易錯(cuò)點(diǎn)05四邊形(原卷版+解析)

易錯(cuò)點(diǎn)05四邊形多邊形對(duì)角線、內(nèi)角和、外角和平行四邊形定義性質(zhì)判定。菱形定義性質(zhì)判定。矩形形定義性質(zhì)判定。正方形定義性質(zhì)判定。四邊形綜合應(yīng)用易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析01認(rèn)識(shí)多邊形。多邊形考察范圍較廣，涉及的知識(shí)點(diǎn)較為寬泛，在綜合能力考察上要求較高，注意規(guī)則圖形與不規(guī)則圖形的轉(zhuǎn)換方式，輔助線分割方法，化繁為簡。掌握解題技巧性如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則的面積與的面積比為__________．【答案】1∶2【思路點(diǎn)撥】答案有誤，分別求出△ABC的面積和△ABD的面積，即可求解．【規(guī)范解答】解：，，∴的面積與的面積比為1∶4．故答案為1∶4．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022·江蘇常州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將一個(gè)邊長為的正方形活動(dòng)框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動(dòng)成四邊形，對(duì)角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達(dá)到時(shí)才會(huì)斷裂．若，則橡皮筋_____斷裂（填“會(huì)”或“不會(huì)”，參考數(shù)據(jù)：）．【變式訓(xùn)練02】（2023秋）已知，在每個(gè)小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段，點(diǎn)A、B均在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)如圖1，在方格紙中畫出以為一邊的等腰，點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上，且的面積為10；(2)如圖2，在方格紙中畫出以為一邊的平行四邊形，點(diǎn)D、E均在小正方形的頂點(diǎn)上，且平行四邊形的面積為10，連接，并直接寫出線段的長．【變式訓(xùn)練03】（2022秋九年級(jí)期中）如圖，菱形的兩條對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，若，，求菱形的周長．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析02多邊形對(duì)角線、內(nèi)角和、外角和。掌握內(nèi)角和公式，外角和360°公理的由來。（2022秋·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，如圖兩個(gè)四邊形相似，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【思路點(diǎn)撥】答案有誤，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)及四邊形的內(nèi)角和即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖：兩個(gè)四邊形相似，，，故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握和運(yùn)用相似多邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，．(1)在圖中，用尺規(guī)作出的內(nèi)切圓O，并標(biāo)出與邊，，的切點(diǎn)D，E，F(xiàn)（保留痕跡，不必寫作法）；(2)連接，，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練02】（2021·?？级＃┫铝姓f法：（1）了解一批燈泡的使用壽命，采用全面調(diào)查；（2）若∠α＝20°40′，則∠α的補(bǔ)角為159°60′；（3）若一個(gè)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為144°，則正n邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)是35；（4）等腰三角形的一邊長是3，另兩邊的長是關(guān)于x的方程x2﹣4x＋k＝0的兩個(gè)根，則k的值為3；正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓(xùn)練03】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）【問題情境】如圖1，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，，，將直角三角形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度（），點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、．(1)【問題解決】如圖2，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)落在了上，求此時(shí)的長；(2)【問題解決】若，如圖3，得到（此時(shí)與重合），延長交于點(diǎn)，①試判斷四邊形的形狀，并說明理由；②連接，求的長；(3)【問題解決】在直角三角形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，求線段長度的取值范圍．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析03平行四邊形的性質(zhì)掌握及應(yīng)用。理解性質(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系，充分應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)解決問題（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，對(duì)角線與交于點(diǎn)，且，，在延長線上取一點(diǎn)，使，連接交于，則的長為______．【答案】【思路點(diǎn)撥】答案有誤，過點(diǎn)作，先由和平行四邊形的性質(zhì)說明是的中位線并求出，再判斷，最后由相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，是對(duì)角線與的交點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．，是的中位線．，．．．，．．．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理及平行四邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，是一條小河平行的兩岸．（1）的距離等于___________；（2）現(xiàn)要在小河上修一座垂直于兩岸的橋（點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，橋的寬度忽略），使最短，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出，并簡要說明點(diǎn)，的位置是如何找到的（不要求證明）___________．【變式訓(xùn)練02】（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊的延長線上一點(diǎn)，連接交邊于點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的值．【變式訓(xùn)練03】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形是平行四邊形，以為直徑的切于點(diǎn)A，與交于點(diǎn)E．(1)求證：直線是的切線；(2)若cm，弦CE的長為16cm，求的半徑長．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析04平行四邊形的判定及應(yīng)用。熟練掌握判定方法的證明過程，借助輔助線解決問題。（2022·江蘇鹽城·校考三模）如圖，在中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F，E分別是及其延長線上的點(diǎn)，，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)當(dāng)滿足____________條件時(shí)，四邊形為菱形．（填寫序號(hào)）①．②，③，④．【答案】(1)見詳解(2)③，理由見詳解【思路點(diǎn)撥】第2小題答案有誤，（1）由已知條件，據(jù)證得，則可證得，繼而證得四邊形是平行四邊形；（2）由，得到，由得，即互相垂直平分，然后根據(jù)菱形的判定，可得四邊形是菱形．【規(guī)范解答】（1）證明：在中，D是邊的中點(diǎn)，∴∵，∴，在和中，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）滿足條件①時(shí)四邊形為菱形．理由：若時(shí)，為等腰三角形，∵為中線，∴，即，由（1）知，，∴，∴平行四邊形為菱形．故答案為：①．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．熟練掌握菱形的判定方法，且證得得到是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2019秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，圓心在內(nèi)部經(jīng)過、兩點(diǎn)，并交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)延長交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的值．【變式訓(xùn)練02】（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？寄M預(yù)測）（1）如圖，點(diǎn)，均在正方形內(nèi)部，且，．求證：四邊形是平行四邊形；求正方形的邊長；（2）如圖，點(diǎn)，，，均在正方形內(nèi)部，且，，求正方形的邊長．【變式訓(xùn)練03】（2021秋·江蘇無錫·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，中，，O為邊上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，與，兩邊分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接．平分，交于點(diǎn)D，經(jīng)過點(diǎn)D．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為5，求的長．