《計算機組織與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)》-第3章計算機中的數(shù)值運算與運算器

第3章計算機中的數(shù)值運算與運算器

本章學習目標

本章將介紹數(shù)據(jù)與文字在計算機中的表示方法，詳細講解數(shù)值數(shù)據(jù)

的原碼、補碼和反碼表示法以及它們之間的相互轉(zhuǎn)換，定點表示法、

浮點表示法、定點運算法、浮點運算方法和運算器的組成。通過本章

的學習，應(yīng)該重點掌握和理解以下內(nèi)容：

■了解數(shù)據(jù)、文字在計算機中的表示方法

-掌握原碼、補碼和反碼的表示方法，以及它們之間的相互轉(zhuǎn)換

■掌握定點表示法和浮點表示法

-掌握定點四則運算和浮點四則運算

第三章12011-12-31

3.1數(shù)值數(shù)據(jù)的表示

3.1.1無符號數(shù)和帶符號數(shù)

在計算機中，數(shù)據(jù)可分為無符號數(shù)和帶符號數(shù)。所謂無符號數(shù)，是

指正整數(shù)，機器字長的全部數(shù)位均用來表示數(shù)值的大小，相當于數(shù)的絕

對值。例如有兩個二進制數(shù)N1和N2。

Nl=01011表示十進制數(shù)11

N2=11011表示十進制數(shù)27

對于字長為n位的無符號數(shù)的表示范圍是0?2n-l。

一般計算機中都設(shè)有無符號數(shù)的運算和處理指令，還有一些轉(zhuǎn)移指

令也是專門針對無符號數(shù)的。

然而，我們在日常生活中會大量用到帶符號的數(shù)，即正數(shù)和負數(shù)，

我們用“+”、“一”號加絕對值來表示數(shù)值的大小。用這種形式表示的

數(shù)值在計算機技術(shù)中稱為“真值”。

第三章22011-12-31

但是，機器是無法識別符號“+”、“一”的，由于“+”、“一”恰

好是兩種截然不同的狀態(tài)，如果用“0”表示“+”，用“I”表示“一”，

這樣符號就被數(shù)字化了，并且規(guī)定將它放在有符號數(shù)的前面，這樣就組

成了有符號數(shù)。這種在計算機中使用的、包括符號位在內(nèi)都被數(shù)字化了

的數(shù)稱為“機器數(shù)”或“機器碼”。機器數(shù)有三種不同的表示形式：原

碼、補碼和反碼。

對于帶符號數(shù)而言，上面例子中的兩個機器數(shù)Nl、N2的含義發(fā)生了

變化。

Nl=01011表示十進制數(shù)+n

N2=11011根據(jù)編碼的不同分別表示不同的值，如原碼時表示十進

制數(shù)一11

第三章32011-12-31

3.1.2原碼表示法

原碼表示法是一種最簡單的機器數(shù)表示法，用最高位表示符號位，

符號位為“o”表示該數(shù)為正數(shù)，符號位為“1”表示該數(shù)為負數(shù)，數(shù)值跟

隨其后，并以絕對值形式給出，這是與真值最接近的一種表示形式。

1.定點小數(shù)的原碼形式

設(shè)定點小數(shù)為±0了其…Xn，它的原碼形式為Xs%X2…Xn，其中Xs表

示符號位。原碼的定義為：

X0<X<1

［x］原

1-X=1+IXI-1<X<0

式中：X表不真值，［X］原表示原碼。

例如：X=0.0101,［X］原=X=0.0101

X=-0.0101,［X］原=1-X=1-(-0.0101)=1+0.0101=1.0101

第三章42011-12-31

2.定點整數(shù)的原碼形式

設(shè)定點整數(shù)為±%X2…X。，它的原碼形式為Xs，XJ2…X。，其中Xs

表示符號位。原碼的定義為：

X0<X<2n

2n-X=2n+|X|-2n<X<0

式中：X表示真值，[X]原表示原碼，n為整數(shù)的位數(shù)。

例如：X=0101,[X]原=X=00101

n4

x=—0101,[X]hi,=2-X=2-(-0101)=10000+0101=10101

在原碼表示法中，真值0有兩種不同的表示形式：

[+0]原=0,00...0

[―0]原=1,00...0

第三章52011-12-31

原碼表示法的優(yōu)點是簡單易懂，機器數(shù)和真值之間的相互轉(zhuǎn)換非常

容易，用原碼實現(xiàn)乘、除運算的規(guī)則很簡單。但它的缺點是實現(xiàn)加、減

運算的規(guī)則較復雜，這是因為，當兩個數(shù)相加時，如果是同號則數(shù)值相

加，如果是異號，則兩數(shù)相減。而在進行減法運算時，還要比較絕對值

的大小，然后用大數(shù)減小數(shù)，最后還要給結(jié)果選擇恰當?shù)姆枺瑸榱私?/p>

決這些矛盾，人們引入了補碼表示法。

3.1.3補碼表示法

補碼表示法的設(shè)想是：使符號位參加運算，從而簡化了加、減法的

運算規(guī)則；使減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算，從而簡化了機器的運算器電路。

我們先以鐘表對時為例說明補碼的概念。假設(shè)有一只表的時間停在8點

鐘，而現(xiàn)在的正確時間為3點整，要校準時間，可以采用兩種方法：

(1)將時針順時針方向正撥7小時:8+7=15=12+3=3(mod12)

(2)將時針逆時針方向倒撥5小時：8-5=3o

第三章62011-12-31

因為鐘表的一周為12個小時，12相當于鐘表的進位值，在數(shù)學中

稱為“?！?，記作(mod12)o上例中7和一5對鐘表而言，它們的作用

相同，即加7和減5是等價的，我們稱7是一5對模12的補碼?？梢杂脭?shù)學

公式表示為：-5=+7(mod12)

