二次根式01講核心

考點(diǎn)1二次根式二次根式的概念：一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)，如都是二次根式．考點(diǎn)2二次根式的性質(zhì)1.的性質(zhì)符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言一個(gè)非負(fù)數(shù)的算數(shù)平方根是非負(fù)數(shù)提示有最小值，為02.根的方的性質(zhì)符號(hào)語(yǔ)言____（）應(yīng)用（1）正用：（2）逆用：若a≥0，則，如提示逆用可以再實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：如3.方的根（）的性質(zhì)符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值應(yīng)用（1）正用：（2）逆用：考點(diǎn)3最簡(jiǎn)二次根式1.最簡(jiǎn)二次根式的概念（1）被開方數(shù)不含______（2）被開方數(shù)中不含能開方開得盡的______2.化簡(jiǎn)二次根式的一般方法方法舉例將被開方數(shù)中能開得盡得因數(shù)或因式進(jìn)行開方化去根號(hào)下的分母若被開方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，先將被開方數(shù)化成假分?jǐn)?shù)若被開方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)若被開方數(shù)時(shí)分式，先將分式分母化成能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進(jìn)行開方運(yùn)算(a＞0，b＞0，c＞0）被開方數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3分母有理化（1）分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號(hào)．考點(diǎn)4二次根式的乘法法則1.二次根式的乘法法則：______（二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變）．2.二次根式的乘法法則逆用：積的算術(shù)平方根：_____．3.二次根式的乘法法則的推廣（1（2），即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù)．考點(diǎn)5二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則____（二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變）2二次根式的除法法則逆用：商的算術(shù)平方根：______3.二次根式的除法法則的推廣考點(diǎn)6同類二次根式同類二次根式概念：化簡(jiǎn)后被開方數(shù)______的二次根式叫做同類二次根式．合并同類二次根式的方法：把根號(hào)外的因數(shù)（式）_____，根指數(shù)和被開方數(shù)______，合并的依據(jù)式乘法分配律，如考點(diǎn)7二次根式的加減1.二次根式加減法則：先將二次根式化成______，再將被開方數(shù)______的二次根式進(jìn)行合并．2.二次根式加減運(yùn)算的步驟：①化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；②找：找出化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將“系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變．考點(diǎn)8二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）．二次根式的雙重非負(fù)性：（1）時(shí)，二次根式有意義，時(shí)，二次根式無(wú)意義；（2）“0”+“0”型：三類非負(fù)數(shù)：，，；【例題】1.要使式子有意義，則x的取值范圍是_______；【答案】且【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于0；分母中有字母，分母不為0．【詳解】解：若代數(shù)式有意義，則，解得：且．故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的概念：式子叫二次根式，是一個(gè)非負(fù)數(shù)．注意：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義；當(dāng)二次根式在分母上時(shí)還要考慮分母不等于零，此時(shí)被開方數(shù)大于0．2.若，則的算術(shù)平方根是_________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，先求出x，進(jìn)而可求出y，即可得解．【詳解】∵，，∴，∴，∴，∴，∴9的算術(shù)平方根為3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件以及求解算術(shù)平方根的知識(shí)，二次根式有意義的條件就是被開方數(shù)非負(fù)，掌握此知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．3.若實(shí)數(shù)m、n滿足，求的平方根．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)求出，然后求出的值，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，解得：，∴，的平方根為，即的平方根是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性和絕對(duì)值的非負(fù)性，求代數(shù)式的值，求平方根，解題的關(guān)鍵是根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性和絕對(duì)值的非負(fù)性求出m、n的值．【練經(jīng)典】4.若無(wú)意義，則x的取值范圍是（）A.x＞0 B.x≤3 C.x＞3 D.x≥3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),可得出關(guān)于x的一元一次不等式,解出即可得出答案.【詳解】解：∵無(wú)意義,∴3x＜0,解得:x＞3．

