（滬教版2020必修一）2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步精講精練-第17講 函數(shù)

第17講函數(shù)

H函數(shù)的定義

函數(shù)的定義域，值域

知識(shí)梳理

表示方法：解析法、列表法、圖像法

［分段函數(shù)

H函數(shù)的定義域

函數(shù)相同

函數(shù)值與函數(shù)值域

題型探究一函數(shù)圖像

“今函數(shù)的定義域，解析式

函數(shù)的解析式

分段函數(shù)

求函數(shù)解析式的方法：恃定系數(shù)法、澳配法、換元法

課堂總結(jié)值域：觀察法、配方法、分離常數(shù)法、操元法

誤區(qū)：求值域與解析式的時(shí)候,勿忘記定義域

課后作業(yè)

數(shù)的定義

一般地，設(shè)。是非空的實(shí)數(shù)集,且對(duì)。中任意給定的實(shí)數(shù)生按照某種

確定法則，都有唯一確定的實(shí)數(shù)值y與之對(duì)應(yīng)，則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為集

合￡)上的一個(gè)函數(shù)(function)記作

定義

y=#x),x^D.

其中x叫做自變量(independentvariable),其取值范圍(數(shù)集D)稱為

該函數(shù)的定義域(domain).

對(duì)于自變量如由法則/所確定的沏所對(duì)應(yīng)的值州，稱為函數(shù)在沏處的函

函數(shù)值

數(shù)值，記作州成加.

值域所有函數(shù)值組成的集合3y=/U),xW。｝稱為這個(gè)函數(shù)的值域.

對(duì)應(yīng)

兩個(gè)y=/(x),xWD

關(guān)系

要素

定義域工的取值范圍

如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都完全一致，就稱這兩個(gè)函數(shù)是相同

函數(shù)相同

的.(同一個(gè)對(duì)應(yīng)法則可能有不同的表述形式.)

題型一、函數(shù)的定義域

［例1］求下列函數(shù)的定義域:

C1⑵尸舄;

(1)y=3-y

\J5-xJx+1

⑶(4)y=

d-x2-3x+4

⑸(2020秋?福州期末)函數(shù)/^)=>/7n+1(g(3-力的定義域?yàn)?)

A.(0,3)B.(1,+8)C.(1,3)D.[1,3)

(6)(2021?浙江模擬)函數(shù)3，=,_/+*+6+-!-的定義域?yàn)?)

x-1

A.[-2,3]B.[-2,1)U(1,3]C.(-00,-2]U[3,+oo)D.(-2,1)U(1,3)

【答案】(1)R;(2)(-2,-l)u(T+oo);(3)(—3,―卜3,3)—(3,5]；(4)(-1,1)；(5)。；(6)8

【解析】(1)函數(shù)y=3-；x的定義域?yàn)镽.

(2)由于。的零次寨無意義,故x+1和,即在一1.又x+2>0,即x>一2,

所以函數(shù)尸竽當(dāng)?shù)亩x域?yàn)?-2,-1)5-1,長0)

(3)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足

：了"°'解得爛5,且沒￡3,

|X|-3H0,

三的定義域?yàn)?_3,+oo)u(-3,3)u(3,5].

所以函數(shù)丫=

W-3

(4)要使函數(shù)?有意義，則即產(chǎn)T,

-X2-3X+4>0,［(X+4)(X-1)<0,

解不等式組得一1夕vl.因此函數(shù)%)的定義域?yàn)?11).

(5)由題意得：卜-120,解得：】。<3,

［3-x>0,

故函數(shù)的定義域是［1,3),

故選：D.

⑹由題意得：卜2+X+6N0,解得一2力<1,且1—3,

［尤-1工0,

故選：B.

g

，方法總結(jié)：求函數(shù)的定義域應(yīng)關(guān)注四點(diǎn)

(1)要明確使各函數(shù)表達(dá)式有意義的條件是什么，函數(shù)有意義的準(zhǔn)則一般有：①分式的分母不為0;②偶次根

式的被開方數(shù)非負(fù)；③y=x°要求/0.

(2)不對(duì)解析式化簡變形，以免定義域變化.

(3)當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域是使得各式子都有意義的

公共部分的集合.

常見函數(shù)定義域的求法

類型X滿足的條件

7/⑼亦2）於心0

2"近（》）（"€立）府)有意義

」一與［/U）］°

〃x）危)和

log或0(。>0且存1)段）>0

</幻3>0且存1)7U)有意義

四則運(yùn)算組成的函數(shù)各個(gè)函數(shù)定義域的交集

實(shí)際問題使實(shí)際問題有意義

1

y=--------

【例2】（1）（2018?上海市南洋模范中學(xué)高一月考）函數(shù)x-2a,當(dāng)x=2時(shí)沒有意義，則“=.

