概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)課件2.1隨機(jī)變量 (R.V)與分布函數(shù)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章、隨機(jī)變量及其分布第二章隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量與分布函數(shù)常見分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布做一些隨機(jī)試驗(yàn):§2.1隨機(jī)變量

(R.V)與分布函數(shù)1.擲一粒骰子，觀察其點(diǎn)數(shù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)一個(gè)產(chǎn)品，觀察其質(zhì)量。2.檢查某批產(chǎn)品，其中有正品，廢品，從中任取一、隨機(jī)變量的概念3.袋中有四種顏色的球，紅球，黃球，白球，藍(lán)4.觀察某商場(chǎng)某段時(shí)間到達(dá)顧客的人數(shù)。球，從中任取一只，觀察其顏色。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)例、在一袋中裝有編號(hào)分別為1,2,3的三個(gè)球.從袋中任取一只球,放回,再取一只球,記錄他們的編號(hào).我們對(duì)抽取的兩只球的號(hào)碼之和感興趣,而不關(guān)心各個(gè)球的號(hào)碼.實(shí)驗(yàn)的樣本空間S={(i，j)|i，j=1,2,3}

這里i，j

分別表示第一,第二個(gè)取到的球的號(hào)碼.以X記兩球的號(hào)碼之和,對(duì)于樣本空間的一個(gè)樣本點(diǎn)w

=（i，j），X(w)=i+j.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù).RX().概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)定義1

設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是，如果對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)，都有惟一的實(shí)數(shù)與它相對(duì)應(yīng)，則稱為定義在上的這個(gè)實(shí)值函數(shù)隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為R.V.X。[注]

①

隨機(jī)變量是定義在樣本空間的一個(gè)實(shí)隨機(jī)變量的隨機(jī)性

隨機(jī)變量的取值由試驗(yàn)結(jié)果而定，由于試驗(yàn)結(jié)果是隨機(jī)的，故在試驗(yàn)之前，隨機(jī)變量X究竟取何值事先無(wú)法確定,只有在試驗(yàn)之后，才知道確切值。而隨機(jī)試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果出現(xiàn)有一定概率，故事機(jī)變量取各個(gè)值有一定的概率值函數(shù)，但和普通函數(shù)又有本質(zhì)的差異：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí),一般采用小寫字母x,y,z等.隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)例1

擲一枚骰子，用X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。例2

觀察某儲(chǔ)蓄所一天的儲(chǔ)蓄額，用X

表示X是一個(gè)隨機(jī)變量。X是一個(gè)隨機(jī)變量。一天的儲(chǔ)蓄額。例3

一射手向一目標(biāo)射擊，記X

表示直到命中目X

是一個(gè)隨機(jī)變量。標(biāo)為止所需要的射擊次數(shù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)二、

隨機(jī)變量的分布函數(shù)1.基本概念概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1

隨機(jī)變量與分布函數(shù)隨機(jī)變量X是定義在樣本空間的一個(gè)實(shí)值函數(shù)，若由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，則可定義隨機(jī)事件簡(jiǎn)記為,。例1、將一枚硬幣連續(xù)拋擲3次，觀察正反面出現(xiàn)的情況因此樣本空間Ω={HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT}，若以X記三次投擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)。則我們有樣本點(diǎn)HHHHHTHTHTHHTTHTHTHTTTTTX的值32221110{X=1}={TTH，THT，HTT};{X=2}={HHT，HTH，THH};{X=3}={HHH};{X=0}={TTT}概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)我們稱P(A)=P({HHT，HTH，THH})

為{X=2}的概率，即P({X=2})=P(A)=3/8.

更一般的，若I是實(shí)數(shù)的集合，{XI}

記為事件B，即{XI}

=B={w

Ω|X(w)I}

于是

P(XI)=P(B)=P({w

Ω|X(w)I}).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)為了研究隨機(jī)變量的概率規(guī)律，必需且只需掌握X各種取值的概率。由于x|R稱F(x)為X的分布函數(shù).記作X～F(x)。定義1設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，如果對(duì)于有1）若將X看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那的概率；么分布函數(shù)F(x)

的值就表示X落在區(qū)間[注]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1

隨機(jī)變量與分布函數(shù)因此，只需要知道事件的概率就夠了。3）在中，X是隨機(jī)變量,x是參變量，F(xiàn)(x)是隨機(jī)變量X取值不大于

x的概率；P(x1<Xx2

)=P(Xx2

)–P(Xx1

)4）對(duì)任意實(shí)數(shù)x1<x2，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間(x1,x2

