專題07解題技巧專題：勾股定理與面積、網(wǎng)格、折疊問題(原卷版+解析)(重點(diǎn)突圍)

專題07解題技巧專題：勾股定理與面積、網(wǎng)格、折疊問題【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一三角形中，利用面積求斜邊上的高】 1【考點(diǎn)二巧妙割補(bǔ)求面積】 7【考點(diǎn)三“勾股樹”及其拓展類型求面積】 12【考點(diǎn)四勾股定理與網(wǎng)格問題】 18【考點(diǎn)五勾股定理與折疊問題】 23【典型例題】【考點(diǎn)一三角形中，利用面積求斜邊上的高】例題：（2021·云南·雙柏縣教師進(jìn)修學(xué)校二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點(diǎn)C到AB的距離是________．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為6和8，則斜邊上的高為（

）A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．52．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）直角三角形兩直角邊長(zhǎng)度為5，12，則斜邊上的高為（

）A．6 B．8 C．13 D．3．（2022·黑龍江牡丹江·八年級(jí)期中）在由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成網(wǎng)格中的位置如圖所示，則邊上的高是（

）A．5 B． C．6 D．4．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)西安市第二十六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C均在正方形格點(diǎn)上，則C點(diǎn)到AB的距離為（

）A． B． C． D．5．（2022秋·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的頂點(diǎn)，，在邊長(zhǎng)為的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則邊長(zhǎng)的高為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為__________．7．（2022秋·廣東佛山·八年級(jí)樵北中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則邊上的高為________．8．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，于點(diǎn)，，．求：(1)的長(zhǎng)；(2)的長(zhǎng)．【考點(diǎn)二巧妙割補(bǔ)求面積】例題：（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是一塊草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊草坪的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2021·寧夏中寧縣第三中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四邊形ABCD的面積．2．（2021·陜西師大附中八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在5×5的方格紙中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1（1）線段BC＝，線段CD＝；（2）求四邊形ABCD的面積．（可以根據(jù)需要添加字母）3．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形格點(diǎn)上，（1）邊AC、AB、BC的長(zhǎng)；（2）求△ABC的面積；（3）點(diǎn)C到AB邊的距離4．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市第七中學(xué)校?？计谀┤鐖D，一塊四邊形花圃中，已知，，，，.(1)求四邊形花圃的面積；(2)求到的距離．【考點(diǎn)三“勾股樹”及其拓展類型求面積】例題：（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，該圖形是由直角三角形和正方形構(gòu)成，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為7，則正方形A、B、C、D的面積之和為__________．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南洛陽·八年級(jí)期末）如圖，在中，以AC為直角邊向外作，分別以AB，BC，CD，DA為直徑向外作半圓，面積分別記為S1，S2，S3，S4，已知，，，則S4為（

