新人教A版必修一 集合 教案

知識點一集合的基本概念

1.集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

2.元素與集合的關(guān)系:屬于或不屬于，表示符號分別為且和名

3.集合的三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法.

易誤提醒在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會

因為不滿足“互異性”而導(dǎo)致解題錯誤.

［自測練習(xí)］

1.己知aWR,若{—1,0,1)=錯誤!，則a=。

解析：錯誤！WOMWO,a2^—\,只有a2=i.

當(dāng)。=1時，錯誤！=1,不滿足互異性,...a=-1。

答案：一1

知識點二集合間的基本關(guān)系

描述

文字語言符號語言

關(guān)系

子集A中任意一元素均為B中的元素AUB或B3A

集合間

A中任意一元素均為B中的元素，且B中至少

的基本真子集A—B或BIA

有一個元素A中沒有

關(guān)系

相等集合A與集合B中的所有元素都相同

必記結(jié)論若集合A中有“個元素，則其子集個數(shù)為2",真子集個數(shù)為2"—1,非空真

子集的個數(shù)為2"—2。

易誤提醒易忘空集的特殊性，在寫集合的子集時不要忘了空集和它本身.

［自測練習(xí)］

2.已知集合4={xIx=a+(?2—1)i}(°GR,i是虛數(shù)單位)，若4GR,則a=()

A.1B.-IC.±1D.0

解析：AGR,.*.a2-l=0,a=±lo

答案：C

3.已知集合人={1,2,3,4},8={(x,y)|x6A,ydA,xy^A},則集合B的所有真

子集的個數(shù)為()

A.512B.256

C.255D.254

解析：由題意知當(dāng)x=l時，)，可取1,2,3,4;當(dāng)x=2時，y可取I,2;當(dāng)x=3時,y可

取1;當(dāng)x=4時,y可取1。綜上，8中所含元素共有8個，所以其真子集有28—1=255個.選

C?

答案:c

知識點三集合的基本運算及性質(zhì)

并集交集補集

?

圖形表示

4n8={x1且XG

符號表示AUB={x|xJ或xWB}[〃A={x|xGU,且rA}

B}

AU0=4400=0

AUA=AAC\A=AAU")=U

性質(zhì)AUB=BUAAQB=BnAAG([〃)=g

AUB=AAC\B=A[認(rèn)[(/4)=A

O昨A

易誤提醒運用數(shù)軸圖示法易忽視端點是實心還是空心.

必記結(jié)論[u(4CB)=(CM)U(CUB),CU(AUB)=duA)C(CuB).

[自測練習(xí)]

4.(2015?廣州一模)已知全集U=(1,2,3,4,5},集合M={3,4,5},N={1,2,5),則集

合{1,2}可以表示()

A.MCNB.([uA/)n2V

C.MQ([網(wǎng)D.

解析：MCN={5},A錯誤；CuM={l,2},(CuMDN={l,2},B正確;CuN={3,4},MO(C

uN尸{3,4},C錯誤；(CuM)C(1uN)=0,D錯誤.故選B.

答案：B

5.(2015?長春二模)已知集合尸={xIx20},Q=錯誤!，則PA([RQ)=()

A.(一8,2)B.(—8,—1]

C.(-1,0)D.[0,2]

解析:由題意可知0={x|xW-l或x〉2},則鼠。={XI-1〈xW2},所以2。(&。)=

{x|0WxW2}.故選D。

答案：D

KAODIANYANJIU..........

研考向?考點研究，強技提能

考點一集合的基本概念|目z聲然界1

［題組訓(xùn)練］

1.已知集合5={x|3x+a=0},如果16S,那么“的值為()

A.—3B.—1

C.1D.3

解析：VIGS,：.3+a=Ofa=-3.

答案：A

2.設(shè)集合人={1,2,4},集合3={xI則集合8中的元素個數(shù)為()

A.4B.5

C.6D.7

解析：VaGA,b^A,x=a+b,：.x=2f3,4,5,6,8,，B中有6個元素，故選C。

答案:C

3.(2015?貴陽期末)已知全集U="如43MJ集合A是集合。的恰有兩個元素的

子集，且滿足下列三個條件：①若ai@A,則〃2￡A；②若〃3初,則。2辦；③若〃3^A,則〃4

建人則集合A=.(用列舉法表示)

解析：若的￡A,則則由若6住4則?？芍?，假設(shè)不成立；若〃46A,

則的則〃2初，則〃1初，假設(shè)不成立，故集合A={〃2,的}.

答案：{〃2'的}

?規(guī)律方法

判斷一個元素是某個集合元素的三種方法：列舉法、特征元素法、數(shù)形結(jié)合法.

考點二集合間的基本關(guān)東及應(yīng)用I品成贛需

［典題悟法］

奧例I(1)已知全集A={xeN*+2x-3W0},B={yIyQA},則集合B中元素的

個數(shù)為()

A.2B.3

C.4D.5

［解析］依題意得鼻={xENI(x+3)(x-l)W0}={xEN|-3WxWl}={0,1},共有

22=4個子集，因此集合8中元素的個數(shù)為4,選C。

［答案］C

(2)已知集合用=國一I⑵，N={xIx<a},若M=N,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(2,+8)B.［2,+<?)

