專(zhuān)題05乘法公式(原卷版+解析)

2022-2023學(xué)年浙教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專(zhuān)題05乘法公式姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________評(píng)卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列從左到右的變形正確的是（）A． B．C． D．2．(本題2分)（2023秋·福建三明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若，，，……，是2022個(gè)由1和組成的數(shù)，且滿足，則的值為（

）A．2122 B．2422 C．3844 D．42443．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列各式計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．4．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，有兩個(gè)正方形A，B，現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得圖甲，將A，B并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙，若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為4和30，則正圖乙的邊長(zhǎng)為（

）A．7 B．8 C．5.6 D．105．(本題2分)（2022秋·北京海淀·七年級(jí)清華附中?？计谀┮阎欣頂?shù)a，b，c滿足，，則（

）A． B． C． D．6．(本題2分)（2022春·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則等于（

）A． B． C． D．7．(本題2分)（2022春·陜西西安·七年級(jí)高新一中?？计谥校┑膫€(gè)位數(shù)字為（

）A．5 B．1 C．2 D．48．(本題2分)（2022春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）有兩個(gè)正方形A，B，現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部如圖甲，將A，B并排放置后構(gòu)造新的正方形如圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為和，則正方形A，B的面積之和為（

）A．4 B．4.5 C．5 D．5．59．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）用如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形卡片若干張，拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，需要類(lèi)卡片的張數(shù)為（