故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件,解決本題的關(guān)鍵是掌握二次根式有意義則被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．5.要使式子有意義，則x的取值范圍為________．【答案】x≥﹣3且x≠1且x≠2【解析】【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，零指數(shù)冪的底數(shù)不等于0列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意，得．解得：x≥﹣3且x≠1且x≠2．故答案是：x≥﹣3且x≠1且x≠2．【點(diǎn)睛】本題考查的是代數(shù)式有意義的條件，掌握二次根式與分式，零次冪有意義的條件是解題的關(guān)鍵．6.若，則_________．【答案】3【解析】【分析】首先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可求得，，再把，代入，即可求得其值．【詳解】解：，解得，，，，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，代數(shù)式求值問(wèn)題，求得x、y的值是解決本題的關(guān)鍵．7.已知，則當(dāng)______時(shí)，的最大值=________．【答案】①.②.【解析】【分析】首先根據(jù)，當(dāng)時(shí)，取最大值，進(jìn)而求出結(jié)果．【詳解】當(dāng)時(shí)，即：，時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式大于或等于0是解本題的關(guān)鍵．8.若，則________．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)二次根式和絕對(duì)值的非負(fù)性，兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加等于0，則它們分別為0可得解得即可求得的值.【詳解】由題意得解得∴故答案為：12【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式和絕對(duì)值得非負(fù)性，兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加等于0，則它們分別為0，初中階段常用三個(gè)非負(fù)式，二次根式、絕對(duì)值和偶次冪.【練易錯(cuò)】易錯(cuò)點(diǎn)：判斷二次根式有意義考慮不全造成答案不完整9.若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（）A.且 B. C.且 D.【答案】A【解析】【分析】分式有意義，分母不等于零；二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【詳解】依題意，得x1≥0且x2≠0，解得x≥1且x≠2．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件．函數(shù)自變量的范圍一般從三個(gè)方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)非負(fù)．10.若有意義，則的取值范圍是_________．【答案】x>2##2＜x【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)和分式有意義的條件：分母不為0即可求出結(jié)論．【詳解】解：由題意可得x2>0，解得：x>2，故答案為：x>2．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式及二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分式分母不為0解題的關(guān)鍵．根的方與方的根（1）根的方：，被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)；（2）方的根：，結(jié)果必須是非負(fù)數(shù)．【例題】11.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)零指數(shù)冪運(yùn)算法則、乘方運(yùn)算、二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行運(yùn)算，再進(jìn)行有理數(shù)的加減運(yùn)算，即可求得其值．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪運(yùn)算法則、乘方運(yùn)算、二次根式的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用各運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．12.已知a、b、c是三角形的三邊，化簡(jiǎn)：．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定出每個(gè)括號(hào)內(nèi)的正負(fù)，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)去根號(hào)即可．【詳解】解：∵a，b，c為三角形三邊，∴，，，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)，整式加減運(yùn)算，三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用，掌握三角形的三邊關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【練經(jīng)典】13.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)算式平方根的定義和二次根式的性質(zhì)逐一化簡(jiǎn)即可得解．【詳解】解：A、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、，此選項(xiàng)正確；

