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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章、隨機(jī)變量及其分布第二章隨機(jī)變量及其分布
隨機(jī)變量與分布函數(shù)常見分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布做一些隨機(jī)試驗(yàn):§2.1隨機(jī)變量
(R.V)與分布函數(shù)1.擲一粒骰子,觀察其點(diǎn)數(shù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)一個產(chǎn)品,觀察其質(zhì)量。2.檢查某批產(chǎn)品,其中有正品,廢品,從中任取一、隨機(jī)變量的概念3.袋中有四種顏色的球,紅球,黃球,白球,藍(lán)4.觀察某商場某段時(shí)間到達(dá)顧客的人數(shù)。球,從中任取一只,觀察其顏色。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)例、在一袋中裝有編號分別為1,2,3的三個球.從袋中任取一只球,放回,再取一只球,記錄他們的編號.我們對抽取的兩只球的號碼之和感興趣,而不關(guān)心各個球的號碼.實(shí)驗(yàn)的樣本空間S={(i,j)|i,j=1,2,3}
這里i,j
分別表示第一,第二個取到的球的號碼.以X記兩球的號碼之和,對于樣本空間的一個樣本點(diǎn)w
=(i,j),X(w)=i+j.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù).RX().概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)定義1
設(shè)E是一個隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是,如果對于每一個樣本點(diǎn),都有惟一的實(shí)數(shù)與它相對應(yīng),則稱為定義在上的這個實(shí)值函數(shù)隨機(jī)變量,簡記為R.V.X。[注]
①
隨機(jī)變量是定義在樣本空間的一個實(shí)隨機(jī)變量的隨機(jī)性
隨機(jī)變量的取值由試驗(yàn)結(jié)果而定,由于試驗(yàn)結(jié)果是隨機(jī)的,故在試驗(yàn)之前,隨機(jī)變量X究竟取何值事先無法確定,只有在試驗(yàn)之后,才知道確切值。而隨機(jī)試驗(yàn)的各個結(jié)果出現(xiàn)有一定概率,故事機(jī)變量取各個值有一定的概率值函數(shù),但和普通函數(shù)又有本質(zhì)的差異:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí),一般采用小寫字母x,y,z等.隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)例1
擲一枚骰子,用X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。例2
觀察某儲蓄所一天的儲蓄額,用X
表示X是一個隨機(jī)變量。X是一個隨機(jī)變量。一天的儲蓄額。例3
一射手向一目標(biāo)射擊,記X
表示直到命中目X
是一個隨機(jī)變量。標(biāo)為止所需要的射擊次數(shù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)二、
隨機(jī)變量的分布函數(shù)1.基本概念概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1
隨機(jī)變量與分布函數(shù)隨機(jī)變量X是定義在樣本空間的一個實(shí)值函數(shù),若由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合,則可定義隨機(jī)事件簡記為,。例1、將一枚硬幣連續(xù)拋擲3次,觀察正反面出現(xiàn)的情況因此樣本空間Ω={HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT},若以X記三次投擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)。則我們有樣本點(diǎn)HHHHHTHTHTHHTTHTHTHTTTTTX的值32221110{X=1}={TTH,THT,HTT};{X=2}={HHT,HTH,THH};{X=3}={HHH};{X=0}={TTT}概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)我們稱P(A)=P({HHT,HTH,THH})
為{X=2}的概率,即P({X=2})=P(A)=3/8.