）A．6 B．2 C．3 D．410．(本題2分)（2022春·福建三明·七年級(jí)統(tǒng)考期中）化簡(jiǎn)的結(jié)果是()A． B． C． D．評(píng)卷人得分二、填空題(每題2分，共20分)11．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，且，則______．12．(本題2分)（2021春·山東濟(jì)南·七年級(jí)?？计谥校┤羰且粋€(gè)完全平方式，則的值為_(kāi)________．13．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖有兩張正方形紙片A和B，圖1將B放置在A內(nèi)部，測(cè)得陰影部分面積為3；圖2將正方形AB并列放置后構(gòu)造新正方形，測(cè)得陰影部分面積為21；若將3個(gè)正方形A和2個(gè)正方形B并列放置后構(gòu)造新正方形如圖3（圖2，圖3中正方形AB紙片均無(wú)重疊部分），則圖3陰影部分面積是_____．14．(本題2分)（2022秋·上?！て吣昙?jí)?？计谥校┤绻稳?xiàng)式是完全平方式，那么常數(shù)___________；15．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為，，如果，，則陰影部分的面積為_(kāi)__________．16．(本題2分)（2022秋·北京海淀·七年級(jí)清華附中?？计谀┰O(shè)x，y滿足，，則______．17．(本題2分)（2022春·湖南懷化·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則的值等于________．18．(本題2分)（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）實(shí)踐操作：現(xiàn)有兩個(gè)正方形A，B．如圖所示進(jìn)行兩種方式擺放：方式1：將B放在A的內(nèi)部，得甲圖；方式2：將A，B并列放置，構(gòu)造新正方形得乙圖．問(wèn)題解決：對(duì)于上述操作，若甲圖和乙圖陰影部分的面積分別為1和12，則正方形A，B的面積之和為_(kāi)_______．19．(本題2分)（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）已知，求________．20．(本題2分)（2022春·山東棗莊·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝_____．評(píng)卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）證明：相鄰兩個(gè)奇數(shù)的平方的差是8的倍數(shù)．（注釋?zhuān)簝蓚€(gè)奇數(shù)的平方的差：兩個(gè)奇數(shù)各自平方，然后相減）（2）證明：任意兩個(gè)奇數(shù)的平方的差是4的倍數(shù)．（3）已知，求的值．22．(本題6分)（2023秋·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圖1是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線（對(duì)稱(chēng)軸）剪開(kāi)，用得到的四個(gè)全等的小長(zhǎng)方形，拼成如圖2所示的大正方形（無(wú)重疊無(wú)縫隙），設(shè)圖2中小正方形（陰影部分）面積為．(1)用兩種不同方法求；（用含、的式子表示）(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出、、這三個(gè)代數(shù)式之間的數(shù)量關(guān)系；(3)利用（2）中結(jié)論，完成下列計(jì)算：①若，，求的值；②已知，，求的值．23．(本題8分)（2023秋·湖南永州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“算兩次”是建立相等關(guān)系的一種重要思想，例如：一條直線上有個(gè)點(diǎn)，它們可以確定多少條線段呢？方法一：從左至右，不重不漏的數(shù)．以為端點(diǎn)的線段共條；以為端點(diǎn)的線段共條；以為端點(diǎn)的線段共條；……以為端點(diǎn)的線段是1條．以上累加起來(lái)即可．方法二：每個(gè)點(diǎn)都能和除它以外的個(gè)點(diǎn)形成線段，共可形成條線段，但所有線段都數(shù)了兩遍．(1)根據(jù)上述兩種方法計(jì)算線段的總條數(shù)N，各寫(xiě)出一個(gè)用n表示N的表達(dá)式．方法一：方法二：(2)運(yùn)用：①試猜想之間的關(guān)系．②計(jì)算：(3)拓展：七年級(jí)一班有8名班干部，現(xiàn)要隨機(jī)選派3人參加某志愿者活動(dòng)，共有種不同的選派方案．（填數(shù)字）24．(本題8分)（2021春·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)?？计谥校┤魓滿足，求的值．解：設(shè)，，則，，．解決問(wèn)題：(1)若x滿足，則______．(2)若x滿足，求的值，寫(xiě)出解題過(guò)程．(3)如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)E、F是、上的點(diǎn)，且，分別以、為邊在長(zhǎng)方形外側(cè)作正方形和，若長(zhǎng)方形的面積為200平方單位，則圖中陰影部分的面積和為_(kāi)_____平方單位．25．(本題8分)（2021春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？计谥校┪覀冎?，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖1可以得到請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式．(2)利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面問(wèn)題：已知，，求的值．(3)小明同學(xué)又用張邊長(zhǎng)為的正方形，張邊長(zhǎng)為b的正方形，張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出了一個(gè)面積為長(zhǎng)方形，那么_________．26．(本題8分)（2022秋·河南鶴壁·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下列各式：①；②；③；…(1)探索以上式子的規(guī)律，寫(xiě)出第n個(gè)等式：______（用含n的代數(shù)式表示）；(2)若式子滿足以上規(guī)律，求a與b的值；(3)計(jì)算：．27．(本題8分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【閱讀理解】“若x滿足，求的值”解：設(shè)，，則，，所以【解決問(wèn)題】(1)若x滿足，求的值．(2)若x滿足，求的值．(3)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，，，長(zhǎng)方形EFGD的面積是240，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是長(zhǎng)方形，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體的數(shù)值）．28．(本題8分)（2022春·浙江杭州·七年級(jí)?？计谥校┪覀冎缹?duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如：由圖1可得到(1)寫(xiě)出由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式：________________________．(2)根據(jù)上面的等式，如果將看成，直接寫(xiě)出的展開(kāi)式（結(jié)果化簡(jiǎn)）；若，求的值．(3)已知實(shí)數(shù)、、，滿足以下兩個(gè)條件：且，求的值．2022-2023學(xué)年浙教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專(zhuān)題05乘法公式評(píng)卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列從左到右的變形正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平方差公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、完全平方公式分別對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【規(guī)范解答】解：A．，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B．，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C．，原變形正確，故此選項(xiàng)符合題意；D．，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查平方差公式和完全平方式，準(zhǔn)確運(yùn)用乘法公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．(本題2分)（2023秋·福建三明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若，，，……，是2022個(gè)由1和組成的數(shù)，且滿足，則的值為（

）A．2122 B．2422 C．3844 D．4244【答案】C【思路點(diǎn)撥】根據(jù)完全平方公式展開(kāi)，整理匯總即可解得．【規(guī)范解答】解：故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟悉完全平方公式．3．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列各式計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)乘法公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則逐項(xiàng)判斷即可得．【規(guī)范解答】解：A．，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．，則此項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了乘法公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握乘法公式和多項(xiàng)式的乘法法則是解題關(guān)鍵．4．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，有兩個(gè)正方形A，B，現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得圖甲，將A，B并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙，若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為4和30，則正圖乙的邊長(zhǎng)為（