從這個例子可以得到一個啟示，對于一個確定的模來說，某數(shù)減去

小于模的另一個數(shù)，總可以用加上模與該數(shù)的絕對值之差來代替，即負

數(shù)用補碼表示，這樣可以將減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算了。這樣，在計算

機中實現(xiàn)起來就比較方便了。

例如：9-6=9+(-6)=9+(12-6)=9+6=3(mod12)

65-25=65+(-25)=65+(100-25)=65+75=40(mod100)

在定點小數(shù)機器中的數(shù)最大不超過1,也就是負的小數(shù)對“產(chǎn)的補

碼是等價的。但實際上，負數(shù)的符號位還有一個“1”，要把它看成的數(shù)

的一部分，所以要對2求補碼，即以2為模。

第三章72011-12-31

1.定點小數(shù)的補碼形式

若定點小數(shù)為±0.X］X2…Xn，它的原碼形式為Xs.xp(2…Xn，其中表

示符號位，則補碼表示的定義為：

X0<X<1

(mod2)

2+X=2—|X|-1<X<0

式中［X］補為機器數(shù)，X為真值。

例如，X=+0.0101,則［X］補=0.0101

x=-o.0101,則［X］補=10+X=10.0000-0.0101=1.1011

一般情況下，對于正數(shù)X=+0.X］X2…Xn，則有

補=

［X］0X^2，..xn

對于負數(shù)X=—0.X/2…Xn，則有

［X］補=10.00???0—O.XiX2???Xn(mod2)

注意，0的補碼表示只有一種形式，即［+0］補二［一0］補=0.0000。

第三章82011-12-31

2.定點整數(shù)的補碼形式

若定點整數(shù)為±XR2…Xn，它的補碼形式為Xs，乂止2…Xn，其中Xs表

示符號位，則補碼表示的定義為：

X0<X<2n

(mod2/z+1)

2n+1+X=2n+1-|^|-2n<X<0

式中：X表示真值，n為整數(shù)的位數(shù)。

例如，X=+0101,則［X］補=00101

X=-0101,則［X］補=2n+1+X=25+(—0101)=25-0101=100000-

0101=1,1011

采用補碼表示法進行減法運算就比原碼方便多了，因為不論是正數(shù)

還是負數(shù)，機器總是做加法，減法運算可轉(zhuǎn)換成加法運算。但根據(jù)補碼

的定義，求負數(shù)的補碼要從2減去|X|。為了用加法代替減法，結(jié)果還要

在求補碼時做一次減法，這顯然是不方便的。下面介紹的反碼表示法可

以解決負數(shù)的求補問題。

第三章92011-12-31

3.1.4反碼表示法

所謂反碼，就是二進制數(shù)的各位數(shù)碼由o變?yōu)?,由1變?yōu)?。也就是

說，若Xj=l,則反碼七二0；若X/0,則反碼Xj=l。數(shù)值上面的橫線表示反

碼的意思。反碼表示法與補碼表示法有相似之處，正數(shù)的反碼就等于真

值，負數(shù)的反碼是把其原碼除符號位以外的各位按位取反。

在計算機中用觸發(fā)器寄存數(shù)碼，若觸發(fā)器Q端輸出表示原碼，則其端

輸出就是反碼。由此可見，反碼是容易得到的。

1.定點小數(shù)的反碼形式

對定點小數(shù)，反碼表示的定義為：

0<x<1

-2-n)+X-1<X<0

其中n代表數(shù)的位數(shù)。

第三章102011-12-31

下面我們來證明第二個式子。SX=-0X1X2...Xn,則有［X］反O現(xiàn)在

將X的絕對值|X|和［X］反相加,則得

［X］反+|X|=1.11...1=10.00...0-0.00...1=2-2-n

所以

［X］反二（2-2-n）-|x|=（2-2一n）+X

一般情況下，對于正X=+0.X/2…Xn,則有

［X］反二0印2…Xn

對于負數(shù)X=-0力也…Xn,則有

1.X1X2…Xn

對于0,有［+0］反和［—0］反之分：

［+0］反=0.00...0

［―0］反=1.11...1

第三章112011-12-31

例如，X=+0.0101,則如］反=0.0101

X=-0.0101,則［X］反=(2-2-4)+X=1.1111+(一

0.0101)=1.1111-0.0101=1.1010

我們比較反碼與補碼的公式

［X］反=(2-2-n)+X

［X］補=2+X

可以得到

兇補=［X］反+2-n

由這個公式可知，求一個負數(shù)的補碼，其方法是符號位為1,其余各位0

變1，1變0，然后在最末位(2-n)上加1。

第三章122011-12-31

2.定點整數(shù)的反碼形式

對定點整數(shù)，反碼表示的定義是

0<X<2n

-1)+X-2n<X<0

例如，X=+0101,則［X］反=00101

X=-0101,貝MX］反二(2n+1-l)+X=(25-1)+(-0101)

=(100000-1)-0101

=11111-0101

=11010

第三章132011-12-31

3.1.5三種碼制的比較與轉(zhuǎn)換

1.比較

三種碼制既有共同點，又有各自不同的性質(zhì)，主要區(qū)別有以下幾點：

（1）對于正數(shù)，它們都等于真值本身，而對于負數(shù)各自有不同的表示。

（2）最高位都表示符號位，補碼和反碼的符號位可作為數(shù)值的一部分看

待，和數(shù)值位一起參加運算；但原碼的符號位不允許和數(shù)值位同等看待，

必須分開處理。

（3）對于真值0,原碼和反碼各有兩種不同的表示形式，而補碼只有唯

一的一種表示形式。

（4）原碼、反碼表示的正、負數(shù)范圍相對零來說是對稱的；但補碼負數(shù)

