2000-2017歷年考研數(shù)學(xué)一真題(答案+解析)

歷年考研數(shù)學(xué)一真題1987-2017y"+ay'+)y=cex的一個(gè)特解，則

(A)a=-3,6=2,c=—1(B)a==2,c=-1

(答案+解析)

(C)a=-3,》=2,c=l(D)a=3,ft=2,c=1

(經(jīng)典珍藏版)最近三年+回顧過【詳解】線性微分方程的特征方程為/+w+b=0,由特解可知耳=2

去一定是特征方程的一個(gè)實(shí)根.如果々=1不是特征方程的實(shí)根，則對應(yīng)于

最近三年篇(2015.2017)f(x)=cex的特解的形式應(yīng)該為。(工)屋，其中Q(x)應(yīng)該是一個(gè)零次多

項(xiàng)式，即常數(shù)，與條件不符，所以々=1也是特征方程的另外一個(gè)實(shí)根,

2015年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

這樣由韋達(dá)定理可得。=一(2+l)=-3,6=2xl=2,同時(shí)y*=xe*是

數(shù)學(xué)(一)試卷

原來方程的一個(gè)解，代入可得c=-l應(yīng)該選(A)

一、選擇題1—8小題.每小題4分，共32分.

3.若級數(shù)￡%條件收斂,則x=6,x=3依次為

1.設(shè)函數(shù)/(X)在(，》,4<?)上連續(xù)，其二階導(dǎo)數(shù)/"(x)的圖形如”=1

右圖所示，則曲線y=/(x)在(ro,+oo)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為00

級數(shù)E〃a“(x-D"的

(A)0(B)1(C)2(D)3n=l

(A)收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)(B)收斂點(diǎn)，發(fā)散

點(diǎn)

(C)發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)(D)發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散

【詳解】對于連續(xù)函數(shù)的曲線而言，拐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)等于零或者不存點(diǎn)

在.從圖上可以看出有兩個(gè)二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，以及一個(gè)二階導(dǎo)數(shù)不存

在的點(diǎn)x=0.但對于這三個(gè)點(diǎn)，左邊的二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的兩側(cè)二階【詳解】注意條件級數(shù)Z%條件收斂等價(jià)于事級數(shù)在x=l處

導(dǎo)數(shù)都是正的，所以對應(yīng)的點(diǎn)不是拐點(diǎn).而另外兩個(gè)點(diǎn)的兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)是

異號的，對應(yīng)的點(diǎn)才是拐點(diǎn)，所以應(yīng)該選(C)

條件收斂,也就是這個(gè)基級數(shù)的收斂為1,即lim4旦=1,所以

“TOOa

2.設(shè)y=-e2x+(x--)ex是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

23

op

的收斂半徑R=lim=1,絕對收斂域?yàn)樗?/("中)心心=J，"可"^f(rcos09rsin0)rdr,所以應(yīng)該

〃一>8

〃=15+D%D4J2sin26

選(B).

(0,2).顯然x=6,x=3依次為收斂點(diǎn)、發(fā)散點(diǎn)，應(yīng)該選(B)

‘I11

4.設(shè)D是第一象限中由曲線2孫=1,4盯=1與直線y==所5.設(shè)矩陣A=12，b=d,若集合C={1,2},則線性方程

3、

J4

圍成的平面區(qū)域，函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù)，則jJ/(x,y)dxMy=

D組Ax=8有無窮多解的充分必要條件是

()

(A)。走史Q(B)a更Q,dGQ

n1

(A)sinf^f(rcos(9,rsin0)rdr(B

(C)awQ,d任C(D)awdd

42sin26

【詳解】對線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換:

,；空|火平。f(rcos0,rsin0)rdr

4J2shi2。

B=(A,b)=

nI

(C)J)dCj而嚴(yán)y(rcos0yrsin0)drD)

42sin26

n]方程組無窮解的充分必要條件是r(A)=r(A,6)V3,也就

yf(rcos0^rsin0)dr

4J2shi2。

是(a-l)(a-2)=0,(d-l)(d-2)=0同時(shí)成立,當(dāng)然應(yīng)該

【詳解】積分區(qū)域如圖所示，化成極坐標(biāo)方程:

選(D).

)o11

2xy=1=2r~sinOcos。=1=r~=-----=r=廣一—

sin2。Jsin266.設(shè)二次型/(占,々,七)在正交變換x=Py下的標(biāo)準(zhǔn)形為

12才+￡-$其中P=(e?e,e)若

4xy=1=4r2sin6cos0=l=>r2=------23

2sin26，2sin26

。=(。1，一/，0)，則/(西/2，七)在x=Qx下的標(biāo)準(zhǔn)形為

兀C冗

—<0<—

43(A)2y2_￡+y；(B)2j,2+y；-yf

也就是D：■

1

/Yr<-------=

\j2sin20Jsin26(C)2y—；(D)2x+yl+yl

’100)(100、(A)-3(B)3(C)-5(D)5

【詳解】

【詳解】Q=(e1,-e3,e2)=001=P001

Oj〔。-122

、。T0,E(X(X+Y-2))=E(X)+E(XY)-2EX=DX+(EX)+EXEY-2EX

‘100、

故應(yīng)該選擇（D）.