）A．7 B．8 C．5.6 D．10【答案】B【思路點(diǎn)撥】設(shè)正方形Ａ的邊長(zhǎng)是，正方形的邊長(zhǎng)是，根據(jù)圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為和，列出等式求得圖乙的面積，最后求得圖乙的邊長(zhǎng)．【規(guī)范解答】解：設(shè)正方形Ａ的邊長(zhǎng)是，正方形的邊長(zhǎng)是，由題可得圖甲中陰影部分的面積是，圖乙中陰影部分的面積是，圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為和，，，圖乙面積為：，．故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，根據(jù)圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為和列出等式是解題的關(guān)鍵．5．(本題2分)（2022秋·北京海淀·七年級(jí)清華附中?？计谀┮阎欣頂?shù)a，b，c滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點(diǎn)撥】由得，再求得得，進(jìn)一步求出，，即可求解．【規(guī)范解答】解：∵，，∴，，∵，∴，整理，得，∴，∵，，，∴，，，∴，∴，∴，∴，，把，，代入得：原式，故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了利用乘法公式變形求值，解題的關(guān)鍵是利用乘法公式得到．6．(本題2分)（2022春·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)方程可變形為，利用完全平方式將化成，從而整體代入計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：由方程兩邊同時(shí)除以得，變形為，則，故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了代數(shù)式化簡(jiǎn)求值，利用完全平方公式變形并采用整體思想是解題關(guān)鍵．7．(本題2分)（2022春·陜西西安·七年級(jí)高新一中?？计谥校┑膫€(gè)位數(shù)字為（

）A．5 B．1 C．2 D．4【答案】B【思路點(diǎn)撥】將變形為，利用平方差公式求解．【規(guī)范解答】解：，∵，，，，……可知個(gè)位數(shù)變化規(guī)律為：3，9，7，1，4次一個(gè)循環(huán)，∴的個(gè)位數(shù)為1，∴的個(gè)位數(shù)為0，∴的個(gè)位數(shù)可能是0或5，∴的個(gè)位數(shù)可能是1或6，觀察選項(xiàng)可知，只有B選項(xiàng)為1，故選B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查平方差公式的應(yīng)用，能夠運(yùn)用平方差公式對(duì)原式進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．8．(本題2分)（2022春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）有兩個(gè)正方形A，B，現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部如圖甲，將A，B并排放置后構(gòu)造新的正方形如圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為和，則正方形A，B的面積之和為（

）A．4 B．4.5 C．5 D．5．5【答案】B【思路點(diǎn)撥】設(shè)A、B正方形的面積分別為a、b，則邊長(zhǎng)分別為、,再根據(jù)題意列式求得、，然后根據(jù)a+b=計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)A、B正方形的面積分別為a、b，則邊長(zhǎng)分別為、由圖甲可得：由圖乙可得：，即：

a+b=．故選B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了完全平方公式在圖形面積中的應(yīng)用，根據(jù)圖形列出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．9．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）用如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形卡片若干張，拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，需要類(lèi)卡片的張數(shù)為（

