專題17菱形(原卷版+解析)

專題17菱形目錄TOC\o"1-1"\h\u必備知識點 1考點一利用菱形的性質(zhì)求解 2考點二菱形的判定 4考點三菱形的判定與性質(zhì)綜合 6知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航必備知識點菱形的定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì):(1)菱形的四條邊都相等。(2)菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。(3)菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)。(4)菱形是軸對稱圖形，對稱軸是兩條對角線所在的直線。(5)利用菱形的性質(zhì)可證線段相等，角相等。3.菱形的對角線將菱形分成四個全等直角三角形，我們通常將菱形問題中求相關(guān)線段的長轉(zhuǎn)化為直角三角形問題中相關(guān)線段的長，再利用勾股定理來計算。4.菱形的面積有三種計算方法:(1)將其看成平行四邊形，用底與高的積來求；(2)對角線分得的四個全等直角三角形面積之和；(3)兩條對角線乘積的一半。5.菱形的判定:(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；(3)四條邊相等的四邊形是菱形。2.判定思路：判斷菱形時，一定要明確前提條件是從“四邊形"出發(fā)的，還是從“平行四邊形”出發(fā)的;若從四邊形出發(fā)的，則還需四條邊相等;若從平行四邊形出發(fā)，則還需一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直。考點一利用菱形的性質(zhì)求解1．如圖，在菱形中，分別垂直平分，垂足分別為，則的度數(shù)是（

）A．90° B．60° C．45° D．30°2．如圖，正方形ABCD中,以對角線AC為一邊作菱形AEFC,則∠FAB等于(

).A．22.5° B．45° C．30° D．135°3．如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，則DH等于（

）A． B． C．5 D．44．如圖，折疊菱形紙片ABCD，使得A′D′對應(yīng)邊過點C，若∠B＝60°，AB＝2，當(dāng)A′E⊥AB時，AE的長是（）A．2 B．2 C． D．1+5．如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,點E在邊BC上,CE=3,F是CD延長線上一點,DF=4,連接DE、BF,若∠DEB=2∠F,則菱形ABCD的面積為()A．16 B．24 C．32 D．366．如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝135°，DH⊥AB于H，交對角線AC于E，過E作EF⊥AD于F．若△DEF的周長為2，則菱形ABCD的面積為（）A．2 B． C． D．27．如圖，已知菱形ABCD的周長為24，對角線AC、BD交于點O，且AC+BD＝16，則該菱形的面積等于（）A．6 B．8 C．14 D．288．如圖，已知菱形ABCD的一個內(nèi)角∠BAD=80°，對角線AC，BD相交于點O，點E在AB上，且BE=BO，則∠EOA=___________°.9．如圖，已知點的坐標(biāo)是，，點的坐標(biāo)是，，菱形的對角線交于坐標(biāo)原點，則點的坐標(biāo)是______．10．如圖，在菱形中，，，是邊的中點，，分別是，上的動點，連接，，則的最小值是__________．11．如圖，菱形的對角線，相交于點，已知，菱形的面積為24，則的長為______．12．菱形的周長為40，兩條對角線之比為3：4，則菱形的面積為_________________.考點二菱形的判定13．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，要使它成為菱形，那么需要添加的條件可以是(

)A．AC=BD B．AB=AC C．∠ABC=90° D．AC⊥BD14．如圖，由10根完全相同的小棒拼接而成，請你再添2根與前面完全相同的小棒，拼接后的圖形恰好有3個菱形的方法共有（

）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種15．在中，AC與BD相交于點O，要使四邊形ABCD是菱形，還需添加一個條件，這個條件可以是（

）A．AO=CO B．AO=BO C．AO⊥BO D．AB⊥BC16．如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD交于點O，OA＝OC，OB＝OD．添加下列條件，仍不能判定四邊形ABCD為菱形的是（