【答案】1

【解析】當(dāng)x=2時(shí)沒有意義，即2-2a=0時(shí)函數(shù)無意義，解得”=1

故答案為：1

⑵（2。20?上海市新場中學(xué)高一月考）已知函數(shù)〃》）=肅1的定義域是R,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】。制

x—4

【解析】解:v/(x)=的定義域是R，

nvc+4〃a+3

即對(duì)任意的xwR，都有twc2+4/nr+3w0，

當(dāng)m=Q時(shí)，顯然滿足題意,

當(dāng)m，0時(shí)，則有△=（4m）2—4x3,?/=16tn2—\2/n<0,

3

解得：0v〃7<：,

綜上所述：me0,*

*

'題型二、函數(shù)相同

■【例3】下列各組函數(shù)：

①/（x）=土二,g（x）=x-1；

X

②/（x）=五，g（x）=_L；

③Z(x)=47T->f\^X,g(x)=A/1-X2；

④/U)=J(X+3)2，g(x)=x+3；

⑤汽車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系々)=80/(0生5)與一次函數(shù)^(x)=80x(0<x<5).

其中表示同一個(gè)函數(shù)的是(填上所有正確的序號(hào)).

【答案】③⑤

【解析】①不是同一個(gè)函數(shù)，定義域不同，7U)定義域?yàn)榭陔H0},g(x)定義域?yàn)镽.

1

②不是同一個(gè)函數(shù),對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,火x)=g(x)=4x-

忑

③是同一個(gè)函數(shù)，定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同.

④不是同一個(gè)函數(shù)，值域不同，/巨0,g(x)￡R.

⑤是同一個(gè)函數(shù)，定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同.

Q

"方法總結(jié)：判斷兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)應(yīng)注意的三點(diǎn)

(1)定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是同一個(gè)函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是

同一個(gè)函數(shù).

(2)函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的.

(3)在化簡解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形.

A題型三、函數(shù)的函數(shù)值與值域

“【例4】設(shè)_/U)=2X2+2,g(x)=_,

x+2

(1)求貝2),。。+3),g(a)+g(0)(存一2),g認(rèn)2))；

(2)求g(")).

【答案】(1)/(2)=10：4。+3)=2。2+124+20；g(〃)+g(0)=_!_-2)；g(fi2))=±.

a+2212

(2)g5?)=「!

2X2+4

【解析】⑴因?yàn)殪?="+2,

所以直2)=2x22+2=10,

犬4+3)=2(“+3)2+2=2/+12a+20.

因?yàn)間(x)=?,

X+2

所以g(a)+g(0)=_J_+=_J_+1(時(shí)-2).

a+20+2a+22

g(/(2))=g(10)=」一=L

10+212

(2)g(/U))=——=_J_.

2^+2+22X2+4

,總結(jié)：函數(shù)求值的方法

(1)已知_/(x)的表達(dá)式時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的x即得人。)的值.

(2)求負(fù)g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則.

&【例5】求下列函數(shù)的值域：

(l)y=2x+l,x6{1,2,3,4,5}；

(2)y=Vx+1；

(3)y=]2—4%+6,

(4)y=3*+2

x-1

【答案】(l)ye{3,5,7,9,U};(2);(3);(4).

【解析】(l)??1y=2x+l,fixe{1,2,3,4,5),

{3,5,7,9,11}.

???函數(shù)的值域?yàn)閧3,5,7,9,11}.

(2)；&K),...石+1NL.?.函數(shù)的值域?yàn)閇1,+00).

⑶配方得y=(x-2)2+2」.”en，5],畫函數(shù)圖象如圖所示，由圖知，29W11,即函數(shù)的值域?yàn)閇2,11].

(4)力=主&3(1)+5=3+、3,

x-1x-1x-1

函數(shù)的值域?yàn)?-8,3)U(3,+00).

\。

Z總結(jié)：求函數(shù)值域的方法

(1)觀察法：對(duì)于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到.

(2)配方法：此方法是求“二次函數(shù)類“值域的基本方法，即把函數(shù)通過配方轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方法.

(3)分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類''的形式，便于求值域.

(4)換元法：對(duì)于一些無理函數(shù)(如麗，通過換元把它們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，然后利用有理函數(shù)求

值域的方法，間接地求解原函數(shù)的值域.

常見函數(shù)的值域

1.一次函數(shù)/(x)=ax+優(yōu)存0)的定義域?yàn)镽,值域是R.