更一般的,若I是實(shí)數(shù)的集合,{XI}
記為事件B,即{XI}
=B={w
Ω|X(w)I}
于是
P(XI)=P(B)=P({w
Ω|X(w)I}).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)為了研究隨機(jī)變量的概率規(guī)律,必需且只需掌握X各種取值的概率。由于x|R稱F(x)為X的分布函數(shù).記作X~F(x)。定義1設(shè)X是一個隨機(jī)變量,如果對于有1)若將X看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),那的概率;么分布函數(shù)F(x)
的值就表示X落在區(qū)間[注]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1
隨機(jī)變量與分布函數(shù)因此,只需要知道事件的概率就夠了。3)在中,X是隨機(jī)變量,x是參變量,F(xiàn)(x)是隨機(jī)變量X取值不大于
x的概率;P(x1<Xx2
)=P(Xx2
)–P(Xx1
)4)對任意實(shí)數(shù)x1<x2,隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間(x1,x2
]的概率為:2)分布函數(shù)的定義域?yàn)?,分布函?shù)的值域?yàn)閇0,1];=F(x2)-F(x1)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1
隨機(jī)變量與分布函數(shù)
分布函數(shù)是一個普通的函數(shù),正是通過它,我們可以用微積分的工具來研究隨機(jī)變量.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1
隨機(jī)變量與分布函數(shù)5)分布函數(shù)
F(x)的引進(jìn)把對于隨機(jī)變量的概率計(jì)算轉(zhuǎn)化為對分布函數(shù)的數(shù)值計(jì)算。2.分布函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2
分布函數(shù)關(guān)于是單調(diào)不減函數(shù);性質(zhì)4
至多有可列個間斷點(diǎn),且在間斷點(diǎn)上右連續(xù)。即。性質(zhì)1性質(zhì)3概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)例2、驗(yàn)證函數(shù)滿足分布函數(shù)的四個基本性質(zhì)(該分布函數(shù)通常稱為柯西分布)。
設(shè)隨機(jī)變量X僅有有限或可數(shù)多個可能的取值,則稱這種隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。要知道隨機(jī)變量X的取值,而且還應(yīng)知道X取每個值的概率.三、離散型隨機(jī)變量為了描述離散型隨機(jī)變量X
,我們不僅需概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)
這樣,我們就掌握了X這個隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機(jī)變量X可能取的值是0,1,2例1且隨機(jī)變量X取每個值的概率為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)定義1
設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取值為
,稱為離散型隨機(jī)變量X的分布律.1)其中(k=1,2,…)滿足:
k=1,2,…(1)(2)用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是概率函數(shù)[注]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)2)離散型隨機(jī)變量X的分布率表示形式(1)列表法:(2)公式法再看例1任取3個球X為取到的白球數(shù)X可能取的值是0,1,2X~p210X概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)例1
設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求X的分布函數(shù)。0.20.50.3p012X2-3例題\2-3例1.ppt概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)一般地隨機(jī)變量X分布律為
……P
……X則它的分布函數(shù)為:
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)
例2向一半徑為2米的圓盤射擊,設(shè)擊中盤上任一同心圓的概率與該圓的面積成正比,并設(shè)射擊都能擊中圓盤,以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離,求:(1)隨機(jī)變量X的分布函數(shù);(2)2-3例題\2-3例2.ppt概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)例3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為:k=0,1,2,…,求常數(shù)a.2-2例題\2-2例2.ppt概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)正品為止,求在取得正品以前已取出的廢品例4
一批零件中有9個正品和3個廢品,安裝機(jī)器時(shí),從這批零件中任取一個,如果取出的是廢品不再放回,而再取一個零件,直到取到數(shù)X的分布律。2-2例題\2-2例3.ppt概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)四、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.
下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是的描述方法.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)一、基本概念定義1
對于隨機(jī)變量X,如果存在非負(fù)可積函數(shù),使得對任意的則稱X為連續(xù)型R.V,稱f(x)為X的概率密度函數(shù),簡稱為密度函數(shù)或密度.說明:隨機(jī)變量X概率密度不唯一.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)[注]1)概率密度函數(shù)的簡單性質(zhì)1o2o這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)f(x)是否為某R.V的密度函數(shù)的充要條件.曲邊梯形面積2)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分以直線,x軸以及曲線為邊界的曲邊梯形的面積.布函數(shù)
的幾何意義是:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)3)對連續(xù)型隨機(jī)變量X,有
f(x)xo4)0≤F(x)≤1,表示概率,而f(x)不是,但f(x)的大小,反映R.V取值概率的大小.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)
若x0是f(x)的連續(xù)點(diǎn),則:6)密度函數(shù)f(x)與分布函數(shù)F(x)的關(guān)系5)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)的注意:密度函數(shù)f(x)不一定連續(xù).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)7)連續(xù)型R.V取任一指定值的概率為0.即:a為任一指定值,這說明:(1)對于連續(xù)型隨機(jī)變量X,有但對于非連續(xù)型隨機(jī)變量X,在各種區(qū)間(如開區(qū)間或閉區(qū)間)上取值的概率一般地是不相同的。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)8)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件稱A為幾乎不可能事件,B為幾乎必然事件.可見,由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出
B=Ω概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)確定常數(shù),并計(jì)算為任意常數(shù))。例1
已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為:例2
已知連續(xù)型隨機(jī)變量X~
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