概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)課件1.2-3隨機(jī)事件的概率

§1.2

隨機(jī)事件的概率概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！大小，也就是事件的概率.研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率一、頻率與概率

1.

頻率即

在相同條件下，進(jìn)行次試驗(yàn)，事件A次，稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻數(shù)；稱(chēng)/為事件A發(fā)生的頻率，記作發(fā)生了比值概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率例1

將一枚均勻的硬幣拋擲500次，A表示正面向上，得到數(shù)據(jù)如下：試驗(yàn)次數(shù)頻數(shù)(A發(fā)生的次數(shù))頻率5002510.502序號(hào)試驗(yàn)次數(shù)頻數(shù)頻率15002510.50225002490.49835002560.51245002530.50655002510.50265002460.49275002440.48885002580.51695002620.524105002470.494頻率的不確定性實(shí)驗(yàn)者實(shí)驗(yàn)次數(shù)頻數(shù)頻率德.摩根204810610.5181蒲豐404020480.5059K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005在充分多次試驗(yàn)中，事件的頻率總在一個(gè)定值附近擺動(dòng)，而且，試驗(yàn)次數(shù)越多，一般來(lái)說(shuō)擺動(dòng)越小.這個(gè)性質(zhì)叫做頻率的穩(wěn)定性.

頻率穩(wěn)定性概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率2.概率定義1

在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行次試驗(yàn)，增大，事件A發(fā)生的當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)附近擺動(dòng)，稱(chēng)這個(gè)頻率在一個(gè)常數(shù)為事件A的概率，記作。數(shù)常概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率概率的統(tǒng)計(jì)定義。關(guān)于頻率和概率的關(guān)系，需要強(qiáng)調(diào)以下事實(shí)：

2.對(duì)于較大的n，n次試驗(yàn)中事件A的頻率，一般與事件A的概率P相差不大，試驗(yàn)次數(shù)n越大，頻率與概率有較大偏差的情形就越少見(jiàn).

1.

頻率是隨著試驗(yàn)的變化而發(fā)生變化的。試驗(yàn)不同，頻率的大小不同；而概率是先于試驗(yàn)而客觀(guān)存在的，無(wú)論進(jìn)行多少次試驗(yàn)，概率始終不變。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率頻率的性質(zhì)：（1）(非負(fù)性)（2）

（正則性）相容的隨機(jī)事件，則（3）（可加性）設(shè)是兩兩互不概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率概率的公理化定義設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，是它的樣本空間，對(duì)于

中的每一個(gè)事件A，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，稱(chēng)為事件A的概率，如果集合函數(shù)滿(mǎn)足下述三條公理:公理3

若事件A1,A2

,…

兩兩互不相容，則有

(3)

這里事件個(gè)數(shù)可以是有限或無(wú)限的.

（可列可加性）公理1

(非負(fù)性）(1)公理2

P()=1（正則性）(2)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率公理1說(shuō)明，任一事件的概率一定大于等于0；公理2說(shuō)明，必然事件的概率為1；公理3說(shuō)明，對(duì)于任何兩兩互不相容（互斥）的事件序列，這些事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之和.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率3.

概率的性質(zhì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率性質(zhì)1;性質(zhì)2(有限可加性）若事件A1,A2

,…,An

兩兩互不相容，則有

性質(zhì)3設(shè)Ａ、B是兩個(gè)事件，若,則有且概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率

性質(zhì)5對(duì)于任一事件A有；性質(zhì)5在概率的計(jì)算上很有用，如果正面計(jì)算事件A的概率不容易，而計(jì)算其對(duì)立事件的概率較易時(shí)，可以先計(jì)算，再計(jì)算P(A).性質(zhì)4對(duì)于任一事件A有;例1

將一顆骰子拋擲4次，問(wèn)至少出一次“6”點(diǎn)的概率是多少？令事件A={至少出一次“6”點(diǎn)}A發(fā)生{出1次“6”點(diǎn)}{出2次“6”點(diǎn)}{出4次“6”點(diǎn)}直接計(jì)算A的概率較麻煩,我們常常先來(lái)計(jì)算A的對(duì)立事件={4次拋擲中都未出“6”點(diǎn)}的概率.{出3次“6”點(diǎn)}概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率稱(chēng)此公式為加法公式。特別地，當(dāng)A、B互不相容時(shí)，有