）A．6 B．2 C．3 D．4【答案】D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)大正方形的邊長(zhǎng)，可求出大正方形的面積為，根據(jù)完全平方公式，分解為3部分，剛好就是A、B、C這3類(lèi)圖形面積部分.其中，分解的ab部分的系數(shù)即為B類(lèi)卡片的張數(shù)．【規(guī)范解答】大正方形的面積為：其中為A類(lèi)卡片的面積，∴需要A類(lèi)卡片一張；同理，需要B類(lèi)卡片4張，C類(lèi)卡片4張．故選D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了完全平方公式在幾何圖中的應(yīng)用，遇到這類(lèi)題目，需要想辦法先將題干轉(zhuǎn)化為我們學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，然后再求解．10．(本題2分)（2022春·福建三明·七年級(jí)統(tǒng)考期中）化簡(jiǎn)的結(jié)果是()A． B． C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】將3轉(zhuǎn)換成的形式，再利用平方差公式求解即可．【規(guī)范解答】故答案為：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了實(shí)數(shù)的化簡(jiǎn)運(yùn)算問(wèn)題，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．評(píng)卷人得分二、填空題(共20分)11．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，且，則______．【答案】4【思路點(diǎn)撥】利用平方差公式將分別，然后代入的值即可得出答案．【規(guī)范解答】解：由題意得，，，．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了平方差公式，屬于基礎(chǔ)題，掌握平方差公式的形式是解答本題的關(guān)鍵．12．(本題2分)（2021春·山東濟(jì)南·七年級(jí)?？计谥校┤羰且粋€(gè)完全平方式，則的值為_(kāi)________．【答案】【思路點(diǎn)撥】這里首末兩項(xiàng)是和4這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去和4積的2倍．【規(guī)范解答】解：∵是一個(gè)完全平方式，∴，則．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用；兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．注意積的2倍的符號(hào)，避免漏解．13．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖有兩張正方形紙片A和B，圖1將B放置在A內(nèi)部，測(cè)得陰影部分面積為3；圖2將正方形AB并列放置后構(gòu)造新正方形，測(cè)得陰影部分面積為21；若將3個(gè)正方形A和2個(gè)正方形B并列放置后構(gòu)造新正方形如圖3（圖2，圖3中正方形AB紙片均無(wú)重疊部分），則圖3陰影部分面積是_____．【答案】45【思路點(diǎn)撥】由圖1可知，陰影部分面積，圖2可知，陰影部分面積，進(jìn)而得到，由圖3可知，陰影部分面積，進(jìn)而即可求解．【規(guī)范解答】解：設(shè)A卡片的邊長(zhǎng)為a，B卡片的邊長(zhǎng)為b，則A卡片的面積為，B卡片的面積為，圖1中陰影部分的面積可以表示為，由題意可知，，圖2陰影部分的面積可以表示為，由題意可知，，圖3陰影部分的面積可以表示為＝3+42，故答案為：45．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，正確理解圖形的構(gòu)成，正確掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．14．(本題2分)（2022秋·上?！て吣昙?jí)?？计谥校┤绻稳?xiàng)式是完全平方式，那么常數(shù)___________；【答案】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)完全平方公式的構(gòu)成即可求得結(jié)果；【規(guī)范解答】∵，∴，∴；故答案是：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．15．(本題2分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為，，如果，，則陰影部分的面積為_(kāi)__________．【答案】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)陰影部分面積等于兩個(gè)正方形面積之和減去兩個(gè)直角三角形面積，得出陰影部分面積為，然后整理，得出，然后把，整體代入計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：∵，，∴，∴陰影部分的面積為．故答案為：【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用、代數(shù)式求值、完全平方公式、求陰影部分的面積，解本題的關(guān)鍵在根據(jù)圖形，得出陰影部分的面積．16．(本題2分)（2022秋·北京海淀·七年級(jí)清華附中?？计谀┰O(shè)x，y滿足，，則______．【答案】【思路點(diǎn)撥】將，兩式相加，再利用立方和公式，求解即可．【規(guī)范解答】解：將，兩式相加，可得，即，即，∵恒成立，∴，即，，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了立方和公式的應(yīng)用．解答該題時(shí)需要熟記立方和公式．17．(本題2分)（2022春·湖南懷化·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則的值等于________．【答案】【思路點(diǎn)撥】利用完全平方公式求出（a?b），（b?c），（a?c）的平方和，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解．