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析05特殊平行四邊形（矩形）判定與性質(zhì)應(yīng)用。求角度，求線段長，求面積等問題中有一定難度，綜合能力要求較高，注意解題技巧的掌握。三角形的中位線等于第三邊的一半，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，盡管都有“一半”，但二者成立的條件和結(jié)論不一樣，不要混淆。（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖．在正方形ABCD中，邊長為4，M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠DPM的度數(shù)最大時(shí)，則BP=___________．【答案】2【思路點(diǎn)撥】答案有誤，未考慮到輔助線。首先確定P點(diǎn)的位置，畫出輔助圓，再求出圓的半徑，利用勾股定理和矩形的判定與性質(zhì)即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，當(dāng)P點(diǎn)在與相切，且經(jīng)過D點(diǎn)和M點(diǎn)的上時(shí)，的度數(shù)最大，此時(shí)，P點(diǎn)即為切點(diǎn)，連接，∴，∵正方形的邊長為，M點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，過O點(diǎn)作于E，∴，延長，交于點(diǎn)F，∴，∴四邊形和四邊形都是矩形，∴，∴，連接，則，∴，∴，∴，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了最大張角問題，涉及到了正方形性質(zhì)的應(yīng)用、勾股定理解三角形、矩形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是理解當(dāng)P點(diǎn)在與相切且經(jīng)過D點(diǎn)和M點(diǎn)的圓上且位于切點(diǎn)處時(shí)張角最大．【變式訓(xùn)練01】（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，為的直徑，平分，于，交于．(1)求證：為的切線；(2)若，求的半徑．【變式訓(xùn)練02】（（2022·江蘇揚(yáng)州·?？寄M預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，軸，，原點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)在第一象限的圖象過四邊形的頂點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)和的值；(2)將平行四邊形向上平移，使點(diǎn)落在反比例函數(shù)圖象在第一象限的分支上，求平移過程中線段掃過的面積．(3)若、兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)圖象的兩支上，且四邊形是菱形，求的長．【變式訓(xùn)練03】（（2022秋·江蘇常州·九年級(jí)常州市第二十四中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，過作于，設(shè)．(1)求證：．(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形也與相似？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析06特殊平行四邊形（菱形）判定與性質(zhì)應(yīng)用。（2021·江蘇蘇州·一模）如圖1，已知在平行四邊形中，，若點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿以的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積隨時(shí)間變化的關(guān)系圖像，則a的值為（

）A．5 B． C． D．【答案】B【思路點(diǎn)撥】答案有誤，首先判斷四邊形ABCD是菱形，過點(diǎn)D作DE⊥BC，根據(jù)圖象的三角形的面積可得菱形的邊長為5，再利用菱形的性質(zhì)和勾股定理列方程可求A．【規(guī)范解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥BC，∵平行四邊形ABCD中，AD=DC，∴四邊形ABCD是菱形，AD∥BC，∴當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y的值不變，∴AD=a，即菱形的邊長是a，∴a?DE＝2a，即DE=4．當(dāng)點(diǎn)P在DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y逐漸減小，∴DB=5，∴BE=，在Rt△DCE中，DC=a，CE=a-3，DE=4，∴a2=42+（a-3）2，解得a=，故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查菱形的性質(zhì)，根據(jù)圖象分析得出a的值是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，過對(duì)角線BD的中點(diǎn)O作BD的垂線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)求證：△DOE≌△BOF；(2)若AB＝6，AD＝8，連接BE，DF，求四邊形BFDE的周長．【變式訓(xùn)練02】（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)若⊙O的半徑為3，，求的長（結(jié)果保留π）．【變式訓(xùn)練03】（2022·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，在8×8的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，四邊形ABCD為格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)在格點(diǎn)上），請(qǐng)按以下要求畫出相應(yīng)的格點(diǎn)圖形．(1)在圖1中畫出格點(diǎn)△ABP，使△ABP的面積等于四邊形ABCD的面積．(2)在圖2中畫出格點(diǎn)四邊形ABQD，使四邊形ABQD的面積等于四邊形ABCD的面積，且格點(diǎn)Q不與格點(diǎn)C重合．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析07特殊平行四邊形（正方形）判定與性質(zhì)應(yīng)用（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形的邊上有一點(diǎn)，，垂足為，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，點(diǎn)恰好落在點(diǎn)處，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形是正方形；③，④．其中結(jié)論正確的序號(hào)是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【思路點(diǎn)撥】答案有誤，延長交于，連接，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余得出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，得出即可判斷①，根據(jù)題意得出四邊形是矩形，由即可判斷②，進(jìn)而得出，根據(jù)判斷③，根據(jù)勾股定理以及等角對(duì)等邊可得，得出，由四邊形是正方形，得出，即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，延長交于，連接，∵，∴，∵，∴，∵將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，∴，∴，∴，∴，故①正確；∵四邊形是矩形，∴∵∴四邊形是矩形，又∵，∴矩形是正方形，故②正確；∴，∴，故③正確；∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴又∵四邊形是正方形，∴，∴，故④錯(cuò)誤，∴正確的是：①②③，故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，邊長為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練02】（2022秋·江蘇·九年級(jí)周測）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，O是BA上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)P，與AC相切于點(diǎn)D，已知AB=8，⊙O的半徑為r．(1)如圖1，若AP=DP，則⊙O的半徑r值為_______；(2)求BC=6，求⊙O的半徑r長；(3)若AD的垂直平分線和⊙O有公共點(diǎn)，求半徑r的取值范圍．【變式訓(xùn)練03】（2019·河北唐山·統(tǒng)考二模）關(guān)于邊形，甲、乙、丙三位同學(xué)有以下三種說法：甲：五邊形的內(nèi)角和為乙：正六邊形每個(gè)內(nèi)角為丙：七邊形共有對(duì)角線14條（1）判斷三種說法是否正確，并對(duì)其中你認(rèn)為不對(duì)的說法用計(jì)算進(jìn)行說明（2）若邊形的對(duì)角線共35條，求該邊形的內(nèi)角和易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析08四邊形綜合應(yīng)用。矩形、菱形、正方形有各自成立的前提條件，解題時(shí)應(yīng)明確矩形、菱形、正方形的判定定理，不要混淆。平行四邊形的兩條對(duì)角線把其分割為4個(gè)三角形，其中相對(duì)的兩個(gè)互相全等；矩形的兩條對(duì)角線把其分割為4個(gè)等腰三角形，其中相對(duì)的兩個(gè)互相全等；菱形的兩條對(duì)角線把其分割為4個(gè)全等的直角三角形；正方形的兩條對(duì)角線把其分割為4個(gè)全等的等腰直角三角形.解題時(shí)要充分應(yīng)用這些三角形的特征，注意它們的聯(lián)系與區(qū)別。（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)即停．(1)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，能將矩形ABCD的面積分成兩部分？(2)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)之間的距離是？【答案】(1)2秒(2)秒【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，將用t表示出來，跟為梯形的面積占2份和5份兩種情況進(jìn)行討論即可；（2）過P點(diǎn)作，垂足為M點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，依題意得：∵，∴．∴，．∴，，解得，解得（舍），∴運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，能將矩形ABCD的面積分成兩部分．