專(zhuān)題02 高一上期中真題（壓軸題 11個(gè)考點(diǎn)專(zhuān)練）2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第第頁(yè)專(zhuān)題02高一上期中真題精選（壓軸題11個(gè)考點(diǎn)專(zhuān)練）元素與集合的關(guān)系根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)集合的基本運(yùn)算集合新定義問(wèn)題基本不等式基本不等式中的恒成立問(wèn)題函數(shù)單調(diào)性及其應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的恒成立，有解問(wèn)題與抽象函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題函數(shù)性質(zhì)中的新定義題考點(diǎn)01元素與集合的關(guān)系1．（23-24高一上·山西大同·期中）對(duì)于非空數(shù)集，，其所有元素的算術(shù)平均數(shù)記為，即.若非空數(shù)集B滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：（1）；（2）.則稱(chēng)B為A的一個(gè)“保均值子集”.據(jù)此推理，集合的“保均值子集”有（

）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)、集合新定義【分析】根據(jù)“保均值子集”的定義，列舉出所有符合題意的子集即可求得結(jié)果.【詳解】非空數(shù)集中，所有元素的算術(shù)平均數(shù)，在所有子集中選出平均數(shù)為的子集即可，所以集合的“保均值子集”有，，，，，，共7個(gè)：故選：C．2．（23-24高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）含有有限個(gè)元素的數(shù)集，定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從小到大的順序排列，然后從最大的數(shù)開(kāi)始交替地加減各數(shù)，例如的交替和是；而的交替和是5，則集合的所有非空子集的交替和的總和為（

）A．12 B．32 C．80 D．192【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求集合的子集（真子集）、集合新定義【分析】求出集合的所有非空子集，再利用交替和的定義求解即得.【詳解】集合的所有非空子集為，所以交替和的總和為.故選：B3．（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)、根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【分析】根據(jù)真子集的定義，推斷出集合含有4個(gè)元素，即不等式的解集中有且僅有4個(gè)整數(shù)解，由此進(jìn)行分類(lèi)討論，列式算出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】若集合有15個(gè)真子集，則中含有4個(gè)元素，結(jié)合，可知，即，且區(qū)間,中含有4個(gè)整數(shù)，①當(dāng)時(shí)，,的區(qū)間長(zhǎng)度，此時(shí),中不可能含有4個(gè)整數(shù)；②當(dāng)時(shí)，,,，其中含有4、5、6、7共4個(gè)整數(shù)，符合題意；③當(dāng)時(shí)，,的區(qū)間長(zhǎng)度大于3，若,的區(qū)間長(zhǎng)度，即．若是整數(shù)，則區(qū)間,中含有4個(gè)整數(shù)，根據(jù)，可知，，此時(shí),,，其中含有5、6、7、8共4個(gè)整數(shù)，符合題意．若不是整數(shù)，則區(qū)間,中含有5、6、7、8這4個(gè)整數(shù)，則必須且，解得；若時(shí)，,,，其中含有5、6、7、8、9共5個(gè)整數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，,的區(qū)間長(zhǎng)度，此時(shí),中只能含有6、7、8、9這4個(gè)整數(shù)，故，即，結(jié)合可得．綜上所述，或或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是,,．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由真子集的個(gè)數(shù)可得，且區(qū)間,中含有4個(gè)整數(shù)，結(jié)合區(qū)間長(zhǎng)度，即可對(duì)討論求解.4．（多選）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）對(duì)于集合，給出以下結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系、判斷元素與集合的關(guān)系【分析】分別將各選項(xiàng)中式子或者集合變形，判斷是否能變形成與集合M中元素一樣的特征.【詳解】對(duì)于A，，則恒有，即，則，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，，若，則存在使得，即，又和同奇或同偶，若和都是奇數(shù)，則為奇數(shù)，而是偶數(shù)；若和都是偶數(shù)，則能被4整除，而不一定能被4整除，所以不能得到，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；如果，可設(shè)，對(duì)于C，，可得，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，，不一定成立，不能得到，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：按照題目中關(guān)于集合中元素的定義，對(duì)選項(xiàng)中的算式進(jìn)行變形整理，表示成中元素的形式，判斷是否能夠成立.5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合是集合的非空真子集，把集合中的各元素之和記為，則滿(mǎn)足的集合的個(gè)數(shù)為；的所有不同取值的個(gè)數(shù)為．【答案】654【知識(shí)點(diǎn)】求集合的子集（真子集）、集合新定義【分析】根據(jù)非空真子集的定義結(jié)合題意求解即可.【詳解】由題意，滿(mǎn)足的集合有：，，，，，，共6個(gè).對(duì)于來(lái)說(shuō)，由于它是集合中的各元素之和，同時(shí)又是集合的非空真子集，因?yàn)?，由題意，易知將取盡1到54的所有整數(shù)，所以的所有不同取值的個(gè)數(shù)為54.故答案為：6；54.6．（23-24高一上·上海·期中）若規(guī)定集合的子集為的第個(gè)子集，其中，則的第211個(gè)子集是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求集合的子集（真子集）、集合新定義【分析】利用題設(shè)規(guī)定的子集的定義，將211化為的形式，從而得解.【詳解】由于，因?yàn)榧?，的子集為的第個(gè)子集，其中，所以的第211個(gè)子集是.故答案為：.考點(diǎn)02根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)1．（23-24高一上·山西大同·期中）用表示非空集合A中元素的個(gè)數(shù)，定義，已知集合，，且，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成集合S，則（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、集合新定義【分析】先分析中有1個(gè)或者3個(gè)元素，即方程有一個(gè)根或者三個(gè)根，分析方程的根的情況，可得到可取的值，即可得答案.【詳解】集合，，根據(jù)集合的新定義知：中有1個(gè)或者3個(gè)元素，當(dāng)中有1個(gè)元素時(shí)，有一個(gè)解，可得；當(dāng)中有3個(gè)元素時(shí)，易知，有三個(gè)解，其中的兩個(gè)為：，當(dāng)有一個(gè)解時(shí)，令，可得；當(dāng)有兩個(gè)解且其中一個(gè)和0或者相等時(shí)，也滿(mǎn)足條件，此時(shí)，顯然不等于0，所以或，解得或，綜上所述，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值為，所以構(gòu)成集合S元素個(gè)數(shù)為5，即.故選：C2．（23-24高一上·上?！て谥校┮阎?，，則使得關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解的所有有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為.【答案】8【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、方程與不等式【分析】由元素與集合的關(guān)系，求出可能的取值，關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，分和兩種情況，求滿(mǎn)足條件的的值，得有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù).【詳解】已知，時(shí)，解得或；時(shí)，解得或；時(shí)，解得，又且，所以，同理，關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解，的值可以是，的個(gè)數(shù)為3；當(dāng)時(shí)，要使方程有實(shí)數(shù)解，需使，即，若，則的值可以是，的個(gè)數(shù)為3；若，則的值可以是，的個(gè)數(shù)為2；所以使得關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解的所有有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為8.故答案為：8.考點(diǎn)03集合的基本運(yùn)算1．（23-24高一上·上?！て谥校┰O(shè)集合為實(shí)數(shù)集的非空子集，若對(duì)任意，，都有，，，則稱(chēng)集合S為“完美集合”，給出下列命題：①若為“完美集合”，則一定有；②“完美集合”一定是無(wú)限集；③集合為“完美集合”；④若為“完美集合”，則滿(mǎn)足的任意集合也是“完美集合”.