第25講圖形的相似單元綜合檢測-2023年新九年級數(shù)學(xué)暑假課（北師大版）

第25講圖形的相似單元綜合檢測一、單選題1．下列各組線段的長度成比例的是（

）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cmC．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm【答案】D【分析】根據(jù)成比例線段的定義，把線段按照由大到小或由小到大的順序排列，驗證第一項×第四項是否與中間兩項乘積相等即可．【解析】A、1×4≠2×3，因此不成比例；B、3×6≠4×5，因此不成比例；C、5×20≠10×15，因此不成比例；D、6×2＝4×3，因此成比例；故選D．【點睛】本題考查成比例線段的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把原式變形為，再代入，即可求解．【解析】解：∵，∴故選：D【點睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)，根據(jù)題意，把原式變形為是解題的關(guān)鍵．3．下列命題中，正確的是（

）A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似C．邊長相等的兩個菱形都相似 D．對角線相等的兩個矩形都相似【答案】A【分析】兩個邊數(shù)相同的多邊形,如果它們的角分別相等,邊成比例,那么這兩個多邊形叫做相似多邊形，根據(jù)相似多邊形的定義逐項判斷即可．【解析】解：A.所有的正方形都相似，故選項正確，符合題意；B.菱形的邊成比例，但角不一定相等，故選項錯誤，不符合題意；C.邊長相等的兩個菱形都不一定相似，故選項錯誤，不符合題意；D.對角線相等的兩個矩形邊不一定成比例，所以不一定相似，故選項錯誤，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查命題、相似多邊形的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似多邊形的概念．4．在比例尺為1∶100000的地圖上，甲、乙兩地圖距是2cm，它的實際長度約為（

）A．100km B．2000m C．10km D．20km【答案】B【分析】根據(jù)實際距離=圖上距離÷比例尺列出算式，再進(jìn)行計算即可．【解析】解：2÷=200000（cm）=2（km），答：甲、乙兩地的實際距離是2000m．故選：B．【點睛】此題考查了比例線段，掌握圖上距離、實際距離和比例尺的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，注意單位的換算．5．一個四邊形各邊長為2，3，4，5，另一個和它相似的四邊形最長邊為15，則的最短邊長為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】設(shè)四邊形最短邊長為x，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列得2：x=5：15，，從而求出x．【解析】設(shè)四邊形最短邊長為x，∵四邊形相似四邊形，∴2：x=5：15，解得x=6，故選：C．【點睛】考查了相似多邊形的性質(zhì)，理解并掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，以點為位似中心，把放大2倍得到．下列說法錯誤的是(

)A． B．C． D．直線經(jīng)過點【答案】B【分析】根據(jù)位似變換的概念和性質(zhì)判斷即可．【解析】解：∵以點為位似中心，把放大2倍得到，∴，，直線經(jīng)過點，，∴，∴A、C、D選項說法正確，不符合題意；B選項說法錯誤，符合題意．故選：B．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)．掌握位似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是（

）A．＝＝ B．＝C．＝＝ D．＝【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)判斷求解即可．【解析】解：∵△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，∴＝＝，故選：A．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答的關(guān)鍵．8．已知線段，點P是線段AB的黃金分割點，則線段AP的長為（