（2）如圖，過P點(diǎn)作，垂足為M點(diǎn)，∴，，∴，∴，即∴或（舍去），∴時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查矩形的動(dòng)點(diǎn)問題，勾股定理和用平方根的定義解方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意做出合適的輔助線，利用勾股定理解答是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【圖形定義】有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．【問題探究】(1)如圖①，已知矩形是“等鄰邊四邊形”，則矩形___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；(2)如圖②，在菱形中，，，動(dòng)點(diǎn)、分別在、上（不含端點(diǎn)），若，試判斷四邊形是否為“等鄰邊四邊形”？如果是“等鄰邊四邊形”，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說明理由；此時(shí)，四邊形的周長的最小值為___________；【嘗試應(yīng)用】(3)現(xiàn)有一個(gè)平行四邊形材料，如圖③，在中，，，，點(diǎn)在上，且，在邊上有一點(diǎn)，使四邊形為“等鄰邊四邊形”，請(qǐng)直接寫出此時(shí)四邊形ABEP的面積可能為的值___________．【變式訓(xùn)練02】（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，．如果點(diǎn)E由點(diǎn)B出發(fā)沿方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F由點(diǎn)D出發(fā)沿方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別為和．已知，分別交，于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）．(1)連接，，當(dāng)_____s時(shí)，四邊形為平行四邊形；(2)連接，若的面積為，求t的值；(3)若與相似，求t的值．一、選擇題1．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)南京市第二十九中學(xué)?？奸_學(xué)考試）四邊形的對(duì)角線和相交于點(diǎn)O．有下列條件：①；②；③；④矩形；⑤菱形；⑥正方形．則下列推理正確的是（）A．②③→⑥ B．①②→⑤ C．①④→⑤ D．②⑤→⑥2．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形中，于點(diǎn)，分別交于點(diǎn)，的延長線于點(diǎn)，且．則的值為（

）A． B． C． D．3．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）正方形、矩形、菱形都具有的特征是（）A．對(duì)角線互相平分 B．對(duì)角線相等C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角線平分一組對(duì)角4．（2022秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)，連接，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（

）A．B．C． D．5．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在正方形中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，點(diǎn)在拋物線的圖像上，則的值是（

）A． B． C． D．16．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，，則的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題7．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，正方形的邊長為8，，，線段的兩端在、上滑動(dòng)，當(dāng)______時(shí)，與相似.8．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，若的內(nèi)切圓⊙O與分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且，則陰影部分的周長是______．9．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，E是上一點(diǎn)，且，連接相交于F，則是____________．10．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形中有一個(gè)面積為的小正方形，其中點(diǎn)、、分別在、、上，若，則正方形的邊長為______．11．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知拋物線與x軸、y軸正半軸分別交于點(diǎn)A、B、D，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C在拋物線上，且與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)E在x軸上，且，連接，取的中點(diǎn)F，則的長為__．三、解答題12．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測）如圖，、是平行四邊形對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且求證：．13．（2020秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，直徑為，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在半徑以及上，并且，若．(1)求的長；(2)求的半徑．14．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考期末）如圖，矩形中，為上一點(diǎn)，把沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．(1)求證：；(2)若，，求的長．15．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)移動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)移動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)當(dāng)時(shí)，的面積為．(2)在運(yùn)動(dòng)過程中的面積能否為？如果能，求出的值，若不能請(qǐng)說明理由；(3)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)，，，四個(gè)點(diǎn)恰好在同一個(gè)圓上時(shí)，求值．易錯(cuò)點(diǎn)05四邊形多邊形對(duì)角線、內(nèi)角和、外角和平行四邊形定義性質(zhì)判定。菱形定義性質(zhì)判定。矩形形定義性質(zhì)判定。正方形定義性質(zhì)判定。四邊形綜合應(yīng)用易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析01認(rèn)識(shí)多邊形。多邊形考察范圍較廣，涉及的知識(shí)點(diǎn)較為寬泛，在綜合能力考察上要求較高，注意規(guī)則圖形與不規(guī)則圖形的轉(zhuǎn)換方式，輔助線分割方法，化繁為簡。掌握解題技巧性如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則的面積與的面積比為__________．【答案】1∶2【思路點(diǎn)撥】答案有誤，分別求出△ABC的面積和△ABD的面積，即可求解．【規(guī)范解答】解：，，∴的面積與的面積比為1∶4．故答案為1∶4．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022·江蘇常州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將一個(gè)邊長為的正方形活動(dòng)框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動(dòng)成四邊形，對(duì)角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達(dá)到時(shí)才會(huì)斷裂．若，則橡皮筋_____斷裂（填“會(huì)”或“不會(huì)”，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】不會(huì)【思路點(diǎn)撥】設(shè)扭動(dòng)后對(duì)角線的交點(diǎn)為，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出扭動(dòng)后的四邊形為菱形，利用菱形的性質(zhì)及條件，得出為等邊三角形，利用勾股定理算出，從而得到，再比較即可判斷．【規(guī)范解答】解：設(shè)扭動(dòng)后對(duì)角線的交點(diǎn)為，如下圖：，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，得出扭動(dòng)后的四邊形四邊相等為菱形，cm，為等邊三角形，cm，cm，cm，根據(jù)菱形的對(duì)角線的性質(zhì)：(cm)，，不會(huì)斷裂，故答案為：不會(huì)．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是要掌握菱形的判定及性質(zhì)．【變式訓(xùn)練02】（2023秋）已知，在每個(gè)小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段，點(diǎn)A、B均在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)如圖1，在方格紙中畫出以為一邊的等腰，點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上，且的面積為10；(2)如圖2，在方格紙中畫出以為一邊的平行四邊形，點(diǎn)D、E均在小正方形的頂點(diǎn)上，且平行四邊形的面積為10，連接，并直接寫出線段的長．【答案】(1)見解析(2)見解析，【思路點(diǎn)撥】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形面積求法得出答案；（2）根據(jù)平行四邊形的面積為10構(gòu)造圖形即可．【規(guī)范解答】（1）解：如圖，即為所求；（2）如圖，四邊形即為所求；由圖可知：．