C、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)．14.對(duì)于實(shí)數(shù)a，如果，那么下列結(jié)論正確的是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分和兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，若，則x<0，得，求該不等式即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意有：∵又∵和互為相反數(shù)∴∴綜上所述，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，若，則x≤0，若，則，熟記此性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．15.已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)數(shù)軸判斷和與0的關(guān)系，再根據(jù)化簡(jiǎn)式子，最后化簡(jiǎn)代數(shù)式即可得出答案.【詳解】根據(jù)數(shù)軸可得：，∴故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是代數(shù)式的化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)時(shí)注意.【練易錯(cuò)】易錯(cuò)點(diǎn)：運(yùn)用時(shí)，忽略a≥016.已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸上a點(diǎn)的位置，判斷出（a?1）和（a?2）的符號(hào)，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．【詳解】解：由圖知：1＜a＜2，∴a?1＞0，a?2＜0，原式＝a?1＝a?1＋（a?2）＝2a?3．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確得出a?1＞0，a?2＜0是解題關(guān)鍵．17.若，，且，則__．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，，且，得出，，代入求值即可．【詳解】解：∵，，且，∴，，∴．故答案：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是求出，．二次根式的化簡(jiǎn)（1）利用“根的方”和“方的根”把二次根式化為整式；（2）利用積的算術(shù)平方根和商的算術(shù)平方根把二次根式中開得盡方的因式開出來(lái)；（3）利用分母有理化把二次根式中分母的根號(hào)化去．【例題】18.化簡(jiǎn)_____．（其中<0，＞0）【答案】【解析】【分析】運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：∵，∴，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19.已經(jīng)，化簡(jiǎn)：．【答案】【解析】【分析】首先利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再根據(jù)，去絕對(duì)值符號(hào)，再進(jìn)行整式的加減運(yùn)算，即可求解．【詳解】解：，，，原式【點(diǎn)睛】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，去絕對(duì)值符號(hào)法則，熟練掌握和運(yùn)用各運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．20.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】首先把每個(gè)式子分母有理化，化成根式的和、差形式即可化簡(jiǎn)求解．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確對(duì)二次根式進(jìn)行分母有理化是解題的關(guān)鍵．【練經(jīng)典】21.化簡(jiǎn)：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式乘法、商的算術(shù)平方根等概念分別判斷．【詳解】∵被開方數(shù)大于或等于0，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、利用了二次根式的乘除法、二次根式的性質(zhì)，注意a是負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．22.把中根號(hào)前的（m－1）移到根號(hào)內(nèi)得（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷出m1的符號(hào)，然后解答即可．【詳解】∵被開方數(shù)，分母.∴，∴.∴原式．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)：|a|．也考查了二次根式的成立的條件以及二次根式的乘法．23.化簡(jiǎn)：__________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，判斷出的符號(hào)，然后再將二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)．【詳解】解：由題意，知：；，；又，故．【點(diǎn)睛】主要考查了二次根式的意義及二次根式的化簡(jiǎn)．24.化簡(jiǎn)：【答案】2【解析】【分析】先逐一對(duì)每項(xiàng)分母有理化，并找出規(guī)律，最后合并同類二次根式即可得解；【詳解】原式====2【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化和二次根式的加減，注意分母有理化常常是乘以二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．