）A． B．－ C． D．【答案】D【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可解答．【解析】解：∵點P是線段AB的黃金分割點，∴，故選：D．【點睛】此題考查了黃金分割，應(yīng)該熟記黃金分割的公式：較長線段=原線段長的倍．9．如圖，，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，根據(jù)題意，，進(jìn)而求解．【解析】∵，∴．∵，∴，∵，，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用平行線分線段成比例定理是解本題的關(guān)鍵．10．如圖，點P在的邊上，下列條件中不能判斷的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理（①有兩角分別相等的兩三角形相似，②有兩邊的比相等，并且它們的夾角也相等的兩三角形相似）逐個進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A.∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，∴△ABP∽△ACB，故選項不符合題意；B.∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故選項不符合題意；C.∵∠A＝∠A，AB2＝AP?AC，即，∴△ABP∽△ACB，故選項不符合題意；D.根據(jù)和∠A＝∠A不能判斷△ABP∽△ACB，故選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握有兩角對應(yīng)相等的三角形相似與兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似定理的應(yīng)用．11．如圖，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．點D和點E分別是BC邊和AB邊上兩點，連接DE．將△BDE沿DE折疊，得到△B′DE，點B恰好落在AC的中點處，設(shè)DE與BB交于點F，則EF＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，過B′作B′H⊥AB與H，得到AH＝B′HAB′，求得AH＝B′H＝1，根據(jù)勾股定理得到BB′，由折疊的性質(zhì)得到BFBB′，DE⊥BB′，根據(jù)相似三角形即可得到結(jié)論．【解析】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，過B′作B′H⊥AB與H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′HAB′，∵AB′AC，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB′，∵將△BDE沿DE折疊，得到△B′DE，∴BFBB′，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴，∴，∴EF，故答案為：．故選：C．【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，折疊問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在矩形ABCD中，DE平分交BC于點E，點F是CD邊上一點（不與點D重合）．點P為DE上一動點，，將繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，角的兩邊交射線DA于H，G兩點，有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中一定正確的是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷得，可判斷③正確，證可判斷④正確，從而得出結(jié)果.【解析】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，∵DE平分，∴，∴，∴PH=PD，∵∴在和中，∵∴∴∵∴∴故③正確；∵，∴∴即，故④正確；根據(jù)已知條件無法證明①DH=DE，②DP=DG.故選：D．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、三角形的全等、三角形的相似，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．二、填空題13．兩個相似多邊形的面積比是，則它們的周長比是_____________．【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方，周長之比等于相似比計算即可．【解析】∵兩個相似多邊形的面積比是，∴相似多邊形的相似比為∴它們的周長比是．【點睛】本題考查了相似多邊形的面積之比等于相似比的平方，周長之比等于相似比，熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．若線段a＝4，b＝9，則線段a，b的比例中項為____________．【答案】6【分析】由四條線段a，x，x，b成比例，根據(jù)成比例線段的定義解答即可．【解析】解：設(shè)線段a，b的比例中項為c,c>0,根據(jù)比例中項原則：c2＝ab，∴c2＝4×9，∴c＝6故答案：6．【點睛】本題考查成比例線段、比例中項等知識，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．15．已知P是線段AB的黃金分割點，且AP＜BP，若AB=1，則AP的長為______．【答案】/【分析】根據(jù)P是線段AB的黃金分割點，且AP＜BP，可得，即可求解．【解析】解：∵P是線段AB的黃金分割點，且AP＜BP，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了黃金分割，根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．16．如圖，為估算河的寬度，在河的對岸選取一點A，在近岸取點D，B，使得A，D，B在一條直線上，且與河的邊沿垂直，測得BD＝20m，然后又在垂直AB的直線上取點C，并量得BC＝40m．如果DE＝30m，A、E、C三點共線，則河寬AD為______．【答案】/60米【分析】根據(jù)平行得到△ADE∽△ABC，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例，得到答案．【解析】解：根據(jù)題意，在與中，∵，，，，∴△ADE∽△ABC,∴，∴，故答案是：m．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)和判定，理解相似三角形的對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．17．如圖，，若AC8，BD12，則EF___________．【答案】【分析】根據(jù)，可得△BEF∽△BCA，△AEF∽△ADB，從而得到，即可求解．【解析】解：∵，∴△BEF∽△BCA，∴，∵，∴△AEF∽△ADB，∴，∴，即，∴，∵AC8，BD12，∴，解得：．