C.(—8,—1)D.<―°O,—1］

［解析］依題意，由MNN得a22,即所求的實數(shù)a的取值范圍是［2,+°0),選B。

［答案］B

》規(guī)律方法

1.判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法

(1)化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系.

(2)用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系.

2.已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時的兩個關(guān)鍵點

(1)將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.

(2)合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析.

［演練沖關(guān)］

1.(2015?遼寧五校聯(lián)考)設(shè)集合P={xlx>l},Q={x4-x>0},則下列結(jié)論正確的是

()

A.PQQB.QQP

C.P=QD.PUQ=R

解析：由集合0={jcjjc2—x>0},知。={xlx<0或x〉I},所以選A.

答案：A

考點、三集合的基本運算|HCZUOSijfu

［典題悟法］

地2(1)(2015?高考全國卷II)已知集合4={-2,-1,0,1,2}.B={xI(x-l)(x

+2)〈0},則AClB=()

A.{-1,0}B.{0,1}

C.{-1,0,1}D.{0,1,2)

［解析］由于B={x|-2〈x<l},所以4nB={-1,0}.故選A.

［答案］A

(2)(2015?鄭州期末)已知函數(shù)式x)=錯誤!，集合4為函數(shù)/(x)的定義域，集合B為

函數(shù)/U)的值域，則如圖所示的陰影部分表示的集合為.

［解析］本題考查函數(shù)的定義域、值域以及集合的表示.

要使函數(shù)/(x)=錯誤！有意義，

則2二'一1'0,解得xWO,

所以A=(-8,o］.

又函數(shù)段)=錯誤！的值域B=［0,+°°).

陰影部分用集合表示為駿UB(ACB)=(-8,0)U(0,+8).

［答案］(一8,0)U(0,+8)

?規(guī)律方法

集合運算問題的四種常見類型及解題策略

(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運算.常借助Venn圖求解.

(2)連續(xù)型數(shù)集的運算.常借助數(shù)軸求解.

(3)已知集合的運算結(jié)果求集合.借助數(shù)軸或Venn圖求解.

(4)根據(jù)集合運算求參數(shù).先把符號語言譯成文字語言，然后適時應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解.

［演練沖關(guān)］

2.(2015?高考陜西卷)設(shè)集合{x|f=x},N={x|lgxWO}Ji!ljMUN=()

A.［0,1］B.(0,11

C.［0,1)D.(-oo,1］

解析：VAf={x|x2=x}={0,1},N={xIlgxW0}={xI0<xWl},.?.MUN={x|0WxWl},

故選A.

答案:A

考點0集合的創(chuàng)新問題|黑腮養(yǎng)

［典題悟法］

蛆3設(shè)集合A={1,2,3},8={2,3,4,5},定義AOB={(x,y)IxCACB,yGAUB},

則中元素的個數(shù)是()

A.7B.10

C.25D.52

［解析］AAB={2,3},AUB={1,2,3,4,5},由列舉法可知AG)B={(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)},共有10個元素，故選B。

［答案］B

》規(guī)律方法

解決集合創(chuàng)新問題的三個策略

(1)遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì).

(2)按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.

(3)對于選擇題，可以結(jié)合選項通過驗證，用排除、對比、特值等方法求解.

［演練沖關(guān)］

3.設(shè)P和。是兩個集合，定義集合尸一Q={x|xWP,且依Q},如果P={xIlogjxvl},

Q={川僅一2|〈1},那么P-Q=()

A.{x|0<x<1}B.{x|0〈xWl}

C.{x|lWx<2}D.{W3}

解析:由10g2X<l,

得0<x〈2,

所以P={xI0<x<2};

由小一2I<1,

得1〈x<3,

所以Q={x\l<x<3}.

由題意，得P-Q={x|0<x^l}.

答案：B

V易錯防范系列|

±ICUOFANGFANXILIEI1o遺忘空集致誤

【典例】設(shè)全集是實數(shù)集R,A={x|2^-7x+3<0},B={x|x2+a<0}.若（［RA）AB=

B,則實數(shù)a的取值范圍是.

［解析］；4=錯誤！，，［延=錯誤！，當(dāng)（［R4）CB=B時，即408=0。

①當(dāng)B=0,即a20時，滿足BG［R4；

②當(dāng)BW。，即a<0時，

B={xI—\［—a<xa},

要使BQCRA,需尸W錯誤!，

解得一錯誤!Wa<0.

綜上可得，實數(shù)”的取值范圍是一錯誤!.

［答案］a》一:

［易誤點評］由（RAnB=B知即ACB=0,又集合B中元素屬性滿足/+“<0,

當(dāng)心0時8=0易忽視導(dǎo)致漏解.

［防范措施］（1）根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)是高考的一個重點內(nèi)容.解答此類問題的關(guān)鍵

是抓住集合間的關(guān)系以及集合元素的特征.（2）已知集合8,若已知AUB或ACB=。,則考生

很容易忽視A=0而造成漏解.在解題過程中應(yīng)根據(jù)集合A分三種情況進(jìn)行討論.