性質(zhì)6

對(duì)于任意兩個(gè)事件A、B，有三個(gè)事件和的概率為

加法公式推廣到多個(gè)隨機(jī)事件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率

n個(gè)事件和的概率為

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率例1

已知A,B,C是三個(gè)隨機(jī)事件，且計(jì)算：.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率例2

已知隨機(jī)事件A,B，且計(jì)算：.例3P15例1.3.2三.古典概型排列組合的復(fù)習(xí)中任取個(gè)球，有多少種摸法？(1)摸球問(wèn)題個(gè)球，編號(hào)為1，2,…，

，從一個(gè)袋中有種摸法；有放回，且計(jì)摸球次序（回置式抽樣），共有④無(wú)放回，不計(jì)摸球次序，共有種摸法；種摸法；③無(wú)放回，且計(jì)摸球次序（非回置式抽樣），共有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率②有放回，不計(jì)摸球次序，共有種摸法。④每個(gè)盒子容納球不限，球無(wú)區(qū)別，共有種放法。（2）占位問(wèn)題設(shè)有個(gè)有編號(hào)的盒子，個(gè)球，把它們?nèi)我獾胤湃雮€(gè)盒子中，有多少種放法？每個(gè)盒子容納球不限，球有區(qū)別,共有種放法；③每個(gè)盒子至多容納一個(gè)球，球無(wú)區(qū)別，共有種放法；種放法；②每個(gè)盒子至多容納一個(gè)球，球有區(qū)別，共有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率

稱(chēng)這種試驗(yàn)為有窮等可能隨機(jī)試驗(yàn)，具有上述兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概型.若隨機(jī)試驗(yàn)滿(mǎn)足下述兩個(gè)條件：2.古典概型的特點(diǎn)(2)每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.(1)它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率23479108615

例如，一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球.將球編號(hào)為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.3.古典概型的計(jì)算公式記

A={摸到2號(hào)球}

P(A)=?

P(A)=1/1022記

B={摸到紅球}

P(B)=?

P(B)=6/10132456概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,其樣本空間由n個(gè)樣本點(diǎn)組成,事件A由k個(gè)樣本點(diǎn)組成.則定義事件A的概率為：

A包含的樣本點(diǎn)數(shù)

P(A)＝k/n＝中的樣本點(diǎn)總數(shù)稱(chēng)此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱(chēng)為古典方法.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率例2

某城市的電話(huà)號(hào)碼由7個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可能是從0-9這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求電話(huà)號(hào)碼由七個(gè)不同數(shù)字組成的概率.例3

一個(gè)教室共有100個(gè)人，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率（設(shè)一年以365

天計(jì)算）。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率球，10只藍(lán)球，從袋任取球兩次，每次任取一只，考慮兩種取球方式：（1）第一次取一只球，觀(guān)察顏色后放回，再取第（2）第一次取一只球不放回，第二次從剩下的球（b）取到兩只球中至少有一只是白球的概率。例4

袋中有100只球，其中有60只白球，30只紅二只（回置式抽樣）；中再取一只（非回置式抽樣）。求（a）取到的兩只球都是白球是概率；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率例5

把20個(gè)隊(duì)分成兩組（每組10隊(duì)）進(jìn)行比賽，求最強(qiáng)的兩隊(duì)分在不同組內(nèi)的概率。例6

設(shè)有20個(gè)零件，其中16個(gè)是一等品，4個(gè)是

二等品，今從中任取3個(gè)，求至少有一個(gè)是一等品的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.2隨機(jī)事件的概率四、幾何概型

古典概率是只是適應(yīng)于具有等可能性的有限樣本空間，若試驗(yàn)結(jié)果無(wú)窮多，他顯然是不適應(yīng)的，下面將古典概型加以推廣。一個(gè)試驗(yàn)被稱(chēng)為幾何概型，若它滿(mǎn)足如下特點(diǎn)：（1）樣本空間是一個(gè)幾何區(qū)域，這個(gè)區(qū)域的大小可以度量。并將的度量記為。（2）任意一點(diǎn)落在度量相同的子區(qū)域內(nèi)是等可能的。即落在中的區(qū)域A