第01講 任意角和弧度制(基礎訓練)(解析版)-2021-2022學年高一數(shù)學考點專項訓練（人教A版2019必修第一冊）

第01講任意角和弧度制

【基礎訓練】

一、單選題

1.下列各角中，與33。終邊相同的角是（）

A.57°B.147°C.303°D.393°

【答案】D

【分析】

根據(jù)終邊相同角的表示方法，得到與33終邊相同的角為33Th360,keZ,結(jié)合選項，即可求解.

【詳解】

根據(jù)終邊相同角的表示方法，可得與33終邊相同的角為33+h360,keZ,

結(jié)合選項，當4=1,可得33,+360"=393".

故選：D.

2.終邊落在＞軸上的角的集合是（）

A.{ct|a=2k7rfk^Z]B.{a\a=k^Z]

7C7T

C.[a\a=k7r+—fkeZ}D.{a\a=2k7r+—,k^Z}

【答案】c

【分析】

利用象限角、周線角的定義依次判斷選項即可.

【詳解】

A表示的角的終邊在x軸非負半軸匕

B表示的角的終邊x軸上；

C表示的角的終邊在y軸上；

D表示的角的終邊在y軸非負半軸上.

故選：C

3.下列說法正確的是（）（均指在平面直角坐標系中，角的始邊在x軸正半軸上）

A.第一象限角一定是銳角B.終邊相同的角一定相等；

C.小于90。的角一定是銳角D.鈍角的終邊在第二象限

【答案】D

【分析】

根據(jù)象限角、銳角、終邊相同的角的概念即可區(qū)分出答案.

【詳解】

對于選項A,不正確，如405。，-330。都是第一象限角，但它們不是銳角：

對于選項B,不正確，如405。與45。的終邊相同，但它們不相等；

對于選項C,不正確，如-6（）。不是銳角（銳角的取值范圍是0。到90。）；

對于選項D,正確.（鈍角的取值范圍是90。到180。）.

故選：D.

4.時間經(jīng)過4小時，分針轉(zhuǎn)的弧度數(shù)為（）

A.一兀B.2兀C.-4TID.—8ir

【答案】D

【分析】

根據(jù)分針按順時針方向轉(zhuǎn)了4圈，求出分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)即可

【詳解】

根據(jù)分針經(jīng)過4小時，分針按順時針方向轉(zhuǎn)了4圈，

所以分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為-2萬x4=-8兀

故選：D

5.已知扇形AOB的周長為10,面積為6,則該扇形的圓心角為（）

433

3或3

A.3-4-D.4-

【分析】

根據(jù)題意列方程組可求得答案

【詳解】

解：設扇形AO8的半徑為，弧長為/,

'2r+/=10,1=6

由題意可得1,/解得一；

-/r=6,\r=2

I2

4

則該扇形的圓心角為g或3.

故選：B

6.一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是5,則這個扇形的圓心角為（）rad

5一

A.-B.5C.1D.2

2

【答案】A

【分析】

設扇形的半徑為R,弧長為/,面積為S,扇形圓心角的弧度數(shù)是。，根據(jù)弧長與面積公式得到方程組，解

得即可；

【詳解】

=R0=5

解：設扇形的半徑為R,弧長為/,面積為S,扇形圓心角的弧度數(shù)是。，則。11，解得

\S=—l；RD--xR0xRD=5

[22

八5

/?=2?9=二,

2

故選:A

7.下列說法中正確的是（）

A.第一象限角都是銳角

B.三角形的內(nèi)角必是第一、二象限的

C.不相等的角終邊一定不相同

D.不論是用角度制還是弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關

【答案】D

【分析】

根據(jù)任意角與象限角的定義，對選項中的命題真假性判斷即可.

【詳解】

解：對于A,第象限的角不一定是銳角，所以A錯誤；

對于B,三角形內(nèi)角的取值范圍是（0,外，所以三角形內(nèi)角的終邊也可以在卜軸的非負半軸上，所以B錯誤；

對于C,不相等的角也可能終邊相同，如]與等，所以c錯誤：

對于。，根據(jù)角的定義知，角的大小與角的兩邊長度大小無關，所以。正確.

故選：D.