00-1PT

二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫

、010,

線上）

"2ln(cosx)

9.lim

f=x7Ax=ylPAPy=y'x~9

ln(cosx)-tanx1

所以【詳解】lim----；---=lim

x->0尸xfO2x2

‘100、‘100、‘100、"2Yio0、2

QTAQ=00-1PTAP001=00-11ooisinx

一隊(duì)0一1

、010,、0-10,、010,°,1+COSX

sinY

故選擇（A）.【詳解】只要注意為奇函數(shù),在對稱區(qū)間上積分為零,

1+cosX

7.若A,6為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則（）

(A)P(AB)<P(A)P(B)(B)尸(A5)NP(A)P(5)

11.若函數(shù)z=z（x,y）是由方程e，+xyz+x+cosx=2確定，則

dzl(o,i)=

P(A)+P(5)

［詳解］P(A)NP(AB),P(B)NP(AB),所以P(A3)4

2【詳解】設(shè)戶0,7,7）=0::+*必+*+（：05》一2,則

故選擇（C）.

入'(x,MZ)=yz+l-sinx,F^(x,y,z)=xz,F\x,y,z)=ez+xy

8.設(shè)隨機(jī)變量X,y不相關(guān)，且EX=2,Ey=l,0X=3,則

且當(dāng)x=0,j=1時(shí)，z=0,所以

E(X(X+Y-2))=()

則

dz.乙(0,1,0),dz.Fy(0,1,0)X-l~N(0,l).

三l(o,i)=--------；-----=T，七l(o,i)=---------；-----=°，

dx1(0,1,0)②['(0,1,0)

p{xy_y<o}=p{y(x-i)<o}=p{y<o,x-i>o}+p{y>o,x-i<

也就得到dz|(o,i)=-dx.

12.設(shè)Q是由平面x+_y+z=l和三個(gè)坐標(biāo)面圍成的空間區(qū)域，則

三、解答題

JJJ(x+2j+3z)dxdydz=.15.(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)/(x)=x4-aln(l+x)+Z>xsinx,

Q

【詳解】注意在積分區(qū)域內(nèi)，三個(gè)變量具有輪換對稱性，也就是

g(x)=A/在XTO時(shí)為等價(jià)無窮小，求常數(shù)的取值.

JJJxdxdydz=JjJydxdydz=JJJzdxdydz

nn【詳解】當(dāng)xfO時(shí)，把函數(shù)/(x)=x+aln(l+x)+〃xsinx展開到

；

JJJ(x+2j+3z)dxdydz=6jjjzdxdydz=6jzrfzjjdxdy=3jz(l-z)2dz=—三階的馬克勞林公式，得

Qn0D：04

2

x/1

y*(x)=X+Q(X------1------Fo(x))+bx{x—x+o(x,))

236

20???02

-12.??02=(14-(L)X4-(—―4-b)x~+(―)X'+。(/)

?.???

13.〃階行列式—

00.??22

1+Q=O

00???-12

[詳解]按照第一行展開，得由于當(dāng)x->0時(shí)，f(x),g(x)是等價(jià)無窮小，則有一■!+5=(),

嚴(yán)有。“+。,一+

Dn=2P?_,+(-12(-1)"-'=+2,2=2(2)%=k

13

+1

由于2=2,=6,得=2"T(D1+2)-2=2"-2.

解得，a=—1,6=-

14.設(shè)二維隨機(jī)變量(XJ)服從正態(tài)分布N(l,0;l,l;0),則

p{xy-y<o}=.

16.(本題滿分10分)

【詳解】由于相關(guān)系數(shù)等于零，所以X,Y都服從正態(tài)分布，

設(shè)函數(shù)y=/(x)在定義域/上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對任意的x°e/,曲線

X~N(l,D,y~N(0,D，且相互獨(dú)立.

gr@=修0=-、)

J=/(x)在點(diǎn)(x0,/(x0))處的切線與直線X=X。及X軸所圍成區(qū)域的

面積恒為4,且"0)=2,求/(x)的表達(dá)式.

