信號與系統(tǒng)第2版 課件 4連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復頻域分析

信號與系統(tǒng)主講：嚴國志課程目錄

第1章緒論第2章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析第3章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的頻域分析第4章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復頻域分析第5章離散時間信號與系統(tǒng)的時域分析第6章離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析第7章離散時間信號與系統(tǒng)的Z域分析2024/10/162第4章

連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的

復頻域分析2024/10/164第4章

連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復頻域分析4.1引言4.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換4.3單邊拉普拉斯變換的性質4.4單邊拉普拉斯反變換的計算4.5連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析4.6線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)習題4.1引

言2024/10/165連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的頻域分析，就是選擇虛指數(shù)信號作為基本單元信號，利用傅里葉變換作為工具，實現(xiàn)對信號的頻譜分析以及系統(tǒng)的頻率特性分析，這些在工程實際方面具有清晰的物理意義和廣泛的應用場合。連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的頻域分析，在信號與系統(tǒng)的分析、處理以及設計方面具有重要的工程實用意義，是廣泛采用的、不可或缺的重要工具。然而，傅里葉變換是一個積分，傅里葉變換要存在，必要求被變換的信號要是可積的。為了解決頻域分析的局限性問題，在這一章，我們引入了復頻域分析方法。復頻域分析法是在頻域分析法的基礎上，通過引入衰減因子

來實現(xiàn)的。復頻域分析的基本工具是拉普拉斯變換。4.1引

言先從一個人說起：奧列弗.赫維賽德，一位在科學史上被嚴重忽視的人。奧列弗.赫維賽德(OliverHeaviside，1850年5月18日-1925年2月3日)，英國自學成才的物理學家，出生于倫敦卡姆登鎮(zhèn)，家庭極度貧窮，還得過猩紅熱，聽力部分殘疾，從未上過大學，完全靠自學和興趣掌握了高等科學和數(shù)學。赫維賽德的學業(yè)成績不俗(1865年，在五百多個學生中排第五)，16歲離校，學習摩氏密碼和電磁學，成了丹麥大北電報公司的電報員。1872年，是紐卡斯爾的主電報員，開始研究電學。1874年辭職，在父母家中孤獨地研究，1876年，Heaviside使用Maxwell方程組中的旋度方程，導出了含有自感項的經典電報員方程，提出了傳輸線上信號作無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件。1889年，開爾文勛爵（LordKelvin）在一次演講中承認自己的“海底電纜方程”（不含電感項的經典電報員方程）是有局限性的，并推崇了Heaviside的方程。麥克斯韋早在1873年便出版了跨時代巨著《電磁通論》，可惜的是，他英年早逝，他的方程組在生前并沒有得到科學界的重視。他的理論描述復雜得令人吃驚，直接導致了在首次發(fā)表后的10多年時間內，幾乎無人問津。1880年，赫維賽德研究電報傳輸上的集膚效應，將麥克斯韋方程組重新表述，由四元數(shù)改為矢量，將原來的20條方程縮減到4條微分方程，從而使簡化后的麥克斯韋方程組呈現(xiàn)出無與倫比的對稱性，成為歷史上是最漂亮的方程式（沒有之一）。麥克斯韋本人并沒有見過這個方程組，它在一定程度上應該叫“赫維賽德方程組”。2024/10/1664.1引