【規(guī)范解答】解：∵，∴∴，∵，∴，∴，故答案為：【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是分別把，，相加湊出，三個(gè)式子兩邊平方后相加，化簡(jiǎn)求解．18．(本題2分)（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）實(shí)踐操作：現(xiàn)有兩個(gè)正方形A，B．如圖所示進(jìn)行兩種方式擺放：方式1：將B放在A的內(nèi)部，得甲圖；方式2：將A，B并列放置，構(gòu)造新正方形得乙圖．問(wèn)題解決：對(duì)于上述操作，若甲圖和乙圖陰影部分的面積分別為1和12，則正方形A，B的面積之和為_(kāi)_______．【答案】13【思路點(diǎn)撥】設(shè)正方形A，B的邊長(zhǎng)各為a、b（a＞b），得圖甲中陰影部分的面積為，可解得，圖乙中陰影部分的面積為，可得,可得a+b＝5，進(jìn)而求得a與b的值即可求解.【規(guī)范解答】解：設(shè)正方形A，B的邊長(zhǎng)各為a、b（a＞b），得圖甲中陰影部分的面積為解得或（舍去），圖乙中陰影部分的面積為，可得，解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），聯(lián)立得，解得，∴，∴正方形A，B的面積之和為13.故答案為：13．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了靈活利用乘法公式求圖形面積問(wèn)題的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)圖形列出對(duì)應(yīng)的算式．19．(本題2分)（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）已知，求________．【答案】【思路點(diǎn)撥】設(shè)，則；根據(jù)題意，得；再將代入到代數(shù)式中計(jì)算，即可得到答案．【規(guī)范解答】∵∴設(shè)，則∴，即∴故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了整式運(yùn)算和代數(shù)式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式乘法、完全平方公式的性質(zhì)，從而完成求解．20．(本題2分)（2022春·山東棗莊·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝_____．【答案】264【思路點(diǎn)撥】在原式前面乘以（2﹣1）構(gòu)造能用平方差公式的結(jié)構(gòu)，連續(xù)使用平方差公式即可．【規(guī)范解答】原式＝，＝，＝，＝264﹣1+1，＝264；故本題答案為264．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查平方差公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將原式變形為平方差的形式．評(píng)卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）證明：相鄰兩個(gè)奇數(shù)的平方的差是8的倍數(shù)．（注釋?zhuān)簝蓚€(gè)奇數(shù)的平方的差：兩個(gè)奇數(shù)各自平方，然后相減）（2）證明：任意兩個(gè)奇數(shù)的平方的差是4的倍數(shù)．（3）已知，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）2【思路點(diǎn)撥】（1）表示出相鄰兩個(gè)奇數(shù)為：，，列出他們平方的差進(jìn)行計(jì)算即可；（2）表示相互兩個(gè)奇數(shù)為：，，列出他們平方的差進(jìn)行計(jì)算即可；（3）將，轉(zhuǎn)化為底數(shù)為3的形式，再利用冪的乘方和同底數(shù)冪的乘方運(yùn)算即可．【規(guī)范解答】（1）證明：相鄰兩個(gè)奇數(shù)的平方的差是8的倍數(shù)．（注釋?zhuān)簝蓚€(gè)奇數(shù)的平方的差：兩個(gè)奇數(shù)各自平方，然后相減）設(shè)：這兩個(gè)奇數(shù)為：，（注：設(shè)為2n-1，2n+1也可以）則：是8的倍數(shù)，∴相鄰兩個(gè)奇數(shù)的平方的差是8的倍數(shù)．（2）證明：任意兩個(gè)奇數(shù)的平方的差是4的倍數(shù)．設(shè)：這兩個(gè)奇數(shù)為：，則：是4的倍數(shù)，∴任意兩個(gè)奇數(shù)的平方的差是4的倍數(shù)．（3）已知，求的值．．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查完全平方公式的運(yùn)算及同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方的運(yùn)算，熟練運(yùn)用公式及法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．22．(本題6分)（2023秋·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圖1是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線（對(duì)稱(chēng)軸）剪開(kāi)，用得到的四個(gè)全等的小長(zhǎng)方形，拼成如圖2所示的大正方形（無(wú)重疊無(wú)縫隙），設(shè)圖2中小正方形（陰影部分）面積為．(1)用兩種不同方法求；（用含、的式子表示）(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出、、這三個(gè)代數(shù)式之間的數(shù)量關(guān)系；(3)利用（2）中結(jié)論，完成下列計(jì)算：①若，，求的值；②已知，，求的值．【答案】(1)方法①：；方法②：；(2)；(3)①；②．【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)長(zhǎng)方形正方形面積的公式即可求出結(jié)果；(2)根據(jù)完全平方和、完全平方差公式記得結(jié)論；(3)根據(jù)完全平方和、完全平方差公式之間的關(guān)系即可求出結(jié)果．【規(guī)范解答】（1）解：①∵大正方形的邊長(zhǎng)為，∴大正方形的面積為：，∵組成大正方形的四個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬是，∴四個(gè)長(zhǎng)方形的面積：；∴陰影部分的面積為：，②∵陰影部分的邊長(zhǎng)為：，∴陰影部分的面積為：．