）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC17．如圖，點分別為四邊形的邊的中點，當(dāng)四邊形滿足條件_______時，四邊形是菱形．（只需寫出一個即可，圖中不能再添加別的“點”和“線”）18．如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC，BD相交于點O，要使四邊形ABCD為菱形，需要增加的一個條件是：__________．（只填一個你認(rèn)為正確的條件即可，不添加任何線段與字母）19．如圖，已知平形四邊形ABCD中，對角線AC，BD交點O，E是BD延長線上的點，且△ACE是等邊三角形.（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝2，求四邊形ABCD的面積．20．如圖，在矩形中，過對角線的中點作垂線分別交邊、于點，，連接，．（1）求證：（2）判斷四邊形的形狀，并證明；（3）若，，求的長．21．(本題滿分6分)如圖，、是四邊形的對角線上兩點，，，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若平分，求證：平行四邊形為菱形．考點三菱形的判定與性質(zhì)綜合22．如圖，平面上有兩個全等的正八邊形ABCDEFGH、A′B′C′D′E′F′G′H′，若點B與點B′重合，點H與點H′重合，則∠ABA′的度數(shù)為（）A．15° B．30° C．45° D．60°23．如圖，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角，為了得到一個鈍角為的菱形，剪口與折痕所成的角的度數(shù)為（

）A． B．C． D．24．如圖，矩形的對角線，相交于點O，．若，則四邊形的周長為（

）．A．4 B．6 C．8 D．1025．如圖，在菱形中，，則以為邊的正方形的周長為(

)A．12 B．8 C．16 D．2026．如圖，菱形的對角線，相交于點，，分別是，邊上的中點，連接．若，，則菱形的面積為()A． B． C． D．27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是菱形，點C的坐標(biāo)為（1，2），則菱形OABC的面積是（）A． B． C．2+1 D．2﹣1專題17菱形目錄TOC\o"1-1"\h\u必備知識點 1考點一利用菱形的性質(zhì)求解 2考點二菱形的判定 14考點三菱形的判定與性質(zhì)綜合 23知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航必備知識點菱形的定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì):(1)菱形的四條邊都相等。(2)菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。(3)菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)。(4)菱形是軸對稱圖形，對稱軸是兩條對角線所在的直線。(5)利用菱形的性質(zhì)可證線段相等，角相等。3.菱形的對角線將菱形分成四個全等直角三角形，我們通常將菱形問題中求相關(guān)線段的長轉(zhuǎn)化為直角三角形問題中相關(guān)線段的長，再利用勾股定理來計算。4.菱形的面積有三種計算方法:(1)將其看成平行四邊形，用底與高的積來求；(2)對角線分得的四個全等直角三角形面積之和；(3)兩條對角線乘積的一半。5.菱形的判定:(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；(3)四條邊相等的四邊形是菱形。2.判定思路：判斷菱形時，一定要明確前提條件是從“四邊形"出發(fā)的，還是從“平行四邊形”出發(fā)的;若從四邊形出發(fā)的，則還需四條邊相等;若從平行四邊形出發(fā)，則還需一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直。考點一利用菱形的性質(zhì)求解1．如圖，在菱形中，分別垂直平分，垂足分別為，則的度數(shù)是（

）A．90° B．60° C．45° D．30°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得出△ABC、△ACD是等邊三角形，從而先求得∠B=60°，∠C=120°，在四邊形AECF中，利用四邊形的內(nèi)角和為360°可求出∠EAF的度數(shù)．【詳解】解：連接AC，∵AE垂直平分邊BC，∴AB=AC，又∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∴∠BCD=120°，又∵AF垂直平分邊CD，∴在四邊形AECF中，∠EAF=360°-180°-120°=60°．故選B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，及菱形四邊形等的性質(zhì)．2．如圖，正方形ABCD中,以對角線AC為一邊作菱形AEFC,則∠FAB等于(

).A．22.5° B．45° C．30° D．135°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠CAB=45°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)∠FAB=0.5∠CAB，即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°，∵四邊形AEFC是菱形，∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°，故選A．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練記住正方形、菱形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．3．如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，則DH等于（