言赫維賽德的第三個重要貢獻：運算微積分。1880年~1887年之間，赫維賽德在從事電磁場研究時，為求解微積分方程，他在分析計算中引入了微分算子的概念，提出了“運算微積分法”，這個方法可以將常系數(shù)微分方程轉換為普通代數(shù)方程。至于算子p代表什么，赫維賽德沒有解釋。由于缺乏嚴密數(shù)學論證而受到當時主流數(shù)學家們的攻訐，他們認為赫維賽德的運算法沒有理論依據(jù)。赫維賽德的算子雖然缺乏嚴密的數(shù)學論證，但是往往能給出重要且正確的結果，方法確實有效，無法駁倒。于是，數(shù)學家們開始嘗試將算子理論進行嚴格化。后來，人們在近百年前法國數(shù)學家拉普拉斯的著作里，找到了這種算法的可靠的數(shù)學依據(jù)---時域函數(shù)微分方程變換成相應的復頻域函數(shù)代數(shù)方程，重新給予嚴密的數(shù)學定義，為之取名為拉普拉斯變換，也稱“積分變換法”，赫維賽德的運算法就被拉普拉斯變換所取代。拉普拉斯變換不是拉普拉斯提出的，隨著二戰(zhàn)后拉普拉斯變換的廣泛使用，赫維賽德算子的作用被取代了。但是不可否認的是，正是這種“不正規(guī)”，僅靠“天才的直覺”而發(fā)明的方法，促成了現(xiàn)在拉普拉斯分析方法的研究和發(fā)展。2024/10/1674.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換2024/10/1684.2.1從傅里葉變換到拉普拉斯變換傅里葉變換的定義為：對x(t)引入衰減因子令：上式中，積分后的變量不再是ω，而是變?yōu)榱藄，故命名其為X(s)，即有：稱為雙邊拉普拉斯正變換式，記為

X(s)=L[x(t)]（4-2）2024/10/169同理，傅里葉變換的反變換為：可得

對應的傅里葉反變換為：對該式兩端乘上

利用

有：

（4-3）稱為雙邊拉普拉斯反變換式，記為

x(t)=L-1[X(s)]4.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換實際工程中的信號，一般均為有始信號，其

t的取值區(qū)間不是（-∞，+∞），而是（0，+∞），因此，就有了單邊拉普拉斯變換，其定義為：

（4-4）

在拉普拉斯變換中，由于s=σ+jω，因此，當σ=0時，s=

jω，即當X(s)在s=

jω上收斂時，x(t)在s=

jω上的拉普拉斯變換X(s)就是其傅里葉變換。4.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換2024/10/1610

式（4-4）中的積分下限取0-，是為了能夠有效地處理出現(xiàn)在0時刻的沖激。單邊拉普拉斯變換的反變換仍為（4-3）式，只是要求t0。因此，從實質上講，單邊拉普拉斯變換只是雙邊拉普拉斯變換的一個特例。2024/10/1611

4.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換

可見，該兩式是否成立，與σ的取值有關。定義使信號x(t)的拉普拉斯變換存在的σ的取值范圍就是拉普拉斯變換的收斂域ROC（RegionOfConvergence）。

由于s=σ+jω，s平面為一復平面，其橫軸為σ，由于σ為實數(shù)，故橫軸也稱為實軸，其縱軸為jω，也稱為虛軸。σ的取值決定了s的取值，σ=Re[s]，σ取某值，對應s復平面上垂直于橫軸的直線，稱為收斂坐標?？梢?，拉普拉斯變換的收斂域對應于s復平面上以垂直于實軸的直線為邊界的區(qū)域。當α-σ<0時收斂，4.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換2024/10/1612例4-1：求信號

的拉普拉斯變換及其收斂域。當α–σ

≥0時，X(s)不存在。故其收斂域為

σ>α，如圖4-1(a)所示。解：由定義式有：當β-σ>0時，

收斂，從而有：2024/10/1613例4-2：求信號

的拉普拉斯變換及其收斂域。4.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換當β-σ≤0時，X(s)不存在。故其收斂域為

σ<β

，如圖4-1(b)所示。解：由定義式有：2024/10/1614例4-3：求信號x(t)的拉普拉斯變換及其收斂域。解：由定義式有：4.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換因此，X(s)要存在，上述兩個條件要都成立，

即當

α<σ<β

時：同理，對第二項，已由例4-2給出，對于第一項，已由例4-1給出，2024/10/1615總結上述3例，可得拉普拉斯變換收斂域的特點：4.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換對于單邊拉普拉斯變換:若信號為雙邊信號，其收斂域為收斂坐標的中間區(qū)域，σ1<σ<σ2。其中，σ1可小到-∞，σ2可大到+∞，這與x(t)的形式有關。若信號為左邊信號t<0，其收斂域為收斂坐標的左邊區(qū)域

