概率論與數理統(tǒng)計教學課件2.1隨機變量 (R.V)與分布函數

概率論與數理統(tǒng)計第二章、隨機變量及其分布第二章隨機變量及其分布

隨機變量與分布函數常見分布隨機變量函數的分布做一些隨機試驗:§2.1隨機變量

(R.V)與分布函數1.擲一粒骰子，觀察其點數。概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數一個產品，觀察其質量。2.檢查某批產品，其中有正品，廢品，從中任取一、隨機變量的概念3.袋中有四種顏色的球，紅球，黃球，白球，藍4.觀察某商場某段時間到達顧客的人數。球，從中任取一只，觀察其顏色。概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數例、在一袋中裝有編號分別為1,2,3的三個球.從袋中任取一只球,放回,再取一只球,記錄他們的編號.我們對抽取的兩只球的號碼之和感興趣,而不關心各個球的號碼.實驗的樣本空間S={(i，j)|i，j=1,2,3}

這里i，j

分別表示第一,第二個取到的球的號碼.以X記兩球的號碼之和,對于樣本空間的一個樣本點w

=（i，j），X(w)=i+j.概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數這種對應關系在數學上理解為定義了一種實值函數.RX().概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數定義1

設E是一個隨機試驗，它的樣本空間是，如果對于每一個樣本點，都有惟一的實數與它相對應，則稱為定義在上的這個實值函數隨機變量，簡記為R.V.X。[注]

①

隨機變量是定義在樣本空間的一個實隨機變量的隨機性

隨機變量的取值由試驗結果而定，由于試驗結果是隨機的，故在試驗之前，隨機變量X究竟取何值事先無法確定,只有在試驗之后，才知道確切值。而隨機試驗的各個結果出現有一定概率，故事機變量取各個值有一定的概率值函數，但和普通函數又有本質的差異：概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z等.隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數例1

擲一枚骰子，用X表示出現的點數。例2

觀察某儲蓄所一天的儲蓄額，用X

表示X是一個隨機變量。X是一個隨機變量。一天的儲蓄額。例3

一射手向一目標射擊，記X

表示直到命中目X

是一個隨機變量。標為止所需要的射擊次數。概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數二、

隨機變量的分布函數1.基本概念概率論與數理統(tǒng)計§2.1

隨機變量與分布函數隨機變量X是定義在樣本空間的一個實值函數，若由實數構成的集合，則可定義隨機事件簡記為,。例1、將一枚硬幣連續(xù)拋擲3次，觀察正反面出現的情況因此樣本空間Ω={HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT}，若以X記三次投擲中正面出現的次數。則我們有樣本點HHHHHTHTHTHHTTHTHTHTTTTTX的值32221110{X=1}={TTH，THT，HTT};{X=2}={HHT，HTH，THH};{X=3}={HHH};{X=0}={TTT}概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數我們稱P(A)=P({HHT，HTH，THH})

為{X=2}的概率，即P({X=2})=P(A)=3/8.

更一般的，若I是實數的集合，{XI}

記為事件B，即{XI}

=B={w

Ω|X(w)I}

于是

P(XI)=P(B)=P({w

Ω|X(w)I}).概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數為了研究隨機變量的概率規(guī)律，必需且只需掌握X各種取值的概率。由于x|R稱F(x)為X的分布函數.記作X～F(x)。定義1設X是一個隨機變量，如果對于有1）若將X看作數軸上隨機點的坐標，那的概率；么分布函數F(x)

的值就表示X落在區(qū)間[注]概率論與數理統(tǒng)計§2.1

隨機變量與分布函數因此，只需要知道事件的概率就夠了。3）在中，X是隨機變量,x是參變量，F(x)是隨機變量X取值不大于

x的概率；P(x1<Xx2

)=P(Xx2

)–P(Xx1

)4）對任意實數x1<x2，隨機點落在區(qū)間(x1,x2

]的概率為：2）分布函數的定義域為，分布函數的值域為[0，1]；=F(x2)-F(x1)概率論與數理統(tǒng)計§2.1

隨機變量與分布函數

分布函數是一個普通的函數，正是通過它，我們可以用微積分的工具來研究隨機變量.概率論與數理統(tǒng)計§2.1

隨機變量與分布函數5）分布函數

F(x)的引進把對于隨機變量的概率計算轉化為對分布函數的數值計算。2.分布函數的性質性質2

分布函數關于是單調不減函數;性質4

至多有可列個間斷點，且在間斷點上右連續(xù)。即。性質1性質3概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數例2、驗證函數滿足分布函數的四個基本性質(該分布函數通常稱為柯西分布)。