）A．2 B．3 C． D．2．（2022·貴州銅仁·八年級(jí)期中）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為且，則___________；以的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為，則三者之間的關(guān)系為___________．3．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為．(1)求A，B，C，D四個(gè)正方形的面積之和．(2)若其中每個(gè)直角三角形的最短邊與最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度之比都為3：5，求正方形A，B，C，D的面積．4．（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖②，它可以看作是由邊長(zhǎng)為a、b、c的兩個(gè)直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，(1)請(qǐng)從面積出發(fā)寫出一個(gè)表示a、b、c的關(guān)系的等式；（要求寫出過程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有_______個(gè)．(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_______．【考點(diǎn)四勾股定理與網(wǎng)格問題】例題：（2022秋·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，若A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·遼寧遼陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格中，每一小格的邊長(zhǎng)為1．網(wǎng)格內(nèi)有，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2022春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)______，______；(2)僅用無刻度的直尺作出邊上的高．（保留作圖痕跡）3．（2022秋·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫三角形．(1)在圖1中，畫一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；(2)在圖2中，畫一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是無理數(shù)．4．（2022秋·江蘇·八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中校考周測(cè)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖點(diǎn)A、B、C、D均為格點(diǎn)．請(qǐng)用無刻度的直尺完成下列作圖．(1)圖中的是等腰三角形嗎？_______．（填“是”或“不是”）(2)在圖中找一格點(diǎn)E，使平分．(3)點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作出當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P位置．【考點(diǎn)五勾股定理與折疊問題】例題：（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市第七中學(xué)校校考期末）把一張長(zhǎng)方形紙片按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)和點(diǎn)重合，折痕為．若，，則的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，將沿對(duì)角線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為________．2．（2022秋·遼寧·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在長(zhǎng)方形中，，在上存在一點(diǎn)E，沿直線把折疊，使點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處，若的面積為，那么折痕長(zhǎng)為___________．3．（2022秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）長(zhǎng)方形紙片中，，，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，把∠B沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為______．4．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，△ABC中，，，，為上一點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)C落在邊上的D點(diǎn)處，求的長(zhǎng)．5．（2022秋·廣東河源·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在長(zhǎng)方形紙片中，，把長(zhǎng)方形紙片沿直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)正處，交于點(diǎn)F，若，連接．(1)的長(zhǎng)為；(2)求的面積；(3)試問與的位置關(guān)系，并說明理由．6．（2022秋·四川資陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，把沿直線折疊，使與重合．(1)若，則的度數(shù)為；(2)當(dāng)，的面積為時(shí)，的周長(zhǎng)為（用含的代數(shù)式表示）；(3)若，，求的長(zhǎng)．7．（2022秋·江蘇·八年級(jí)期中）在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，將沿翻折后得到，邊交線段于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)，時(shí)．和有怎樣的位置關(guān)系，為什么？若，，求線段的長(zhǎng)．(2)如圖2，若，折疊后要使和，這兩個(gè)三角形其中一個(gè)是直角三角形而另一個(gè)是等腰三角形．求此時(shí)的度數(shù)．專題07解題技巧專題：勾股定理與面積、網(wǎng)格、折疊問題【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一三角形中，利用面積求斜邊上的高】 1【考點(diǎn)二巧妙割補(bǔ)求面積】 7【考點(diǎn)三“勾股樹”及其拓展類型求面積】 12【考點(diǎn)四勾股定理與網(wǎng)格問題】 18【考點(diǎn)五勾股定理與折疊問題】 23【典型例題】【考點(diǎn)一三角形中，利用面積求斜邊上的高】例題：（2021·云南·雙柏縣教師進(jìn)修學(xué)校二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點(diǎn)C到AB的距離是________．【答案】##7.2##【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)C到斜邊AB的距離是h，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：，設(shè)點(diǎn)C到斜邊AB的距離是h，∵，∴，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為6和8，則斜邊上的高為（

）A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)面積法求出斜邊的高．【詳解】解：設(shè)斜邊長(zhǎng)為c，高為h．由勾股定理可得：c2=62+82，則c=10，直角三角形面積S=×6×8=×c×h，可得h=4.8，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)和利用面積法求直角三角形的高是解決此類題的關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）直角三角形兩直角邊長(zhǎng)度為5，12，則斜邊上的高為（

）A．6 B．8 C．13 D．【答案】D【分析】利用勾股定理和等積法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得：直角三角形的斜邊長(zhǎng)為：，設(shè)斜邊上的高為：，由直角三角形的面積相等可得：，解得：；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的勾股定理的應(yīng)用，求直角三角形斜邊上的高．熟練掌握等積法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·黑龍江牡丹江·八年級(jí)期中）在由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成網(wǎng)格中的位置如圖所示，則邊上的高是（