σ<σ2，若信號為右邊信號t>0，其收斂域為收斂坐標的右邊區(qū)域

σ>σ1，對于雙邊拉普拉斯變換:其收斂域為收斂坐標的右邊區(qū)域

σ>σ1。4.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換2024/10/1616例4-4：求下列信號的拉普拉斯變換。解：故當σ<-5時，同理，當-5<σ<-3時，同理，當σ>-3時，

從這個例子可以看出，3個不同的連續(xù)時間信號，其拉普拉斯變換具有相同的表達式，當然，它們的收斂域不同?？梢?，對于雙邊拉普拉斯變換，其時域函數(shù)與其拉普拉斯變換函數(shù)不是一一對應的關系，拉普拉斯變換只有和其收斂域一起，才能唯一確定。2024/10/16174.2.3常見信號的單邊拉普拉斯變換

由于工程中的信號一般常見的為因果信號，即右邊信號，故本節(jié)主要討論常見單邊信號的單邊拉普拉斯變換。4.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換（1）指數(shù)信號，ROC：σ>-α（4-7）在（4-7）式中，令

，則有：在（4-7）式中，令

，則有：，ROC：σ>0（4-8），ROC：σ>-σ0

（4-9）4.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換2024/10/1618

利用Matlab的

laplace()函數(shù)，可以實現(xiàn)拉普拉斯變換的計算，代碼如下：運行結果為：Xs=1/(s+a)symsa;xt=exp(-a*t);Xs=laplace(xt);%拉普拉斯變4.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換2024/10/1619（2）復指數(shù)信號

（4-9）（4-8）在式（4-8）中，令有：2024/10/1620（3）正弦信號

和4.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換，ROC：σ>0（4-10），ROC：σ>0（4-11）4.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換2024/10/1621（4）單位階躍信號，ROC：σ>0（4-12）Matlab代碼如下：xt=heaviside(t);%單位階躍函數(shù)Xs=laplace(xt);運行結果為：Xs=1/s2024/10/16224.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換（5）單位沖激信號，ROC：σ>-∞（4-13）進一步可得：，ROC：σ>-∞（4-16），ROC：σ>-∞（4-17），ROC：σ>-∞（4-15），ROC：σ>-∞

（4-14）4.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換2024/10/1623Matlab代碼如下：xt=dirac(t);%單位沖激函數(shù)n=1;dnxt=diff(xt,t,n);%xt的n階微分Xs=laplace(dnxt);運行結果為：Xs=s2024/10/16244.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換（6）單位斜變信號當：σ>0時，有：，ROC：σ>0（4-18）進一步可得：，ROC：σ>0（4-19），ROC：σ>0（4-20）4.2連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換2024/10/1625Matlab代碼如下：n=1;Xs=laplace(t^n);運行結果為：Xs=1/s^24.3單邊拉普拉斯變換的性質2024/10/1626拉普拉斯變換可視為頻域的傅里葉變換在復頻域中的推廣，因此，兩種變換的性質存在許多相似之處。拉普拉斯變換建立了信號的時域描述與其復頻域描述之間的對應關系，信號在一個域的變化，必然在另一個域也有相應的體現(xiàn)。拉普拉斯變換的性質反映了不同形式的信號與其拉普拉斯變換函數(shù)的對應規(guī)律，這些性質是求取拉普拉斯變換的重要方法，也是線性時不變系統(tǒng)復頻域分析的重要基礎。

拉普拉斯變換有雙邊和單邊變換之分，因而也有雙邊拉普拉斯變換性質和單邊拉普拉斯變換性質之分。兩者的性質基本相同，由于工程上常處理因果信號與系統(tǒng)，本節(jié)主要討論單邊拉普拉斯變換性質。2024/10/16274.3.1線性4.3單邊拉普拉斯變換的性質若：則：例4-5：已知