表示范圍較正數(shù)表示范圍大，能多表示一個絕對值最大的數(shù)，其值等于一

2-n（定點整數(shù)）或一1（定點小數(shù)）。

第三章142011-12-31

表3-1給出了以4位二進制數(shù)為例，表示三種不同碼制時的十進制真值。

表3-1三種不同碼制時的十進制真值

二進制數(shù)原碼補碼反碼

0000000

0001111

0010222

0011333

0100444

0101555

0110666

0111777

1000~0-8-7

1001一］一7

1010一6^5

1011-3~4

1100-4-3

1101______-3-2

1110-6-2--1

1111-7-1-0

第三章152011-12-31

2.轉(zhuǎn)換

三種不同碼制以及真值之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖3-1所示。

從圖3-1可看出，真值X與補碼或反碼之間的轉(zhuǎn)換通常是通過原碼實

現(xiàn)的，也可以直接完成真值與補碼或反碼之間的轉(zhuǎn)化。

若已知機器的字長，則機器數(shù)的位數(shù)應(yīng)補夠相應(yīng)的位數(shù)，例如機器

字長為8位則：

X=1011[X]原=00001011[X]補=00001011[X]反=00001011

X=-1011[X]B=10001011[x]補二iinoioi[X]^=11110100

X=0.1011[X].原g=0.1011000[X],k=0.1011000[X]^=0.1011000

x=-o.1011[X]原=1.10110000101000[X]反二1.0100111

第三章162011-12-31

[X]補

符號位不變

當Xs=o時數(shù)值位不變

當Xs=l日寸數(shù)值位變反+1

符號+/-變成0/1

[X]真值

數(shù)值位不變

符號位不變

當Xs=0口寸數(shù)值位不變

當Xs=l時數(shù)值位變反

[X]反

圖3-1三種不同碼制以及真值之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

第三章172011-12-31

3.2數(shù)的定點表示與浮點表示

在計算機中，小數(shù)點不用專門的器件表示，而是按約定的方式標出。

根據(jù)小數(shù)點的位置是否固定，在計算機中有兩種數(shù)據(jù)格式：定點表示和

'4學點表示o

3.2.1定點表示法

定點數(shù)是指小數(shù)點固定在某個位置上的數(shù)值。通常有小數(shù)和整數(shù)兩

種表示形式。

1.定點小數(shù)

小數(shù)點的位置固定在最高有效數(shù)位之前、符號位之后時，機器內(nèi)的

數(shù)稱為純小數(shù)。記作Xs.X】X2…X。，其中表示符號位，這個數(shù)是一個純

小數(shù)，如圖3-2所示。定點小數(shù)的小數(shù)點位置是隱含約定的，小數(shù)點并不

需要真正占據(jù)一個二進制位。

第三章182011-12-31

當Xs=O、X.l、Xz=l、…、x『l時，X為最大正數(shù)，即X最大正數(shù)=(l-2n)

當X§=0、X]=0、…、Xn_j=0>X01時,X為最小正數(shù)，即X最小正數(shù)=2華

當Xs=l時，表示X為負數(shù)，此時情況比較復雜，因為在計算機中帶符號

的數(shù)可以用補碼表示，也可以用原碼表示。如前所述，原碼與補碼所表示

的絕對值最大的負數(shù)是不同的，所以原碼和補碼的表示范圍有一些差別。

設(shè)機器字長有n位，貝I」：

原碼定點小數(shù)表示位的范圍為：一(1—2-n)?(1—2-n)。

補碼定點小數(shù)表示位的范圍為：一1?(1—2-n)o

圖3-2定點小數(shù)格式

第三章192011-12-31

2.定點整數(shù)

小數(shù)點的位置隱含固定在最低有效數(shù)位之后時，機器內(nèi)的數(shù)稱為純

整數(shù)。記作XsX]X2…Xn，這是一個純整數(shù)，如圖3-3所示。

圖3-3定點整數(shù)格式

n

原碼定點整數(shù)表示位的范圍為：一(2n—1)?(2—1)O

11n

補碼定點整數(shù)表示位的范圍為：-2?(2—1)o

X最小正數(shù)二1

第三章202011-12-31

在定點表示法中，參加運算的數(shù)以及運算的結(jié)果都必須保證在該

定點數(shù)所能表示的數(shù)值范圍內(nèi)。如遇到絕對值小于最小正數(shù)的數(shù)，被

當作機器0處理，稱為“下溢”；而大于最大正數(shù)和小于絕對值最大的

負數(shù)的數(shù)，統(tǒng)稱為“溢出”。這時計算機將暫時中斷運算操作，去進

行溢出處理。

只能處理定點數(shù)的計算機稱為定點計算機。由于小數(shù)點的位置固

定不變，因此當機器處理的數(shù)不是純小數(shù)或純整數(shù)時，必須設(shè)定一個

比例因子，把原始的數(shù)縮小成定點小數(shù)或擴大成定點整數(shù)后再進行處

理，所得到的運算結(jié)果還必須根據(jù)比例因子還原成實際的數(shù)值。選擇

合適的比例因子非常重要，必須保證參加運算的初始數(shù)據(jù)、中間結(jié)果

和最后結(jié)果都在定點數(shù)的表示范圍之內(nèi)，否則將會產(chǎn)生“溢出”。

第三章212011-12-31

322浮點表示法

i.浮點數(shù)的表示形式

使用定點表示法能表示以o為中心的一定范圍的正、負的整數(shù)或小數(shù)。

實際上計算機中處理的數(shù)不一定是純小數(shù)或純整數(shù)，而且有些數(shù)據(jù)的數(shù)