其中真命題是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、集合新定義【分析】對(duì)于①③，可以利用完美集合的定義分析判斷，對(duì)于②④可以舉反例分析判斷.【詳解】對(duì)于①，若為“完美集合”，對(duì)任意的，，①對(duì)；對(duì)于②，完美集合不一定是無(wú)限集，例如，②錯(cuò)；對(duì)于③，集合，在集合中任意取兩個(gè)元素，，，其中、、、為整數(shù)，則，，，集合為“完美集合”，③對(duì)；對(duì)于④，，，也滿(mǎn)足④，但是集合不是一個(gè)完美集合，④錯(cuò).故選：A.2．（多選）（22-23高一上·山東臨沂·期中）給定數(shù)集，若對(duì)于任意，有，且，則稱(chēng)集合為閉集合，則下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．集合為閉集合B．整數(shù)集是閉集合C．集合為閉集合D．若集合為閉集合，則為閉集合【答案】AD【知識(shí)點(diǎn)】集合新定義【分析】對(duì)于A，令，可判斷錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)整數(shù)的和差還是整數(shù)可判斷B正確；對(duì)于C，任取，則，結(jié)合新定義即可判斷；對(duì)于D，令，，可判斷錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A：由于，但是，故集合不為閉集合，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由于整數(shù)加上整數(shù)或減去整數(shù)，所得結(jié)果仍是整數(shù)，所以整數(shù)集是閉集合，故B正確；對(duì)于C：任取，則，則，所以，，所以集合為閉集合，故C正確；對(duì)于D：由C可得為閉集合，同理為閉集合，所以，則有，但，則不為閉集合，故D錯(cuò)誤；故選：AD．3．（多選）（23-24高一上·湖北·期中）如果我們把集合的所有子集組成的集合叫做集合的冪集，記為.用表示有限集的元素個(gè)數(shù).下列命題中正確的是（

）A．若，則；B．存在集合，使得；C．若，則；D．若，則.【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】集合新定義【分析】按冪集的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若，則的子集之一就是，所以，故A正確；對(duì)于B，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則的公共子集只有空集，故，故C正確；對(duì)于D，若，不妨設(shè)，則，，顯然，故D錯(cuò)誤.故選：AC.4．（23-24高一上·上?！て谥校┰O(shè)集合，，其中、、、、是五個(gè)不同的正整數(shù)，且，已知，，中所有元素之和是246，請(qǐng)寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的集合A：.【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】由題意可得，所以，分類(lèi)討論當(dāng)和時(shí)情況，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，得，所以.由于中有9，因此A中有3，此時(shí)集合有共同元素1，若，則，于是；此時(shí)且，無(wú)正整數(shù)解；若，集合有共同元素1和9，則，所以，且，而，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因此滿(mǎn)足條件的共有2個(gè)，分別為.故答案為:或5．（23-24高一上·北京海淀·期中）對(duì)集合，定義①若的元素個(gè)數(shù)為4，則可以為：，（寫(xiě)出一組即可）②若集合滿(mǎn)足：存在的子集，使得的元素個(gè)數(shù)不小于100，且對(duì)任意，均有，則集合的元素個(gè)數(shù)的最小值是．【答案】（答案不唯一）（答案不唯一）【知識(shí)點(diǎn)】利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個(gè)數(shù)、集合新定義【分析】根據(jù)題目中集合的新定義，結(jié)合元素與集合的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)集合中元素個(gè)數(shù)為，集合中元素個(gè)數(shù)為，根據(jù)題意可知集合的元素個(gè)數(shù)為，若的元素個(gè)數(shù)為4，則可以為，，若對(duì)任意，均有，則，，又的元素個(gè)數(shù)不小于100，則，解得，因?yàn)槭羌系淖蛹约系脑貍€(gè)數(shù)的最小值是.故答案為：（答案不唯一），（答案不唯一），6．（23-24高一上·北京順義·期中）已知，是的子集，定義集合，若，則稱(chēng)集合A是的恰當(dāng)子集．用表示有限集合X的元素個(gè)數(shù)．(1)若，，求并判斷集合A是否為的恰當(dāng)子集；(2)已知是的恰當(dāng)子集，求a，b的值并說(shuō)明理由；(3)若存在A是的恰當(dāng)子集，并且，求n的最大值．【答案】(1)，集合A是的恰當(dāng)子集；(2)，或，.(3)10【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系、集合新定義、判斷元素與集合的關(guān)系【分析】（1）由定義求并判斷集合A是否為的恰當(dāng)子集；（2）已知是的恰當(dāng)子集，則有，列方程求a，b的值并檢驗(yàn)；（3）證明時(shí)，存在A是的恰當(dāng)子集；當(dāng)時(shí)，不存在A是的恰當(dāng)子集，【詳解】（1）若，有，由，則，滿(mǎn)足，集合A是的恰當(dāng)子集；（2）是的恰當(dāng)子集，則，，由則或，時(shí)，，此時(shí)，，滿(mǎn)足題意；時(shí)，，此時(shí)，，滿(mǎn)足題意；，或，.（3）若存在A是的恰當(dāng)子集，并且，當(dāng)時(shí)，，有，滿(mǎn)足，所以是的恰當(dāng)子集，當(dāng)時(shí)，若存在A是的恰當(dāng)子集，并且，則需滿(mǎn)足，由，則有且；由，則有或，時(shí)，設(shè)，經(jīng)檢驗(yàn)沒(méi)有這樣的滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，設(shè)，經(jīng)檢驗(yàn)沒(méi)有這樣的滿(mǎn)足；，因此不存在A是的恰當(dāng)子集，并且，所以存在A是的恰當(dāng)子集，并且，n的最大值為10.7．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知有限集，若A中元素滿(mǎn)足，則稱(chēng)集合A為“復(fù)活集”．(1)判斷集合是否為“復(fù)活集”，并說(shuō)明理由：(2)若均為正數(shù)，且為“復(fù)活集”，求的取值范圍，(3)若時(shí)，求“復(fù)活集”A．【答案】(1)是，理由見(jiàn)解析；(2)；(3).【知識(shí)點(diǎn)】集合新定義【分析】（1）利用“復(fù)活集”的定義判斷即得.（2）利用“復(fù)活集”的定義，結(jié)合韋達(dá)定理構(gòu)造一元二次方程，借助判別式求解即得.（3）利用“復(fù)活集”的定義，結(jié)合給定條件及不等式性質(zhì)求解即得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以集合是“?fù)活集”.（2）由為“復(fù)活集”，設(shè)，因此是一元二次方程的兩個(gè)不等正根，于是，且，解得，所以的取值范圍是.（3）不妨設(shè)中元素滿(mǎn)足，且，顯然，則，而，即有，因此，則，解得，所以“復(fù)活集”.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及集合新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，合理利用定義，結(jié)合相關(guān)的其它知識(shí)，進(jìn)行推理判斷解決.考點(diǎn)04集合新定義問(wèn)題1．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類(lèi)”，記為，即，則下面選項(xiàng)正確的為（

）A．B．C．D．整數(shù)屬于同一“類(lèi)”的充分不必要條件是“”【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、集合新定義、判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系、充要條件的證明【分析】求被除的余數(shù)，判斷A，求被除的余數(shù)，判斷B，根據(jù)新定義及集合相等的定義判斷C，結(jié)合新定義及充分條件，必要條件的定義判斷D.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，每個(gè)整數(shù)除以后的余數(shù)只有，沒(méi)有其他余數(shù)，所以，又，故，C正確；對(duì)于D，若，則，若，則，不妨設(shè)，則，所以，，所以除以后余數(shù)相同，所以屬于同一“類(lèi)”所以整數(shù)屬于同一“類(lèi)”的充要條件是“”，D錯(cuò)誤；故選：C.2．（23-24高二上·北京西城·期中）已知，，，記，用表示有限集合的元素個(gè)數(shù).(1)若，，分別指出和時(shí)，集合的情況（直接寫(xiě)出結(jié)論）；(2)若，，求的最大值；(3)若，，則對(duì)于任意的A，是否都存在，使得？說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)10(3)不一定存在，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】集合新定義、交集的概念及運(yùn)算【分析】（1）由已知得，其中，當(dāng)時(shí)，相差3；由此可求得，當(dāng)時(shí)，同理可得；（2）若，，，當(dāng)時(shí)，則相差5，所以，A中至多有5個(gè)元素，所以也至多有5個(gè)元素，求出得出結(jié)果；（3）舉反例和，根據(jù)題意檢驗(yàn)即可說(shuō)明.【詳解】（1）若，則，其中，否則，，若，當(dāng)時(shí)，，，所以，則，相差3，因?yàn)?