，

，求x(t)=2x1(t)+5x2(t)的單邊拉普拉斯變換。解：由定義式有：，ROC：σ1>-2，ROC：σ1>-5則：x(t)=2x1(t)+5x2(t)ROC：σ>max[-2，-5]=-2。（4-21）以下其它特性的收斂域考慮方式與此相同，都作交集考慮，故下面如無特別需要省去收斂域討論。2024/10/1628

關于收斂域：4.3單邊拉普拉斯變換的性質如果組合后出現(xiàn)零極點的消除，收斂域有可能擴大。對于雙邊拉普拉斯變換，X1(s)的收斂域為σ11<σ<σ12，X2(s)的收斂域為σ21<σ<σ22，則兩個信號的線性組合αX1(s)+βX2(s)的拉普拉斯變換的收斂域為原兩信號的收斂域的交集，即：max[σ11,σ21]<σ<min[σ12,σ22]。對于單邊拉普拉斯變換，X1(s)的收斂域為σ>σ1，X2(s)的收斂域為σ>σ2，則兩個信號的線性組合αX1(s)+βX2(s)的拉普拉斯變換的收斂域為原兩信號的收斂域的交集，即：σ>max[σ1,σ2]。2024/10/16294.3單邊拉普拉斯變換的性質4.3.2時移特性若：則：，t00（4-22）

時移特性說明，信號函數(shù)的時移，對應于像函數(shù)乘以

，稱為時移因子。解：已知δ(t)1，由時移特性，有：δ(t-kT)例4-6：求δ(t-kT)的拉普拉斯變換。2024/10/16304.3單邊拉普拉斯變換的性質對于一般的周期信號，設主值周期

x1(t)為：再設xT

(t)為主值周期信號x1(t)以T為周期進行周期擴展而組成的有始周期信號，即：若x1(t)的拉氏變換為X1(s)，有：，ROC：σ>0（4-23）有始周期信號的單邊拉普拉斯變換，可由其主值周期信號的單邊拉普拉斯變換乘上

得到。

稱為周期因子，其中，T為周期。4.3單邊拉普拉斯變換的性質2024/10/16314.3.3復頻移特性若：則：

復頻移特性表明，像函數(shù)復頻移s0后，對應于其時域信號乘上因子，稱為復頻移因子。例4-8：求

拉普拉斯變換。已知

，σ>0，利用復頻移特性有：，ROC：σ>σ1+σ0

（4-24），ROC：σ>σ1解：利用歐拉公式有：2024/10/16324.3.4尺度變換特性4.3單邊拉普拉斯變換的性質若：則：，ROC：σ>σ0

（4-25），ROC：σ>σ0例4-9：求

拉普拉斯變換。解：已知利用尺度變換特性有：2024/10/16334.3.5時域卷積特性4.3單邊拉普拉斯變換的性質若：則：時移卷積特性表明，兩個信號時域的卷積，對應于其復頻域函數(shù)的乘積。

（4-26）利用這一特性，可以將時域的卷積運算變換為復頻域的乘積運算。因此，在利用卷積法求取LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應時，可將時域變換到復頻域求解。2024/10/16344.3.6復頻域卷積特性4.3單邊拉普拉斯變換的性質若：則：

復頻域卷積特性表明，兩個信號時域函數(shù)的乘積，對應于其復頻域函數(shù)的卷積乘上

（4-27）2024/10/16354.3單邊拉普拉斯變換的性質4.3.7時域微分特性若：則：

（4-28）反復利用（4-28）式，可得：

（4-29）

（4-30）

應用時域微分特性，對系統(tǒng)微分方程兩端同時取拉普拉斯變換，可以將微分方程變換為代數(shù)方程，這是系統(tǒng)復頻域分析的重要方法。解：由x(t)有：x(0-