故答案為：【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在△ABC中，點D在AC邊上，AD：DC=1：2，點E是BD的中點，連接AE并延長交BC于點F，BC=12，則BF=_________．【答案】3【分析】過E作BC的平行線交AC與G，由中位線的知識可得出DG：DC=1：2，根據(jù)已知和平行線分線段成比例得出EG：FC=2：3，再根據(jù)BC=12，即可得出BF的值．【解析】解：過E作EG∥BC，交AC于G，∵EG∥BC，E為BD中點，BC=12，∴DG=CG，，∴EG=6，又∵AD：DC=1：2，∴AG：AC=2：3，∵EG∥BC，∴，∴FC=9，∵BC=12，∴BF=BCFC=3，故答案為：3．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例及三角形的中位線的知識，難度較大，注意熟練運(yùn)用中位線定理和三角形面積公式．19．如圖，正方形ABCD的邊長為8，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，且始終保持AM⊥MN．當(dāng)CN=2時，CM=______．【答案】4【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=8，∠B=∠C=90°，進(jìn)而證明∠BAM=∠NMC，得△BAM∽△CMN，即可求得CM的值．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=8，∠B=∠C=90°，∴∠BAM+∠BMA=90°，∵AM⊥MN，∴∠AMN=90°，∴∠BMA+∠NMC=90°，∴∠BAM=∠NMC，∴△BAM∽△CMN，∴，∴，解得MC=4．故答案為：4．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法．20．如圖，菱形中，，對角線相交于點，點、分別是邊、上的點，且，連接、分別交對角線于點、，若，，則的面積為__．【答案】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可推導(dǎo)出，，，，再由可得：，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出式子，根據(jù)可以判定，故，再由，可得：，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出式子，即可得出答案．【解析】解：四邊形為菱形，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．（1）已知線段a＝2，b＝9，求線段a，b的比例中項．（2）已知x：y＝4：3，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)線段x是線段a，b的比例中項，根據(jù)比例中項的定義列出等式，利用兩內(nèi)項之積等于兩外項之積即可得出答案．（2）設(shè)x＝4k，y＝3k，代入計算，于是得到結(jié)論．【解析】解：（1）設(shè)線段x是線段a，b的比例中項，∵a＝3，b＝6，x2＝3×6＝18，x＝（負(fù)值舍去）．∴線段a，b的比例中項是3．（2）設(shè)x＝4k，y＝3k，∴＝＝．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．已知，x：y：z＝2：3：4，求：（1）的值；（2）若x+y+z＝18，求x，y，z．【答案】（1）；（2）x＝4，y＝6，z＝8．【分析】（1）根據(jù)比例設(shè)x=2k，y=3k，z=4k，然后代入比例式進(jìn)行計算即可得解．（2）根據(jù)比例設(shè)x=2k，y=3k，z=4k，然后代入等式進(jìn)行計算即可得到k的值，進(jìn)而得出x，y，z的值．【解析】解：（1）設(shè)x＝2k，y＝3k，z＝4k，則＝＝；（2）設(shè)x＝2k，y＝3k，z＝4k，∵x+y+z＝18，∴2k+3k+4k＝18，解得k＝2，∴x＝4，y＝6，z＝8．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”表示出x、y、z可以使運(yùn)算更加簡便．23．如圖，D、E分別是AC、AB上的點，△ADE∽△ABC，且DE＝8，BC＝24，CD＝18，AD＝6，求AE、BE的長．【答案】AE=8，BE=10．【分析】由△ADE∽△ABC，且DE=8，BC=24，CD=18，AD=6，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．【解析】解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵DE=8，BC=24，CD=18，AD=6，∴AC=AD+CD=24，∴AE=8，AB=18，∴BE=ABAE=10．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)．注意掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．24．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC依次交l1、l2、l3于A、B、C三點，直線DF依次交l1、l2、l3于D、E、F三點，若＝，DE＝2，求EF的長．【答案】1.5【解析】利用平行線分線段成比例定理得到，然后把有關(guān)數(shù)據(jù)代入計算即可．解答：解：∵l1∥l2∥l3，直線AC依次交l1、l2、l3于A、B、C三點，直線DF依次交l1、l2、l3于D、E、F三點，∴，∵，DE＝2，∴，解得：DF＝3.5，∴EF＝DF﹣DE＝3.5﹣2＝1.5．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點坐標(biāo)分別為：，，．(1)以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)畫出，使得與位似，且相似比為2：1；(2)在（1）的條件下，分別寫出點A、B、C的對應(yīng)點D、E、F的坐標(biāo)．【答案】(1)圖見解析(2)，，【分析】（1）連接，延長至格點D，使，則D為A的對應(yīng)點，同法確定的對應(yīng)點E，C的對應(yīng)點F，再順次連接D，E，F(xiàn)即可；（2）根據(jù)對應(yīng)格點的位置可得答案．【解析】（1）解：如圖，即為所求作的三角形；（2）根據(jù)對應(yīng)格點的位置可得：，，【點睛】本題考查的是畫位似圖形，求解位似對應(yīng)點的坐標(biāo)，掌握位似圖形的性質(zhì)再確定位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．26．如圖，蘇海和蘇洋很想知道射陽日月島上“生態(tài)守護(hù)者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他們帶著測量工具來到雕像前進(jìn)行測量，測量方案如下：如圖，首先，蘇海在C處放置一平面鏡，他從點C沿后退，當(dāng)退行0.9米到E處時，恰好在鏡子中看到雕像頂端A的像，此時測得蘇海眼睛到地面的距離為1.2米；然后，蘇海沿的延長線繼續(xù)后退到點G，用測傾器測得雕像的頂端A的仰角為，此時，測得米，測傾器的高度米．已知點B、C、E、G在同一水平直線上，且、、均垂直于，求雕像的高度．