2.二次函數(shù)於)=ox2+bx+c(存0)的定義域是R,

當(dāng)”>0時(shí)，值域?yàn)?一一/收],

.4aJ

當(dāng)〃<0時(shí)，值域?yàn)椤?,絲￡心一.

I4“一

【例6】(2020.上海師大附中高三期中)若函數(shù)y=2二的值域是(9,0)U[3,E),則此函數(shù)的定義

X—1

域?是—.

【答案】

【解析】

令尸9上r—<1=0得X=I；,令尸三2_r—一1=3得x=2,

x-12x-\

Or_1Or_OI11?Y_1

函數(shù)y==2+9,則原函數(shù)在（—J）上單調(diào)遞減，在。,也）上遞減，畫出函數(shù)丫=三1

X—1X-71X-1X—1

的圖象如圖所示：

山函數(shù)丫=生?的圖象可知，當(dāng)值域?yàn)椋ā?0）U［3,w）時(shí)，定義域應(yīng)為

x-l\）

故答案為：g,l卜（1,2］.

k拓展、抽象函數(shù)的定義域

“【例7］（1）已知函數(shù)y（x）的定義域?yàn)椋ㄒ?,1）,則函數(shù)g（x）=/1|^+yu—1）的定義域是

【答案】（0,2）

［解析】由題意知,T<5<L即t2c<2,

110<x<2,

［-1<x<l,1i

解得（Xx<2,于是函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?,2）.

⑵已知函數(shù)y="-1）的定義域?yàn)椋?右,G］，則函數(shù)y=>（x）的定義域?yàn)?

【答案】［-1,21

【解析】由題意知力，則一1與2-1%

即函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?/p>

概念延伸

⑴抽象函數(shù)的概念

沒有給出具體解析式的函數(shù)，稱為抽象函數(shù).

(2)復(fù)合函數(shù)的定義

如果函數(shù)y守⑺的定義域?yàn)锳,函數(shù)r=g(x)的定義域?yàn)?。，值域?yàn)镃,則當(dāng)時(shí)，稱函數(shù)月(g(x))為/與g在。

上的復(fù)合函數(shù).其中r叫做中間變量尸g(x)叫做內(nèi)層函數(shù),)討r)叫做外層函數(shù).

\。

，總結(jié)：1.已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法

(1)簡單函數(shù)的定義域：若./U)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運(yùn)算構(gòu)成的，則它的定義域?yàn)楦骰境醯?/p>

函數(shù)的定義域的交集.

(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對(duì)應(yīng)的內(nèi)層函數(shù)自變量

的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可.

■總結(jié)：2.抽象函數(shù)的定義域的求法

(1)若已知函數(shù)Xx)的定義域?yàn)橐?，b],則復(fù)合函數(shù)次g(x))的定義域由a與(x)助求出.

(2)若已知函數(shù)犬g(x))的定義域?yàn)閇a,勿，則九丫)的定義域?yàn)間(x)在切時(shí)的值域.

提醒：明確定義域是自變量“尤”的取值范圍.

Z、_

舉一反三

1.下列各組函數(shù)中是同一個(gè)函數(shù)的是()

_1

A.}>=*+1與丫=-----B.y=x?+l與$=產(chǎn)+1

X—1

C.y=2x與y=2x(xK))D.y=(%+l)2與丁=/

【答案】B

【解析】A,C選項(xiàng)中兩函數(shù)的定義域不同，D選項(xiàng)中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故A,C,D錯(cuò)誤.

2.已知四組函數(shù)：

?fix)=x,g(x)=(?y；g(x)=收;③A〃)=2〃-1,g(〃)=2"+l(〃eN)；④/(x)=x2—2x—1,g⑺

=F—2f—1.其中是同一個(gè)函數(shù)的是()

A.沒有B.僅有②

C.②④D.②③④

【答案】C

【解析】對(duì)于第一組，定義域不同；對(duì)于第三組，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同；對(duì)于第二、四組，定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系都

相同.

3.(2020秋?北海期末)函數(shù)二1+三的定義域?yàn)?)

A.[0,2)B.(2,+oo)

C.(-oo,2)U(2,+oo)D.[0,2)U(2,+oo)

【答案】D.

2'-1>0,[x>0,

<V

【解析】由題意得：匕-2*0,解得匕*2,

故x的取值范圍是[0,2)U(2,+oo).

故選：D.

4.(2021?山東模擬)函數(shù)---的定義域?yàn)?)

八)lg(2x-l)

A.卜卜B.卜卜C.[x卜>gjiLxwl}D.*卜NJ

【答案】C.