)=1，

，4.3單邊拉普拉斯變換的性質2024/10/1636例4-10求

的一階導數(shù)及二階導數(shù)的單邊拉普拉斯變換。由（4-29）式：有：又：由（4-28）式：4.3單邊拉普拉斯變換的性質例4-10的Matlab實現(xiàn)：2024/10/1637Matlab代碼：symsa;xt=exp(-a*t);xt1=diff(xt,t);

%計算xt的一階微分xt2=diff(xt,t,2);%計算xt的二階微分Xs=laplace(xt)Xs1=laplace(xt1)Xs2=laplace(xt2)運行結果為：Xs=1/(s+a)Xs1=-a/(s+a)Xs2=a^2/(s+a)2024/10/16384.3.8時域積分特性4.3單邊拉普拉斯變換的性質若：則：

（4-31）對于x(t)為因果信號的情況，反復利用（4-31）式，可得：

（4-32）

（4-33）證明：由于對該式兩邊取拉氏變換，并利用卷積性質即可得證：2024/10/16394.3單邊拉普拉斯變換的性質4.3.9復頻域微分特性若：則：

（4-34）反復利用（4-34）式，可得：

（4-35）

（4-36）2024/10/16404.3.10復頻域積分特性4.3單邊拉普拉斯變換的性質若：則：

（4-37）【例4-13】

求

的單邊拉普拉斯變換。解：由4.3單邊拉普拉斯變換的性質2024/10/16414.3.11初值定理若：則：

（4-38），x(t)在t=0處連續(xù)，即在t=0處不包含沖激信號及沖激信號的導數(shù)時：

初值定理說明，當已知信號x(t)的拉普拉斯變換X(s)時，可以直接由X(s)求取信號的初值x(0+)，而不必先由X(s)求反變換x(t)。當x(t)在t=0處包含沖激信號及沖激信號的導數(shù)時：X(s)一般為假分式，設其中的真分式項為X’(s)，有：

（4-40）4.3單邊拉普拉斯變換的性質2024/10/1642【例4-15】利用初值定理求下列信號的初值。（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）4.3單邊拉普拉斯變換的性質2024/10/1643【例4-16】已知

，求解：4.3單邊拉普拉斯變換的性質2024/10/16444.3.12終值定理若：則：，當存在時：。

（4-41）

終值定理說明，當已知信號x(t)的拉普拉斯變換X(s)時，可以直接由X(s)求取信號的終值x(∞)，而不必先由X(s)求反變換x(t)。4.3單邊拉普拉斯變換的性質2024/10/1645【例4-18】

利用終值定理求下列信號的終值。（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）不存在。2024/10/1646拉普拉斯反變換的計算式如（4-3）所示：這是一個復函數(shù)的積分，其求解往往比較困難。實際問題中，X(s)一般為s的有理多項式，對于這種形式的函數(shù)求拉普拉斯反變換，最簡單的方法是部分分式展開法。4.4拉普拉斯反變換的計算式中，N(s)為分子多項式，D(s)為分母多項式。

（4-42）將N(s)和D(s)都表示成一階因式的乘積，有：

（4-43）4.4.1單邊拉普拉斯反變換的計算設X(s)為s的有理多項式形式：2024/10/16474.4拉普拉斯反變換的計算式中，zj是分子多項式N(s)=0的根，對任一zj，有s=zj時X(s)=0。同理，pi是分母多項式D(s)=0的根，對任一pi，有s=pi時X(s)=∞。當

n>m時，令：有：

（4-44）

（4-45）當

n

≤

m時，有：

（4-47）進一步將（4-43）式表示成一階因式的和的形式：2024/10/1648對（4-45）式求拉普拉斯反變換時，根據(jù)拉普拉斯變換線性特性，只要分別求出Xi(s)的反變換

xi(t)，則可求出X(s)的反變換。4.4拉普拉斯反變換的計算此時，

（4-48）（2）對于pi有k重根p1的情況：此時，

（4-49）（3）對于pi為共軛復根的情況：此時，將一對共軛復根看成是兩個復數(shù)單根，可以用（1）的單根方法得到。下面就極點pi的特點分三種情況求Xi(s)的反變換