）A． B． C．5 D．4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)菱形的面積公式求出即可．【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，∵AC＝8，DB＝6，∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，由勾股定理得：AB＝＝5，∵S菱形ABCD＝，∴，∴DH＝，故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理和菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)菱形的性質(zhì)得出S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DH是解此題的關(guān)鍵．4．如圖，折疊菱形紙片ABCD，使得A′D′對應(yīng)邊過點C，若∠B＝60°，AB＝2，當(dāng)A′E⊥AB時，AE的長是（）A．2 B．2 C． D．1+【答案】B【解析】【分析】先延長AB，D'A'交于點G，根據(jù)三角形外角性質(zhì)以及等腰三角形的判定，即可得到BC＝BG＝BA，設(shè)AE＝x＝A'E，則BE＝2?x，GE＝4?x，A'G＝2x，在Rt△A'GE中，依據(jù)勾股定理可得A'E2＋GE2＝A'G2，進(jìn)而得出方程，解方程即可．【詳解】解：如圖所示，延長AB，D'A'交于點G，∵A'E⊥AB，∠EA'C＝∠A＝120°，∴∠BGC＝120°﹣90°＝30°，又∵∠ABC＝60°，∴∠BCG＝60°﹣30°＝30°，∴∠BGC＝∠BCG＝30°，∴BC＝BG＝BA，設(shè)AE＝x＝A'E，則BE＝AB﹣AE＝2﹣x，A'G＝2x，∴GE＝BG+BE＝2+2﹣x＝4﹣x，∵Rt△A'GE中，A'E2+GE2＝A'G2，∴x2+（4﹣x）2＝（2x）2，解得：x＝﹣2+2，（負(fù)值已舍去）∴AE＝2﹣2，故選B．【點睛】本題主要考查了折疊問題，等腰三角形的判定，菱形的性質(zhì)，解一元二次方程以及勾股定理的運用；解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，依據(jù)勾股定理列方程求解．5．如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,點E在邊BC上,CE=3,F是CD延長線上一點,DF=4,連接DE、BF,若∠DEB=2∠F,則菱形ABCD的面積為()A．16 B．24 C．32 D．36【答案】C【解析】【分析】如圖作∠BED的平分線EG交AD于G，GE的延長線交DC的延長線于H，作EK⊥CD于K，連接BD．設(shè)AB=x，CH=y．由△FBD∽△EHC，推出,即，由EC∥DG，，推出DG=DE=14，在Rt△ECK中，由∠ECK=60°，EC=6，可得CK=3，，在Rt△DEK中，求出DK即可解決問題．【詳解】如圖,作∠BED的平分線EG交AD于G,GE的延長線交DC的延長線于H,作EK⊥CD于K,連接BD.設(shè)AB=x,CH=y.∵四邊形ABCD是菱形,∠A=60°,∴AB=AD=BD=BC=CD=x,△ABD,△BCD都是等邊三角形.∵∠BED=2∠F,∠HEC=∠BEG=∠DEG,∴∠F=∠HEC.∵∠FDB=∠ECH=120°,∴△FBD∽△EHC,∴=,∴=.∵EC∥DG,∴∠DGE=∠BEG=∠DEG,∴DG=DE,∴===.∵CE=3,∴DG=7.在Rt△ECK中,∵∠ECK=60°,CE=3,sin∠ECK=,cos∠ECK=,∴EK=CE·sin60°=,CK=CE·cos60°=.∵在Rt△DKE中,由勾股定理得DK2+EK2=DE2,∴DK===,∴CD=CK+DK=+=8,∴S菱形ABCD=2S△BCD=2×CD2=32.【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．6．如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝135°，DH⊥AB于H，交對角線AC于E，過E作EF⊥AD于F．若△DEF的周長為2，則菱形ABCD的面積為（）A．2 B． C． D．2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意利用菱形的性質(zhì)，可得AH＝DH，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)得出DE＝EF，再求出DH＝DE+EH＝，利用等腰直角三角形的性質(zhì)最后得出AB＝2.【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝135°，∴∠DAB＝45°，∠DAC＝∠BAC，且EH⊥AB，EF⊥AD∴EF＝EH，∠ADH＝∠DAB＝45°∴AH＝DH∵∠DAB＝45°，DH⊥AB∴∠ADH＝45°，且EF⊥AD∴∠ADH＝∠DEF＝45°∴DF＝EF，∴DE＝EF∵△DEF的周長為2，∴DE+EF+DF＝2∴2EF+EF＝2∴EF＝2﹣∴EH＝2﹣，DE＝2﹣2，∴DH＝DE+EH＝∵∠DAB＝∠ADH＝45°∴AH＝DH＝，∴AD＝AH＝2∴AB＝2∴菱形ABCD的面積＝AB×DH＝2故選A．【點睛】此題考查菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.7．