數(shù)學(xué)例題與探究：向量的坐標(biāo)表示

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1如圖2-3-2，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點(diǎn)，已知=c,=d,試用c、d表示和.圖2—3—2思路分析：本題要求用c、d表示和，所以可以將c、d看作基底,也就變成了用基底表示和兩個(gè)向量.解：設(shè)=a，=b，由M、N分別為DC、BC的中點(diǎn)，得=b,=a。從△ABN和△ADM中，得即=（2d-c),=(2c—d).綠色通道：從解答本題的過(guò)程來(lái)看，本題策略性較強(qiáng)：（1)為使問(wèn)題表達(dá)簡(jiǎn)單,采用代換=a，=b；(2)為使問(wèn)題降低難度，采用正難則反策略，即直接用c、d表示、困難，反過(guò)來(lái)改用、表示c、d，然后將和看成是未知量，利用方程組解得和.變式訓(xùn)練如果e1、e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（)①λe1+μe2（λ、μ∈R）可以表示平面α內(nèi)的所有向量②對(duì)于平面α中的任一向量a，使a=λe1+μe2的實(shí)數(shù)λ、μ有無(wú)數(shù)多對(duì)③若向量λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使λ1e1+μ1e2=λ（λ2e1+μ2e2）④若實(shí)數(shù)λ、μ使λe1+μe2=0，則λ=μ=0A.①②B。②③C。③④D.②思路解析：由平面向量基本定理,知①④正確，而②錯(cuò)誤。當(dāng)λ1e1+μ1e2=λ（λ2e1+μ2e2),當(dāng)λ1=λ2=μ1=μ2時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，均有λ1e1+μ1e2=λ（λ2e1+μ2e2）.因此，③也是錯(cuò)誤的。答案：B例2已知向量u=(x，y)與向量v=(y,2y—x）的對(duì)應(yīng)關(guān)系可用v=f(u)表示.(1）求證：對(duì)于任意向量a、b及常數(shù)m、n，f(ma+nb）=mf(a)+nf（b)恒成立；（2）設(shè)a=(1，1)，b=（1，0)，求向量f(a）、f（b）的坐標(biāo)；（3)求使f(c)=(p，q)（p、q為常數(shù)）的向量c的坐標(biāo)。思路分析：本題用到向量的坐標(biāo)表示,向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí),代入相應(yīng)的公式運(yùn)算即可。解:（1)設(shè)a=(a1,a2),b=(b1，b2），則ma+nb=（ma1+nb1，ma2+nb2)?！鄁(ma+nb）=（ma2+nb2，2ma2+2nb2—ma1-nb1),mf（a)+nf（b)=m（a2,2a2-a1）+n(b2，2b2—b1)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2—ma1-nb1).∴f（ma+nb)=mf(a)+nf（b）恒成立.（2)f（a）=（1，2×1—1）=（1，1)，f（b)=(0，2×0—1）=(0,—1)。（3)設(shè)c=(x，y)，則f（c）=（y,2y-x）=(p，q)?！鄖=p,2y—x=q?！鄕=2p—q，即向量c=（2p—q,p）.綠色通道:本題是向量的坐標(biāo)運(yùn)算與函數(shù)知識(shí)相結(jié)合的問(wèn)題，題目的難度并不大，主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，但卻充分體現(xiàn)了坐標(biāo)運(yùn)算的代數(shù)性.為運(yùn)用題設(shè)條件，必須將向量用坐標(biāo)表示，通過(guò)坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算,從而解決問(wèn)題.變式訓(xùn)練已知ABCD中，A(—1，0），B(3,0）,C(1，—5)，則D的坐標(biāo)為（）A。（-3，-5）B.（—3,5)C.（5,-5)D。（—2，5）思路解析：設(shè)D（x,y)，∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴=。又∵=—=(4,0),=-=（1—x,-5—y),∴1-x=4且-5-y=0.∴x=-3,y=-5。答案：A例3如圖2-3—3所示，在△ABC中，=a，=b，=c,=λa（0<λ<1），=μb(0<μ<1)，試用a、b表示c。圖2—3-3思路分析：利用共線，假設(shè)=m和=n；再根據(jù)向量減法的三角形法則,求出（用a,b,m,n，λ，μ表示），再解方程，從而可順利用a，b表示出c。解：∵與共線，假設(shè)=m,∴=m=m（—)=m(μb—a).∴=+=a+m(μb—a）=(1—m)a+mμb.①又∵與共線，設(shè)=n=n（—）=n（λa—b），∴=+=b+n（λa—b）=nλa+（1-n）b。②由①②，得(1—m）a+mμb=nλa+(1-n）b，∵a與b不共線，∴解得m=,n=。代入①式，得c=（1—m)a+mμb=（1-)a+μb=[λ（1—μ）a+μ(1—λ）b］.綠色通道：由于題中的三角形個(gè)數(shù)較多,利用向量減法的三角形法則要從條件與結(jié)論所需要出發(fā)，找出有關(guān)三角形，一個(gè)不夠可以找兩個(gè)、三個(gè)、…，本例中找了兩個(gè)三角形；然后利用平面向量基本定理中向量用基底表示的唯一性，分別求出m、n.變式訓(xùn)練一船以每小時(shí)8千米的速度向東航行，船上人測(cè)得風(fēng)自北方來(lái)，若船速加倍,則測(cè)得風(fēng)自東北方來(lái)，求風(fēng)速.思路分析：船上人測(cè)得的風(fēng)速是風(fēng)對(duì)船的相對(duì)速度，明白了這個(gè)道理解決這個(gè)問(wèn)題就很簡(jiǎn)單了。解：分別取正東、正北方向?yàn)閤、y軸建立直角坐標(biāo)系，令x、y軸正方向上的單位向量為i、j,則風(fēng)速可表示為xi+yj，第一次船速為8i,船上人測(cè)得的風(fēng)速為-pj(p〉0)?！鄕i+yj—8i=-pj.∴x=8.第二次船速為16i，船上人測(cè)得的風(fēng)速為-q（i+j）（q〉0).∴xi+yj—16i=-q(i+j).∴x—16=-q=y.∴y=-8.∴風(fēng)速為8i-8j，即風(fēng)的方向?yàn)闁|南方向,大小為千米/時(shí).問(wèn)題探究問(wèn)題試探究命題“如果a=(a1,a2）,b=(b1，b2)，則a1b2-a2b1=0a∥b”成立。導(dǎo)思:若a、b其中一個(gè)為零向量，則零向量與任何向量共線,顯然成立，若a、b均不為零向量，可借助平面向量基本定理證明結(jié)合向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證之。探究：(1)若a1b2-a2b1=0.①若b1=b2=0即b=0，此時(shí)a∥b成立;②若b1=0，b2≠0，則a1=0,此時(shí)a=(0，a2)，b=(0，b2），a∥b成立；③若b1≠0且b2≠0，則由a1b2-a2b1=0得，令=λ,即a1=λb1，a2=λb2，∴a=(a1，a2)=(λb1,λb2）=λ（b1,b2）=λb.∴a∥b.因此,若a1b2—a2b1=0，則a∥b。（2）若a∥b。①若a、b其中一個(gè)為零向量，不妨設(shè)b=(0，0)，則a1b2-a2b1=0成立；②若a、b均不為零向量，因?yàn)閍∥b，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使a=λb