）A．5 B． C．6 D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖形先求出的面積，然后過點(diǎn)B作AC邊的垂線BD，根據(jù)三角形的面積公式得出邊上的高即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)B作AC邊的垂線，垂足為D，∵，∴，∵由勾股定理知：，∴，∴．故答案選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查網(wǎng)格圖中圖形的面積的計(jì)算，勾股定理和三角形面積公式，正確算出圖形的面積與底邊的長(zhǎng)度是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)西安市第二十六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C均在正方形格點(diǎn)上，則C點(diǎn)到AB的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接、，利用割補(bǔ)法求出，根據(jù)勾股定理求出，設(shè)C點(diǎn)到的距離為h，根據(jù)，即可求出h的值．【詳解】解：如圖，連接、，，，設(shè)C點(diǎn)到的距離為h，∵，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．也考查了三角形的面積和二次根式的運(yùn)算．5．（2022秋·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的頂點(diǎn)，，在邊長(zhǎng)為的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則邊長(zhǎng)的高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：，，邊長(zhǎng)的高，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是，，斜邊長(zhǎng)為，那么解答．6．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長(zhǎng)，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】】解：由勾股定理得：AC=，∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，∴AC?BD=4，∴×2BD=4，∴BD=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·廣東佛山·八年級(jí)樵北中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則邊上的高為________．【答案】【分析】先求解，再利用勾股定理求解，再利用等面積法建立方程即可．【詳解】解：由題意可得：，上的高為2，∴，由勾股定理可得：，設(shè)上的高為，∴，∴，∴邊上的高為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是網(wǎng)格三角形的面積的計(jì)算，等面積法的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的除法應(yīng)用，熟練的求解網(wǎng)格三角形的面積是解本題的關(guān)鍵．8．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，于點(diǎn)，，．求：(1)的長(zhǎng)；(2)的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）在Rt中，由勾股定理得的長(zhǎng)，再根據(jù)等面積法即可求出的長(zhǎng)；（2）直接由勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：在Rt中，由勾股定理得，，，，，故的長(zhǎng)為：12；（2）解：在Rt中，由勾股定理得，，故的長(zhǎng)為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二巧妙割補(bǔ)求面積】例題：（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是一塊草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊草坪的面積．【答案】216平方米【解析】【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理計(jì)算AC，根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形ABC是直角三角形，根據(jù)面積公式計(jì)算即可．【詳解】連接AC，∵AD＝12，CD＝9，∠ADC＝90°，∴AC==15，∵AB＝39，BC＝36，AC=15∴，∴∠ACB=90°，∴這塊空地的面積為：==216（平方米），故這塊草坪的面積216平方米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，熟練掌握定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·寧夏中寧縣第三中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四邊形ABCD的面積．【答案】144【解析】【分析】連接BD，根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)勾股定理的逆定理求出△BCD是直角三角形，分別求出△ABD和△BCD的面積，即可得出答案．【詳解】解：連接BD，在△ABD中，∵∠A=90°，AB=6，AD=8，∴BD==10，S△ABD=AB?AD=×6×8=24，在△BCD中，∵CD=26，BC=24，BD=10，∴BD2+BC2=CD2，∴△BCD是直角三角形，∴S△BCD=BC?BD=×10×24=120．∴四邊形ABCD的面積=S△ABD+S△BCD=24+120=144．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能求出△ABD和△BCD的面積，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．2．（2021·陜西師大附中八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在5×5的方格紙中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1（1）線段BC＝，線段CD＝；（2）求四邊形ABCD的面積．（可以根據(jù)需要添加字母）【答案】（1），；（2）14.5【解析】【分析】（1）在網(wǎng)格中利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）如圖所示，由此求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：，，故答案為：，；（2）如圖所示，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，以及四邊形的面積，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．3．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形格點(diǎn)上，（1）邊AC、AB、BC的長(zhǎng)；（2）求△ABC的面積；（3）點(diǎn)C到AB邊的距離【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算，求出邊AC、AB、BC的長(zhǎng)；（2）根據(jù)三角形的面積公式，正方形的面積公式，結(jié)合圖形計(jì)算；（3）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算．【詳解】解：（1），，；（2）△ABC的面積；（3）點(diǎn)C到AB邊的距離為h，則，即，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．4．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市第七中學(xué)校?？计谀┤鐖D，一塊四邊形花圃中，已知，，，，.(1)求四邊形花圃的面積；(2)求到的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，勾股定理求出，利用勾股定理逆定理證明是直角三角形，且，再根據(jù)面積公式四邊形花圃的面積計(jì)算即可；（2）過點(diǎn)C作于E，利用面積法求出即可．【詳解】（1）解：連接，∵，，，∴m，∵，，∴，∴是直角三角形，且，∴四邊形花圃的面積∴四邊形花圃的面積是；（2）過點(diǎn)C作于E，∵，∴，∴，∴到的距離是．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面積公式，正確掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三“勾股樹”及其拓展類型求面積】例題：（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，該圖形是由直角三角形和正方形構(gòu)成，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為7，則正方形A、B、C、D的面積之和為__________．【答案】49【解析】【分析】根據(jù)正方形A，B，C，D的面積和等于最大的正方形的面積，求解即可求出答案．【詳解】如圖對(duì)所給圖形進(jìn)行標(biāo)注：因?yàn)樗械娜切味际侵苯侨切?，所有的四邊形都是正方形，所以正方形A的面積，正方形B的面積，正方形C的面積，正方形D的面積．因?yàn)?，，所以正方形A，B，C，D的面積和．故答案為：49．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)，面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南洛陽·八年級(jí)期末）如圖，在中，以AC為直角邊向外作，分別以AB，BC，CD，DA為直徑向外作半圓，面積分別記為S1，S2，S3，S4，已知，，，則S4為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】【分析】以AB，BC，CD，DA為直徑向外作半圓的面積分別為S1，S2，S3，S4，再分別用含AB、BC、CD、AD的式子表示S1，S2，S3，S4，結(jié)合可得S1＋S2＝S3﹣S4，從而可得答案．【詳解】解：∵以AB，BC，CD，DA為直徑向外作半圓的面積分別為S1，S2，S3，S4，∴，，∴，，∵∠ABC＝∠CAD＝90°，∴∴，∴S1＋S2＝S3﹣S4，∵S1＝3，S2＝1，S3＝7，∴3＋1＝7﹣S4，∴S4＝3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理建立面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022·貴州銅仁·八年級(jí)期中）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為且，則___________；以的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為，則三者之間的關(guān)系為___________．【答案】