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了網(wǎng)格中多邊形的面積，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)提供的面積，結(jié)合網(wǎng)格性質(zhì)畫圖．【變式訓(xùn)練03】（2022秋九年級(jí)期中）如圖，菱形的兩條對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，若，，求菱形的周長．【答案】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到，，進(jìn)而得到，再根據(jù)勾股定理得到，即可求出菱形的周長．【規(guī)范解答】解：四邊形是菱形，，，，，，，菱形的周長．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，多邊形周長，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析02多邊形對(duì)角線、內(nèi)角和、外角和。掌握內(nèi)角和公式，外角和360°公理的由來。（2022秋·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，如圖兩個(gè)四邊形相似，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【思路點(diǎn)撥】答案有誤，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)及四邊形的內(nèi)角和即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖：兩個(gè)四邊形相似，，，故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握和運(yùn)用相似多邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，．(1)在圖中，用尺規(guī)作出的內(nèi)切圓O，并標(biāo)出與邊，，的切點(diǎn)D，E，F(xiàn)（保留痕跡，不必寫作法）；(2)連接，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【思路點(diǎn)撥】（1）直接利用基本作圖即可得出結(jié)論；（2）利用四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）解：如圖1，即為所求．（2）如圖2，連接，，∴，，∴，∵，∴，∴．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了基本作圖，三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和公式，圓周角定理，解本題的關(guān)鍵是作出三角形的內(nèi)切圓．【變式訓(xùn)練02】（2021·?？级＃┫铝姓f法：（1）了解一批燈泡的使用壽命，采用全面調(diào)查；（2）若∠α＝20°40′，則∠α的補(bǔ)角為159°60′；（3）若一個(gè)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為144°，則正n邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)是35；（4）等腰三角形的一邊長是3，另兩邊的長是關(guān)于x的方程x2﹣4x＋k＝0的兩個(gè)根，則k的值為3；正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)根的判別式，全面調(diào)查和抽樣調(diào)查的概念，補(bǔ)角的定義，多邊形的內(nèi)角和外角的定義判斷即可．【規(guī)范解答】解：（1）了解一批燈泡的使用壽命，采用抽樣調(diào)查，故錯(cuò)誤，不符合題意；（2）若∠α＝20°40′，則∠α的補(bǔ)角為159°20′，故錯(cuò)誤，不符合題意；（3）∵一個(gè)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為144°，∴144n＝180×（n﹣2），解得：n＝10，這個(gè)正n邊形的對(duì)角線的條數(shù)是：＝35（條），正確，符合題意；（4）當(dāng)3為腰長時(shí)，將x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，解得：k＝3，當(dāng)k＝3時(shí)，原方程為x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∵1+3＝4，4＞3，∴k＝3符合題意；當(dāng)3為底邊長時(shí)，關(guān)于x的方程x2﹣4x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，解得：k＝4，當(dāng)k＝4時(shí)，原方程為x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，∵2+2＝4，4＞3，∴k＝4符合題意．∴k的值為3或4，故錯(cuò)誤；∴正確的個(gè)數(shù)是1，故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了等腰三角形的分類問題，注意等腰三角形的邊分底邊和腰兩種情況，同時(shí)還要注意滿足三角形三邊關(guān)系.【變式訓(xùn)練03】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）【問題情境】如圖1，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，，，將直角三角形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度（），點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、．(1)【問題解決】如圖2，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)落在了上，求此時(shí)的長；(2)【問題解決】若，如圖3，得到（此時(shí)與重合），延長交于點(diǎn)，①試判斷四邊形的形狀，并說明理由；②連接，求的長；(3)【問題解決】在直角三角形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，求線段長度的取值范圍．【答案】(1)(2)①正方形，見解析；②(3)【思路點(diǎn)撥】（1）由勾股定理得AB=2，再由正方形的性質(zhì)得，然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，即可求解；（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE'=AE，∠EAE'=α=90°，∠AE'D=∠AEB=90°，再證四邊形AEFE′是矩形，即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)C作CG⊥BE于點(diǎn)G，證△BCG≌△ABE（AAS），得CG=BE=4，BG=AE=2，則EG=BE-BG=2，再由勾股定理求解即可；（3）當(dāng)α=0°時(shí)，E'與E重合，CE'最短=2；當(dāng)E‘落在CA的延長線上時(shí)，AE'=AE=2，CE'最長=AC+AE'=2+2，即可得出答案．【規(guī)范解答】（1）∵AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，∴，∵四邊形ABD是正方形，∴，∠ABC＝90°，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴；（2）①四邊形AEFE′是正方形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AE'＝AE，∠EAE'＝α＝90°，∠AE'D＝∠AEB＝90°，∵∠AEF＝180°﹣90°＝90°，∴四邊形AEFE′是矩形，又∵AE'＝AE，∴四邊形AEFE′是正方形；②過點(diǎn)C作CG⊥BE于點(diǎn)G，如圖3所示：則∠BGC＝90°＝∠AEB，∴∠CBG+∠BCG＝∠CBG+∠ABE＝90°，∴∠BCG＝∠ABE，在△BCG和△ABE中，∠BCG＝∠ABE∠BGC＝∠AEBBC＝AB，∴△BCG≌△ABE（AAS），∴CG＝BE＝4，BG＝AE＝2，∴EG＝BE﹣BG＝4﹣2＝2，∴．（3）∵直角三角形ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（0≤α≤180°）點(diǎn)B、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B′、E′，點(diǎn)E′運(yùn)動(dòng)軌跡是以A為圓心，AE＝2為半徑的半圓，∴當(dāng)α＝0°時(shí)，E'與E重合，CE'最短；當(dāng)E′落在CA的延長線上時(shí)，AE'＝AE＝2，CE'最長，∴線段CE′長度的取值范圍是．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析03平行四邊形的性質(zhì)掌握及應(yīng)用。理解性質(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系，充分應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)解決問題（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，對(duì)角線與交于點(diǎn)，且，，在延長線上取一點(diǎn)，使，連接交于，則的長為______．【答案】【思路點(diǎn)撥】答案有誤，過點(diǎn)作，先由和平行四邊形的性質(zhì)說明是的中位線并求出，再判斷，最后由相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，是對(duì)角線與的交點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．，是的中位線．，．．．，．．．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理及平行四邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，是一條小河平行的兩岸．（1）的距離等于___________；（2）現(xiàn)要在小河上修一座垂直于兩岸的橋（點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，橋的寬度忽略），使最短，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出，并簡要說明點(diǎn)，的位置是如何找到的（不要求證明）___________．【答案】