【解析】要使函數(shù)有意義，貝

|lg(2x-l)*0,

得12,得

2

xw1,

即函數(shù)的定義域?yàn)椴凡?gt;拊斗

故選C.

5.（2020秋?濱州期末）函數(shù)"可=/一題式》2）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-2,0]B.（-2,0）C.（-2,0]D.（2+8）

【答案】C.

【解析】要使函數(shù)有意義，則l-k>g2（x+2）X）,得Iog2（x+2）W1,,即（Xx+2W2,得-2E0,

即函數(shù)的定義域?yàn)椋?2,0],

故選C.

2

y=一

6.（2020秋?浦東新區(qū)期末）己知函數(shù)》,x￡[l,2],則此函數(shù)的值域是.

【答案】[1,2J.

1<1<11<-<2.

【解析】解：由1M2,得2x，所以x

2

y--

即函數(shù)X,xe[l,2],的值域?yàn)閇1,2].

故答案為：[1,2].

7.（2021春?遼源期末）函數(shù)的值域是（）

A.（-oo,3]B.（-oo,3）C.（0,3）D.（0,3]

【答案】D.

x2-2x

【解答】令'=/-2X=（1）2-1N-1,則函數(shù)“,仁e0,

33

即/x)G(0,3],

故選D.

log(X4-l),0<X<l

/（x）=,(2

2x,-l<x<0

8.（2021春?北海期末）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-2,0]B.[0,1]C.[0,+co)D.[-2,1]

【答案】D.

log2(x+l),0<x<l

2x,-l<x<0

【解析】解:函數(shù)

當(dāng)0勺區(qū)1時(shí),l<r+l<2,所以，0<log2(x+l)<l；

當(dāng)-10<0時(shí),-2<2x<0.

綜上可得，函數(shù)的值域?yàn)椋?2,1］,

故選D.

3-x,x<2

/(力=,

他為"？的值域?yàn)榭?+8）,

9.（2020秋?揚(yáng)中市校級(jí)期末）已知a>0,且在1,,若函數(shù)a的取值

范圍是（）

2

A.B.(l,+oo)C.(1,2)D.(1,2J

【答案】D.

【解析】因?yàn)闋€2,時(shí),Xx）G［l,+oo）,且人x）的值域?yàn)椋跧,+8）,

00

又因?yàn)閤>2時(shí)/W的值域?yàn)椋?,+）的子集，此時(shí)log,A>log（,2>l,

所以l<a<2,

所■以，”的取值范圍是(1,2].

故選D.

10.(2020?唐山市豐潤區(qū)第二中學(xué)高一月考)若函數(shù)產(chǎn)/^+的―2)x+4對(duì)于一切R恒成立,則求實(shí)數(shù)，”的

取值范圍.

【答案】[-2,6]

【解析】由條件可知:函數(shù)定義域?yàn)镽,即d+(/n-2)x+4Z0對(duì)xeR恒成立,

所以△=(相一2)2-16<0,解得一2k加46,所以加的取值范圍是[-2,6].

11.(1)若函數(shù)的定義域是[—1,1],則,/)的定義域?yàn)?./(logM)的定義域?yàn)?

【答案】；，2;[V2,4]

1

2

2-

【解析】由一1人1得2飛20,即/2"2,所以"r)的定義域?yàn)?，?<log2JC<2,即"g22<log2X<log2

22,得行M4,所以函數(shù)川ogd)的定義域?yàn)閇收，4].

(2)(2020.重慶模擬)已知函數(shù)1x)=ln(—x—f),則函數(shù)負(fù)2%+1)的定義域?yàn)?/p>

【答案】

【解析】由一x-x2>0得一l<x<0,即火x)的定義域?yàn)?-1,0),

1

由一l<2r+l<0得一1?一5,所以函數(shù)12x+l)的定義域?yàn)镮2人

數(shù)的表示方法

1.函數(shù)的表示法

解析法：用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)法則，這種表示函數(shù)的方法稱為解析法.

列表法：通過列出自變量的值與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的相應(yīng)表格來表達(dá)函數(shù)關(guān)系的方法.

圖像法：利用函數(shù)的圖像來表示函數(shù)的方法.

提醒：兩個(gè)函數(shù)的值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但兩個(gè)函數(shù)不一定相同，例如，函數(shù)加0=園，xd[0,2]與函數(shù)

心)=h|,xG[-2,0].

2.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這樣的函數(shù)通常叫做分

段函數(shù).分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

提醒：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段

值域的并集.