二次根式的混合運(yùn)算（1）通常先將二次根式化簡(jiǎn)；（2）對(duì)于二次根式的乘法運(yùn)算，可以參照整式的乘法進(jìn)行運(yùn)算；（3）對(duì)于二次根式的除法運(yùn)算，通常先將其寫成分式的形式，再通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；（4）二次根式的加減法與整式的加減法類似，即在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并被開方數(shù)相同的二次根式；（5）運(yùn)算結(jié)果一般要化成整式或最簡(jiǎn)二次根式；【例題】25.計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）首先對(duì)原式化簡(jiǎn)，然后利用二次根數(shù)乘法法則計(jì)算，再合并同類二次根式即可求解；（2）應(yīng)用平方差公式對(duì)原式化簡(jiǎn)，然后利用乘法法則計(jì)算即可．【詳解】（1）原式=====（2）原式===【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式和二次根式的乘法運(yùn)算，熟練掌握乘法法則和平方差公式是解題的關(guān)鍵．26（1）計(jì)算：．（2）化簡(jiǎn)：．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，根據(jù)二次根式的乘、除法法則運(yùn)算；（2）把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，根據(jù)二次根式的乘、除法法則運(yùn)算，要注意分式形式的二次根式化簡(jiǎn)．【詳解】（1）解：原式＝＝＝．（2）解：原式＝＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【練經(jīng)典】27.下列運(yùn)算正確的是（）A.＝ B.5＝5C.×＝ D.＝3【答案】C【解析】【分析】按照二次根式的加減法、二次根式的乘法、二次根式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．與不是同類二次根式，不能合并，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．，故選項(xiàng)正確，符合題意；D．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的加減法、二次根式的乘法、二次根式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．28.計(jì)算：=______________【答案】2【解析】【分析】先將二次根式化為最簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式即可．【詳解】解：原式=．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，掌握二次根式的化簡(jiǎn)及同類二次根式的合并是關(guān)鍵．29.（1）計(jì)算：（2）計(jì)算：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類二次根式即可；（2）先根據(jù)二次根式的乘法法則運(yùn)算，然后化簡(jiǎn)合并即可；【詳解】（1）解：（2）解：【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除法運(yùn)算，在合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．30.計(jì)算：【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．二次根式的大小比較（1）利用平方法比較兩個(gè)二次根式的大?。?）利用作差法比較兩個(gè)二次根式的大?。?）利用作商法比較兩個(gè)二次根式的大?。?）利用倒數(shù)法比較兩個(gè)二次根式的大小【例題】31.比較和的大?。ㄆ椒椒ǎ敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坷闷椒椒?，即可比較出大?。驹斀狻拷猓?，，，，又，，．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)大小的比較方法，積的乘方運(yùn)算，利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，熟練掌握和運(yùn)用無(wú)理數(shù)大小的比較方法是解決本題的關(guān)鍵．32.比較和大小（作差法）【答案】【解析】【分析】利用作差法及無(wú)理數(shù)的估算，即可比較出大?。驹斀狻拷猓?，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)大小的比較方法作差法，無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握和運(yùn)用無(wú)理數(shù)大小的比較方法是解決本題的關(guān)鍵．33.比較與的大小（作商法）【答案】【解析】【分析】根據(jù)作商比較法，看最后的比值與1的大小關(guān)系，從而可以解答本題．【詳解】解：∵，又∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)大小比較，二次根式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．34.比較與的大?。ǖ箶?shù)法）【答案】【解析】【分析】利用倒數(shù)法，即可比較出大?。驹斀狻拷猓海?，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)大小的比較，熟練掌握和運(yùn)用無(wú)理數(shù)大小的比較方法是解決本題的關(guān)鍵．【練經(jīng)典】35.計(jì)算4＋×的結(jié)果估計(jì)在（）A.10與11之間 B.9與10之間 C.8與9之間 D.7與8之間【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)二次根式的乘法計(jì)算得到原式，進(jìn)而估算即可．【詳解】解：，，∴，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是將原式進(jìn)行計(jì)算，得出．36.