，，所以；?dāng)時(shí)，，，，所以，因?yàn)?，，所以不存在；?）若，，，當(dāng)時(shí)，，，，，，，所以，，所以不存在；所以A中至多有5個(gè)元素；當(dāng)時(shí)，，，，，所以，則，相差5，所以；，所以，，.因?yàn)橹兄炼嘤?個(gè)元素，所以，也至多有5個(gè)元素，所以的最大值為10.（3）不一定存在，理由如下：例如，則，，，，，則，相差不可能1，2，3，4，5，6，這與矛盾，故不都存在；例如，不妨令，則，滿(mǎn)足.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于新定義問(wèn)題，要充分理解定義，并把定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化為已知的知識(shí)點(diǎn)或結(jié)論，方便解題.3．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知集合為非空數(shù)集，定義：，(1)若集合，直接寫(xiě)出集合（無(wú)需寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）；(2)若集合，且，求證：(3)若集合，記為集合中的元素個(gè)數(shù)，求的最大值．【答案】(1)，(2)見(jiàn)解析(3)1349【知識(shí)點(diǎn)】集合新定義、交集的概念及運(yùn)算、并集的概念及運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)題目的定義，直接計(jì)算集合S，T即可;（2）根據(jù)集合相等的概念，能證明；（3）通過(guò)假設(shè)集合，求出對(duì)應(yīng)的集合S，T，通過(guò)，建立不等式關(guān)系，求出對(duì)應(yīng)的值即可.【詳解】（1），，集合，集合.（2），，且，T中也只包含4個(gè)元素，即，剩下的元素滿(mǎn)足，；（3）設(shè)集合滿(mǎn)足題意，其中，則，，，由容斥原理，，的最小元素為0，最大元素為，，解得實(shí)際上時(shí)滿(mǎn)足題意，證明如下：設(shè)，則，題意有，即，m的最小值為675，當(dāng)m=675時(shí)，集合A中元素最多，即時(shí)滿(mǎn)足題意綜上，的最大值為1349.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)所給定義判斷，據(jù)此得出，由關(guān)系，得出關(guān)于不等式，求出最小值即可得解.4．（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）已知集合（），表示集合中的元素個(gè)數(shù)，當(dāng)集合的子集滿(mǎn)足時(shí)，稱(chēng)為集合的二元子集，若對(duì)集合的任意個(gè)不同的二元子集，，…，，均存在對(duì)應(yīng)的集合滿(mǎn)足：①；②；③（），則稱(chēng)集合具有性質(zhì).(1)當(dāng)時(shí)，若集合具有性質(zhì)，請(qǐng)直接寫(xiě)出集合的所有二元子集以及的一個(gè)取值；(2)當(dāng)，時(shí)，判斷集合是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)不具有，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】求集合的子集（真子集）、集合新定義【分析】（1）根據(jù)集合具有性質(zhì)的定義即可得出答案；（2）當(dāng)，時(shí)，利用反證法即可得出結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，集合的所有二元子集為，則滿(mǎn)足題意得集合可以是或或，此時(shí)，或者也可以是或或，此時(shí)；（2）當(dāng)，時(shí)，，假設(shè)存在集合，即對(duì)任意的，則取，（任意構(gòu)造，符合題意即可），此時(shí)由于，若，則中必有元素，此時(shí)，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，所以集合是不具有性質(zhì).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題對(duì)學(xué)生的抽象思維能力要求較高，特別是對(duì)數(shù)的分析，在解題時(shí)注意對(duì)新概念的理解與把握是解題的關(guān)鍵.5．（22-23高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）設(shè)A是實(shí)數(shù)集的非空子集，稱(chēng)集合且為集合的生成集．(1)當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出集合的生成集；(2)若是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集中元素個(gè)數(shù)的最小值；(3)判斷是否存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，使其生成集，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)7(3)不存在，理由見(jiàn)解析.【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、集合新定義【分析】(1)根據(jù)直接寫(xiě)出集合中元素；(2)設(shè)，且，利用生成集的定義分析中元素大小關(guān)系，不相等的元素至少有7個(gè)，再舉例即可求解；(3)不存在，利用反證法分析集合中四個(gè)元素的乘積推出矛盾即可.【詳解】（1），所以.（2）設(shè)，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以中元素個(gè)數(shù)大于等于7個(gè)，又，，此時(shí)中元素個(gè)數(shù)等于7個(gè)，所以生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值為7.（3）不存在，理由如下：假設(shè)存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，使其生成集，不妨設(shè)，則集合A的生成集則必有，其4個(gè)正實(shí)數(shù)的乘積；也有，其4個(gè)正實(shí)數(shù)的乘積，矛盾；所以假設(shè)不成立，故不存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集考點(diǎn)06基本不等式1．（23-24高一下·湖北·期中）已知，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】分式不等式、條件等式求最值【分析】利用立方和公式及換元法，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由，得，設(shè)，則，解得，因?yàn)?，，，所以，解得或，又因?yàn)?，所以，整理得，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，即，所以的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用立方和公式和換元法，根據(jù)建立關(guān)于的不等式即可.2．（23-24高一上·河北邯鄲·期中）若，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值【分析】首先利用條件等式將表達(dá)式變形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等條件是否成立.【詳解】因?yàn)?，所以由題意，因?yàn)?，所以，所以由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，綜上所述，的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，解決本題的關(guān)鍵是要利用條件等式對(duì)已知表達(dá)式變形，利用基本不等式后要注意到取等條件的成立與否.3．（多選）（23-24高三上·江蘇泰州·期中）已知，，且，則（

）A．的最大值是16 B．的最小值為128C．的最小值為10 D．的最小值為【答案】BD【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值、對(duì)勾函數(shù)求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】直接由基本不等式即可判斷A、B；通過(guò)對(duì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，再利用基本不等式即可判斷C；通過(guò)對(duì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，再利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，由A選項(xiàng)分析可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；因?yàn)?，，且，所以，所以，等?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，且，所以不妨令，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，所以，從而，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于A、B兩個(gè)選項(xiàng)的判斷較為簡(jiǎn)單，而C、D選項(xiàng)的關(guān)鍵是先等價(jià)變形表達(dá)式，然后利用基本不等式和對(duì)勾函數(shù)去判斷.4．（多選）（23-24高一上·安徽·階段練習(xí)）已知a>0，b>0，且3a+b=2，則（