xi(t)。（1）對于pi為單根的情況：4.4拉普拉斯反變換的計算2024/10/1649例4-19：已知

，求x(t)。解：由（4-48）式，有：

利用Matlab的ilaplace()函數(shù)，可以計算X(s)的拉普拉斯反變換，代碼如下：運行結果：xt=exp(-3*t)/2-exp(-5*t)/2symss;Xs=1./(s^2+8*s+15)xt=ilaplace(Xs)%拉普拉斯反變換4.4拉普拉斯反變換的計算例4-20：已知

，求x(t)。2024/10/1650解：例4-21：已知

，求x(t)。解：2024/10/1651例4-22：已知連續(xù)信號的拉普拉斯變換為試用MATLAB求其拉普拉斯逆變換x(t)。4.4拉普拉斯反變換的計算symss;Xs=(2*s+4)./(s^3+4*s)xt=ilaplace(Xs)%拉普拉斯反變換運行結果為：xt=1-cos(2*t)+sin(2*t)解：該題可以用函數(shù)

ilaplace()來求解，Matlab代碼如下：4.4拉普拉斯反變換的計算2024/10/1652再來看對于（4-47）式求拉普拉斯反變換。例4-24：已知

，求x(t)。

（4-56）（4-47）式中右邊第二項的反變換與前述相同，僅看右邊第一項的反變換。由于L[δ(t)]=1，根據(jù)時域微分特性有：解：利用（4-56）式，可得：對于（4-44）式，

，當收斂域為左邊區(qū)域時，即

時，其雙邊拉普拉斯反變換為：當收斂域為右邊區(qū)域時，即

時，其雙邊拉普拉斯反變換與其單邊拉普拉斯反變換相同，為：4.4拉普拉斯反變換的計算2024/10/1653對于利用部分分式展開法進行雙邊拉普拉斯反變換，其方法與單邊拉普拉斯反變換相同。不過，在進行雙邊拉普拉斯反變換時，必須根據(jù)收斂域確定各部分分式對應的時域信號形式。4.4.2雙邊拉普拉斯反變換的計算

（4-57）

（4-58）4.4拉普拉斯反變換的計算例4-25：已知

試用部分分式展開法求不同收斂域時的拉普拉斯反變換。2024/10/1654當-5<Re[s]<-3時，其收斂域對于極點p1=-5來看是右邊區(qū)域，而對于極點p2=-3來看是左邊區(qū)域，因此有：當Re[s]>-3時，其收斂域對于兩個極點來看，都是右邊區(qū)域，因此有：當Re[s]<-5時，其收斂域對于兩個極點來看，都是左邊區(qū)域，因此有：解：

式（4-59）表明，對于任意因果信號x(t)，若其單邊拉普拉斯變換X(s)存在，則可將其分解為復指數(shù)信號

的線性組合，其加權系數(shù)為2024/10/16554.5連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析4.5.1連續(xù)時間信號的復頻域分解系統(tǒng)分析的一個基本任務是求取系統(tǒng)對任意輸入激勵信號的響應。為此，必須先將任意信號表示為基本信號的線性組合。在復頻域分析方法中，選用的基本信號是復指數(shù)信號

。將任意信號分解為復指數(shù)信號的線性組合，是由拉普拉斯變換完成的。由單邊拉普拉斯變換的定義（4-3）式有：（4-59）式中，X(s)為因果信號x(t)的單邊拉普拉斯變換。4.5連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析2024/10/16564.5.2復指數(shù)信號激勵下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應由LTI系統(tǒng)時域分析法可知，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，就是系統(tǒng)的激勵x(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應h(t)的卷積，這里由卷積運算的定義，有：對于因果系統(tǒng)，由于