如圖，已知菱形ABCD的周長為24，對角線AC、BD交于點O，且AC+BD＝16，則該菱形的面積等于（）A．6 B．8 C．14 D．28【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)題意求出的長度，然后利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理的知識求出的值，最后結(jié)合三角形的面積公式即可求出答案．【詳解】解：四邊形是菱形，，，菱形的周長為24，，，，，，，菱形的面積三角形的面積，故選D．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理的知識求出的值．8．如圖，已知菱形ABCD的一個內(nèi)角∠BAD=80°，對角線AC，BD相交于點O，點E在AB上，且BE=BO，則∠EOA=___________°.【答案】25【解析】【分析】根據(jù)∠BAD和菱形鄰角和為180°的性質(zhì)可以求∠ABC的值，根據(jù)菱形對角線即角平分線的性質(zhì)可以求得∠ABO的值，又由BE=BO可得∠BEO=∠BOE，根據(jù)∠BOE和菱形對角線互相垂直的性質(zhì)可以求得∠EOA的大?。驹斀狻拷猓骸摺螧AD=80°，菱形鄰角和為180°∴∠ABC=100°，∵菱形對角線即角平分線∴∠ABO=50°，∵BE=BO∴∠BEO=∠BOE==65°，∵菱形對角線互相垂直∴∠AOB=90°，∴∠AOE=90°-65°=25°，故答案為25．【點睛】本題考查了菱形對角線互相垂直平分且平分一組對角的性質(zhì)，考查了等腰三角形底角相等的性質(zhì)，本題中正確的計算∠BEO=∠BOE=65°是解題的關(guān)鍵．9．如圖，已知點的坐標(biāo)是，，點的坐標(biāo)是，，菱形的對角線交于坐標(biāo)原點，則點的坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)菱形具有的平行四邊形基本性質(zhì)，對角線互相平分，且交點為坐標(biāo)原點，則，關(guān)于原點對稱，因此在直角坐標(biāo)系中兩點的坐標(biāo)關(guān)于原點對稱，橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)便可得.【詳解】∵四邊形是菱形，對角線相交于坐標(biāo)原點∴根據(jù)平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，和；和均關(guān)于原點對稱根據(jù)直角坐標(biāo)系上一點關(guān)于原點對稱的點為可得已知點的坐標(biāo)是，則點的坐標(biāo)是.故答案為：.【點睛】本題旨在考查菱形的基本性質(zhì)及直角坐標(biāo)系中關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)的知識點，熟練理解掌握該知識點為解題的關(guān)鍵.10．如圖，在菱形中，，，是邊的中點，，分別是，上的動點，連接，，則的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】作點E關(guān)于AC的對稱點E′，過點E′作E′M⊥AB于點M，交AC于點P，由PE+PM=PE′+PM=E′M知點P、M即為使PE+PM取得最小值的點，利用S菱形ABCD=AC?BD=AB?E′M求解可得答案．【詳解】解：如圖，作點E關(guān)于AC的對稱點E′，過點E′作E′M⊥AB于點M，交AC于點P，則點P、M即為使PE+PM取得最小值的點，則PE+PM=PE′+PM=E′M，∵四邊形ABCD是菱形，∴點E′在CD上，AC⊥BD，∵AC=，BD=6，∴AB==6，由S菱形ABCD=AC?BD=AB?E′M得：××6＝6E′M，解得：E′M=，即PE+PM的最小值是.故答案為：.【點睛】本題主要考查軸對稱-最短路線問題，解題的關(guān)鍵是作出使得PE+PM最小時的點P和點M.11．如圖，菱形的對角線，相交于點，已知，菱形的面積為24，則的長為______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC=8，根據(jù)菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形；∴AC=2OA=8，,∴,∴BD=6，故答案為：6【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記菱形面積的兩種表示法：（1）底乘高，（2）對角線乘積的一半，本題運用的是第二種．12．菱形的周長為40，兩條對角線之比為3：4，則菱形的面積為_________________.【答案】96【解析】【分析】根據(jù)已知可分別求得兩條對角線的長，再根據(jù)菱形的面積等于兩對角線乘積的一半即可得到其面積．【詳解】設(shè)兩條對角線長分別為3x，4x，根據(jù)勾股定理可得（）2＋（）2＝102，解之得，x＝4，則兩條對角線長分別為12、16，∴菱形的面積＝12×16÷2＝96．故答案為96．【點睛】此題主要考查菱形的面積公式：兩條對角線的積的一半，綜合利用了菱形的性質(zhì)和勾股定理考點二菱形的判定13．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，要使它成為菱形，那么需要添加的條件可以是(