［跟蹤練習(xí)］已知U=R,集合A={x*—x—2=0},B={xI〃?x+l=0},8。（［以）=0,

則m—.

解析：A={—I,2},B=0時，機=0;B={—1}時，/n=l;B={2}時，機=一錯誤！.

答案:0,1,一錯誤！

IGENZONGJIANCE

時?跟蹤檢測⑥查漏補缺

A組考點能力演練

1.集合。={0,1,2,3,4},4={1,2},B={xGZIf-5x+4<0},則Cu(AUB)

=()

A.{0,1,3,4}B.{L2,3}

C.{0,4}D.{0}

解析：因為集合8={xGZId—5x+4<0}={2,3},所以AU2={1,2,3),又全集

t/={0,1,2,3,4},所以[u(AU8)={0,4).所以選C.

答案：C

2.已知集合人={0,1,2,3,4),B={xlx=g,n&A},則ACB的真子集個數(shù)為

()

A.5B.6

C.7D.8

解析：由題意，得8={0,1,錯誤！，錯誤!,2},所以ADB={0,1,2},所以ACB的

真子集個數(shù)為23—1=7,故選C.

答案：C

3.(2015?太原一模)已知全集U=R,集合M={xl(x—l)(x+3)<0],N={x||x|Wl},

則陰影部分表示的集合是()

A.[-1,1)

B.(-3,1]

C.(—8,—3)U[―1,4-0°)

D.(—3,—1)

解析：由題意可知,M=錯誤！，N=錯誤！，，陰影部分表示的集合為時。(][;可)=錯誤！。

答案：D

4.集合A={4r—2<0},{xIx{a},若則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(―0°,—2]B.[—2,+°°)

C.(一8,2JD.[2,+8)

解析:由題意，得4={4犬<2}.又因為AnB=A,所以故選D。

答案：D

5.(2015?山西質(zhì)檢)集合A,8滿足AU8={1,2},則不同的有序集合對(A,B)共有

()

A.4個B.7個

C.8個D.9個

解析：由題意可按集合A中的元素個數(shù)分類.易知集合{1,2}的子集有4個：0,{I},

{2},{1,2}.若)=0,則B={1,2};若4={1},則8={2}或8={1,2};若>={2},

則B={1}或8={1,2}：若A={1,2};則8=。或B={1}或B={2}或B={1,2}.綜上所

述，不同的有序集合對(4,8)共有9個，故選D。

答案：D

6.(2015?廣州模擬)設(shè)集合A={(x,y)I2x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=4},滿足C

a(ACB)的集合c的個數(shù)為.

解析：依題意得，AClB={(8,-10)}，因此滿足C=(ACB)的集合C的個數(shù)是2.

答案：2

7.設(shè)集合S“={1,2,3,…，〃},若XCS”，把X的所有元素的乘積稱為X的容量(若

X中只有一個元素，則該元素的數(shù)值即為它的容量，規(guī)定空集的容量為0).若X的容量為

奇(偶)數(shù)，則稱X為S.的奇(偶)子集，則S4的所有奇子集的容量之和為.

解析：：S4={1,2,3,4},，X=0,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,

3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4).其中是奇子集的

為X={1},{3},{1,3},其容量分別為1,3,3,所以S4的所有奇子集的容量之和為7。

答案：7

8.已知集合2={-1,m},。=錯誤！，若PCQW。，則整數(shù)根=。

解析：由{-1,相}C錯誤！r0,可得一1〈機〈錯誤!，由此可得整數(shù)，"=0。

答案：0

9.己知集合4={xpv2—2x—3W0},B—{xIx2—2/ra+w2—4<0,xGR,%GR).

(1)若408=。3],求實數(shù)，〃的值；

(2)若求實數(shù)，〃的取值范圍.

解:由已知得A={xI-1WXW3},

B={x|〃?-2WxWm+2}.

(l)：AnB=[0,3],.,.錯誤！.?.w=2。

(2)[RB={x|x<〃?一2或x〉〃?+2},/.A￡[RB,

2>3或〃?+2〈一1,即5或，“〈一3.

因此實數(shù)m的取值范圍是{mIm)5或膽〈一3}.

10.設(shè)全集/=R,已知集合M={xI(x+3)2<0},N={x|/+x-6=0}.

(1)求(LM)CM

(2)記集合A=(C/M)nN,已知集合8={x|a-lWxW5—a,a@R},若BU4=A,求

實數(shù)a的取值范圍.

解:⑴(x+3)2WO}={-3},

N=W+x—6=0}={-3,2},

：.[iM={xIxGR且xW-3},

...([MnN={2}.

（2）由（1）知A=（「M）AN={2},

'：AUB=A,：.B^A,.,.8=0或8={2},

當(dāng)B=。時，a-l>5~a,：.a>3;

當(dāng)B={2}時，錯誤！解得a=3,

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為{aI。23}.

B組高考題型專練

I.（2014.高考課標(biāo)全國卷I）已知集合2={中2一—一340},B={x|-2Wx<2},則

ACB=（）

A.[—2,—1]B.[—1,2）

C.E-1,1]D.[1,2）

解析:由不等式