8.已知扇形的面積為2,扇形圓心角的弧度數(shù)是4,則扇形的周長為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】

根據(jù)扇形的面積，利用扇形的面枳公式求其半徑，再根據(jù)扇形弧長公式及周長的求法求周長即可.

【詳解】

若扇形的半徑為「，而圓心角的弧度數(shù)a=4,則；1/.9=2,故廠=1,

2乃

二扇形的周長/=or+2廠=6.

故選：C

9.與-20。終邊相同的角是（）

A.-340°B.170°C.20°D.340°

【答案】D

【分析】

寫出與-20°終邊相同的角的集合，檢驗各個選項中的角是否滿足此條件.

【詳解】

與-20。終邊相同的角一定可以寫成k*360。-20。的形式，keZ,

令k=l可得，-20。與340。終邊相同，其它選項均不合題意，

故選：D.

10.下列各角中，與79。終邊相同的是（)

A.349°B.379°C.679°D.799°

【答案】D

【分析】

根據(jù)終邊角的定義表示出各角，即可判斷.

【詳解】

解：對A,349°=360-1T,故A錯誤；

對B,379°=360。+19°,故B錯誤；

對C,679°=360X2-4V,故C錯誤；

對D,7990=2x3600+79。，故D正確.

故選：D.

11.半徑為2,中心角為？的扇形的面積等于（）

42

A.一九B.冗C.—71D.

33

【答案】c

【分析】

根據(jù)扇形的面積公式即可求解.

【詳解】

TT

解：因為扇形的半徑r=2,中心角a=§,

所以扇形的面積S==gx?x22=暮，

故選：C.

12.下列說法正確的是（)

A.終邊相同的角一定相等B.鈍角一定是第二象限角

C.第一象限角一定不是負角D.小于90。的角都是銳角

【答案】B

【分析】

利用角的概念及其推廣對每一個選項逐一分析判斷得解.

【詳解】

終邊相同的角不一定相等，所以選項A錯誤；

鈍角一定是第二象限角，所以選項B正確：

第一象限角可能是負角，如乃是第一象限的角，且是負角，所以選項C錯誤；

O

7T

小于90。的角不都是銳角，如所以選項D錯誤.

故選：B

13.a是一個任意角，則a的終邊與3萬的終邊（）

A.關于坐標原點對稱B.關于x軸對稱

c.關于y軸對稱D.關于直線y=x對稱

【答案】c

【分析】

根據(jù)角終邊位置的周期性判斷出乃-a的終邊與3萬-a的終邊相同，從而得出答案.

【詳解】

因為乃-a的終邊與3萬-a的終邊相同，而乃-a的終邊與a的終邊關于N軸對稱，

所以a的終邊與3萬-a的終邊關于y軸對稱.

故選：C.

I

14.把-多\-r表r示成6+2版■（火cZ）的形式，使|。|最小的。值是（）

4

3乃c71c71—24

A.——B.——C.—D.—

4444

【答案】A

【分析】

1\jr1\TT

利用終邊相同的角的表示方法，可得和-呼終邊相同的角的表示為-￥+2%%，keZ,然后求出符合題

44

意的6值即可.

【詳解】

1\jr1\jr

解：和—終邊相同的角的表示為：2&萬-丁,ZwZ,

44

即24萬----，或2kiH----,Z€Z；

44

4

要使冏最小，所以。=-子7r.

故選：A.

15.一個圓心角為60的扇形，它的弧長是41，則扇形的內(nèi)切圓（與扇形的弧和半徑的相切）的半徑等于（）

A.2B.4

C.2）D.4萬

【答案】B

【分析】

設扇形內(nèi)切圓的半徑為X,扇形所在圓的半徑為r,求得/*=3x,結(jié)合弧長公式，列出方程，即可求解.

【詳解】

如圖所示，設扇形內(nèi)切圓的半徑為X,扇形所在圓的半徑為，

過點。作Of）LCD,

在直角ACW中，可得CO=-^\=2x,

sin30

所以扇形的半徑為/?=2x+x=3x,

又由扇形的弧長公式，可得：TTx3x=4萬，解得x=4,

即扇形的內(nèi)切圓的半徑等于4.

故選：B.