/(x,y)在(x,y)處的最大方向?qū)?shù)的方向就是梯度方向，最大值為梯度

【詳解】y=f(x)在點(diǎn)(x0,/(x0))處的切線方程為

的模忸加切=Ja+yM+d+xl

y=/'(Xo)(X7o)+/(Xo)

所以此題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F(X,J)=(1+X)2+(1+J)2在條件

令"d得…。第

C:x2+y2+xy=3下的條件極值.用拉格朗日乘子法求解如下：

曲線y=f(x)在點(diǎn)(工0，/(項(xiàng))))處的切線與直線》=項(xiàng))及*軸所圍成區(qū)令L(x,y,2)=(1+X)2+(1+j)2+2(x2+y2+盯一3)

域的面積為

F/=2(l+x)+2x2+j2=0

5=；/(。)(。_(*0_白4)=4

解方程組-F；=2(1+J)+2J2+X2=0,得幾個(gè)可能的極值點(diǎn)

2f(x0)

X24-J24-=3

整理，得y=,y2,解方程，得_L=c—_Lx,由于/(o)=2,得

8j8(1,1),(-1,-1),(2,-1),(-1,2),

進(jìn)行比較，可得，在點(diǎn)x=2,y=-1或x=-l,y=2處，方向?qū)?shù)取到

最大，為囪=3.

所求曲線方程為7=18.(本題滿分10分)

4-x

(1)設(shè)函數(shù)w(x),v(x)都可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明

17.(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)/(x,y)=x+y+孫，曲線。：,+了2+盯=3,求/(x,y)(w(x)v(x)y=〃'(x)v(x)+"(x)v'(x);

在曲線。上的最大方向?qū)?shù).

(2)設(shè)函數(shù)MI(X),U2(X),--,M?(X)都可導(dǎo)，

【詳解】顯然”=l+y,當(dāng)*=l+x.

dxdy/(x)=?l(x)u2(x)-??(x),寫出/(X)的求導(dǎo)公式.

f(x,y)=x+y+xy在(x,y)處的梯度

【詳解】(證明：設(shè))，=〃(

1)x)v(x)起點(diǎn)4(0,衣0)對應(yīng)/=會，終點(diǎn)為5(0,-J5,0)對應(yīng)f=一5.

4y=w(x+Ax)v(x+Ax)-u(x)v(x)

1i(j+z)dr+(z2-x2+j)dy+(x2+y2)dz

=w(x+2kr)v(x+2kr)—M(x)v(x+2kr)+i/(x)v(x+Ar)—w(x)v(x)n_

=JJ(>/2sint+cost)d(cosf)+(V2cost)d(ecos￡)+(2-cos2t)dcost

=Auv(x+Ax)+u(x)Av2

4yAu.“、..Au

=26.J：sin2tdt=7t.

AxdxAx

由導(dǎo)數(shù)的定義和可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系20.(本題滿分11分)

設(shè)向量組a,,a2,a3為向量空間的一組基，

y'=lim—=lim[—v(x+z^x)+?(x)—]=u'(x)v(x)+M(X)V'(X)

1句ArArAr

B、=2a?+2ka3,P2=2a2次=oc3+(k+l)a3.

(1)證明：向量組以，尾,網(wǎng)為向量空間K的一組基；

(2)/(x)=WI(X)W2(X)-M?(X)

(2)當(dāng)兒為何值時(shí)，存在非零向量自，使得。在基因,4，%和基

f\x)=M|(X)tt|(X)W2(X)--MH(X)+ttI(X)M2(X)---ttn(X)d-----FW,(X)?2(X)--M*

笈，四，四下的坐標(biāo)相同，并求出所有的非零向量

19.(本題滿分10分)

'20］、

已知曲線L的方程為‘z=‘2-x--"，起點(diǎn)為A(0,衣0),終點(diǎn)為

【詳解】(1)(61血血)=(%%，%)020

[z=X

?k0k+1,

B(0,-V2,0),計(jì)算曲線積分

201

乙1

J(j+z)Jx+(z2-x2+j)Jy+(x2+j2)<fe.因?yàn)?2°=2〃且a,%,cq顯然線性無

2k0k+1

X=cost

關(guān)，所以以，夕會,笈是線性無關(guān)的，當(dāng)然是向量空間的一組基.

【詳解】曲線L的參數(shù)方程為，y=&sinf,K

z=cost

(2)設(shè)非零向量《在兩組基下的坐標(biāo)都是(陽，4,5)，則由條件

Xjtz,+x2a2+x3aA=+x2fi2+X3J33（1）求0,力的值;

可整理得：x,(a,+2Ara,)+x2a2+x3+ka})=0,所以條件轉(zhuǎn)化為（2）求可逆矩陣P,使PT/LP為對角矩陣.

線性方程組

【詳解】（1）因?yàn)閮蓚€(gè)矩陣相似,所以有=網(wǎng).

+2&%,%，/+4生）*=0存在非零解,

3+a=2+ba=4

從而系數(shù)行列式應(yīng)該等于零，也就是也就是?

