diǎn)在邊上，如果、和都相似，那么點(diǎn)就是四邊形的“強(qiáng)相似點(diǎn)”；如圖2，在四邊形中，，，，，如果點(diǎn)是邊上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”，那么___．5．（2021·上海市徐匯區(qū)教育學(xué)院九年級(jí)一模）如圖，已知在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，，聯(lián)結(jié)交對(duì)角線于點(diǎn)O，那么的值為_____．6．（2020·上海市西南模范中學(xué)九年級(jí)月考）已知，平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在直線上截取，連接，交于，則___________．7．（2018·上海寶山區(qū)·中考模擬）如圖，點(diǎn)D、E、F分別為△ABC三邊的中點(diǎn)，如果△ABC的面積為S，那么以AD、BE、CF為邊的三角形的面積是_____．8．（2019·上海九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=10cm，CD=5cm，E為AD上一點(diǎn)，且BE=BC，CE=CD，則DE=_____cm三、解答題9．（2021·上海市徐匯區(qū)教育學(xué)院九年級(jí)一模）已知：如圖，在梯形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作，交對(duì)角線于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）如果，求證：線段是線段、的比例中項(xiàng)．10．（2021·上海青浦區(qū)·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)、是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)；（2）設(shè)的面積為，求四邊形的面積．（用含的代數(shù)式表示）模塊二：梯形梯形1、梯形：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形．梯形的底：在梯形中，平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長(zhǎng)的底叫做下底）．梯形的腰：在梯形中，不平行的兩邊叫做梯形的腰．2、直角梯形：有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形．3、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．等腰梯形的性質(zhì)及判定等腰梯形性質(zhì)定理：（1）等腰梯形在同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等．（2）等腰梯形兩條對(duì)角線相等．2、等腰梯形判定定理：（1）在同一底邊上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形．（2）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形．梯形的中位線1、中位線：聯(lián)接梯形兩腰的中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線．2、梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．夯實(shí)基礎(chǔ)一、填空題1．（2021·上海市徐匯區(qū)教育學(xué)院九年級(jí)一模）如圖，已知在中，，，，正方形的頂點(diǎn)G、F分別在邊、上，點(diǎn)D、E在斜邊上，那么正方形的邊長(zhǎng)為_____．2．（2021·上海嘉定區(qū)·九年級(jí)期末）正方形的邊長(zhǎng)與其對(duì)角線長(zhǎng)的比為________.3．（2020·上海虹口區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BD＝BC，如果∠C＝50°，那么∠ABD的度數(shù)是_____．能力提升一、填空題1．（2021·上海長(zhǎng)寧區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，矩形ABCD沿對(duì)角線BD翻折后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處．聯(lián)結(jié)CE交邊AD于點(diǎn)F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的長(zhǎng)等于_________．2．（2021·上海寶山區(qū)·九年級(jí)一模）在一塊直角三角形鐵皮上截一塊正方形鐵皮，如圖，已有的鐵皮是，，要截得的正方形的邊在上，頂點(diǎn)、分別在邊、上，如果，，那么正方形鐵皮的邊長(zhǎng)為______．3．（2020·上海楊浦區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PB，將線段PB繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ，如果點(diǎn)Q恰好落在平行四邊形ABCD的邊上，那么AP的值是_____．二、解答題4．（2020·上海市青浦區(qū)第一中學(xué)九年級(jí)期中）在四邊形中，，平行于，，，點(diǎn)在線段上，聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作，與交于