比較大小：2______4（填“＞”或“=”或“＜”）【答案】＞【解析】【分析】先把2化為的形式,再根據(jù)負(fù)數(shù)大小的比較法則，比較出與的大小即可.【詳解】解:2=,4=,12<16,＞,，2＞4故答案為:＞.【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較,先根據(jù)題意把2化為的形式是解答此題的關(guān)鍵.37.比較和的大??；【答案】【解析】【分析】用作差法比較和的大小即可．【詳解】解：∵，∵，，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)大小的比較，解題的關(guān)鍵是求出，得出．38.比較與的大?。敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坷玫箶?shù)法，即可比較出大?。驹斀狻拷猓海?，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)大小的比較，熟練掌握和運(yùn)用無(wú)理數(shù)大小的比較方法是解決本題的關(guān)鍵．二次根式的化簡(jiǎn)求值（1）已知字母的值化簡(jiǎn)求值（2）已知條件式化簡(jiǎn)求值【例題】39.已知，求代數(shù)式．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)求出，然后把，代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，把，代入得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．40.已知且，請(qǐng)化簡(jiǎn)并求值：【答案】【解析】【分析】解方程得出，再分母有理化，化簡(jiǎn)得出原式=，最后代入x求值即可.【詳解】解：∵∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.【練經(jīng)典】41.若實(shí)數(shù)，滿足，則的值是______________．【答案】3【解析】【分析】求出()()=3，再分解因式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出，求出即可求解．【詳解】解：∵實(shí)數(shù)a，b滿足()()=3，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，二次根式的性質(zhì)和解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，能求出是解此題的關(guān)鍵．42.已知，且x為奇數(shù)，求（1+x）?的值．【答案】2【解析】【分析】由二次根式的非負(fù)性可確定x的取值范圍，再根據(jù)x為奇數(shù)可確定x的值，然后對(duì)原式先化簡(jiǎn)再代入求值.【詳解】解：∵，∴解得，6≤x＜9，∵x為奇數(shù)，∴x=7，∴（1+x）?=（1+x）?=（1+x）?====2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的非負(fù)性及二次根式的化簡(jiǎn)求值.43.先化簡(jiǎn)，再求值：已知a＝，求的值．【答案】，3【解析】【分析】先化簡(jiǎn)得，再將代入即可得．【詳解】解：原式===當(dāng)代入得：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式化簡(jiǎn)求值，二次根式的混合運(yùn)算，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．44.已知，，求式子的值．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，，將化簡(jiǎn)為，然后代入求值即可．【詳解】解：∵，，∴，把，代入得：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的加減混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．【新定義小練】45.對(duì)于任意的正數(shù)m，n定義運(yùn)算為：，計(jì)算的結(jié)果為______．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)新定義把所求的式子化為二次根式運(yùn)算，再進(jìn)行二次根式的運(yùn)算即可．【詳解】解：∵3＞2,8＜12，∴．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的計(jì)算，理解新定義，將式子轉(zhuǎn)化為二次根式的計(jì)算，并正確進(jìn)行二次根式計(jì)算是解題關(guān)鍵．46.我們規(guī)定運(yùn)算符號(hào)“△”的意義是：當(dāng)a＞b時(shí)，a△b＝a＋b；當(dāng)a≤b時(shí)，a△b＝a－b，其它運(yùn)算符號(hào)的意義不變，計(jì)算：(△)－(2△3)＝__________.【答案】－＋4【解析】【分析】根據(jù)題意，先比較出＞，2＜3，再代入相應(yīng)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn).【詳解】∵當(dāng)a＞b時(shí)，a△b＝a＋b；當(dāng)a≤b時(shí)，a△b＝a－b，＞，2＜3，∴(△)－(2△3)＝＋－(2－3)＝－＋4.【點(diǎn)睛】此題主要考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意進(jìn)行運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.47.若a+b=2，則稱a與b是關(guān)于1的平衡數(shù)．（1）3與是關(guān)于1的平衡數(shù)，5﹣與是關(guān)于1的平衡數(shù)；（2）若（m+）×（1﹣）=﹣5+3，判斷m+與5﹣是否是關(guān)于1的平衡數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】（1）﹣1，﹣3+；（2）不是，理由見(jiàn)解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)所給的例子，可得出平衡數(shù)的求法，由此可得出答案．