見解析【思路點(diǎn)撥】（1）利用勾股定理求出的長即可；（2）要使最短，則，與轉(zhuǎn)化成一條線段時(shí)最短，取格點(diǎn)，連接，使，交于Q，交于P，由網(wǎng)格性質(zhì)可得，由可得平行線間的距離的長，取格點(diǎn)、，連接，使)，與交于點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，同理可作點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，則，可得四邊形是平行四邊形，由全等三角形的性質(zhì)可得，可得四邊形是平行四邊形，可知，同理，則距離最短，即可得解.【規(guī)范解答】（1）=.故答案為：（2）如圖，取格點(diǎn)，連接，使，交于Q，交于P，∴，∴，取格點(diǎn)、，連接，使)，與交于點(diǎn)；∵，，∴，∴，∴，∴，同理作點(diǎn)；連接與交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，連接，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，同理：，∴距離最短，∴即為所求.故答案為：取格點(diǎn)，連接，使，交于Q，交于P，取格點(diǎn)、，連接，使)，與交于點(diǎn)；同理作點(diǎn)；連接與交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，連接，即為所求．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查網(wǎng)格的特征，全等三角形及相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練02】（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊的延長線上一點(diǎn)，連接交邊于點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)【思路點(diǎn)撥】（1）由四邊形是平行四邊形得，.根據(jù)“兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似”得.（2）設(shè)，根據(jù)“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”列比例式得，則.同（1）證，根據(jù)“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”即可求出的值.【規(guī)范解答】（1）四邊形是平行四邊形，，（2）四邊形是平行四邊形設(shè)由（1）得，四邊形是平行四邊形．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練03】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形是平行四邊形，以為直徑的切于點(diǎn)A，與交于點(diǎn)E．(1)求證：直線是的切線；(2)若cm，弦CE的長為16cm，求的半徑長．【答案】(1)見解析(2)10【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而利用平行線的性質(zhì)求出，即可解答；（2）連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，再利用同角的余角相等可得，從而可證，然后利用相似三角形的性質(zhì)求出的長，最后在中，利用勾股定理求出的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】（1）證明：∵與相切于點(diǎn)A，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵是的半徑，∴直線是的切線；（2）解：連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（舍去），在中，，∴，∴的半徑長為10．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，切線的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析04平行四邊形的判定及應(yīng)用。熟練掌握判定方法的證明過程，借助輔助線解決問題。（2022·江蘇鹽城·?？既＃┤鐖D，在中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F，E分別是及其延長線上的點(diǎn)，，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)當(dāng)滿足____________條件時(shí)，四邊形為菱形．（填寫序號(hào)）①．②，③，④．【答案】(1)見詳解(2)③，理由見詳解【思路點(diǎn)撥】第2小題答案有誤，（1）由已知條件，據(jù)證得，則可證得，繼而證得四邊形是平行四邊形；（2）由，得到，由得，即互相垂直平分，然后根據(jù)菱形的判定，可得四邊形是菱形．【規(guī)范解答】（1）證明：在中，D是邊的中點(diǎn)，∴∵，∴，在和中，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）滿足條件①時(shí)四邊形為菱形．理由：若時(shí)，為等腰三角形，∵為中線，∴，即，由（1）知，，∴，∴平行四邊形為菱形．故答案為：①．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．熟練掌握菱形的判定方法，且證得得到是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2019秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，圓心在內(nèi)部經(jīng)過、兩點(diǎn)，并交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)延長交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的值．【答案】(1)詳見解析(2)【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，得到，于是得到結(jié)論；（2）過作于，得到是等腰直角三角形，得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，等量代換得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，于是得到結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）證明：在中，，，，，是的切線，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：過作于．是等腰直角三角形，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練02】（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校校考模擬預(yù)測）（1）如圖，點(diǎn)，均在正方形內(nèi)部，且，．求證：四邊形是平行四邊形；求正方形的邊長；（2）如圖，點(diǎn)，，，均在正方形內(nèi)部，且，，求正方形的邊長．【答案】（1）見解析；（2）（3）【思路點(diǎn)撥】（1）①連接交于點(diǎn)，證明，則，即可得證；②根據(jù)勾股定理以及全等三角形的性質(zhì)得出，即可求解；（2）連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，證明，勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．【規(guī)范解答】（1）①證明：如圖，連接交于點(diǎn)∵，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；②∵，，∴，∴，∴四邊形是正方形，∴；（2）連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，如圖，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴三點(diǎn)共線，同理可得三點(diǎn)共線，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練03】（2021秋·江蘇無錫·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，中，，O為邊上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，與，兩邊分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接．平分，交于點(diǎn)D，經(jīng)過點(diǎn)D．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為5，求的長．【答案】(1)見解析(2)4【思路點(diǎn)撥】（1）連接，欲證明是切線，只要證明即可得解；（2）過O作于點(diǎn)G．證明四邊形四邊形為矩形，求出，可得結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵是的半徑，∴為的切線；（2）解：如圖，過O作于點(diǎn)G，由垂徑定理，得：，又∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理，得：，∵的半徑為5，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，切線的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析05特殊平行四邊形（矩形）判定與性質(zhì)應(yīng)用。求角度，求線段長，求面積等問題中有一定難度，綜合能力要求較高，注意解題技巧的掌握。三角形的中位線等于第三邊的一半，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，盡管都有“一半”，但二者成立的條件和結(jié)論不一樣，不要混淆。（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖．在正方形ABCD中，邊長為4，M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠DPM的度數(shù)最大時(shí)，則BP=___________．【答案】2【思路點(diǎn)撥】答案有誤，未考慮到輔助線。首先確定P點(diǎn)的位置，畫出輔助圓，再求出圓的半徑，利用勾股定理和矩形的判定與性質(zhì)即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，當(dāng)P點(diǎn)在與相切，且經(jīng)過D點(diǎn)和M點(diǎn)的上時(shí)，的度數(shù)最大，此時(shí)，P點(diǎn)即為切點(diǎn)，連接，∴，∵正方形的邊長為，M點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，過O點(diǎn)作于E，∴，延長，交于點(diǎn)F，∴，∴四邊形和四邊形都是矩形，∴，∴，連接，則，∴，∴，∴，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了最大張角問題，涉及到了正方形性質(zhì)的應(yīng)用、勾股定理解三角形、矩形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是理解當(dāng)P點(diǎn)在與相切且經(jīng)過D點(diǎn)和M點(diǎn)的圓上且位于切點(diǎn)處時(shí)張角最大．