3.函數(shù)的三種表示法的優(yōu)缺點(diǎn)比較

優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)聯(lián)系

列

不需要計(jì)算就可以直接

只能表示出自變量取較少的

表看出與自變量的值相對(duì)

有限值時(shí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

應(yīng)的函數(shù)值

法

圖

只能近似地求出自變量所對(duì)

能形象、直觀地表示出函

解析法、圖象法、列表法各有各的優(yōu)缺點(diǎn)，

象應(yīng)的函數(shù)值，而且有時(shí)誤差較

數(shù)的變化情況

面對(duì)實(shí)際情境時(shí)，我們要根據(jù)不同的需要選

大

法

擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)

(1)簡明、全面地概括了變

解

量間的關(guān)系.

不夠形象、直觀、具體，而且

析并不是所有的函數(shù)都能用解

⑵通過解析式可以求出

析式來表示

任意一個(gè)自變量所對(duì)應(yīng)

法

的函數(shù)值

題型一、函數(shù)圖像

?【例8】⑴設(shè)M={x|O心2},N={y|O型2},給出下列四個(gè)圖形：

7

ikIZL111-k■

of12io|12Xo|12x0|2x

①②③④

其中，能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】①中，因?yàn)樵诩侠挟?dāng)1<區(qū)2時(shí)，在N中無元素與之對(duì)應(yīng)所以①不是；

②中，對(duì)于集合M中的任意一個(gè)數(shù)x,在N中都有唯一的數(shù)與之對(duì)應(yīng),所以②是；

③中，x=2對(duì)應(yīng)元素y=3CN,所以③不是；

④中，當(dāng)x=l時(shí)，在N中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，所以④不是.

因此只有②是.故選B.

(2)(2020秋?眉山期末)下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系y=/(x)的是()

A.O\B.O\

C.>XD.o|

【答案】D

【解析】根據(jù)函數(shù)的定義知，一個(gè)x有唯一的y對(duì)應(yīng)，由圖象可看出，只有選項(xiàng)。的圖象滿足這一點(diǎn).

故選D.

g

.方法總結(jié)：

(1)判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法

T兩非空實(shí)數(shù)集A，B|—

|函教的概念|--H一對(duì)一或多樂二］----------作出判斷|

-T.4中不能有剩余元素］---

(2)根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法

①任取一條垂直于X軸的直線/;

②在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線/;

③若/與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則不是函

數(shù).

L題型二、分段函數(shù)

~x~+1,0<x<1,

W【例9】(1)(分段函數(shù)定義域、值域)函數(shù)次x)=，0,x=0,的定義域?yàn)?，值域?yàn)?

x2一1,-1<x<0

【答案】(T,1)(T，1)

【解析】由已知得定義域?yàn)閧x［0<r<l}U{0}U{x|-lv<0}={x|-Kl},即(一1,1)；

又當(dāng)0<5<1時(shí)，0<-%2+1<1；

當(dāng)一la<0時(shí)，-15—1c0,

當(dāng)x=0時(shí)，/x)=0,故值域?yàn)?-1,0)U{0}U(0,1)=(-1,I).

xO

，總結(jié)：

(1)分段函數(shù)定義域、值域的求法

①分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集；

②分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值域的并集.

(2)絕對(duì)值函數(shù)的定義域、值域通常要轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來解決.

x+l,x<-2,

⑵(分段函數(shù)求值)已知函數(shù),危)=，/+2匚-2<x<2,試求R5),.穴-G),/同-|]的直

2x-l,x>2.

【答案】火一5）=4；1一百）=3—26；

【解析】由-56（—8,—2].~2,2）>—1e（—00,—2],知人-5）=-5+1=-4,

6）=（一百>+2（一百）

=3—2\/3.

因?yàn)?_*]=_*+1=_3,-2<一|<2,

所以=O[(I+21滬;.

拓展延伸

(變問法)本例條件不變，若<4)=3,求實(shí)數(shù)〃的值.

【答案】a—l或a=2.

【解析】解：①當(dāng)好一2時(shí)，J(a)=a+1,

所以a+1=3,

所以。=2>—2不合題意，舍去.

②當(dāng)一2<a<2時(shí)，。2+24=3,

即層+2”-3=0.

所以(a—1)3+3)=0,

所以a=1或a=-3.

因?yàn)?6(—2,2),一3c(—2,2),

所以a=l符合題意.

③當(dāng)色2時(shí)，2a—1=3,

所以。=2符合題意.

綜合①②③知，當(dāng),/(a)=3時(shí)，。=1或。=2.

，總結(jié)：

(1)分段函數(shù)求函數(shù)值的方法

①確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間；

②代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)歡xo))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

(2)已知函數(shù)值求字母取值的步驟

①先對(duì)字母的取值范圍分類討論；

②然后代入到不同的解析式中；

③通過解方程求出字母的值；

④檢驗(yàn)所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi).