）A．a(chǎn)b的最大值為 B．的最大值是2C．的最小值是18 D．的最小值是【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式求積的最大值【分析】結(jié)合基本不等式的應(yīng)用，但要只有等號(hào)能不能取，B要用乘1法，D減少變量后用基本不等式.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則正確；由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)=1時(shí)，等號(hào)成立，則錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則C正確；由，得，對(duì)于，由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，矛盾，故等號(hào)取不到，故D錯(cuò)誤.故選：AC.5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則的最小值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值【分析】依題意可得，令，，則，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿(mǎn)足，化為，令，，則．聯(lián)立可得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值.考點(diǎn)07基本不等式中的恒成立問(wèn)題1．（23-24高一上·甘肅蘭州·期末）對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立問(wèn)題【分析】首先不等式變形為恒成立，再利用兩次基本不等式求的最小值，即可求解的取值.【詳解】不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為恒成立，其中，令，，，第二次使用基本不等式，等號(hào)成立的條件是且，得且，此時(shí)第一次使用基本不等式，說(shuō)明兩次基本不等式能同時(shí)取得，所以的最小值為，即，則，所以實(shí)數(shù)的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是再求的最值時(shí)，需變形為，再通過(guò)兩次基本不等式求最值.2．（23-24高一上·廣東揭陽(yáng)·期中）已知，，且，若不等式恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式的恒成立問(wèn)題、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】確定，變換，展開(kāi)利用均值不等式計(jì)算最值得到答案.【詳解】，故，，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，最小值是16，由不等式恒成立可得.a的取值范圍是，故選：B.3．（23-24高一上·重慶渝中·階段練習(xí)）命題p：，，使得不等式成立，則命題p成立的一個(gè)充分不必要條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、基本不等式的恒成立問(wèn)題【分析】由題意分離參數(shù)得，，使得不等式成立，利用基本不等式求出得最小值即可得解.【詳解】由，，使得不等式成立，即，，使得不等式成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以是的一個(gè)充分不必要條件.故選：A.4．（23-24高二下·浙江·期中）若不等式對(duì)任意滿(mǎn)足的正實(shí)數(shù)x，y，z均成立，則實(shí)數(shù)的最大值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式的恒成立問(wèn)題、不等式與多變量函數(shù)的最值【分析】先分離常數(shù)轉(zhuǎn)化成求的最小值問(wèn)題，根據(jù)，把放縮成，再變形，就可以用基本不等式求最小值，即為的最大值.【詳解】因?yàn)閤，y，z為正實(shí)數(shù)，所以，因?yàn)?，所以，即，又，所?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式最右側(cè)等號(hào)成立.故答案為：考點(diǎn)08函數(shù)單調(diào)性及其應(yīng)用1．（23-24高二上·湖南·期中）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，當(dāng)且時(shí)，成立.若存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】由已知判斷函數(shù)的單調(diào)性，再分離參數(shù)討論即可.【詳解】由條件可知函數(shù)在上單調(diào)遞減.存在使得成立等價(jià)于存在使得不等式成立.由得，∵，∴，∴①當(dāng)時(shí)，不成立；②當(dāng)時(shí)，有解.求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值.令，則，設(shè),,因?yàn)樗?，所以函?shù)是上的減函數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，.故，故選：D.2．（23-24高一上·河北·期中）已知是定義在上的函數(shù)，若對(duì)于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值【分析】由，得，構(gòu)造函數(shù)，則是上的減函數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)分類(lèi)討論即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)是上的減函數(shù).當(dāng)時(shí)，函數(shù)是上的減函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是上的減函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使得函數(shù)是上的減函數(shù)，只需，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍足，故選：C.3．（22-23高一上·北京海淀·期末）已知.若對(duì)于，均有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問(wèn)題、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】將成立轉(zhuǎn)化成恒成立的問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，然后分類(lèi)討論，即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題意在中，對(duì)稱(chēng)軸函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∵對(duì)于，均有成立即對(duì)于，均有恒成立在中，對(duì)稱(chēng)軸，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù)在上單調(diào)減∴解得當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)減∴∴解得當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)減∴∴故不符題意，舍去.當(dāng)即時(shí)函數(shù)在上單調(diào)增，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∴解得當(dāng)即時(shí)函數(shù)在上單調(diào)增，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，此時(shí)，∴符合題意當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)增∴此時(shí)∴符合題意綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查恒成立問(wèn)題，二次函數(shù)不同區(qū)間的單調(diào)性，以及分類(lèi)討論的思想，具有很強(qiáng)的綜合性.4．（22-23高一上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的范圍為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值【分析】由題可只考慮在上的單調(diào)性，分三種情況討論即可.【詳解】由題僅考慮在上的單調(diào)性.①當(dāng)時(shí)，，其在上單調(diào)遞增，不合題意；②當(dāng)時(shí)，.任取，，則，因，則時(shí)，，得在上單調(diào)遞減.則；③當(dāng)時(shí)，令，得或（舍去）.則，因函數(shù)，均在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，則i當(dāng)時(shí)，，則滿(mǎn)足題意；ii當(dāng)時(shí)，有.則當(dāng)時(shí)，.綜上a的范圍是或.故答案為：或5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函數(shù)，其中常數(shù).(1)若函數(shù)分別在區(qū)間，上單調(diào)，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)和，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且此時(shí)的取值范圍是.若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，．【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】（1）結(jié)合勾形函數(shù)的性質(zhì)、絕對(duì)值的定義只要在上的最小值不小于0即可得；（2）作出函數(shù)的圖象得4個(gè)單調(diào)區(qū)間，首先確定，以及區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)都不在區(qū)間上，在時(shí)有，，再由求出的范圍，然后再分四個(gè)區(qū)間討論確定范圍．【詳解】（1）設(shè)，∵，∴函數(shù)?x分別在區(qū)間0,2，上單調(diào)且，要使函數(shù)分別在區(qū)間0,2，上單調(diào)，則只需；（2）如圖，可知，在0,1、、、均為單調(diào)函數(shù)，顯然，，若，則，，則，若，則，令，，因此，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則兩式相除整理得，∵∴上式不成立即，無(wú)解，無(wú)取值.