（2）解：∵，，∴，∴．（3）解：①∵，，∴，∴．②∵，，∴．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了完全平方公式的幾何意義和代數(shù)意義，理解完全平方公式是解題的關(guān)鍵．23．(本題8分)（2023秋·湖南永州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“算兩次”是建立相等關(guān)系的一種重要思想，例如：一條直線上有個(gè)點(diǎn)，它們可以確定多少條線段呢？方法一：從左至右，不重不漏的數(shù)．以為端點(diǎn)的線段共條；以為端點(diǎn)的線段共條；以為端點(diǎn)的線段共條；……以為端點(diǎn)的線段是1條．以上累加起來(lái)即可．方法二：每個(gè)點(diǎn)都能和除它以外的個(gè)點(diǎn)形成線段，共可形成條線段，但所有線段都數(shù)了兩遍．(1)根據(jù)上述兩種方法計(jì)算線段的總條數(shù)N，各寫(xiě)出一個(gè)用n表示N的表達(dá)式．方法一：方法二：(2)運(yùn)用：①試猜想之間的關(guān)系．②計(jì)算：(3)拓展：七年級(jí)一班有8名班干部，現(xiàn)要隨機(jī)選派3人參加某志愿者活動(dòng)，共有種不同的選派方案．（填數(shù)字）【答案】(1)，(2)①；②(3)56【思路點(diǎn)撥】（1）由不同的計(jì)算方法求解即可；（2）①利用整式的乘法求解即可；②首選根據(jù)平方差公式展開(kāi)，然后利用（1）總結(jié)的規(guī)律求解即可；（3）由方法一求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：把不同端點(diǎn)的線段相加可得總條數(shù)；由點(diǎn)和線段的規(guī)律可得線段的總條數(shù)；故答案為：，．（2）①∵∴之間的關(guān)系是；②；（3）由題意可得，共有．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了列代數(shù)式，平方差公式等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．(本題8分)（2021春·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)?？计谥校┤魓滿足，求的值．解：設(shè)，，則，，．解決問(wèn)題：(1)若x滿足，則______．(2)若x滿足，求的值，寫(xiě)出解題過(guò)程．(3)如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)E、F是、上的點(diǎn)，且，分別以、為邊在長(zhǎng)方形外側(cè)作正方形和，若長(zhǎng)方形的面積為200平方單位，則圖中陰影部分的面積和為_(kāi)_____平方單位．【答案】(1)12(2)(3)544【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)，參照題目中給出的解題方法進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)，逆用題目中給出的解題方法進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積為200平方單位，得到：，利用題目中給定的方法求出，即可得解．【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)：，則：，，∴；故答案為：；（2）解：設(shè)，則：，，∵，即：，∴，∴；（3）解：∵在長(zhǎng)方形中，，，∴，∴，∵長(zhǎng)方形的面積為200平方單位，∴，設(shè)，則：，即：，，∴；即：圖中陰影部分的面積和為平方單位．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查完全平方公式的變形運(yùn)算．理解并掌握給出的運(yùn)算方法，是解題的關(guān)鍵．25．(本題8分)（2021春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？计谥校┪覀冎?，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖1可以得到請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式．(2)利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面問(wèn)題：已知，，求的值．(3)小明同學(xué)又用張邊長(zhǎng)為的正方形，張邊長(zhǎng)為b的正方形，張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出了一個(gè)面積為長(zhǎng)方形，那么_________．【答案】(1)(2)45(3)156【思路點(diǎn)撥】（1）直接求得正方形的面積，然后再根據(jù)正方形的面積各矩形的面積之和求解即可；（2）將，，代入（1）中得到的關(guān)系式，然后進(jìn)行計(jì)算即可；（3）將張邊長(zhǎng)為的正方形，張邊長(zhǎng)為的正方形，張邊長(zhǎng)分別為、的長(zhǎng)方形的面積的和等于即可得到答案．【規(guī)范解答】（1）解：；（2）（3）由題意可知：，，，，，．故答案為：156．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、完全平方公式的應(yīng)用，利用面積法列出等式是解題的關(guān)鍵．26．(本題8分)（2022秋·河南鶴壁·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下列各式：①；②；③；…(1)探索以上式子的規(guī)律，寫(xiě)出第n個(gè)等式：______（用含n的代數(shù)式表示）；(2)若式子滿足以上規(guī)律，求a與b的值；(3)計(jì)算：．【答案】(1)(2)，(3)216【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)觀察得出規(guī)律，進(jìn)而解答即可；（2）通過(guò)觀察可知，得出含n的方程，解出即可；（3）解題的關(guān)鍵在于，根據(jù)（1）（2）所給算式歸結(jié)總結(jié)出一般規(guī)