值范圍相差很大，它們都不能直接用定點數(shù)表示，但均可用浮點數(shù)表示。

浮點數(shù)即小數(shù)點的位置可以浮動的數(shù)，如

325.78=3.2578X102=3257.8XIO-1=0.32578X103

顯然，這里小數(shù)點的位置是變化的，但因為分別乘上了不同的10的

方幕，因此值不變。通常浮點數(shù)可表示成

N=MXrE

式中M為尾數(shù)（可正可負），E為階碼（可正可負），r是基數(shù)（或基

值）。在大多數(shù)計算機中，尾數(shù)為純小數(shù)，常用原碼或補碼表示；階碼

為定點整數(shù)，常用補碼表示；基數(shù)可取2、4、6、8、16等，通常廠2。

第三章222011-12-31

浮點數(shù)在機器中的形式如圖3-4所示。采用這種數(shù)據(jù)格式的機器稱

為浮點機。浮點數(shù)的基數(shù)是隱含的，在整個機器數(shù)中不出現(xiàn)。階碼的符

號位為es，階碼的大小反映了在數(shù)N中小數(shù)點的實際位置；尾數(shù)的符號位

為叫，它也是整個浮點數(shù)的符號位，表示了該浮點數(shù)的正、負。

可見，浮點數(shù)有階碼和尾數(shù)兩部分組成。浮點數(shù)的表示范圍主要由

階碼決定，有效數(shù)字的精度主要由尾數(shù)就決定。

1位<k位>1位<n位

m

0

階碼E尾數(shù)M

圖3?4浮點數(shù)的一般格式

第三章232011-12-31

2.浮點數(shù)的表示范圍

設(shè)某浮點數(shù)的格式如圖3-4所示，k和n分別表示階碼和尾數(shù)的位數(shù)

（不包括符號位），尾數(shù)和階碼均用補碼表示。

當es=O,ms=0,階碼和尾數(shù)的數(shù)值位各位都為1（即階碼和尾數(shù)都為

最大正數(shù)）時，該浮點數(shù)為最大正數(shù)：

X最大正數(shù)=（1-2?2

當e§=l,ms=0,尾數(shù)的最低位irin=l,其余各位為0（即階碼為絕對

值最大的負數(shù)，尾數(shù)為最小正數(shù)）時，該浮點數(shù)為最小正數(shù)：

ck

X最小正數(shù)=2、2-2

當es=0,階碼的數(shù)值位全為1;ms=l,尾數(shù)的數(shù)值位全為0（即階碼

為絕對值最大的正數(shù)，尾數(shù)為絕對值最大的負數(shù)）時，該浮點數(shù)為絕對

值最大負數(shù)：

V—_]*?2T

八絕對值最大的負數(shù)一n

第三章242011-12-31

3.浮點數(shù)的規(guī)格化

為了提高浮點數(shù)的精度，必須充分利用尾數(shù)的有效位數(shù)，通常采取

浮點數(shù)規(guī)格化形式，即規(guī)定尾數(shù)的最高位數(shù)必須是一個有效數(shù)值。如果

不是規(guī)格化數(shù)，就要通過修改階碼并同時左右移尾數(shù)的方法，使其變成

規(guī)格化數(shù)。將非規(guī)格化數(shù)轉(zhuǎn)換成規(guī)格化數(shù)的過程叫做規(guī)格化。對于基數(shù)

不同的浮點數(shù)，因其規(guī)格化數(shù)的形式不同規(guī)格化過程也不同。

一個浮點數(shù)的表示形式不是唯一的。例如二進制數(shù)0.0001011可表

示為0.001011X2T、0.01011X2-2>0.1011X2—3…，而其中只有

0.10HX2-3是規(guī)格化數(shù)。

在尾數(shù)用原碼表示時，規(guī)格化浮點數(shù)的尾數(shù)的最高數(shù)位總等于1。

第三章252011-12-31

3.2.3浮點數(shù)階碼的移碼表示法

浮點數(shù)的階碼是帶符號的定點整數(shù)，因此它可以用前面介紹的任何

一種機器數(shù)的表示方法來表示。但在大多數(shù)計算機中，多采用補碼表示

法或另外一種編碼方法——移碼表示法。

設(shè)定點整數(shù)的移碼形式為X0X］X2…Xn，字長為n+1位，則移碼的定義為

［X］移=2n+X-2n<X<2n

式中：［X］移表示移碼，X為真值。

根據(jù)定義可知，移碼就是真值X加一個常數(shù)2%相當于X在數(shù)軸上向

正方向平移了2n個單位，由此而得“移碼”之稱。移碼也可稱為增碼或

偏碼，常數(shù)2n稱為偏置量或偏置值。

將移碼的定義和補碼的定義相比較，可以找出移碼和補碼之間的關(guān)系：

X0<X<2n

因為

2n+,+X=2n+,-IXI-2"<X<0

第三章262011-12-31

表3-2給出了移碼、補碼和真值之間的關(guān)系。

表3?2移碼、補碼和真值之間的關(guān)系

真值X（十進制）真值X（二進制）[X]補[X]移

-128-100000001000000000000000

-127-11111111000000100000001

????????????

-1-00000011111111101111111

000000000000000010000000

100000010000000110000001

????????????