【變式訓(xùn)練01】（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校考期中）如圖，為的直徑，平分，于，交于．(1)求證：為的切線；(2)若，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【思路點(diǎn)撥】（1）連接，推出，得到，即可得到，由此得到結(jié)論為的切線；（2）過點(diǎn)作于，根據(jù)垂徑定理得到，證明四邊形為矩形，求出，利用勾股定理求出即可．【規(guī)范解答】（1）證明：連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵為的半徑，∴為的切線；（2）解：過點(diǎn)作于，則，∵，，，∴四邊形為矩形，∴，∴，則的半徑為．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了圓的知識(shí)，證明一條直線是圓的切線，垂徑定理，以及勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)定理，熟記各定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練012（（2022·江蘇揚(yáng)州·?？寄M預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，軸，，原點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)在第一象限的圖象過四邊形的頂點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)和的值；(2)將平行四邊形向上平移，使點(diǎn)落在反比例函數(shù)圖象在第一象限的分支上，求平移過程中線段掃過的面積．(3)若、兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)圖象的兩支上，且四邊形是菱形，求的長．【答案】(1)，(2)(3)【思路點(diǎn)撥】（1）利用平行于軸的直線上的點(diǎn)縱坐標(biāo)相等得出的縱坐標(biāo)，再用距離確定出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求出；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)得出點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)向上平移個(gè)單位，根據(jù)在的圖象上，列出方程，求出，那么平移過程中線段掃過的面積是的面積，根據(jù)平行四邊形的面積公式列式計(jì)算；（3）利用菱形的性質(zhì)得出直線的解析式，根據(jù)點(diǎn)，在雙曲線上求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出的長．【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)與軸交于點(diǎn)，軸，、的縱坐標(biāo)相同．，，，．在反比例函數(shù)的圖象上，；（2）解：在平行四邊形中，原點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，．設(shè)點(diǎn)向上平移個(gè)單位，則在的圖象上，，解得．設(shè)與相交于，則．平移過程中線段掃過的面積是；（3）解：四邊形是菱形，．直線的解析式為，直線的解析式為：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)圖象的兩支上，，解得：，故的坐標(biāo)為：，的坐標(biāo)為，．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形變化平移．解（1）的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，解（2）的關(guān)鍵是求出平移的距離，解（3）的關(guān)鍵是確定出直線的解析式．【變式訓(xùn)練013（（2022秋·江蘇常州·九年級(jí)常州市第二十四中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，過作于，設(shè)．(1)求證：．(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形也與相似？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)存在，的值為或【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件可以證明兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，從而證明三角形相似；（2）分情況討論：①當(dāng)時(shí)，則得到四邊形為矩形，從而求得x的值；②當(dāng)時(shí)，再結(jié)合（1）中的結(jié)論，得到等腰．再根據(jù)等腰三角形的三線合一得到是的中點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．【規(guī)范解答】（1）證明：∵矩形，∴，∴，又∵，∴，∴．（2）解：①若，如圖1，則，∴，∴四邊形為矩形，∴，即．②如圖2，若，則，∵∴，∴．∴．∵，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴滿足條件的的值為或．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是確定動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，有幾種對(duì)應(yīng)的圖形，然后再根據(jù)圖形性質(zhì)分析求解．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析06特殊平行四邊形（菱形）判定與性質(zhì)應(yīng)用。（2021·江蘇蘇州·一模）如圖1，已知在平行四邊形中，，若點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿以的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積隨時(shí)間變化的關(guān)系圖像，則a的值為（

）A．5 B． C． D．【答案】B【思路點(diǎn)撥】答案有誤，首先判斷四邊形ABCD是菱形，過點(diǎn)D作DE⊥BC，根據(jù)圖象的三角形的面積可得菱形的邊長為5，再利用菱形的性質(zhì)和勾股定理列方程可求A．【規(guī)范解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥BC，∵平行四邊形ABCD中，AD=DC，∴四邊形ABCD是菱形，AD∥BC，∴當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y的值不變，∴AD=a，即菱形的邊長是a，∴a?DE＝2a，即DE=4．當(dāng)點(diǎn)P在DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y逐漸減小，∴DB=5，∴BE=，在Rt△DCE中，DC=a，CE=a-3，DE=4，∴a2=42+（a-3）2，解得a=，故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查菱形的性質(zhì)，根據(jù)圖象分析得出a的值是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，過對(duì)角線BD的中點(diǎn)O作BD的垂線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)求證：△DOE≌△BOF；(2)若AB＝6，AD＝8，連接BE，DF，求四邊形BFDE的周長．【答案】(1)見解析(2)25【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)，先得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDO=∠FBO，利用“ASA”證明△DOE≌△BOF即可；（2）根據(jù)EF垂直平分BD，得出BE=DE，設(shè)BE=DE=x，則，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，證明四邊形BFDE為菱形，即可求出其周長．【規(guī)范解答】（1）解：∵O為BD中點(diǎn)，∴BO=DO，∵四邊形ABCD為矩形，∴，，∴∠EDO=∠FBO，∵∠DOE=∠BOF，∴△DOE≌△BOF（ASA）．（2）∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，設(shè)BE=DE=x，則在Rt△ABE中，，即，解得：，∵△DOE≌△BOF，∴DE=BF，又∵，∴四邊形BFDE為平行四邊形，∵，∴四邊形BFDE為菱形，，∴．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)已知條件，利用勾股定理，求出BE的長，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練02】（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)若⊙O的半徑為3，，求的長（結(jié)果保留π）．【答案】(1)證明見解析；(2)【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)已知條件可證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得，等量代換可得，即可得出答案；（2）連接，由（1）中結(jié)論可計(jì)算出的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可計(jì)算出的度數(shù)，再根據(jù)弧長計(jì)算公式計(jì)算即可得出答案．【規(guī)范解答】（1）證明：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴．（2）解：連接，如圖，由（1）得，∵，∴，∴的長．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)與弧長公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，推理能力，幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．【變式訓(xùn)練03】（2022·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，在8×8的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，四邊形ABCD為格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)在格點(diǎn)上），請(qǐng)按以下要求畫出相應(yīng)的格點(diǎn)圖形．(1)在圖1中畫出格點(diǎn)△ABP，使△ABP的面積等于四邊形ABCD的面積．