2a-3=b=b=5

r10101

Q,%,%)010=|(6,%,%|010=0丸—120

\2k0k)2k0k(2)由piE—用=o2-50=a-i)2a-5)=o,得A,B

o-3A—1

101

由于4,%,a?顯然線性無關(guān)，所以010=0,也就是4=0.的特征值都為4=4=1,4=5

2k0

解方程組（E-A）x=0,得矩陣A的屬于特征值4=4=1的線性無關(guān)

陽

x3

此時(shí)方程組化為（a”里，aj2=(X,+x3)?1+x2a2=0,

kX3/的特征向量為4=14=0

X]+*3=0

由于a，a2線性無關(guān)，所以，,通解為解方程組（5E—A）x=0得矩陣A的屬于特征值4=5的線性無關(guān)的特

x,=0

-r

C為任意常數(shù).

征向量為芻=1

C

所以滿足條件的4=0其中C為任意不為零的常數(shù).

0、

、-C‘2-310

令尸=(444)=101,則尸T4尸=010

21.（本題滿分11分）

、0105,

，02-3、q-20、1°

22.（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

設(shè)矩陣A=-13-3相似于矩陣3=0b0

一2a,、031,

(2)求參數(shù)6的最大似然估計(jì)量.

2~xIn2,x>0

/(x)=-【詳解】(1)總體的數(shù)學(xué)期望為

0,x<0

心

對X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測，直到第2個(gè)大于3的觀測值出現(xiàn)時(shí)停止，記E(X)\—02()

y為次數(shù).

求y的分布函數(shù)；

令E(X)=又，解得參數(shù)6的矩估計(jì)量：0=2了一1.

(1)求y的概率分布；

(2)求數(shù)學(xué)期望EY.(2)似然函數(shù)為

【詳解】(1)X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測，得到觀測值大于3的概率為

“3,…,中吁號7'"'J…'乙/

P(X>3)=J「2"ln2dr="[0,其他

顯然Y的可能取值為2,3,4,…顯然〃e)是關(guān)于e的單調(diào)遞增函數(shù)，為了使似然函數(shù)達(dá)到最大，只要使

。盡可能大就可以，所以

且「==2("1)0，A=2,3,4,…

參數(shù)6的最大似然估計(jì)量為0=min(X],x2,---,xn).

2)設(shè)

、"/c、”

8\\

=-—=-------T，|x|<l

(-X(17)3"1

,1=2)117

8001(7、士-21

E(y)?sy=A)?@止%J=-5

16

23.(本題滿分11分)

設(shè)總體X的概率密度為

——,0<x<1

f(x;0)=<\-e

0,其他

其中e為未知參數(shù)，X1,x2,…，x”是來自總體的簡單樣本.

(1)求參數(shù)e的矩估計(jì)量；

(x-l)2,x<1

A.F(x)=<

x(lnx-l),x>1

(x-l)2,x<l

B.2x)=

x(lnx+l)-l,x>1

2016年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

(x-l)2,x<l

C.F(x)=<

數(shù)學(xué)(一)試卷x(lnx+l)+l,x>1

2

一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個(gè)選(x-l),x<l

D.產(chǎn)(x)=

項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請將所選前的字母填在答題紙指x(lnx-l)+l,x>l

定位置上。

【答案】D

(1)若反常積分尸(]:產(chǎn)收斂，則()。

【解析】對函數(shù)/(x)做不定積分可得原函數(shù)，

A.avl且6>1[\nxdx=x\nx-{x--dx=x\x\x-x+C,因此選擇D.

JJx

B.且匕>1

C.。<1且。+/?>1(3)若^=(l+x2)2-71+x2,y=(l+x2)2+Vl+x2是微分方程

D.且

【答案】Cy'+p(x)y=q(x)的兩個(gè)解，則式x)=()。

r+81fi1p+oo|

【解析】[--------Tdx^\---------dx+\---------dx,而A.3x(1+X2)

f'-Uzr當(dāng)a<l時(shí)收斂，而此時(shí)(l+x)“不影響，B.-3x(1+x”)

J。/

r+81廣+81r+ooIc仔

[------------T-^￥=|----------------dx,而[——-dx當(dāng)a+h>\時(shí)收1+廠

Jlxa(\+x)bJiN(I+%Jl尸

D.仔

X

1+廠

斂，此時(shí)(1+1)"不影響，因此選擇C

【答案】A

X

【解析】將y=(1+x2)271+x2代入微分方程可得:

,2(x-l),x<1人”

(2)已知函數(shù)=1，則/(%)的一個(gè)原函數(shù)是

lnx,x>1

4x(1+x2)--+p(x)[(l+x2)2-\Jl+x2]=q(x)

lim/'(x)=l,而lim/'(x)=lim/(一J(°)=［而