（2）根據(jù)所給的等式，解出m的值，進(jìn)而再代入判斷即可．試題解析：（1）由題意得，3+（﹣1）=2，5﹣+（﹣3+）=2，∴3與﹣1是關(guān)于1的平衡數(shù)，5﹣與﹣3+是關(guān)于1的平衡數(shù)；（2）不是．∵（m+）×（1﹣）=m﹣m+﹣3，又∵（m+）×（1﹣）=﹣5+3，∴m﹣m+﹣3=﹣5+3，∴m﹣m=﹣2+2．即m（1﹣）=﹣2（1﹣）．∴m=﹣2．∴（m+）+（5﹣）=（﹣2+）+（5﹣）=3，∴（﹣2+）與（5﹣）不是關(guān)于1的平衡數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡(jiǎn)及同類二次根式的合并．【閱讀材料類小練】48.閱讀材料：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，那么這個(gè)三角形的面積S＝．這個(gè)公式叫“海倫公式”，它是利用三角形三條邊的邊長(zhǎng)直接求三角形面積的公式．中國(guó)的秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術(shù)，故這個(gè)公式又被稱為“海倫﹣﹣秦九韶公式”．完成下列問(wèn)題：如圖，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．（1）求△ABC的面積；（2）設(shè)AB邊上的高為h1，AC邊上的高為h2，求h1+h2的值．【答案】（1）△ABC的面積為；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題中所給公式可進(jìn)行求解；（2）由（1）及利用等積法可進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）∵a＝9，b＝7，c＝8，∴，∴；（2）由（1）及題意得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．49.在數(shù)學(xué)課上，老師說(shuō)統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的平均數(shù)不是只有算術(shù)平均數(shù)一種，好學(xué)的小聰通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索，又得到了兩種平均數(shù)的定義，他把三種平均數(shù)的定義整理如下：對(duì)于兩個(gè)數(shù)a，b，稱為a，b這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b這兩個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)，稱為a，b這兩個(gè)數(shù)的平方平均數(shù)．小聰根據(jù)上述定義，探究了一些問(wèn)題，下面是他的探究過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：（1）若a=1，b=2，則M=，N=，P=；（2）小聰發(fā)現(xiàn)當(dāng)a，b兩數(shù)異號(hào)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)N沒(méi)有意義，所以決定只研究當(dāng)a，b都是正數(shù)時(shí)這三種平均數(shù)的大小關(guān)系．結(jié)合乘法公式和勾股定理的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，他選擇構(gòu)造幾何圖形，用面積法解決問(wèn)題：如圖，畫出邊長(zhǎng)為a+b的正方形和它的兩條對(duì)角線，則圖1中陰影部分的面積可以表示N2．①請(qǐng)分別在圖2，圖3中用陰影標(biāo)出一個(gè)面積為M2，P2的圖形；②借助圖形可知當(dāng)a，b都是正數(shù)時(shí)，M，N，P的大小關(guān)系是：（把M，N，P從小到大排列，并用“＜”或“≤”號(hào)連接）．【答案】（1），，；（2）①見(jiàn)解析；②．【解析】【分析】（1）將分別代入求值即可得；（2）①分別求出，再根據(jù)正方形的性質(zhì)、矩形和直角三角形的面積公式即可得；②根據(jù)（2）①中的所畫的圖形可得，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，故答案為：，，；（2）①，則用陰影標(biāo)出一個(gè)面積為的圖形如下所示：，則用陰影標(biāo)出一個(gè)面積為的圖形如下所示：②由（2）①可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，都是正數(shù)，都是正數(shù)，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用、完全平方公式、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2）①，正確利用完全平方公式進(jìn)行變形運(yùn)算是解題關(guān)鍵．50.【閱讀學(xué)習(xí)】小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中，，，均為整數(shù)），則有．∴，．這樣小明就找到了一種把的式子化為平方式的方法．【解決問(wèn)題】（1）當(dāng)，，，均為正整數(shù)時(shí)，若，用含，的式子分別表示，，得：______，______；（2）利用（1）的結(jié)論，找一組正整數(shù)，使得成立，且的值最?。?qǐng)直接寫出，，，的值；（3）若，且，，均為正整數(shù)，求的值．【答案】（1），（2）（3）14或46【解析】【分析】（1）利用完全平方公式計(jì)算，由此即可得；（2）先根據(jù)（1）的結(jié)論可得，再根據(jù)都是正整數(shù)，且可得當(dāng)時(shí)，的值最小，即的值最小，然后代入求出的值即可；（3）先利用完全平方公式可得，，再根據(jù)均為正整數(shù)可得，或，，然后代入求出的值即可．【小問(wèn)1詳解】解：，，，∴，．【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知，，，，都是正整數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，的值最小，即的值最小，則，，綜上，．【