12711111110111111111111111

第三章272011-12-31

從表3-2中，可看出移碼具有以下特點：

(1)在移碼中，最高位為“0”表示負數(shù)，最高位為“1”表示正數(shù)，這

與原碼、補碼、反碼的符號位取值相反；

(2)移碼全為0時，它所對應(yīng)的真值最??；全為1時所對應(yīng)的真值最大。

因此移碼的大小直觀地反映了真值得大小，有助于兩個浮點數(shù)進行階碼

的大小比較；

(3)真值0在移碼中的表示形式也是唯一的，即［+0］補二［-0］補

=100...0；

(4)移碼把真值映射到一個正數(shù)域，所以可將移碼視為無符號數(shù)，直

接按無符號數(shù)規(guī)則比較大??；

(5)同一數(shù)值的移碼和補碼除最高位相反外，其他各位相同。

(6)移碼的偏置量并不唯一，根據(jù)所要表示的移碼值范圍來選擇不同

的偏置量，需要注意的是IEEE754的標準中8位二進制的偏移量的取值為

127。

第三章282011-12-31

3.2.4實用浮點數(shù)舉例

在現(xiàn)代計算機中，浮點數(shù)一般采用國際標準IEEE754,這種標準的

形式如圖3-5所不。

ms階碼（含階符）尾數(shù)

數(shù)符小數(shù)點位置

圖3-5IEEE754標準的浮點數(shù)形式

第三章292011-12-31

按照IEEE754標準，常用的浮點數(shù)有三種，它們具體的格式見表3-3。

表3?3IEEE754標準中的三種浮點數(shù)

類型數(shù)符階碼尾數(shù)總位數(shù)偏置值

r^3

短浮點數(shù)18327FH

長浮點數(shù)11152643FFH

臨時浮點數(shù)11564r^o3FFFH

下面以32位的短浮點數(shù)為例，討論浮點代碼與真值之間的關(guān)系。最高

位為數(shù)符位；其后是8位階碼，以2為底，階碼的偏置值為127；其余23位

是尾數(shù)。為了使尾數(shù)部分能表示多一位的有效值，IEEE754標準采用隱含

尾數(shù)最高數(shù)位1的方法（即這一位1不表示出來），因此尾數(shù)實際上是24位。

需要注意的是，隱含的1是一位整數(shù)（即位權(quán)為2。）。在浮點格式中表示

出來的23位尾數(shù)是純小數(shù)，并用原碼表示。

第三章302011-12-31

例3-3：將(56.25)I。轉(zhuǎn)換成短浮點數(shù)。

解：(1)把十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)

(56.25)10二(111000.01)2

(2)規(guī)格化二進制數(shù)

111000.01=1.1100001X25

(3)算出移碼(階碼真值+偏置值)

101+01111111-10000100

(4)短浮點數(shù)格式存儲該數(shù)

因為

符號位二0

階碼二10000100

尾數(shù)二11000010000000000000000

所以短浮點數(shù)代碼為：0;10000100;11000010000000000000000

表示為十六進制的代碼為：42610000Ho

第三章312011-12-31

例3-4：把短浮點數(shù)C1C90000H轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)。

(1)把十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)，并分離出符號位、階碼和尾數(shù)

因為C1C90000H二11000001110010010000000000000000

所以，符號位二1

階碼二10000011

尾數(shù)二10010010000000000000000

(2)計算出階碼真值(移碼一偏置值)

10000011-01111111=100

(3)以規(guī)格化二進制數(shù)形式寫出此數(shù)

1.1001001X24

(4)寫成非規(guī)格化二進制數(shù)形式

11001.001

(5)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)，并加上符號位

(11001.001)2二(25.125)10

所以，該浮點數(shù)為-25.125

第三章322011-12-31

3.3數(shù)值運算

3.3.1定點四則運算

定點四則運算包括加、減、乘、除運算。

1.補碼加法運算

上一節(jié)我們介紹了數(shù)的補碼表示法，負數(shù)用補碼表示后，就可以和

正數(shù)一樣來處理。這樣，運算器里只需要一個加法器就可以了，不必為

了負數(shù)的加法運算，再配一個加法器。

補碼加法的公式是：

[X]補+[Y]補=[X+Y]補(mod2)

上述公式表明，在模2意義下，任意兩個數(shù)的補碼之和等于該兩個

數(shù)之和的補碼。這是補碼加法的理論基礎(chǔ)，其結(jié)論也適用定點整數(shù)。

補碼加法有以下特點：一是符號位要作為數(shù)的一部分一起參加運算;

二是要在模2的意義下相加，即超過2的進位要舍去。

第三章332011-12-31

2.補碼減法運算

負數(shù)的加法要利用補碼化為加法來做，減法運算當然也要設(shè)法化為

加法來做。之所以使用這種方法而不直接使用減法，是因為它可以和常

規(guī)的加法運算使用同一個加法器電路，從而簡化了計算機的設(shè)計。

補碼減法運算的公式為：

［X—Y］補=［X］補一［Y］補=［X］補+［—Y］補(mod2)

因此，若機器數(shù)采用補碼，當求X—Y時，只需先求LY］補(稱［—

Y］補為“變補”后的減數(shù))，就可以按照補碼加法規(guī)則進行運算。而［—

Y］補由［Y］補連同符號位在內(nèi)，每位取反，末位加1而得。

第三章342011-12-31

3.溢出判斷

在定點小數(shù)機器中，數(shù)的表示范圍為|X|VI。在運算過程中如出現(xiàn)

大于1的現(xiàn)象，稱為“溢出”。在定點中，正常情況下溢出是不允許的。

兩個正數(shù)相加，結(jié)果大于機器所能表示的最大正數(shù)，成為正溢。而

兩個負數(shù)相加，結(jié)果小于機器所能表示的最小負數(shù)，成為負溢。如圖3-

6所示，對定點正數(shù)而言，也同樣存在正溢、負溢問題。

負溢＜一可表示的數(shù)一》正溢

-10+1

圖3-6定點小數(shù)的溢出

第三章352011-12-31

為了保證計算的正確性，我們必須要對溢出進行檢測。判斷“溢出”

是否發(fā)生，可采用兩種檢測方法。第一種方法是采用雙符號位法，這稱

為“變形補碼”或“模4補碼”，從而使模2補碼所能表示的數(shù)的范圍擴

大了一倍。采用變形補碼后，任何小于1的正數(shù)，兩位符號位都是“0”；

任何大于一的1負數(shù)，兩個符號位都是“1”，兩個數(shù)相加后，其結(jié)果的

符號出現(xiàn)“01”或“10”兩個組合時，表示發(fā)生溢出。這是因為兩個絕對

值小于1的數(shù)相加，其結(jié)果不會大于或等于2,而最高符號位永遠表示結(jié)