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，即在有兩個(gè)不等實(shí)根，而令則，，，由二次函數(shù)性質(zhì)可得：，（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，兩式相除整理得∴，∴，∴，由得，則關(guān)于的函數(shù)是單調(diào)的，而應(yīng)有兩個(gè)不同的解，此時(shí)無(wú)解.（Ⅳ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，兩式相除得，整理得，又，，，即，因此不成立，所以無(wú)取值，綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，由于含有絕對(duì)值符號(hào)，因此作出函數(shù)圖象有助于問(wèn)題的求解，通過(guò)圖象確定單調(diào)性，確定，否定單調(diào)區(qū)間的三個(gè)端點(diǎn)不屬于區(qū)間，從而很形象地指出根據(jù)四個(gè)單調(diào)區(qū)間分類(lèi)討論．考點(diǎn)09函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的恒成立，有解問(wèn)題1．（多選）（23-24高二下·浙江寧波·期中）已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，且恒成立，則t的取值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】CD【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】先把恒成立，轉(zhuǎn)化成求的最小值問(wèn)題，再在已知等式中解出，代入變形成，即求的最小值問(wèn)題，在已知中解出用表示的關(guān)系式，代入，變形后用基本不等式求解即可.【詳解】由，所以，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.，故，則的最小值是，因?yàn)楹愠闪?，所以，即，解?故A，B錯(cuò).故選：CD.2．（22-23高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)求的值；(2)求函數(shù)在上的值域；(3)設(shè)，若對(duì)任意的，對(duì)任意的，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性求參數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)恒成立和可求的值.（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，再求值域.（3）根據(jù)恒成立問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意：所以.又.所以：，.（2）由（1）可知：.設(shè)，則，因?yàn)椋?，，，所?所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，，所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋?（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，恒成立.若，則在上為增函數(shù)，由.若，則，此時(shí)在上恒成立.若，則在上為減函數(shù)，由.綜上可知：.即實(shí)數(shù)的取值范圍是：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)任意的和，恒成立，可轉(zhuǎn)化為在上的最大值小于等于在的最小值.3．（23-24高一上·重慶沙坪壩·期中）已知函數(shù).(1)若，求不等式的解集；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若且不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、解不含參數(shù)的一元二次不等式、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問(wèn)題【分析】（1）去絕對(duì)值，寫(xiě)出分段函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化，即可求解；（2）分和對(duì)函數(shù)分段，然后由函數(shù)在上單調(diào)遞增得到不等式組，求解不等式組得到實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）寫(xiě)出分段函數(shù)，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，等價(jià)于對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，然后求出函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的最小值，求解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，故有，則，即為或，解得：或，∴不等式的解集為（2），若在上單調(diào)遞增，則有，解得，∴若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（3）設(shè)則不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，等價(jià)于不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立．，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，其值域?yàn)?，由于，所以成立．?dāng)時(shí)，由，知，在處取最小值，令，得，又，所以綜上，．4．（23-24高一下·北京石景山·期中）設(shè)函數(shù)，函數(shù)，，用表示，中的較大者，記為，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.條件①：；條件②：，恒成立.(1)求不等式的解集；(2)當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、函數(shù)新定義、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）選擇條件①代入計(jì)算即可求得值，再列出不等式解出即可；選擇條件②根據(jù)二次函數(shù)的最值即可得到的值；（2）求出分段函數(shù)，再分離參數(shù)，利用基本不等式即可得到答案.【詳解】（1）若選擇條件①因?yàn)?，所以，?所以，因?yàn)?，故，解得或，所以不等式解集?若選擇條件②恒成立，故最小值為，所以對(duì)稱(chēng)軸方程為，所以，故.以下同條件條件①.（2）不論是條件①或是條件②均可以得到，因?yàn)?，根?jù)（1）中條件①的同種方法即可得到當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)楫?dāng)，不等式恒成立，故當(dāng)，不等式恒成立，即恒成立，.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，即.5．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函數(shù)，(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；(2)證明在區(qū)間上單調(diào)遞增；(3)若對(duì)任意的都有，求的最小值.【答案】(1)奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）求出的定義域，再利用函數(shù)奇偶性的定義判斷即得.（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義推理證明即可.（3）求出函數(shù)的最大與最小值，進(jìn)而求出的最小值.【詳解】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于數(shù)0對(duì)稱(chēng)，而，所以是奇函數(shù).（2）任取，，由，得，，則，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因此，而當(dāng)時(shí)，，又，由（1）知是奇函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的值域?yàn)椋?，由?duì)任意的都有，得，所以的最小值是.6．（23-24高一上·廣東廣州·期中）已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且．(1)判斷并證明函數(shù)在0,+∞上的單調(diào)性；(2)令函數(shù)，若對(duì)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)、由奇偶性求參數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)題意，得到和，列出方程組求得的值，結(jié)合單調(diào)性的定義和判定方法，即可求解；（2）由函數(shù)，令，可得，且，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得的最大值和最小值，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)為奇函數(shù)，且，可得，則，解得，可得，經(jīng)檢驗(yàn)，有解析式可知，定義域，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得，所以是奇函數(shù)，滿(mǎn)足題意函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，因?yàn)?，且，所以，，所以，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，同理可證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）解：由題意，函數(shù)，令，可得，由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值，；當(dāng)時(shí)，取得最大值，．