L題型三、函數(shù)的解析式

“【例10]⑴若以)為二次函數(shù)且#))=3,於+2)—/(x)=4x+2,則於)的解析式為

(2)已知人五+l)=x+24，求火x)；

(3)已知/■1+：)=/+地，則於尸.

(4)已知2/+?r)=x(x/0),求J(x).

【答案】(1)/U)=r—x+3(2)/(X)=X2-1(X>1)(3)/—2(立2或爛一2)；⑷工一土.

3x3

【解析】(1)(待定系數(shù)法)設(shè)火x)=(o2+bx+c(嚀0),又/(0)=c=3.

所以yU)=av2+〃x+3,所以y(x+2)—y(x)=n(x+2)2+Z?(x+2)+3—(O￥2+bx+3)=4or+4〃+2〃=4x+2,

所以y=4,所以?=1，

[44+20=2,[^=-1,

所以所求函數(shù)的解析式為./U）=x2—x+3.

（2）方法一（換元法）：令f=?+l,

則X=（f—1）2,侖1,

所以負(fù)1尸+2。-1）=戶一1（侖1），

所以7W的解析式為火x）=》2—1（丘1）.

方法二（配湊法）：+l）=x+2&

—x+2\fx+1—l=（Vx+1）2—1.

因?yàn)?+后1,

所以{r）的解析式為兀0=9一1（應(yīng)1）.

（3）（配湊法）/（1+1]=/+[=（/+2+4}2=（工+!）-2,所以y（x）=（-2（xN2或小一2）.

（4）/（x）+2f（口=》,令x=%

得（5+2加4

于是得關(guān)于./U）與的方程組

解得貢x)=*；(x#0)..

,方法總結(jié)：求函數(shù)解析式的四種常用方法

(1)換元法：設(shè)r=g(x),解出x,代入y(g(x)),求犬。的解析式即可.

(2)配湊法：對(duì)_/(g(x))的解析式進(jìn)行配湊變形，使它能用g(x)表示出來，再用x代替兩邊所有的“g(x)”即可.

(3)待定系數(shù)法：若己知y(x)的解析式的類型，設(shè)出它的一般形式，根據(jù)特殊值確定相關(guān)的系數(shù)即可.

(4)方程組法(或消元法)：當(dāng)同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系中的兩個(gè)之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造方程組求

解.

提醒：應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式時(shí)，務(wù)必保證函數(shù)在換元前后的等價(jià)性.

Z、_

舉一反二

1.若4=00W爛2},B={y\\<y<2},下列圖形中能表示以A為定義域，8為值域的函數(shù)的是()

【答案】B

【解析】A中值域?yàn)?O0W2},故錯(cuò)誤；C,D中值域?yàn)閧1,2},故錯(cuò)誤.

2.(2020年上海高一課時(shí)練習(xí))下列曲線中，可以表示函數(shù)y=/(x)的圖象的是()

【答案】D

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)x=0時(shí)，x=0有兩個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，與函數(shù)的定義矛盾；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)x>0時(shí)，每個(gè)X有兩個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，與函數(shù)的定義矛盾；

對(duì)于c選項(xiàng)，當(dāng)x=o時(shí)，x=o有兩個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，與函數(shù)的定義矛盾：

對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)定義域中每一個(gè)x,都由唯一的y與之對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)的定義.

故選：D.

3.已知函數(shù)1X)=(X2，-"XG,則函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?

【答案】R[0,1]

【解析】由已知得定義域?yàn)閇-1,+oo)U(-oo,-1)=R,又1]時(shí)，必?[0,1],故函數(shù)

的值域?yàn)閇0,1].

4.已知函數(shù)加)=[無-2,X<2,則犬2)=()

|/(x-l),x>2,

A.-lB.0

C.lD.2

【答案】A

【解析[/2)=火2-1)=/(1)=]_2=_1.

5.已知段)=卜+2，*2-2,若於)>2,求x的取值范圍.

[-尤-2,x<-2,

【答案】入>0或x<—4.

【解析】當(dāng)它一2時(shí)，兀0=工+2,

由一)>2,得x+2>2,解得x>0,故X>0；

=

當(dāng)xv—2時(shí)，j(x)—x~2f

由人。>2,得一x—2>2,

解得xv—4,故K—4.

綜上可得，入>0或x<—4.

6.(1)已知於+l)=f—3x+2,求心)；

(2)已知大”)+道一%)=必+2尢，求兀0.