)A．AC=BD B．AB=AC C．∠ABC=90° D．AC⊥BD【答案】D【解析】【分析】根據(jù)菱形的判定方法有四種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，④對角線平分對角，作出選擇即可．【詳解】A．∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，不是菱形，故本選項錯誤；B．∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AC≠BC，∴平行四邊形ABCD不是菱形，故本選項錯誤；C．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，不能推出平行四邊形ABCD是菱形，故本選項錯誤；D．∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故本選項正確．故選D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，②四條邊都相等的四邊形是菱形，③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．14．如圖，由10根完全相同的小棒拼接而成，請你再添2根與前面完全相同的小棒，拼接后的圖形恰好有3個菱形的方法共有（

）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】D【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，找出各種拼接法，此題得解．【詳解】解：共有6種拼接法，如圖所示．故選D．【點睛】本題考查了圖形的剪拼以及菱形的判定，依照題意，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．15．在中，AC與BD相交于點O，要使四邊形ABCD是菱形，還需添加一個條件，這個條件可以是（

）A．AO=CO B．AO=BO C．AO⊥BO D．AB⊥BC【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形的判定分析即可；【詳解】∵四邊形ABCD時平行四邊形，AO⊥BO，∴是菱形；故選C．【點睛】本題主要考查了菱形的判定，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．16．如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD交于點O，OA＝OC，OB＝OD．添加下列條件，仍不能判定四邊形ABCD為菱形的是（

）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形的定義及其判定對各選項逐一判斷即可得．【詳解】解：∵四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，當(dāng)AB=BC或AC⊥BD時，均可判定四邊形ABCD是菱形；當(dāng)AC=BD時，可判定四邊形ABCD是矩形；當(dāng)∠BAC=∠DAC時，由AD∥BC得：∠DAC=∠ACB，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形；故選：C．【點睛】本題主要考查菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的定義和各判定及矩形的判定．17．如圖，點分別為四邊形的邊的中點，當(dāng)四邊形滿足條件_______時，四邊形是菱形．（只需寫出一個即可，圖中不能再添加別的“點”和“線”）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題屬于開放性試題，要判定四邊形EFGH是菱形，只要HG=GF=FE=EH即可．【詳解】解：在四邊形ABCD中，∵E、F、G、H分別四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA的中點∴HG=EF=AC，GF=HE=BD∴四邊形EFGH是平行四邊形若∴平行四邊形EFGH是菱形．故答案為.【點睛】判定特殊的四邊形，必須根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ庑蔚呐卸ǚ椒ǎ海?）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．（3）四邊相等的四邊形是菱形．18．如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC，BD相交于點O，要使四邊形ABCD為菱形，需要增加的一個條件是：__________．（只填一個你認(rèn)為正確的條件即可，不添加任何線段與字母）【答案】答案不唯一，AB=AD，或AC⊥BD【解析】【分析】根據(jù)菱形是特殊的平行四邊形，只需要增加菱形所特有的性質(zhì)即可．【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴當(dāng)AB=AD，或AC⊥BD時，?ABCD為菱形，故答案為AB=AD（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查菱形的判定，掌握菱形是特殊的平行四邊形是解題的關(guān)鍵．19．如圖，已知平形四邊形ABCD中，對角線AC，BD交點O，E是BD延長線上的點，且△ACE是等邊三角形.（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝2，求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）見解析；（2）四邊形ABCD的面積為20．【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AO=OC，由等邊三角形三線合一的性質(zhì)得出EO⊥AC，即