所以，，又因?yàn)閷?duì)任意的都有恒成立，所以，即，解得，又因?yàn)?，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是．7．（23-24高一上·江西新余·期中）已知函數(shù)．(1)判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)若，對(duì)任意，，都有成立，求的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減函數(shù)，證明見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)題意，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義和判定方法，即可得證；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分別求得和，列出不等式，即可求解.【詳解】（1）解：函數(shù)在上單調(diào)遞減.證明：任取且，則，因?yàn)榍遥?，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞減.（2）解：由對(duì)任意，，都有成立，即，由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.8．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函數(shù)，且滿(mǎn)足．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最小值的表達(dá)式．(3)在（2）的條件下，對(duì)任意的，存在，使得成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)或【知識(shí)點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、求二次函數(shù)的解析式、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）求出的對(duì)稱(chēng)軸為，然后進(jìn)行分類(lèi)討論求解；（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，求出，然后得到不等式，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論求解．【詳解】（1）設(shè)，又即，，解得，即，（2）由題意得，，則二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，若時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的最小值為；若時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的最小值為；若時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的最小值為；所以；（3）在（2）的條件下，對(duì)任意的，存在，使得成立，即，作如下圖形：故是單調(diào)遞減函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，，因?yàn)樗詴r(shí)取最大值，所以不等式，解得：或；綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題考查了求解二次函數(shù)的解析式，分段函數(shù)的解析式及最值問(wèn)題、不等式中恒成立問(wèn)題，利用分類(lèi)討論的思想及轉(zhuǎn)化思想求解是關(guān)鍵．9．（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?1)求的值，并證明在上單調(diào)遞增；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問(wèn)題、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）令可求出的值；再由單調(diào)性的定義證明即可；（2）令可將題意轉(zhuǎn)化為，恒成立，分類(lèi)討論，，，由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，即，解得，，此時(shí)，，成立，所以的值為1，任設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，可證得在上單調(diào)遞增；（2）由，可得，因?yàn)?，由?）知，令，所以，恒成立①當(dāng)時(shí)，恒成立，滿(mǎn)足題意，②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸方程為所以當(dāng)時(shí)，，解得，③當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，所以，解得，

綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第2小問(wèn)的解決關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，從而利用換元法與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.10．（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（不必寫(xiě)明證明過(guò)程）；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由;(3)當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，恒有成立，求的最大值.【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)見(jiàn)解析；(3)10.【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、判斷二次函數(shù)的單調(diào)性和求解單調(diào)區(qū)間、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)題意，求出，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案；（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；（3）對(duì)任意的，恒有成立等價(jià)于“在上恒成立”，然后分，和三種情況求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，因?yàn)椋缘膯握{(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以不是奇函?shù)，因?yàn)?，，且，所以，所以不是偶函?shù)，綜上，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為非奇非偶函數(shù)；（3）當(dāng)，時(shí)，，所以，整理得，即在上恒成立，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以若，則在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，所以，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值10，綜上，的最大值為10.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查不等式恒成立問(wèn)題，第（3）問(wèn)解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“在上恒成立”，然后結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)分情況討論，考查分類(lèi)討論的思想和計(jì)算能力，屬于較難題.考點(diǎn)10與抽象函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題1．（23-24高三上·山東濟(jì)寧·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】通過(guò)對(duì)的賦值，結(jié)合奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念逐項(xiàng)判斷額.【詳解】由題意知，在函數(shù)中，2023，當(dāng)時(shí)，，解得，若函數(shù)是R上的奇函數(shù)，則該函數(shù)的圖象必過(guò)原點(diǎn)，即有，故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，解得，無(wú)法得到，故A錯(cuò)誤.在函數(shù)中，，所以是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.2．（多選）（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿(mǎn)足，且，則（