果的正確符號。

第三章362011-12-31

我們可以得出如下結(jié)論：

(1)當以模4補碼運算，運算結(jié)果的兩個符號位相異時，表示溢出；

相同時，表示未溢出。所以溢出邏輯表達式為V二SfRf2，其中$門和S’2分

別表示為最高符號位和第二符號位。此邏輯表達式可用異或門實現(xiàn)。

(2)模4補碼相加的結(jié)果，不論是否溢出，最高符號位始終表示正確

的符號。

(3)第二種溢出檢測的方法是采用單符號位法。從例9和例10中可看

出，當最高有效位產(chǎn)生進位而符號位無進位時，產(chǎn)生正溢；當最高有效

位無進位而符號位有進位時，產(chǎn)生負溢。所以溢出邏輯表示式為V=CfC0,

其中Cf表示符號位產(chǎn)生的進位，C。表示最高有效位產(chǎn)生的進位。此邏輯

表達式也可用異或門實現(xiàn)。

在定點機中，當運算結(jié)果發(fā)生溢出時，機器通過邏輯電路自動檢測

出這種益處，并進行中斷處理。

第三章372011-12-31

4.乘法運算

與加法和減法相比，無論是用硬件還是用軟件來完成。乘法都是一

個復雜的操作。各種各樣的算法已用于各類計算機中。我們先介紹兩個

無符號整數(shù)相乘的過程，然后再介紹實現(xiàn)兩個補碼表示數(shù)的乘法的最普

遍的技術(shù)。

(1)無符號整數(shù)乘法

由圖3?7所示的手工乘法過程，可得到如下幾點重要結(jié)論：

1011被乘數(shù)11

X1101乘數(shù)13

1011

0000

1011

1011

10001111

圖3-7無符號二進制乘法

第三章382011-12-31

1）乘法涉及到部分積的生成，乘數(shù)的每一位對應(yīng)一個部分積。然后,

部分積相加得到最后的乘積。

2）部分積是容易確定的。當乘數(shù)的位是0時，其部分積也是0；當乘

數(shù)的位是1時，其部分積是被乘數(shù)。

3）部分積通過求和而得到最后乘積。為此，后面的部分積總要比它

前面的部分積左移一個位置。

4）兩個n位二進制整數(shù)的乘法導致其積的長度為2n位。

與手工演算相比，計算機能做幾件事使操作更有效。首先，可以邊產(chǎn)

生部分積邊做加法，而不是等到最后再相加。這就取消了存儲所有部分

積的需求；只需要少數(shù)幾個寄存器。其次，我們能節(jié)省某些部分積的生

成時間，對于乘數(shù)的每個1,需要加和移位兩個操作；但對于每個0,則

只需移位操作。

第三章392011-12-31

圖3-8表示了一種采用此方式的實現(xiàn)方案。

乘數(shù)和被乘數(shù)分別裝入兩個寄存器（Q和M）。還需要第三個寄存

器A,初始設(shè)置為0。還需要一個1位寄存器C,初始值為0,用于保存加

法可能產(chǎn)生的進位。

被乘數(shù)

乘數(shù)