BD⊥AC，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可得出結(jié)論；（2）由題意易得∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°，進(jìn)而證得菱形是正方形，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝OC，∵△ACE是等邊三角形，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵△ACE是等邊三角形，∴∠EAC＝60°，由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC，∴∠AEO＝∠CEO＝30°，△AOE是直角三角形，∴∠EAO＝60°，∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，∵?ABCD是菱形，∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，∴菱形ABCD是正方形，∴四邊形ABCD的面積＝AB2＝（2）2＝20．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、證明四邊形是菱形與正方形是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在矩形中，過對角線的中點作垂線分別交邊、于點，，連接，．（1）求證：（2）判斷四邊形的形狀，并證明；（3）若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）棱形；證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA＝OC和∠FAC＝∠ECA，根據(jù)對頂角相等得到∠AOF＝∠COE，由AAS即可證明；（2）由對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可證明；（3）設(shè)AF=x，則CF=x，在中應(yīng)用勾股定理有，解得x=5；在中應(yīng)用勾股定理求得，即；在中應(yīng)用勾股定理求得，即．【詳解】（1）求證：∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥BC

∴∠FAC＝∠ECA∵O是AC的中點∴OA＝OC

又∠AOF＝∠COE∴△AOF≌△COE．（2）四邊形AECF是菱形，證明：由（1）得△AOF≌△COE∴AF＝CE又AF∥EC∴四邊形AECF是平行四邊形又∵EF⊥AC∴四邊形AECF是菱形．（3）∵四邊形ABCD是矩形∴CD＝AB＝4，∠D＝90°在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得AC＝．．又∵O是AC的中點∴OC＝在Rt△CDF中，設(shè)CF＝x，∵四邊形AECF是菱形．∴AF＝CF＝x

則DF＝8－x，根據(jù)勾股定理得：解得x＝5；即CF＝5在Rt△COF中，根據(jù)勾股定理得所以EF＝2OF＝．【點睛】本題考查了AAS證明三角形全等，菱形的性質(zhì)和判定條件，根據(jù)題目中的不同已知條件旋轉(zhuǎn)不同點菱形判定方法是本題的關(guān)鍵，本題選擇了對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，也可選用對角線互相垂直平分的四邊形是菱形來證明．21．(本題滿分6分)如圖，、是四邊形的對角線上兩點，，，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若平分，求證：平行四邊形為菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【詳解】【考點】菱形的判定；平行四邊形的判定．【分析】（1）首先證明△ADF≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=CB，∠DAC=∠ACB，進(jìn)而可得證明AD∥CB，根據(jù)一組對邊平行且等的四邊形是平行四邊形可得四邊形ABCD是平行四邊形；（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠DAC=∠BAC，進(jìn)而可得出AB=BC，再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得結(jié)論．證明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFA=∠CEB，

1分∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，

2分在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS），

3分∴AD=CB，∠DAC=∠ACB，∴AD∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形；

4分（2）∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，

5分∴?ABCD為菱形．

6分【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定和菱形的判定，關(guān)鍵是掌握據(jù)一組對邊平行且等的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．考點三菱形的判定與性質(zhì)綜合22．如圖，平面上有兩個全等的正八邊形ABCDEFGH、A′B′C′D′E′F′G′H′，若點B與點B′重合，點H與點H′重合，則∠ABA′的度數(shù)為（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】C【解析】【分析】利用正多邊形的性質(zhì)可以得到四邊形ABA′H為菱形，計算其內(nèi)角后，用多邊形的內(nèi)角減去即可得到答案．【詳解】解：∵兩個圖形為全等的正八邊形，∴ABA′H為菱形，∵∠HAB＝∠HA