）A． B．為奇函數(shù)C． D．【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】抽象函數(shù)的奇偶性、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值【分析】利用賦值法可求周期，，結(jié)合賦值法可以排除選項(xiàng)B,D.【詳解】對(duì)于A，令得，，因?yàn)椋?，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以一定不是奇函?shù)，B不正確；對(duì)于C，由得；由得；由得；由得，，所以的周期為2，所以，C正確；對(duì)于D，令，，所以，D錯(cuò)誤.故選：AC3．（多選）（23-24高二下·湖南·期中）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，對(duì)任意，且不恒為0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．為偶函數(shù)C．若，則關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)D．若，則【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】由函數(shù)的周期性求函數(shù)值、判斷或證明函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、函數(shù)的周期性的定義與求解、函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】根據(jù)給定的等式，利用賦值法，結(jié)合奇偶函數(shù)的定義、對(duì)稱(chēng)中心及周期性定義逐項(xiàng)判斷得解.【詳解】對(duì)于A，令，有，而不恒為0，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A知，令，有，即，則函數(shù)為偶函數(shù)，B正確；對(duì)于C，若，令，有，則關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，C正確；對(duì)于D，顯然關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，又為偶函數(shù)，則，即，因此，是周期為4的周期函數(shù)，顯然，，即，所以，D錯(cuò)誤.故選：BC4．（多選）（2024·安徽安慶·二模）已知定義在R上的函數(shù)，滿(mǎn)足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，均有，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．C．函數(shù)為減函數(shù) D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)值【分析】對(duì)A：借助賦值法令計(jì)算即可得；對(duì)B：借助賦值法令，計(jì)算即可得；對(duì)C：結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義及賦值法令計(jì)算即可得；對(duì)D：結(jié)合函數(shù)對(duì)稱(chēng)性及賦值法令計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：令，則有，故，故A正確；對(duì)B：令，，則有，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：令，則有，其中，，令，，即有對(duì)、，當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)為減函數(shù)，故C正確；對(duì)D：令，則有，又，故，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,1對(duì)稱(chēng)，故D正確.故選：ACD.5．（23-24高一下·貴州六盤(pán)水·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，都滿(mǎn)足，且.當(dāng)時(shí)，，且.(1)求，的值；(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在上單調(diào)遞增；(3)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、求函數(shù)值【分析】（1）利用賦值法可得與；（2）利用賦值法可得，且當(dāng)時(shí)；（3）結(jié)合抽象函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性可得不等式，即，根據(jù)二次函數(shù)最值可知，解不等式即可.【詳解】（1）由，則，又當(dāng)時(shí)，，則，；（2）令，則，即，當(dāng)時(shí)，，且，即，即在上恒成立，由，可知，令，，且，即，則，所以，即在上單調(diào)遞增；（3）由已知，又由（1）得，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則恒成立，所以恒成立，又，即，解得.6．（23-24高一上·山東濱州·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意的，都有．當(dāng)時(shí)，，且．(1)求的值，并證明：當(dāng)時(shí)，；(2)判斷的單調(diào)性，并證明；(3)若，求不等式的解集．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析；(2)在上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析；(3).【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）令，可得，令，結(jié)合已知即可得證；（2）設(shè)，令，結(jié)合的范圍即可判斷，得證；（3）利用賦值法求出，然后根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)，解一元二次不等式可得.【詳解】（1）令，則，又，所以．證明：當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，所以；（2）在R上單調(diào)遞減．證明：設(shè)，則，又，所以，所以，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以在R上單調(diào)遞減；（3）因?yàn)?，所以，所以，即，又在R上單調(diào)遞減，所以，解得，所以不等式的解集為．7．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意正實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)時(shí)，．(1)求的值；(2)試判斷的單調(diào)性，并證明；(3)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、求函數(shù)值【分析】（1）由賦值法即可求解，（2）利用單調(diào)性的定義即可求證，（3）由函數(shù)的單調(diào)性，列不等式即可求解.【詳解】（1）令，得，解得；（2）在0,+∞上單調(diào)遞減，證明如下：不妨設(shè)，所以，又，所以，所以，所以，即，所以在0,+∞上單調(diào)遞減；（3）由（2）知在0,+∞上單調(diào)遞減，若，即，所以，解得或，即的取值范圍是．8．（22-23高一上·全國(guó)·期中）若定義在上的函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)、恒有，當(dāng)時(shí)，，且.(1)求證：為奇函數(shù)；(2)求在上的最小值；(3)解關(guān)于的不等式：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3).【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】（1）令，可得出的值，令，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可得出結(jié)論；（2）先利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)為R上的減函數(shù)，可知在上的最小值為，根據(jù)題意計(jì)算出的值，即可得解；（3）將所求不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，令，則，解得.令，則，則f?x=?fx所以，函數(shù)為奇函數(shù).（2）解：任取，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，由（1）知，，即，所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上的最小值為，因?yàn)閒?1=2，，所以，，即函數(shù)在上的最小值為.（3）解：由（1）知，，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞減，則，即，解得，即不等式的解集為.考點(diǎn)11函數(shù)性質(zhì)中的新定義題1．（23-24高一上·北京·期中）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：，，當(dāng)時(shí)，有則稱(chēng)函數(shù)為“理想函數(shù)”.根據(jù)此定義，下列函數(shù)為“理想函數(shù)”的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)新定義【分析】利用定義判斷和證明函數(shù)是否為“理想函數(shù)”.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若時(shí)，對(duì)，，當(dāng)時(shí)，則，所以不為“理想函數(shù)”，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若時(shí)，對(duì)，，當(dāng)時(shí)，則，所以不是“理想函數(shù)”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：時(shí)，例如，則，所以不為“理想函數(shù)”，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若時(shí)，對(duì)，，當(dāng)時(shí)，則，所以為“理想函數(shù)”，故D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：定義型函數(shù)，是指給出閱讀材料，設(shè)計(jì)一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)情景，定義一個(gè)新函數(shù)，并給出新函數(shù)所滿(mǎn)足的條件或具備的性質(zhì)；或者給出已知函數(shù)，再定義一個(gè)新概念.解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于閱讀理解時(shí)，要準(zhǔn)確把握新定義、新信息，并把它納入已有的知識(shí)體系之中，用原來(lái)的知識(shí)和方法來(lái)解決新情景下的問(wèn)題。