【答案】⑴5X+6次工)=］無2—2x.

【解析】(1)方法一(配湊法)：??7(x+1)=/—3/+2

=。+l)2-5x+1=(x+-5(x+1)+6,

.\J(x)=x1—5x+6.

方法二(換元法)：令I(lǐng)=x+1,則X=Z—1,

?\/W=(r-1)2-30—l)+2=z2-5r+6,

即7U)=x2—5x+6.

(2)因?yàn)閥u)+次一?=爐+2五，①

所以將x換成一居得八一九)+">?)=/-2x.②

②x2一①得3流?=9-6x,

所以於)=52—2x.

7.(2020.廣東華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中高一期中)(1)已知外力是一次函數(shù)，且滿足

3/(x+l)-/(x)=2x+9,求〃%)的解析式.

(2)已知/(6+l)=x+1,求f(x)的解析式，

【答案】(1)/(x)=x+3；(2)/(X)=X2-2X+2(X>1).

【解析】

(1)(待定系數(shù)法)因?yàn)椤癤)是一次函數(shù)，所以設(shè)〃力=奴+仇又因?yàn)?〃x+l)-/(x)=2x+9,所以

f2Z=2\k—\

3[-x+l)+句一(依+b)=2x+9,整理得2H+3Z+抄=2x+9,故。，，、，解得，。，所以/(x)=x+3：

[女+2/7=910=3

(2)(換元法)令6+1=(21),則x=(r—l)2,所以/(/)=?-1)2+1=/一2，+2(d1),即

/(x)=x2-2x+2(x>l).

課堂總結(jié)

I.知識(shí)清單：

(1)函數(shù)的概念.

(2)求函數(shù)的定義域、函數(shù)值、值域.

(3)同一個(gè)函數(shù).

(4)函數(shù)的表示法.

(5)函數(shù)的圖象.

(6)求函數(shù)解析式.

(7)分段函數(shù)的概念及求值.

2.方法歸納：待定系數(shù)法、配方法、換元法、分離常數(shù)法、定義法、分類討論、數(shù)形結(jié)合法.

3.常見誤區(qū)：(1)理解函數(shù)的概念要緊扣函數(shù)的定義.

(2)求函數(shù)的值域時(shí)首先要確定函數(shù)的定義域.

(3)作分段函數(shù)圖象時(shí)要注意銜接點(diǎn)的虛實(shí).

(4)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)要依據(jù)自變量的取值范圍確定對(duì)應(yīng)的解析式.

(5)求函數(shù)解析式時(shí)易忽視定義域.

G)課后作業(yè)

1.（2020年上海高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合〃={x|04x42},N={y|04y42},那么下面的4個(gè)圖形中,

能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有（）

【答案】C

【解析】對(duì)于①，函數(shù)圖象不滿足函數(shù)的定義域"={幻04%42},故錯(cuò)誤;

對(duì)于②，函數(shù)圖象滿足函數(shù)的定義域以及函數(shù)的值域，故正確；

對(duì)于③，函數(shù)圖象滿足函數(shù)的定義域以及函數(shù)的值域，故正確；

對(duì)于④，函數(shù)圖象不滿足函數(shù)的定義（任意的X,存在唯一實(shí)數(shù)/（%）與之對(duì)應(yīng)），故錯(cuò)誤;

故選：C.

2.（2020秋?長寧區(qū)期末）下列四組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)相同的是（）

A.丫=而和y=（?）B.產(chǎn)1和尸0

C.尸?e{0,l}）和尸2（xd{0,l}）D.y="g"/和）=21og〃x

【答案】C

【解析】對(duì)于A,y=JJ的定義域?yàn)镽,）'=（"）為3忘0},定義域不同，兩個(gè)函數(shù)不相同；

對(duì)于B,y=l的定義域?yàn)镽,y=A°的定義域?yàn)?/0},定義域不同，這兩個(gè)函數(shù)不相同：

對(duì)于C,）=x（xC{0,l}）和產(chǎn)x2（xG{0,“）的定義域都是{0,1},尸0時(shí)，對(duì)應(yīng)的y=0；戶1時(shí)，對(duì)應(yīng)的尸1,對(duì)

應(yīng)關(guān)系相同，這兩個(gè)函數(shù)相同；

對(duì)于D,丫=咋"/的定義域?yàn)椋〈ǎ?），=2叱〃的定義域?yàn)椋?gt;0｝,定義域不同，這兩個(gè)函數(shù)不相同.

故選：C.

3.（2020?西安市第八十三中學(xué)高一月考）已知函數(shù).（匕）=2/-3%則”2）等于（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】A

4

【解析】解：令一7=2,則x=l,

所以/（2）=/（匕）=2-3=-1.