，代入上式可得：（4-61）（4-60）4.5連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析2024/10/1657H(s)是與t無關的以s為變量的復函數(shù)。將其與單邊拉普拉斯變換的定義式對照，可見，H(s)就是h(t)的單邊拉普拉斯變換。將（4-57）式代入（4-56）式中，有：（4-62）（4-63）式（4-63）表明，LTI因果系統(tǒng)對復指數(shù)信號的零狀態(tài)響應，等于

與H(s)的乘積，它仍然是相同頻率的復指數(shù)信號，只是幅度和相位發(fā)生變化而已。這里定義：由LTI系統(tǒng)的奇次性，該式兩邊同乘

有：4.5連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析2024/10/16584.5.3任意信號激勵下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應對于LTI系統(tǒng)，由（4-63）式系統(tǒng)對復指數(shù)信號的零狀態(tài)響應為：

（4-64）（4-64）式左端中括號內，即是任意信號x(t)的復頻域分解表達式。（4-64）式右端表示的是LTI系統(tǒng)對x(t)激勵的響應，也就是LTI系統(tǒng)對任意激勵信號x(t)的零狀態(tài)響應。故有：再由LTI系統(tǒng)的疊加性，對上式兩邊同取積分，有：4.5連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析2024/10/1659令：有：（4-66）

可見，yzs(t)正好是Yzs(s)的拉普拉斯反變換。也即yzs(t)與Yzs(s)正好是一對拉普拉斯變換對。（4-65）故對于LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應的求取，可采用先求取任意信號x(t)的拉普拉斯變換X(s)以及系統(tǒng)單位沖激響應h(t)的拉普拉斯變換H(s)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的拉普拉斯變換Yzs(s)即為X(s)與H(s)乘積，最后對Yzs(s)取拉普拉斯反變換，即可得到y(tǒng)zs(t)。4.5連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析2024/10/1660例4-26：已知LTI系統(tǒng)的單位沖激響應為

，求系統(tǒng)對信號

激勵的零狀態(tài)響應。解：4.5連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析2024/10/1661%Matlab代碼：symss

t;Xs=laplace(exp(-2*t))%拉普拉斯變換Hs=laplace(exp(-5*t))%拉普拉斯變換Ys=Xs*Hsyt=ilaplace(Ys)%拉普拉斯反變換運行結果：Xs=1/(s+2)Hs=1/(s+5)Ys=1/(s+2)/(s+5)yt=exp(-2*t)/3-exp(-5*t)/34.5連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析2024/10/16624.5.4LTI系統(tǒng)微分方程的復頻域求解4.5.3節(jié)給出了LTI系統(tǒng)對任意激勵信號響應的復頻域求解的一種方法，這種方法基于將任意信號分解為以復指數(shù)信號作為基本信號的線性組合的思想，具有清晰的物理意義。這種方法通過利用拉普拉斯變換使時域卷積運算變換為復頻域的代數(shù)運算，大大簡化了系統(tǒng)響應求解的復雜度。但是，這種方法需要已知系統(tǒng)的單位沖激響應，而且也僅求出了系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，并未給出系統(tǒng)全響應的求解。實際上，在給出系統(tǒng)的模型時，往往是給出系統(tǒng)的數(shù)學模型而不是給出系統(tǒng)的單位沖激響應，或者說，當給定的是系統(tǒng)的微分方程時，如何采用復頻域方法求解系統(tǒng)的全響應，本節(jié)就討論這種情況。4.5連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析2024/10/1663描述LTI系統(tǒng)的微分方程的一般表達式為：激勵x(t)為因果信號，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為:（4-68）對該式兩邊取單邊拉普拉斯變換，并利用時域微分特性，有：4.5連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析2024/10/1664式（4-68）右端第一項為不計系統(tǒng)初始狀態(tài)僅由激勵X(s)產生的響應，稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，即：式（4-68）右端第二項為不計系統(tǒng)激勵X(s)僅由初始狀態(tài)產生的響應，稱為系統(tǒng)的零輸入響應，即：系統(tǒng)的全響應為：y(t)=yzs(t)+yzi(t)=L-1[Yzs(s)]+L-1[Yzi(s)]（4-71）解：對微分方程兩邊取單邊拉氏變換，并利用時域微分特性，有：4.5連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析2024/10/1665例4-27：已知系統(tǒng)的微分方程為