(2)在圖2中畫出格點(diǎn)四邊形ABQD，使四邊形ABQD的面積等于四邊形ABCD的面積，且格點(diǎn)Q不與格點(diǎn)C重合．【答案】(1)圖見解析；(2)圖見解析．【思路點(diǎn)撥】（1）先延長CD、BA交于格點(diǎn)E，求出四邊形ABCD的面積，根據(jù)AB的長度求出AB邊上的高，作圖即可；（2）連接BD，由題意知三角形BCD面積等于三角形BQD面積，即CQ∥BD，過點(diǎn)C作直線l∥BD，找到交點(diǎn)在格點(diǎn)的位置即可．【規(guī)范解答】（1）解：延長CD，BA交于格點(diǎn)E，如圖所示，可得：四邊形ABCD面積=三角形BCE面積－△ADE面積=，∵AB=3，∴三角形ABP中，AB邊上的高為9×2÷3=6，即P點(diǎn)在距離AB為6個(gè)單位長度的直線上，作圖如下（答案不唯一）．（2）解：連接BD，∵四邊形ABQD的面積等于四邊形ABCD的面積，∴三角形BCD面積等于三角形BQD面積，即CQ∥BD，過點(diǎn)C作直線l∥BD，直線l上在格點(diǎn)處即為Q點(diǎn)位置，作圖如下（答案不唯一）．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了格點(diǎn)中的應(yīng)用設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握三角形面積公式，難點(diǎn)在于利用同底等高的三角形面積相等作圖．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析07特殊平行四邊形（正方形）判定與性質(zhì)應(yīng)用（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形的邊上有一點(diǎn)，，垂足為，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，點(diǎn)恰好落在點(diǎn)處，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形是正方形；③，④．其中結(jié)論正確的序號(hào)是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【思路點(diǎn)撥】答案有誤，延長交于，連接，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余得出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，得出即可判斷①，根據(jù)題意得出四邊形是矩形，由即可判斷②，進(jìn)而得出，根據(jù)判斷③，根據(jù)勾股定理以及等角對(duì)等邊可得，得出，由四邊形是正方形，得出，即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，延長交于，連接，∵，∴，∵，∴，∵將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，∴，∴，∴，∴，故①正確；∵四邊形是矩形，∴∵∴四邊形是矩形，又∵，∴矩形是正方形，故②正確；∴，∴，故③正確；∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴又∵四邊形是正方形，∴，∴，故④錯(cuò)誤，∴正確的是：①②③，故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，邊長為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，求得的長，勾股定理求得的長，進(jìn)而根據(jù)即可求解．【規(guī)范解答】如圖，連接,，邊長為的正方形內(nèi)接于，即，，，為的直徑，，，分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn)，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，．故選C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練02】（2022秋·江蘇·九年級(jí)周測）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，O是BA上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)P，與AC相切于點(diǎn)D，已知AB=8，⊙O的半徑為r．(1)如圖1，若AP=DP，則⊙O的半徑r值為_______；(2)求BC=6，求⊙O的半徑r長；(3)若AD的垂直平分線和⊙O有公共點(diǎn)，求半徑r的取值范圍．【答案】(1)(2)3(3)【思路點(diǎn)撥】（1）連接OD，由切線的性質(zhì)可得∠ADO=90°，由AP=DP，得∠PDA=∠A，再由等角的余角相等證明∠PDO=∠POD，則AP=OP=OB=r，列方程可求出r的值；（2）連接OC、OD，由勾股定理求出AC的長，再根據(jù)面積等式列方程即可求出r的值；（3）設(shè)AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)F，與的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E，當(dāng)EF與相切時(shí)r的值最小，可求出r的最小值；再由OB+OD<OB+OA，列不等式求得r<4，即可求出r的取值范圍；【規(guī)范解答】（1）解：如圖1，連接OD，∵與AC相切于點(diǎn)D，∴，∴∠ADO=90°，即∠PDO+∠PDA=90°，∠POD+∠A=90°，∵AP=DP，∴∠PDA=∠A，∴∠PDO=∠POD，∴DP=OP=OB，∴AP=OP=OB=r，∵AB=8，∴3r=8，∴，故答案為：．（2）解：如圖2，連接OC、OD，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．（3）解：設(shè)AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)F，與的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E，如圖3，當(dāng)EF與相切時(shí)，r的值最小，設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)E，連接OD、OE，則，∵∠EFD=∠ODF=∠OEF=90°，∴四邊形ODFE是矩形，∵OD=OE，∴四邊形ODFE是正方形，∴∵，∴，解得，（不符合題意，舍去），∴r的最小值為；如圖4，當(dāng)時(shí)，直線EF與相交，∵OD<OA，∴OB+OD<OB+OA，∴2r<8，∴r<4，∴r的取值范圍是；【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、切線長定理、勾股定理、用不等式求取值范圍等知識(shí)與方法，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，屬于考試壓軸題．【變式訓(xùn)練03】（2019·河北唐山·統(tǒng)考二模）關(guān)于邊形，甲、乙、丙三位同學(xué)有以下三種說法：甲：五邊形的內(nèi)角和為乙：正六邊形每個(gè)內(nèi)角為丙：七邊形共有對(duì)角線14條（1）判斷三種說法是否正確，并對(duì)其中你認(rèn)為不對(duì)的說法用計(jì)算進(jìn)行說明（2）若邊形的對(duì)角線共35條，求該邊形的內(nèi)角和【答案】（1）甲、乙的說法不正確；丙的說法正確，理由詳見解析；（2）1440°【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角和分別驗(yàn)證甲、乙的說法，根據(jù)多邊形的對(duì)角線公式計(jì)算得出七邊形的對(duì)角線條數(shù)是14條即可判斷丙的說法；（2）根據(jù)題意列方程求出n，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出內(nèi)角和即可.【規(guī)范解答】解(1)甲、乙的說法不正確；丙的說法正確，甲：正五邊形的內(nèi)角和為，乙：正六邊形外角和為，每個(gè)外角為，每個(gè)內(nèi)角為（其他方法也可）；(2)，解得：（舍去），∴該多邊形的內(nèi)角和是.【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查多邊形的內(nèi)角和定理，外角和度數(shù)，對(duì)角線條數(shù)公式，解一元二次方程求邊數(shù).易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析08四邊形綜合應(yīng)用。矩形、菱形、正方形有各自成立的前提條件，解題時(shí)應(yīng)明確矩形、菱形、正方形的判定定理，不要混淆。平行四邊形的兩條對(duì)角線把其分割為4個(gè)三角形，其中相對(duì)的兩個(gè)互相全等；矩形的兩條對(duì)角線把其分割為4個(gè)等腰三角形，其中相對(duì)的兩個(gè)互相全等；菱形的兩條對(duì)角線把其分割為4個(gè)全等的直角三角形；正方形的兩條對(duì)角線把其分割為4個(gè)全等的等腰直角三角形.解題時(shí)要充分應(yīng)用這些三角形的特征，注意它們的聯(lián)系與區(qū)別。（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)即停．(1)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，能將矩形ABCD的面積分成兩部分？(2)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)之間的距離是？【答案】(1)2秒(2)秒【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，將用t表示出來，跟為梯形的面積占2份和5份兩種情況進(jìn)行討論即可；（2）過P點(diǎn)作，垂足為M點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，依題意得：∵，∴．∴，．∴，，解得，解得（舍），∴運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，能將矩形ABCD的面積分成兩部分．（2）如圖，過P點(diǎn)作，垂足為M點(diǎn)，∴，，∴，∴，即∴或（舍去），∴時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查矩形的動(dòng)點(diǎn)問題，勾股定理和用平方根的定義解方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意做出合適的輔助線，利用勾股定理解答是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）【圖形定義】有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．【問題探究】(1)如圖①，已知矩形是“等鄰邊四邊形”，則矩形___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；(2)如圖②，在菱形中，，，動(dòng)點(diǎn)、分別在、上（不含端點(diǎn)），若，試判斷四邊形是否為“等鄰邊四邊形”？如果是“等鄰邊四邊形”，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說明理由；此時(shí)，四邊形的周長的最小值為___________；【嘗試應(yīng)用】(3)現(xiàn)有一個(gè)平行四邊形材料，如圖③，在中，，，，點(diǎn)在上，且，在邊上有一點(diǎn)，使四邊形為“等鄰邊四邊形”，請(qǐng)直接寫出此時(shí)四邊形ABEP的面積可能為的值___________．【答案】(1)一定(2)四邊形是“等鄰邊四邊形”，理由見解析，四邊形的周長最小值為(3)或或14【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等鄰邊四邊形的定義和正方形的判定可得出結(jié)論；（2）如圖②中，結(jié)論：四邊形是等鄰四邊形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；（3）如圖③中，過點(diǎn)作于，點(diǎn)作于N，則四邊形是矩形．分三種情形：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，分別求解即可．【規(guī)范解答】（1）∵四邊形的鄰邊相等，∴矩形一定是正方形；故答案為：一定；（2）如圖②，四邊形是等鄰四邊形；理由：連接．∵四邊形是菱形，∴，，∴，都是等邊三角形，∴