16.在平面直角坐標系中，下列結(jié)論正確的是（）

A.第一象限的角是銳角B.小于1的角是銳角

C.始邊相同且終邊也相同的角一定相等D.始邊相同且相等的角的終邊一定相同

【答案】D

【分析】

根據(jù)象限角和終邊相同的角，以及銳角的定義，判斷選項中的命題是否正確即可.

【詳解】

解：對于A,第一象限角是｛。|小360。＜。＜%360。+90。，keZ],第一象限角不一定是銳角，所以選項A錯誤;

對于8,小于90。的角不一定是銳角，也可能是零度的角或負角，所以選項8錯誤；

對于C,終邊相同的角不一定相等，它們可能相差h360。，kwZ,所以選項C錯誤；

對于始邊相同且相等的角終邊一定相同，故。正確；

故選：D

17.下列選項中，滿足a＜分的是（）

A.a-1,（3=2°B.a-\,P=-60。

C.a=225°,Z?=4D.?=180°,￡=兀

【答案】C

【分析】

先判斷出8,。不滿足&＜夕；然后利用角度制與弧度制的互化，判斷出C正確.

【詳解】

解：對于選項B,有a＞0,

對于￡）,有a=￡；

對于A,因為1=（吧）。＞2。，所以滿足a＞），

71

IQA

對于C,因為4=4x（—）。＞225。，滿足

n

故選：C.

18.若0。＜1＜180。，則a的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第一象限或第二象限D(zhuǎn).以上答案都不正確

【答案】D

【分析】

山已知判斷a的終邊所在的位置即可.

【詳解】

由0。＜。＜180。,分類討論如下：

當0。＜/＜90。時，a的終邊在第象限；

當a=90。時，，a的終邊在）,軸上：

當90。＜夕＜180。時，a的終邊在第二象限；

故選：D

19.下列命題中正確的是（）

A.第一象限角是銳角B.銳角是第一象限角

C.終邊相同的角必相等D.第二象限角必大于第一象限角

【答案】B

【分析】

根據(jù)角的有關概念逐項判斷對錯即可.

【詳解】

A.第一象限角不一定是銳角，如361。，故錯誤；

B.銳角的范圍是（0°,90。），一定是第一象限角，故正確；

C.終邊相同的角不一定相等，如0°,360。，故錯誤;

D.取第二象限角91。，取第一象限角361。，結(jié)論明顯不成立，故錯誤;

故選：B.

20.已知集合加=｛第二象限的角｝,N=｛鈍角｝,P=｛大于90。的角｝,則下列關系中正確的是（）

A.M=N=PB.MCP=NC.N=Mc\PD.NjM三P

【答案】C

【分

根據(jù)集合中角所處的范圍，判斷集合的關系.

【詳解】

由題知，M^\oi\^+1kn

<a<7r+2k^,k&Z>,N=<a\|y<a<^-

P=a\a>^

故對選項一一分析知，NjMcP.

故選：C.

21.將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)是（）

【答案】C

【分析】

將表的分針撥快10分鐘，即順時針撥動整個圓周的:，形成的角為負角，求得角的大小即可.

【詳解】

由題知，順時針撥動整個圓周的工，劃過的角為-多=-1

663

故選：C

22.若角a終邊在第二象限，則乃一。所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】

根據(jù)角所在的象限判斷即可.

【詳解】

山a在第二象限，則-a在第三象限，從而有力一a在第一象限；

故選：A

23.終邊為第一象限和第三象限的平分線的角的集合是（）

A.{a|a=45=+Jt-360,A:eZ}B.{a[a=-135°+ZJ80ez}

C.{a[a=-135°+h360',ZeZ}D.{a|a=135,+hl80"ez}

【答案】B

【分析】

利用終邊相同的角求解.

【詳解】

終邊為第一象限的平分線的角的集合{?|?=45,+h360\kez]，①

終邊為第三象限的平分線的角的集合是{?|a=-135+h360,丘z}②，

由①②得?=-135°+h180°,4eZ)

故選：B

24.已知圓心角為6()的扇形內(nèi)部有一個圓C與扇形的半徑及圓弧均相切，當圓C面積為"時，該扇形的面

積為()

【答案】D

【分析】

根據(jù)圓C面積為萬，求得其半徑，然后連接OC,設圓與OA切于點。，然后在AOCD中，由sin3()=器=3

求得扇形的半徑即可.