]的概率為：2）分布函數(shù)的定義域?yàn)?，分布函?shù)的值域?yàn)閇0，1]；=F(x2)-F(x1)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1

隨機(jī)變量與分布函數(shù)

分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過(guò)它，我們可以用微積分的工具來(lái)研究隨機(jī)變量.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1

隨機(jī)變量與分布函數(shù)5）分布函數(shù)

F(x)的引進(jìn)把對(duì)于隨機(jī)變量的概率計(jì)算轉(zhuǎn)化為對(duì)分布函數(shù)的數(shù)值計(jì)算。2.分布函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2

分布函數(shù)關(guān)于是單調(diào)不減函數(shù);性質(zhì)4

至多有可列個(gè)間斷點(diǎn)，且在間斷點(diǎn)上右連續(xù)。即。性質(zhì)1性質(zhì)3概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)例2、驗(yàn)證函數(shù)滿足分布函數(shù)的四個(gè)基本性質(zhì)(該分布函數(shù)通常稱為柯西分布)。

設(shè)隨機(jī)變量X僅有有限或可數(shù)多個(gè)可能的取值，則稱這種隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。要知道隨機(jī)變量X的取值，而且還應(yīng)知道X取每個(gè)值的概率.三、離散型隨機(jī)變量為了描述離散型隨機(jī)變量X

，我們不僅需概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)

這樣，我們就掌握了X這個(gè)隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.從中任取3個(gè)球取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量X可能取的值是0,1,2例1且隨機(jī)變量X取每個(gè)值的概率為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)定義1

設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取值為

,稱為離散型隨機(jī)變量X的分布律.1）其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是概率函數(shù)[注]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)2）離散型隨機(jī)變量X的分布率表示形式（1）列表法：（2）公式法再看例1任取3個(gè)球X為取到的白球數(shù)X可能取的值是0,1,2X~p210X概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)例1

設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求X的分布函數(shù)。0.20.50.3p012X2-3例題\2-3例1.ppt概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)一般地隨機(jī)變量X分布律為

……P

……X則它的分布函數(shù)為：

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)

例2向一半徑為2米的圓盤射擊，設(shè)擊中盤上任一同心圓的概率與該圓的面積成正比，并設(shè)射擊都能擊中圓盤,以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離，求：(1)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)；（2）2-3例題\2-3例2.ppt概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)例3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為：k=0,1,2,…,求常數(shù)a.2-2例題\2-2例2.ppt概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)正品為止，求在取得正品以前已取出的廢品例4

一批零件中有9個(gè)正品和3個(gè)廢品，安裝機(jī)器時(shí)，從這批零件中任取一個(gè)，如果取出的是廢品不再放回，而再取一個(gè)零件，直到取到數(shù)X的分布律。2-2例題\2-2例3.ppt概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)四、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度通過(guò)給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.

下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間,對(duì)這種類型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個(gè)值概率的方式,去給出其概率分布,而是的描述方法.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)一、基本概念定義1

對(duì)于隨機(jī)變量X,如果存在非負(fù)可積函數(shù),使得對(duì)任意的則稱X為連續(xù)型R.V,稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為密度函數(shù)或密度.說(shuō)明：隨機(jī)變量X概率密度不唯一.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)[注]1）概率密度函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)1o2o這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某R.V的密度函數(shù)的充要條件.曲邊梯形面積2）連續(xù)型隨機(jī)變量X的分以直線，x軸以及曲線為邊界的曲邊梯形的面積.布函數(shù)

的幾何意義是：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)3)對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X，有

f(x)xo4）0≤F(x)≤1,表示概率，而f(x)不是，但f(x)的大小，反映R.V取值概率的大小.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)

若x0是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則：6)密度函數(shù)f(x)與分布函數(shù)F(x)的關(guān)系5)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)的注意：密度函數(shù)f(x)不一定連續(xù).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)7）連續(xù)型R.V取任一指定值的概率為0.即：a為任一指定值,這說(shuō)明：（1）對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，有但對(duì)于非連續(xù)型隨機(jī)變量X，在各種區(qū)間(如開區(qū)間或閉區(qū)間)上取值的概率一般地是不相同的。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)8)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.可見，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=Ω概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)確定常數(shù)，并計(jì)算為任意常數(shù)）。例1

已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：例2

已知連續(xù)型隨機(jī)變量X～