，，∵，∴，∴，∴，，∴四邊形是等鄰四邊形，∴，∵，∴的值最小時(shí)，四邊形的周長最小，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)，，∴四邊形的周長的最小值為．（3）如圖③中，過點(diǎn)作于，點(diǎn)作于N，則四邊形是矩形．∵，，∴，，∵，∴，①當(dāng)時(shí)，．②當(dāng)時(shí)，設(shè)，在中，∵，∴，∴，∴．③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與重合，此時(shí)．．綜上：四邊形的面積為或或14．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了“等鄰邊四邊形”的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，梯形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．【變式訓(xùn)練02】（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，．如果點(diǎn)E由點(diǎn)B出發(fā)沿方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F由點(diǎn)D出發(fā)沿方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別為和．已知，分別交，于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）．(1)連接，，當(dāng)_____s時(shí)，四邊形為平行四邊形；(2)連接，若的面積為，求t的值；(3)若與相似，求t的值．【答案】(1)(2)t的值為2(3)t的值為或或【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意分別表示出，的代數(shù)式，令即可得出答案；（2）由題意知，，，，，根據(jù)的面積為，構(gòu)建方程求出t即可．（3）分四種情況進(jìn)行討論：去①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，時(shí)；③當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)右側(cè)時(shí)，時(shí)；④當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)右側(cè)時(shí)，時(shí)；分別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)列方程求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：∵四邊形是矩形，∴根據(jù)題意得：，∵，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴,即，解得：，故答案為：；（2）由題意知，，，，，∵，∴，即，∴，∴，即，∴，∵的面積為，∴，∴，即t的值為2；（3）∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，時(shí)，∴，∴，∴，由（2）知，，∴，∴，即t的值為2．當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，時(shí)，,∵，∴,∵,∴，∴，即,∴，∴，∴，∴；當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)右側(cè)時(shí)，時(shí)，，則,即，解得：，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)右側(cè)時(shí)，時(shí)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，不符合題意；綜上所述：若與相似，t的值為或或．【考點(diǎn)評(píng)析】本題屬于相似形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程，屬于中考?？碱}型．一、選擇題1．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)南京市第二十九中學(xué)?？奸_學(xué)考試）四邊形的對(duì)角線和相交于點(diǎn)O．有下列條件：①；②；③；④矩形；⑤菱形；⑥正方形．則下列推理正確的是（）A．②③→⑥ B．①②→⑤ C．①④→⑤ D．②⑤→⑥【答案】D【思路點(diǎn)撥】由菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案．【規(guī)范解答】解：∵由②③對(duì)角線相等，對(duì)角線互相垂直，不能判斷四邊形是正方形，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵由①可得四邊形是平行四邊形，再由②，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵由①可得四邊形是平行四邊形，再由④，四邊形是矩形，不能判定四邊形是菱形，∴選項(xiàng)C不符合題意；∵由②⑤，對(duì)角線相等的菱形是正方形，∴選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，掌握菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形中，于點(diǎn)，分別交于點(diǎn)，的延長線于點(diǎn)，且．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，從而利用平行線的性質(zhì)可得，，然后證明8字模型相似三角形，從而利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：四邊形是菱形，，，，，，，，，故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握8字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）正方形、矩形、菱形都具有的特征是（）A．對(duì)角線互相平分 B．對(duì)角線相等C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角線平分一組對(duì)角【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)進(jìn)行分析，三者都是平行四邊形，從而得到答案．【規(guī)范解答】解：A、三者均具有此性質(zhì)，故正確；B、菱形不具有此性質(zhì)，故不正確；C、矩形不具有此性質(zhì)，故不正確；D、矩形不具有此性質(zhì)，故不正確；故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了正方形、矩形、菱形的性質(zhì)．4．（2022秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)，連接，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】勾股定理求出，作于M，證明，得到，由此求出，然后根據(jù)勾股定理即可得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，作于M，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，圖象對(duì)稱軸為y軸，開口向上，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，，∴y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為A，故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．5．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，點(diǎn)在拋物線的圖像上，則的值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【思路點(diǎn)撥】作軸于，于，根據(jù)四邊形是正方形，得到，由得到，從而可以證明，從而得到，設(shè)，根據(jù)邊對(duì)應(yīng)相等求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式即可求出的值．【規(guī)范解答】解：如圖所示，作軸于，于，四邊形是正方形，，，，，（AAS），，設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，解得，，點(diǎn)在拋物線的圖像上，，解得：，故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，得出點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，，則的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【思路點(diǎn)撥】連接、，由平行四邊形的性質(zhì)得出，證明四邊形是平行四邊形，得出，由平行線得出，設(shè)，則，證明是的中位線，由三角形中位線定理得出，得出，由勾股定理得出方程，求出，得出，在中，由勾股定理求出，即可得出的長．【規(guī)范解答】解：如圖所示：連接、，四邊形是平行四邊形，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，，，，設(shè)，則，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，是的中位線，，，，由勾股定理得：，即，，，，，在中，，，故選：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、三角