12；

s1+s2=s3【解析】【分析】首先根據(jù)正方形面積公式得到三個(gè)正方形的面積與Rt△ABC的三邊關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理找到Rt△ABC的三邊之間的關(guān)系，并由此得到三個(gè)正方形的面積關(guān)系，最后算出S3的值；第二空同理根據(jù)正三角形面積公式與勾股定理，得到S1，S2，S3三者之間的關(guān)系，完成解答．【詳解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的邊長(zhǎng)，∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，又∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S3=4+8=12，又∵Rt△ABC三邊向外作等邊三角形，其面積為S1，S2，S3，∴S1==×AC2，同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2，∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．故答案是：12，S1+S2=S3．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和正方形、正三角形的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用勾股定理．3．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為．(1)求A，B，C，D四個(gè)正方形的面積之和．(2)若其中每個(gè)直角三角形的最短邊與最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度之比都為3：5，求正方形A，B，C，D的面積．【答案】(1)(2)正方形，，，的面積分別為：，，，【分析】（1）按照?qǐng)D形，根據(jù)勾股定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理，列方程解答即可．【詳解】（1）解：如圖所示：依次設(shè)三個(gè)空白正方形為，，由勾股定理可得：正方形的面積正方形的面積正方形的面積，正方形的面積正方形的面積正方形的面積；正方形的面積正方形的面積正方形的面積，，，，四個(gè)正方形的面積之和正方形的面積，答：，，，四個(gè)正方形的面積之和為；（2）解：每個(gè)直角三角形的最短邊與最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度之比都為，設(shè)中間的直角三角形的較短的直角邊為，斜邊為，由題意得：，解得，較短的直角邊為，另一直角邊為，設(shè)的邊長(zhǎng)為，的邊長(zhǎng)為，則，解得：，的面積是：；的面積是：，同理：設(shè)的邊長(zhǎng)為，的邊長(zhǎng)為，則，解得：，的面積是；；的面積是：，答：正方形，，，的面積分別為：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在計(jì)算中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并正確列式是解題的關(guān)鍵．4．（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖②，它可以看作是由邊長(zhǎng)為a、b、c的兩個(gè)直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，(1)請(qǐng)從面積出發(fā)寫出一個(gè)表示a、b、c的關(guān)系的等式；（要求寫出過程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有_______個(gè)．(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_______．【答案】(1)(2)3(3)7.5【解析】【分析】（1）梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即可得：；（2）根據(jù)勾股定理可得三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有3個(gè)；（3）根據(jù)半圓面積和勾股定理即可得結(jié)論：，進(jìn)而求解．(1)解：四邊形ABED的面積可以表示為：，也可以表示為，所以，整理得；(2)設(shè)直角三角形的三條邊按照從小到大分別為a，b，c，則，圖③，∵，∴，圖④，∵∴，圖⑤，∵∴，故答案為：3．(3)∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．【考點(diǎn)四勾股定理與網(wǎng)格問題】例題：（2022秋·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，若A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在格點(diǎn)三角形中，根據(jù)勾股定理即可得到，，的長(zhǎng)度，繼而可得出的度數(shù)．【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得：，，，即，是等腰直角三角形．．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，判斷是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵，注意在格點(diǎn)三角形中利用勾股定理．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·遼寧遼陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格中，每一小格的邊長(zhǎng)為1．網(wǎng)格內(nèi)有，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，根據(jù)勾股定理的逆定理可得為等腰直角三角形，即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，如下圖：由勾股定理得：，，，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相關(guān)性質(zhì)，構(gòu)造出等腰直角三角形，正確進(jìn)行求解．2．（2022春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)______，______；(2)僅用無刻度的直尺作出邊上的高．（保留作圖痕跡）【答案】(1)，(2)見解析【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）取格點(diǎn)T，連接BT交AC于點(diǎn)D，線段BD即為所求．（1）解：，故答案為，．（2）解：如圖，線段BD即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖——應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、勾股定理等知識(shí)，掌握利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫三角形．(1)在圖1中，畫一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；(2)在圖2中，畫一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是無理數(shù)．【答案】(1)圖見解析（答案不唯一）(2)圖見解析（答案不唯一）【分析】（1）利用勾股定理：，畫一個(gè)三邊分別為：的三角形；（2）畫出一個(gè)三邊分別為：的三角形．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（答案不唯一）此時(shí)：；（2）解：如圖，即為所求；（答案不唯一）此時(shí)：．【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格中作三角形．