【詳解】

設扇形的半徑為R,圓C的半徑為r,

因為圓C的面積為"，

所以jvr2=n,解得r=1,

如圖所示:

D,

在△08中，sin30="=J—=!，

OCR-r2

所以R=3r=3

所以扇形的面積為S=#a=gx9x?專，

故選：D

25.下列命題中，正確的是（）

A.終邊相同的角是相等的角

B.終邊在第二象限的角是鈍角

C.若角a的終邊在第一象限，則掾a的終邊也一定在第一象限

D.終邊落在坐標軸上的所有角可表示為日,AeZ

【答案】D

【分析】

根據(jù)角的定義及終邊所在的象限逐一判斷選項的正誤即可.

【詳解】

終邊相同的角有無數(shù)個，比如，與角a終邊相同的角為a+2版■水eZ,故不一定相等，選項A錯誤;

終邊在第二象限的角可能是c+2版,(a是鈍角)，故不一定是鈍角，即選項B錯誤;

若角a的終邊在第一象限，如a=390。，則］=195。的終邊在第二象限，故選項C錯誤；

終邊落在坐標軸上的角為0,乃，當以及與它們終邊相同的所有角，故可表示為弓,％eZ,

選項D正確.

故選：D.

26.當角a與夕的終邊互為反向延長線，則角a與夕的關系一定是(&eZ)()

A.a=P+7CB.a=_(J

C.a=/7+(2&+l)4D.ot--p+2k?r

【答案】C

【分析】

根據(jù)角a與夕的終邊互為反向延長線，利用終邊相同的角求解.

【詳解】

因為角a與P的終邊互為反向延長線，

所以二=/3+冗+2k兀，keZ,

即a=p+(2k+l)i,keZ,

故選：C

27.下列兩組角的終邊不相同的是(左丘④()

5724

A.—九+4乃與---兀+k冗B.——4+2匕？與一"+2%乃

121233

C.,萬+2攵萬與U%+2%%D.,乃+女萬與±'乃+224

6644

【答案】D

【分析】

終邊相同的角應相差4的整數(shù)倍，逐個檢驗選項可得答案.

【詳解】

755

對于A,---乃+攵乃=一萬+（2—1）4與一4+%乃終邊相同，正確；

1212'’12

422

對于B,]■乃+2Z萬=一]■萬+2（4+1）不與一1〃+2女乃終邊相同，正確；

13I1

對于C,一乃+2攵笈=一%+2（2+1）%與一萬+2Z4終邊相同，正確；

666

對于D,!乃+%萬與土!乃+2%乃終邊不相同，錯誤；

44

故選：D

28.半徑為2,圓心角為等27r的扇形所夾的弓形（如圖所示的陰影部分）面積為（）

A.處-也B,也-

33

C.紅-2GD.二-石

33

【答案】A

【分析】

先根據(jù)扇形面積公式求扇形面積，再求三角形面積，作差即可得解.

【詳解】

）1124

半徑為2,圓心角為仔7r的扇形面積為5a尸=.x§萬x4=§萬，

空白三角形的面積為gx22sin!萬=6.

所以弓形（如圖所示的陰影部分）面積為^一道.

故選：A.

29.明朝數(shù)學家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千

未起，踏板一尺離地，送行兩步恰竿齊，五尺板高離地……”某教師根據(jù)這首詞設計一題：如圖，已知

ABri,CD±l,AE=AC,CFl.AE,CD=5,BE=2,FC=36,則弧EC的長（）

BD

A.兀B.乖）兀C.2兀D.

2

【答案】C

【分析】

求出A尸長后可得NE4C,再由弧長公式計算可得.

【詳解】

由題意=4尸+（5-2），解得A尸=3,所以NACF='=y,

T[

所以弧EC的長為6=2萬.

故選：c.