，初始條件為y(0-)=2，y’(0-)=0，求當激勵為

時系統(tǒng)的零輸入響應、零狀態(tài)響應以及全響應。將初值代入，得：4.5連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析2024/10/1666零輸入響應為：零狀態(tài)響應為：全響應為：y(t)=yzs(t)+yzi(t)與例2-9比較，結果相同。4.5連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析2024/10/1667由此可見，利用拉普拉斯變換方法求解系統(tǒng)微分方程，將微分運算轉化為乘法運算，從而將微分方程轉化為代數(shù)方程，而且，初始條件也被自動包含在變換式中了，不僅大大簡化了求解的過程，而且同時獲得了系統(tǒng)方程的全解。因此，基于拉普拉斯變換的復頻域分析方法是連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)分析的強有力的工具。4.6線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)2024/10/16684.6.1系統(tǒng)函數(shù)的定義

連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型一般為n階微分方程，其通用表達式如（4-67）式所示，即：假定系統(tǒng)為零初始狀態(tài)，對該式兩邊取單邊拉普拉斯變換，得：即：令：有：4.6線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)2024/10/1669式中，N(s)為分子多項式，D(s)為分母多項式。由（4-75）式可見，H(s)是復變量

s的函數(shù)，它只與微分方程的結構有關，而與系統(tǒng)輸入x(t)及系統(tǒng)響應y(t)無關。當系統(tǒng)微分方程確定時，H(s)也隨之確定。（4-75）H(s)正是LTI系統(tǒng)單位沖激響應的拉普拉斯變換。因此，H(s)也能完整地描述系統(tǒng)的特性。稱H(s)為LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。解：對系統(tǒng)取零初始狀態(tài)時，對微分方程兩邊取拉普拉斯變換得：4.6線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)2024/10/1670例4-28：已知系統(tǒng)的微分方程為

，求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及其單位沖激響應。4.6線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)2024/10/16714.6.2系統(tǒng)的零極點圖由系統(tǒng)函數(shù)的（4-75）式，將其分子多項式N(s)分解為一階因式的乘積，分母多項式D(s)也分解為一階因式的乘積，可得：式中，zj是分子多項式N(s)=0的根，對任一zj，有s=zj時H(s)=0，稱zj為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零點。同理，pi是分母多項式D(s)=0的根，對任一pi，有s=pi時H(s)=∞，稱pi為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點。一般，zj和pi為復數(shù)，將zj和pi標注在s平面上，zj用小圓“?！北硎荆琾i用小叉“×”表示，所得的圖形稱為系統(tǒng)的零極點圖。4.6線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)2024/10/1672例4-30：已知

，畫出該系統(tǒng)函數(shù)的零極點圖。%Matlab代碼num=[21]den=[1221]sys=tf(num,den)pzmap(sys)運行結果如圖4-4解：注：①sys=tf(num,den)：創(chuàng)建連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

②pzmap(sys)：在復平面上繪制連續(xù)時間LTI系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零極點圖，極點為’x’，零點為’o’。（2）根據(jù)初始值，從H(s)的極點可以求yzi(t)。即

，系數(shù)Ai由系統(tǒng)初值確定。4.6線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)2024/10/16734.6.3系統(tǒng)函數(shù)的應用我們已經看到，描述系統(tǒng)有多種方式，系統(tǒng)的微分方程、系統(tǒng)的單位沖激響應、系統(tǒng)函數(shù)都能完整地表達系統(tǒng)的特性。因此，通過對系統(tǒng)函數(shù)的研究，可以有許多方面的應用。（1）根據(jù)H(s)可寫出系統(tǒng)的微分方程。4.6線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)2024/10/