圖3-8無符號二進制乘法實現(xiàn)硬件

第三章402011-12-31

乘法器的操作如下?？?/p>

制邏輯每次讀乘數(shù)的一位。

若Qo是1,則被乘數(shù)與A寄存

器相加并將結(jié)果存于A寄存

器。然后，C、A和Q各寄存

器的所有位向右移一位，于

是C位進入A。/,進入Qz，

而Qo丟失。若Qo是0,則只

需進位，無需完成加法。對

原始的乘數(shù)每一位重復上述

過程。產(chǎn)生的2n位積存于A

和Q寄存器。這種操作的流積在A,Q中

程圖如圖3-9所示。

圖3-9無符號二進制乘法流程圖

第三章412011-12-31

(2)補碼乘法

在計算機中帶符號數(shù)一般都用補碼表示，補碼的加減法非常簡單，

在以加減運算為主的通用機中，操作數(shù)都用補碼表示，所以這類計算機

在做乘法時也使用補碼。

最常用的補碼乘法算法是Booth算法，又稱比較法。

設(shè)被乘數(shù)［X］補=Xs.XRz…X/乘數(shù)［Y］補=Ys.YM…Yn。在乘數(shù)的最低位

置后增加一位附加位Ya，它初值為3增加附加位不會影響運算結(jié)果。

每次運算取決于乘數(shù)相鄰兩位Yj+1的值，把它們稱為乘法的判斷

位。這種運算是根據(jù)乘數(shù)相鄰兩位的比較結(jié)果(Yi+1—Yj)來確定運算操

作，因此稱為比較法。

第三章422011-12-31

Booth算法規(guī)則如下：

1）參加運算的數(shù)用補碼表示；

2）符號位參加運算；

3）由于每求一次部分積要右移一位，所以乘數(shù)的最低兩位Yn、Yn+1的

值決定了每次執(zhí)行的操作，如表3-4所示；

4）移位按補碼右移規(guī)則進行，右移前：XX］X2…X,右移后：XX

X］???Xn_2Xn_p

5）共需要進行n+1次累加，n次移位。

表3-4Booth乘法運算操作

判斷位丫口、Y/］I

0~0原部分積右移一位

。1原部分積加［X］補后右移一位

10原部分積加［—x］補后右移一位

11原部分積右移一位

第三章432011-12-31

圖3-10給出了Booth算法的框圖。被乘數(shù)和乘數(shù)分別放入B和C寄存

器內(nèi)。乘法的結(jié)果將出現(xiàn)在A和C寄存器中。A和附加位CM初始化為0。

運算過程中，控制邏輯每次掃描C寄存器中的最低兩位CnG+i。若兩位

相同（11或00）,則A、C寄存器的所有位向右移一位。若兩位不同，當

時，則A寄存器的內(nèi)容加B寄存器的內(nèi)容（即被乘數(shù)）；當

CnCn+i=l。時，A寄存器的內(nèi)容減去B寄存器的內(nèi)容被乘數(shù)（即加上B寄

存器中內(nèi)容的反），加減之后再右移。無論哪種情況，右移是這樣進行

的：A的最左位，即A一位，不僅要移入A。？，而且還要保留在A-中。

這要求保留A和C中的符號。這種移位方式稱為算術(shù)移位（Arithmetic

Shift）,因為它保留了符號位。

第三章442011-12-31

圖3-10補碼乘法的Booth算法

第三章452011-12-31

5.除法運算

除法要比乘法更復雜，但也是基于同樣的通用原則。如上所述，算法

的基礎(chǔ)是紙和筆的演算方法，而且操作涉及到重復的移位和加減法。

00001101商

除數(shù)1011)10010011被除數(shù)

1011

部分余001110

1011

001111

________1011

100余數(shù)

圖3-11無符號二進制整數(shù)除法

第三章462011-12-31

圖3-11表示的是一個無符號二進制整數(shù)長除的例子。首先，從左到右

檢查被除數(shù)的位，直到被檢查的位所表示的數(shù)大于或等于除數(shù)；這被稱

為除數(shù)能去“除”此數(shù)。直到這個事件出現(xiàn)之前，一串0從左到右放入

商中，。當事件出現(xiàn)時，一個1放入商并且由此部分被除數(shù)中減去除數(shù)。

結(jié)果被稱為部分余(PartialRemainder),由此開始除法呈現(xiàn)一種循

環(huán)樣式。在每一循環(huán)中，被除數(shù)的其他位續(xù)加到部分余上，直到結(jié)果大

于或等于除數(shù)。同前，由這個數(shù)減去除數(shù)并產(chǎn)生新的部分余。此過程繼

續(xù)下去，直到被除數(shù)的所有位都被用完。

事實上，機器的運算過程和人畢竟不同，人會心算，一看就知道夠不

夠減。但機器卻不會心算，必須先做減法，若余數(shù)為正，才知道夠減；

若余數(shù)為負，才知道不夠減。不夠減時必須恢復原來的余數(shù)，以便再繼

續(xù)往下運算，這種方法稱為恢復余數(shù)法。

第三章472011-12-31

要恢復原來的余數(shù)，只要當前的余數(shù)加上除數(shù)即可。但由于要恢復余

數(shù)，使除法進行過程的步數(shù)不固定，因此控制比較復雜。實際中常用不

恢復余數(shù)法，又稱加減交替法。其特點是運算過程中如出現(xiàn)不夠減，則

不必恢復余數(shù)，根據(jù)余數(shù)符號，可以繼續(xù)往下運算，因此步數(shù)固定，控

制簡單。

加減交替法的規(guī)則是：當余數(shù)為正時，商“1”，余數(shù)左移一位，減除

數(shù)；當余數(shù)為負時，商“0”，余數(shù)左移一位，加除數(shù)。

第三章482011-12-31

3.3.2浮點四則運算

1.浮點加法、減法運算

設(shè)有兩個浮點數(shù)X和Y,它們分別為

X=2LxX

Y=。Yx2EY

其中Ex和Ey分別為數(shù)X和Y的階碼，Mx和％為X和Y的尾數(shù)。

兩個浮點數(shù)進行加法和減法的運算規(guī)則是：

EX-EYEY

Z=X±Y=(MxX2±MY)X2EX<EY

由于浮點數(shù)尾數(shù)的小數(shù)點均固定在第一數(shù)值位前，所以尾數(shù)的加減運算

規(guī)則與定點數(shù)完全相同。但由于其階碼的大小有直接反映尾數(shù)有效值的

小數(shù)點位置，因此當浮點數(shù)階碼不等時，因兩尾數(shù)小數(shù)點的實際位置不

一樣，尾數(shù)部分無法直接進行加減運算，因此必須先進行“對階”，

使兩數(shù)的小數(shù)點位置對齊。

第三章492011-12-31

完成浮點數(shù)加減法運算的操作過程大體分為四個基本步驟:

(1)0操作數(shù)檢查；

(2)比較階碼并完成對階；

(3)尾數(shù)進行加或減運算；

⑷規(guī)格化結(jié)果并進行舍入處理。

圖3?12所示為浮點數(shù)加減運算的操作流程圖。

第三章502011-12-31

圖3-12浮點加減運算的操作流程

第三章512011-12-31

第一步為0操作數(shù)檢查，如果判知兩個操作數(shù)X或Y中有一個數(shù)為0,那

么另一個數(shù)即為運算結(jié)果，而沒有必要再進行后續(xù)的一系列操作，以節(jié)