2．（23-24高一上·江蘇鹽城·期中）定義在上的函數(shù)若滿(mǎn)足：①對(duì)任意，都有；②對(duì)任意，都有，則稱(chēng)函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”.已知函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】根據(jù)“中心捺函數(shù)”的定義以及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，化簡(jiǎn)不等式，求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】對(duì)任意，都有，則在上單調(diào)遞減.函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，且關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即是奇函數(shù)，所以，即，所以，若，則，沒(méi)有意義，若，則，沒(méi)有意義，所以且，由兩邊除以得，解得，所以，所以.故選：C【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性的定義有多種形式，如：任取，通過(guò)計(jì)算得到，即可判斷出函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；也可以形如：或等形式，也可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性.3．（23-24高一上·山東青島·期中）山東省青島第二中學(xué)始建于1925年，悠悠歷史翻開(kāi)新篇：2025年，青島二中將迎來(lái)百年校慶.在2023年11月8日立冬這天，二中學(xué)子摩拳擦掌，開(kāi)始階段性考試.若是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)于任意給定的不等正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，且，設(shè)為“立冬函數(shù)”，則滿(mǎn)足“立冬函數(shù)”的x的取值范圍是（

）A．B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小【分析】根據(jù)給定的恒成立的不等式，結(jié)合冪函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在的單調(diào)性，再借助奇函數(shù)性質(zhì)求解不等式即可得解.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，即，由，得，即，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，而函數(shù)是上的奇函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，由及，得，因此或，解，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不等式組無(wú)解，當(dāng)時(shí)，，，不等式組的解為，當(dāng)時(shí)，，，則有，解得，即，因此不等式組的解為，解，由，得，則，不等式組無(wú)解，所以“立冬函數(shù)”的x的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及分段函數(shù)解不等式問(wèn)題，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.4．（多選）（23-24高一上·江蘇南京·期中）當(dāng)時(shí)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如：．已知函數(shù)，則（

）A． B．函數(shù)的值域?yàn)镃．存在無(wú)數(shù)多個(gè)，有 D．存在無(wú)限實(shí)數(shù)集，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，有【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖象的應(yīng)用、函數(shù)新定義【分析】取特殊范圍探究規(guī)律，然后作出函數(shù)圖象觀察即可得答案.【詳解】首先注意定義域，即，由定義可知時(shí)，即的定義域?yàn)椋蔄錯(cuò)．不妨取一些特殊范圍進(jìn)行觀察：時(shí)，，即；時(shí)，，即；時(shí)，，即；接下來(lái)我們不妨找到一般性規(guī)律，且時(shí)有：時(shí)，，即；作出函數(shù)圖象如圖：由圖可知，函數(shù)的值域?yàn)?，B正確；存在無(wú)數(shù)個(gè)，使得，故C正確；由圖可知，存在無(wú)數(shù)遞減區(qū)間，故D正確.故選：BCD．【點(diǎn)睛】本題難點(diǎn)在于對(duì)新定義的理解，然后通過(guò)特殊范圍探究函數(shù)規(guī)律，最后利用函數(shù)圖象即可求解.5．（多選）（23-24高一上·安徽六安·期中）一般地，若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則稱(chēng)為的“倍跟隨區(qū)間”；特別地，若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，則稱(chēng)為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)不存在跟隨區(qū)間B．若為的跟隨區(qū)間，則C．二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”D．若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)值域求參數(shù)的值或者范圍、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、函數(shù)新定義【分析】根據(jù)“跟隨區(qū)間”的定義對(duì)選項(xiàng)逐一分析，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、值域等知識(shí)確定正確答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間與0,+∞上均為增函數(shù)，若存在跟隨區(qū)間則有，即為的兩根．即的根，故，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B選項(xiàng)，若為的跟隨區(qū)間，因?yàn)樵趨^(qū)間為增函數(shù)，故其值域?yàn)?，根?jù)題意有，解得或，因?yàn)楣?，故B正確．對(duì)于C選項(xiàng)，若存在“3倍跟隨區(qū)間”，則可設(shè)定義域?yàn)?，值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，易得在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)易得為方程的兩根，求解得或.故定義域?1,0，則值域?yàn)椋蔆正確．對(duì)于D選項(xiàng)，若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，因?yàn)闉闇p函數(shù)，故由跟隨區(qū)間的定義可知，即，因?yàn)椋裕椎茫?，令代入化?jiǎn)可得，同理也滿(mǎn)足，即在區(qū)間0,1上有兩不相等的實(shí)數(shù)根．故，解得，故D錯(cuò)誤．故選：BC6．（23-24高一上·云南麗江·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，若函數(shù)滿(mǎn)足：“，都有”，則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是點(diǎn)的“界函數(shù)”.(1)試判斷是否是點(diǎn)的界函數(shù)？是否是點(diǎn)的界函數(shù)？(2)若點(diǎn)在函數(shù)上，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)是點(diǎn)的界函數(shù)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)是，不是(2)存在，【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)新定義【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的“界函數(shù)”的定義分析判斷即可；（2）由題意得，則，都有，然后分，，和求解函數(shù)的值域，再結(jié)合求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以是點(diǎn)的界函數(shù)；因?yàn)椋?，所以，所以不是點(diǎn)的界函數(shù)；（2）因?yàn)樵诤瘮?shù)上，所以，所以，都有.當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以，得，解得或（舍去）；當(dāng)，即時(shí)，，所以，無(wú)解；當(dāng)，即時(shí)，，所以，無(wú)解；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以，得，解得或（舍去）.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問(wèn)題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.7．（23-24高一上·上海黃浦·期中）若函數(shù)與滿(mǎn)足：對(duì)任意的，總存在唯一的，使成立，則稱(chēng)是在區(qū)間上的“階伴隨函數(shù)”；對(duì)任意的，總存在唯一的，使成立，則稱(chēng)是區(qū)間上的“階自伴函數(shù)”．(1)判斷是否為區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”？并說(shuō)明理由：(2)若函數(shù)為區(qū)間上的“1階自伴函數(shù)”，求的值；(3)若是在區(qū)間上的“2階伴隨函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