【答案】【分析】根據(jù)已知條件推出，求得與的關(guān)系，再根據(jù)題意易得四邊形、四邊形、四邊形均為矩形，得到，根據(jù)，得，構(gòu)造一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．【解析】解：設(shè)米，如圖，

根據(jù)題意可得，，，∴，∴,∴，∵點B、C、E、G在同一水平直線上，且、、均垂直于，，∴四邊形、四邊形、四邊形均為矩形，∴，∵，∴，∴解得∴答：雕像的高度為16.8米．【點睛】本題考查相似三角形的判定、性質(zhì)與實際應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．27．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點H在邊BC上，且AH＝HC，交AC于點G，BD＝7，AD＝5，DH＝3．(1)求證：AH⊥BC；(2)求AG的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件求出AH的長，得出AH2+DH2＝AD2，證明△AHD是直角三角形即可；（2）利用勾股定理求出AC的長，設(shè)AG為x，則可用x表示CG的長，利用平行線分線段成比例列出比例式，即可求出x，即AG的長．【解析】（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，∴DC＝BD＝7，∵DH+HC＝DC＝7，∴HC＝DC﹣DH＝7﹣3＝4．∵AH＝HC，∴AH＝CH＝4，∵AH2+DH2＝25，AD2＝25，∴AH2+DH2＝AD2，∴△AHD是直角三角形，∠AHD＝90°，∴AH⊥BC；（2）設(shè)AG＝x，由勾股定理得AC＝＝4，∴，∵HG∥AD，∴＝＝，即＝，解得x＝，∴AG的長為．【點睛】本題考查了勾股定理和平行線分線段成比例定理，熟練運(yùn)用勾股定理及其逆定理是解題關(guān)鍵．28．如圖，在中，，，CD是AB邊上的高，點E為線段CD上一點（不與點C，點D重合），連接BE，作與AC的延長線交于點F，與BC交于點G，連接BF．(1)求證：；(2)求證：；(3)求的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】(1)得出∠FCG=∠BEG=90°，∠CGF=∠EGB，則結(jié)論得證；(2)證明△CGE∽△FGB即可；(3)過點F作FH⊥CD交DC的延長線于點H，證明△FEH≌△EBD（AAS），得出FH=ED，則CH=FH，得出CF=DE，則得出答案．【解析】（1）證明：∵，∴又∵∴（2）解：由(1)得，∴，∴，又∵，∴，∴，即（3）解：過點作交的延長線于點，如下圖所示，由(2)知，∠EFB=45°，EF⊥BE，∴是等腰直角三角形，∴∵，∴在和中∴（AAS），∴，∵，，∴，∴在中，，∴，∴.【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識是解題的關(guān)鍵．29．如圖①，已知矩形和矩形，且，，連接，．

(1)發(fā)現(xiàn)：①線段與之間的數(shù)量關(guān)系是______；②直線與直線之間的位置關(guān)系是______．(2)探究：當(dāng)矩形繞點A順時針能轉(zhuǎn)，，如圖②，且，，（1）中結(jié)論還成立嗎？并給出證明．(3)應(yīng)用：在（2）的情況下，，，當(dāng)矩形繞點A旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)在同一條線上，則線段的長是多少？（直接寫出結(jié)論）【答案】(1)①；②；(2)成立，證明見解析；(3)或．【分析】（1）如圖，延長，交于點H，可證得，，，進(jìn)一步證得，于是，；（2）延長BE交DG于H，如圖①，求證，進(jìn)一步證明，可得，，求證，于是；（3）存在兩種情況：①當(dāng)點B，E，F(xiàn)在同一條直線上，如圖②，，中，根據(jù)勾股定理得，