省運算時間。

第二步是使兩個操作數(shù)的指數(shù)相同。兩個浮點數(shù)進行加減，首先要

看兩個數(shù)的階碼是否相同，即小數(shù)點位置是否對齊。若兩個數(shù)階碼相同,

表示小數(shù)點是對齊的，就可以進行尾數(shù)的加減運算。反之，若兩個數(shù)階

碼不同，表示小數(shù)點位置沒有對齊，此時必須使兩個數(shù)階碼相同，這個

過程叫做對階。

第三步是尾數(shù)求和運算，包括它們的符號。不論是加法還是減法，都

按加法進行操作，其方法與定點加減運算完全相同。

最后一步是規(guī)格化結(jié)果。若尾數(shù)部分得到的結(jié)果不是規(guī)格化數(shù)，必須把

它變成規(guī)格化數(shù)。對于雙符號來說，規(guī)格化數(shù)的形式是001義…X或

110X...Xo

第三章522011-12-31

規(guī)格化處理的規(guī)則如下：

1）結(jié)果尾數(shù)的兩個符號位值不同（01或10）,這就表明尾數(shù)運算結(jié)果

溢出，應(yīng)進行右規(guī)格化處理，即將結(jié)果尾數(shù)向右移一位，并將階碼值加

lo

2）若結(jié)果尾數(shù)運算不溢出，但最高數(shù)位值與符號位的值相同，這就表

明不符合規(guī)格化規(guī)則，應(yīng)進行左規(guī)格化處理，這時應(yīng)將結(jié)果尾數(shù)重復左

移，每移一位階碼減1,知道出現(xiàn)最高數(shù)值位與符號位的值不同為止。

在對階或向右規(guī)格化時，尾數(shù)要向右移位。這樣被移位的尾數(shù)的低位

部分就會被丟掉，從而造成一定的誤差，因此要進行舍入處理。簡單的

舍入如處理方法有兩種：一種是“0舍1入”法，即如果右移時被丟掉的

數(shù)位的最高位為0則舍去，為1則將尾數(shù)的末位加1。另一種方法是“恒

置1”法，即只要數(shù)位被移掉，就在尾數(shù)的末位恒置1。

第三章532011-12-31

在IEEE754標準中，舍入處理提供了四種可選方法：

?就近舍入：結(jié)果被舍入成最近的可表示的數(shù)。其實質(zhì)就是通常所說

的“四舍五入”。例如，尾數(shù)超出規(guī)定的23位的多余位數(shù)字是10010,

多于位的值超過規(guī)定的最低有效位值的一半，故最低有效位應(yīng)增1。若

多余的5位是01111,則簡單的截尾即可。對多余的5位10000這種特殊情

況：若最低有效位現(xiàn)在為0,則截尾；若最低有效位現(xiàn)為1,則向上進1

位使其變?yōu)?。

?朝+8舍入：結(jié)果向正無窮大方向取舍。對正數(shù)來說，只要多余位不

全為0,則向最低有效位進1;對負數(shù)來說，則是簡單的截尾。

?朝一8舍入：結(jié)果向負無窮大方向取舍。對正數(shù)來說，則是簡單的截

尾；對負數(shù)來說，只要多余位不全為0,則向最低有效位進1。

?朝0舍入：結(jié)果朝0取舍。即朝數(shù)軸原點方向舍入，就是簡單的截尾。

無論尾數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，截位都使取值的絕對總值比原值的絕對值小。

這種方法容易導致誤差。

第三章542011-12-31

2.浮點乘法、除法運算

(1)浮點乘法、除法運算規(guī)則

設(shè)有兩個浮點數(shù)X和Y:

可見，乘積的尾數(shù)是相乘兩數(shù)的尾數(shù)之積，乘積的階碼是相乘兩數(shù)的

階碼之和。當然，這里也有規(guī)格化和舍入等步驟。

設(shè)有兩個浮點數(shù)X和Y:

第三章552011-12-31

(2)浮點乘法、除法運算步驟

浮點數(shù)的乘除運算大體可分為四步：第一步，0操作數(shù)檢查；第二步,

階碼加/減操作；

第三步，尾數(shù)乘/除操作；第四步，結(jié)果規(guī)格化及舍入處理。

圖3-13所示為浮點乘法的流程圖。無論哪個操作數(shù)為0,乘積即為0。

下一步是指數(shù)相加。若指數(shù)是移碼(偏移值指數(shù))形式，指數(shù)的和將會

有雙倍的偏置值，故應(yīng)從和中減去一個偏置值?？赡軙霈F(xiàn)指數(shù)上溢或

下溢，此時應(yīng)結(jié)束算法并報告。

若積的指數(shù)在一個恰當?shù)姆秶鷥?nèi)，則下一步應(yīng)是有效數(shù)相乘，包括它

們的符號一起考慮。有效數(shù)相乘與整數(shù)相乘的方法相同。積的長度將是

被乘數(shù)和乘數(shù)的長度的兩倍，多余的位將在舍入期間丟失掉。

得出乘積之后，下一步則是結(jié)果的規(guī)格化和舍入處理，同加、減法所做

的一樣。注意，規(guī)格化可能導致指數(shù)下溢出現(xiàn)。

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圖3-13浮點乘法的流程圖

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圖3-14所示為浮點除除法

法流程圖。第一步是測試

x=o?A階碼相減

0,若除數(shù)為0,或報告出

Y,V

加偏移

錯，或認為是一個無窮大Z

的數(shù)，取決于具體的實現(xiàn)。

工A溢出報告

返回工酚碼溢出？

若被除數(shù)是0,則結(jié)果是0。K7

下一步是被除數(shù)的指數(shù)減爸碼下溢？＞報告下溢

除數(shù)的指數(shù)。這個過程把V

\r

偏置值去掉了，所以必須尾數(shù)相除I返回

▼

加上偏置值。然后對指數(shù)規(guī)格化

上溢或下溢進行測試。▼

舍入

V

返回

圖3/4浮點除法流程圖

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3.4算術(shù)邏輯運算單元ALU

針對每一種算術(shù)運算，都必須有一個相應(yīng)的基本硬件配置，其核心部

分是加法器和寄存器。當需要完成邏輯運算時，勢必需要配置相應(yīng)的邏

輯電路，而ALU電路是既能完成算術(shù)運算又能完成邏輯運算的部件

3.4.1ALU電路

圖3-15是ALU框圖。圖中Aj和瑪為輸入變量；彩為控制信號，&的不同

取值可決定該電路做哪種邏輯運算；Fj是輸出函數(shù)。

圖3-15ALU框圖

第三章592011-12-31

為了實現(xiàn)算術(shù)/邏輯多功能運算，則必須對全加器(F