設隨機變量X僅有有限或可數多個可能的取值，則稱這種隨機變量為離散型隨機變量。要知道隨機變量X的取值，而且還應知道X取每個值的概率.三、離散型隨機變量為了描述離散型隨機變量X

，我們不僅需概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數

這樣，我們就掌握了X這個隨機變量取值的概率規(guī)律.從中任取3個球取到的白球數X是一個隨機變量X可能取的值是0,1,2例1且隨機變量X取每個值的概率為概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數定義1

設離散型隨機變量X所有可能取值為

,稱為離散型隨機變量X的分布律.1）其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）用這兩條性質判斷一個函數是否是概率函數[注]概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數2）離散型隨機變量X的分布率表示形式（1）列表法：（2）公式法再看例1任取3個球X為取到的白球數X可能取的值是0,1,2X~p210X概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數例1

設隨機變量X的分布律為求X的分布函數。0.20.50.3p012X2-3例題\2-3例1.ppt概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數一般地隨機變量X分布律為

……P

……X則它的分布函數為：

概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數

例2向一半徑為2米的圓盤射擊，設擊中盤上任一同心圓的概率與該圓的面積成正比，并設射擊都能擊中圓盤,以X表示彈著點與圓心的距離，求：(1)隨機變量X的分布函數；（2）2-3例題\2-3例2.ppt概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數例3.設隨機變量X的概率函數為：k=0,1,2,…,求常數a.2-2例題\2-2例2.ppt概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數正品為止，求在取得正品以前已取出的廢品例4

一批零件中有9個正品和3個廢品，安裝機器時，從這批零件中任取一個，如果取出的是廢品不再放回，而再取一個零件，直到取到數X的分布律。2-2例題\2-2例3.ppt概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數四、連續(xù)型隨機變量的概率密度通過給出所謂“概率密度函數”的方式.

下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機變量,不能象離散型隨機變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是的描述方法.概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數一、基本概念定義1

對于隨機變量X,如果存在非負可積函數,使得對任意的則稱X為連續(xù)型R.V,稱f(x)為X的概率密度函數，簡稱為密度函數或密度.說明：隨機變量X概率密度不唯一.概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數[注]1）概率密度函數的簡單性質1o2o這兩條性質是判定一個函數f(x)是否為某R.V的密度函數的充要條件.曲邊梯形面積2）連續(xù)型隨機變量X的分以直線，x軸以及曲線為邊界的曲邊梯形的面積.布函數

的幾何意義是：概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數3)對連續(xù)型隨機變量X，有

f(x)xo4）0≤F(x)≤1,表示概率，而f(x)不是，但f(x)的大小，反映R.V取值概率的大小.概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數

若x0是f(x)的連續(xù)點，則：6)密度函數f(x)與分布函數F(x)的關系5)連續(xù)型隨機變量的分布函數F(x)是連續(xù)的注意：密度函數f(x)不一定連續(xù).概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數7）連續(xù)型R.V取任一指定值的概率為0.即：a為任一指定值,這說明：（1）對于連續(xù)型隨機變量X，有但對于非連續(xù)型隨機變量X，在各種區(qū)間(如開區(qū)間或閉區(qū)間)上取值的概率一般地是不相同的。概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數8)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.可見，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=Ω概率論與數理統(tǒng)計§2.1隨機變量與分布函數確定常數，并計算為任意常數）。例1

已知連續(xù)型隨機變量X的密度函數為：例2

已知連續(xù)型隨機變量X～