留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用

1§5-3留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用一、形如的積分二、形如的積分三、形如的積分2思想方法

:沿某條封閉路線的積分。兩個(gè)重要工作:2)積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化；1)被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化。

把定積分轉(zhuǎn)化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)31三角有理式的積分當(dāng)在變化時(shí),的正方向繞行一周.z沿單位圓周4z的有理函數(shù),且在單位圓周上分母不為零,滿足留數(shù)定理的條件.包圍在單位圓周內(nèi)的諸孤立奇點(diǎn).52.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:當(dāng)在變化時(shí),的正方向繞行一周.z沿單位圓周6例1

解故積分有意義.78因此，根據(jù)留數(shù)定理9其中

2.有理函數(shù)的無窮積分，形如此時(shí)，我們?cè)O(shè)f(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高兩次,無孤立奇點(diǎn).并且f(z)在實(shí)軸上積分存在要求:10補(bǔ)充曲線(以原點(diǎn)為中心,R為半徑的在上半平面的半圓周),取R足夠大，使f(z)所有的與一起構(gòu)成封閉曲線C,f(z)在C及其內(nèi)部(除去有限孤立奇點(diǎn)）處處解析.都包在..xy.z1.

z2.

zk

在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)這積分路線內(nèi).11根據(jù)留數(shù)定理得:當(dāng)充分大時(shí),總可使12132.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線,使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線,并使f(z)在其內(nèi)部除有限孤立奇點(diǎn)外處處解析.(此法常稱為“圍道積分法”)1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當(dāng)z在實(shí)軸上的區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí),f(z)=f(x))f(x)f(z)14定理

有理函數(shù)f(x)＝P(x)/Q(x)，若Q(x)的次數(shù)至少比P(x)的次數(shù)高兩次，f(z)在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn)，則有其中，為f(z)在上半平面內(nèi)的所有極點(diǎn).15例2計(jì)算積分解

在上半平面有一級(jí)極點(diǎn)1617積分存在要求:

f(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次,并且f(z)在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn).與閉曲線C,使f(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)都包在這積分路線內(nèi).同前一情形:

補(bǔ)充曲線一起構(gòu)成封3有理函數(shù)與三角函數(shù)乘積的積分xy...z1.

z2.

z318由留數(shù)定理:19例3計(jì)算積分解

f(z)又在上半平面只有一級(jí)極點(diǎn)例3計(jì)算積分解

20注意以上兩種類型的積分中，被積函數(shù)R(x)在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn).21重點(diǎn)與難點(diǎn)：留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理留數(shù)定理在定積分