故選：A.

4.（2021?上海市控江中學(xué)高一期末）函數(shù)y=l--、的值域是（）

X+1

A.（-00,1）B.（1,+8）C.（-00,1）51,+°°）D.（-oo,+oo）

【答案】C

【解析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知：）'=止!/°，則故值域?yàn)椋▂，1）51，+8）.

故選：C.

1c

x+------,%>2,

5.（2020?合肥模擬）已知函數(shù)抬尸｛x-2則用⑴）=（）

%2+2,x<2,

A.-3B.2

C.4D.11

【答案】C

【解析】因?yàn)槭絣）=P+2=3,所以膽1））=H3）=3+占=4.故選C.

6.(2020甘肅蘭州一中高一月考)若函數(shù)〃尤)=的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

ylmx2-mx+2

A.?8)B.(8,+oo)

C.(0,8)D.(-oo,0)U(8,+oo)

【答案】A.

【解析】?..函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿???不等式的2?必+2>0的解集為R.

①〃尸0吐2>0恒成立，滿足題意；

②用時(shí)，則憶舄m<0解得。<〃,<&

綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是［0,8).

故選A.

7.(2020?上海曹楊二中高一月考)已知四邊形ABC。為正方形，則其面積y關(guān)于周長x的函數(shù)解析式為

■>

【答案】y

16

【解析】???正方形的周長為則正方形的邊長為；(x>0)

4

上2

?..正方形的面積為:y=L

16

2

故答案為：y=—(x>0)

16

8.己知人?=，’「，若H?=—6,則次根-61)=________.

-log2(x+l),x>3

【答案】-4

【解析】依題意知,當(dāng)〃2V3時(shí)，火〃2)=3曠2—5=-6,即3曠2=—1,此時(shí)無解；當(dāng)定3時(shí)，?M=-log2(m

+1)=—6,解得加=63.所以1加一61)=<2)=32-2—5=-4.

9.函數(shù)尸卜2，x>o,的定義域?yàn)開_____，值域?yàn)開_______.

[-2,x<0

【答案】(-8,0)U(0,+oo){-2)U(0,+00)

【解析】定義域?yàn)楦鞫蔚牟⒓?，?一8,0)U(0,+00).

因?yàn)閤>(),所以r>0,由于值域?yàn)楦鞫蔚牟⒓?/p>

所以函數(shù)的值域?yàn)閧—2}U(0,+00).

10.(1)(2020?上海南匯中學(xué)高一期末)若函數(shù)/(x)=6,g(x)=」^,則/(x)+g(x)的定義域?yàn)?/p>

X-1

【答案】[0,1)51,X)

【解析】函數(shù)"X)的定義域是{巾20},函數(shù)g(x)的定義域是{x|x*l},

所以函數(shù)〃x)+g(x)的定義域是{x|xN0}c{x|xxl}=[0,l)u(L田).

故答案為：。1)u(l,內(nèi))

(2)(2020?華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高一期中)函數(shù)y==的定義域?yàn)?/p>

【答案】(0,2]

【解析】因?yàn)閥=J匕生,所以土處20,即主工40,

VxXx

解得0vxW2,

即函數(shù)丫=#三的定義域?yàn)?0,2].

放空案為：(0.2].

(3)(2020.上海位育中學(xué)高三月考)函數(shù)y=也二二的定義域是________.

lg(2x-l)

【答案】(；，1)U(1,2|

【解析】因?yàn)閥=

lg(2x-l)

2x-x2>0

所以<2x-l>0,解得且xHl,

2X-1H1

即函數(shù)產(chǎn)缶T的定義域是［』［u(L2］.

lg(2x-l)(2)

故答案為：(pl］u(l,2］.

(4)(2020?上海高一期末)已知函數(shù)/(x)=萬的值域?yàn)椋?,內(nèi))，則其定義域是

【答案】口,+8)

【解析】,:于(x)=Fi,且73的值域?yàn)椋?,+℃),

Ax-i>o,解得x21,函數(shù)fM的定義域?yàn)椋?,+oo).

故答案為：［L+°o).

(5)(2019.上海外國語大學(xué)附屬大境中學(xué)高一期末)已知/(x+1)的定義域?yàn)椋?,2］,則W的定義域?yàn)?/p>

【答案】[^,1)U(1,1]

【解析】函數(shù)/(x+D的定義域?yàn)閇0,2],

,-.0<x<2,

,-.l<x+l<3,

.?"(x)的定義域?yàn)椋?,3］,

所以幺空中:\<2x<313

解得5-c且I