熟練掌握勾股定理，以及無理數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·江蘇·八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中校考周測(cè)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖點(diǎn)A、B、C、D均為格點(diǎn)．請(qǐng)用無刻度的直尺完成下列作圖．(1)圖中的是等腰三角形嗎？_______．（填“是”或“不是”）(2)在圖中找一格點(diǎn)E，使平分．(3)點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作出當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P位置．【答案】(1)是(2)見解析(3)見解析【分析】（1）利用勾股定理求出的長(zhǎng)，證明即可得到答案；（2）如圖所示，取格點(diǎn)E，同理可證是等腰三角形，得到，再由，推出，則平分；（3）取格點(diǎn)F，連接交于P，點(diǎn)P即為所求【詳解】（1）解：由題意得，∴，∴是等腰三角形；（2）解：如圖所示，點(diǎn)E即為所求；（3）解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求；在上取一點(diǎn)M使得，連接，易證明∴，∴，∴當(dāng)B、P、M三點(diǎn)共線且時(shí)有最小值，即有最小值；【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，軸對(duì)稱最短路徑問題，垂線段最短，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五勾股定理與折疊問題】例題：（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市第七中學(xué)校校考期末）把一張長(zhǎng)方形紙片按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)和點(diǎn)重合，折痕為．若，，則的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由折疊可知，，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，求出即為所求．【詳解】解：由折疊可知，，，∵，∴，設(shè)，∵，∴，在中，∴，解得，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)、靈活應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，將沿對(duì)角線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為________．【答案】【分析】根據(jù)將沿對(duì)角線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，可得到，從而得到，在中，利用勾股定理即可解答．【詳解】∵在長(zhǎng)方形中，，，∴，∴，∵將沿對(duì)角線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用矩形的折疊結(jié)合勾股定理解答問題．2．（2022秋·遼寧·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在長(zhǎng)方形中，，在上存在一點(diǎn)E，沿直線把折疊，使點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處，若的面積為，那么折痕長(zhǎng)為___________．【答案】【分析】由面積法可求的長(zhǎng)，由勾股定理可求的長(zhǎng)，即可求的長(zhǎng)，由勾股定理可求的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：四邊形是長(zhǎng)方形，，，，，在中，，沿直線把折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，，，，，在中，，，，，即折疊的的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，三角形的面積公式，求出的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）長(zhǎng)方形紙片中，，，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，把∠B沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為______．【答案】或3【分析】當(dāng)為直角三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．連接，先利用勾股定理計(jì)算出，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，而當(dāng)為直角三角形時(shí)，只能得到，所以點(diǎn)A、F、C共線，即沿折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線上的點(diǎn)F處，則，，可計(jì)算出，設(shè)，則，然后在中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x．②當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)為正方形．【詳解】解：當(dāng)為直角三角形時(shí)，有兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．連接，在中，，∴，∵∠B沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，∴，當(dāng)為直角三角形時(shí)，只能得到，∴點(diǎn)A、F、C共線，即沿折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線上的點(diǎn)F處，∴，∴，設(shè)，則，在中，∵，∴解得：；②當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)為正方形，∴．故答案為：或3；【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等；對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理．注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解．4．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，△ABC中，，，，為上一點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)C落在邊上的D點(diǎn)處，求的長(zhǎng)．【答案】的長(zhǎng)是3．【分析】先利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用折疊的性質(zhì)得到角、邊的大小，在中，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：在中，由勾股定理可知：∴由折疊的性質(zhì)得：，，設(shè)，則，，∴在中，∴解得∴的長(zhǎng)是3．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，翻折變換（折疊問題），解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．5．（2022秋·廣東河源·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在長(zhǎng)方形紙片中，，把長(zhǎng)方形紙片沿直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)正處，交于點(diǎn)F，若，連接．(1)的長(zhǎng)為；(2)求的面積；(3)試問與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)12(2)(3)，理由見解析【分析】（1）由折疊得：，根據(jù)平行線性質(zhì)得：，再求出，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，即的長(zhǎng)；（