30.在東方設計中，存在著一個名為“白銀比例''的理念，這個比例為在1,它在東方文化中的重要程度不亞

于西方文化中的“黃金分割比例”，傳達出一種獨特的東方審美觀.折扇紙面可看作是從一個扇形紙面中剪下

小扇形紙面制作而成（如圖）.設制作折扇時剪下小扇形紙面面積為\,折扇紙面面積為邑，當時含=拒，

扇面較為美觀.那么按“白銀比例”制作折扇時，原扇形半徑與剪下小扇形半徑之比為（）

A.Jg+1B.4-6C.“一心D.拒+1

【答案】A

【分析】

1,

§-ar^

設剪下小扇形紙面的半徑為｛，原扇形半徑為弓，原扇形的面積為S,圓心角為a,由丁一=夜+1可

S,52

22

得答案.

【詳解】

設剪下小扇形紙面的半徑為彳，原扇形半徑為4，原扇形的面枳為S,圓心角為a

ljliJ5=S,+S2=5,+^S,=(1+V2)5,

q—1a)\22

所以7=&+l,又丁=^—===6+1

S'￡L2r2

22

所以二=

r2

故選：A

二、多選題

31.在平面直角坐標系中，集合［aa=^Mez］中的元素所表示角的終邊不會出現(xiàn)在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】AD

【分析】

利用終邊相同的角的集合，即可求解.

【詳解】

當々=3〃(〃eZ)時，a=^=2x^7t=2/77t(n€Z),

此時角a的終邊在x軸正半軸，

當無=3〃+l(〃wZ)時，a=竽=2x%(；”+l)=2〃兀+§^(〃eZ))

此時角a的終邊在第二象限，

當々=3〃+2(〃62)時，2*"(；"+4=2〃兀+與(〃-2),

此時角a的終邊在第三象限，

所以終邊不會出現(xiàn)在第一、四象限，

故選：AD.

32.下列說法錯誤的是（)

A.第二象限角比第一象限角大

B.60角與600角是終邊相同角

C.鈍角一定是第二象限角

D.將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為（

【答案】AB

【分析】

取特殊值可判斷A,利用終邊相同的角的關系可判斷B,根據(jù)鈍角概念可判斷C,根據(jù)旋轉(zhuǎn)角概念可判斷D.

【詳解】

A中，第二象限角比第一象限角大不正確，如100。是第二象限角，400。是第一象限角；

B中，因為600。力＞360。+60。水€2,所以60角與600角終邊不同，故錯誤；

C中，因為鈍角的范圍為（］,萬），所以鈍角是第二象限角，故正確；

D中，將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為（正確.

故選：AB

33.關于角度，下列說法正確的是（）

A.時鐘經(jīng)過兩個小時，時針轉(zhuǎn)過的角度是60。

B.鈍角大于銳角

C.三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角

a

D.若a是第二象限角，則券是第一或第三象限角

【答案】BD

【分析】

利用角的知識逐一判斷即可.

【詳解】

對?于A,時鐘經(jīng)過兩個小時，時針轉(zhuǎn)過的角是-60。，故錯誤；

對于B,鈍角一定大于銳角，顯然正確；

對于c,若三角形的內(nèi)角為90。，是終邊在y軸正半軸上的角，故錯誤;

對于D,???角a的終邊在第二象限，

7T

，2kit+-<a<2kn+兀，keZ,

2

,ita7t

ku+-<—<kuH—,

422

當人為偶數(shù)時，2"兀+；TT<三a<2〃兀+7T=,“eZ,得C（t是第一象限角；

4222

當人為奇數(shù)時，（2"+1）兀+：<恭伽+1）兀+],?eZ,得券是第三象限角，故正確.

故選：BD

34.若角a滿足a=22+?（&eZ）,則a的終邊可能在（）

36

A.第一象限B.第二象限

C.x軸非負半軸上D.y軸非正半軸上

【答案】ABD

【分析】

對整數(shù)A賦值計算，即可判斷AB選項的正確性，而對于CD選項，可以先假設a的終邊滿足條件，求出％,

并判斷女是否為整數(shù)即可.

【詳解】

■JT

當2=0時，?=-,此時a的終邊在第一象限，故A正確；

6

57r

當A=1時，?=—,此時a的終邊在第二象限，故BiE確：

6

若a的終邊在x軸非負半軸上，則學+[=2軸■（%eZ）,即々=3々。-!任Z,故C錯；

364

若a的終邊在y軸非正半軸上，貝|孚+?=2%/-1（左€2）,即％=3%-leZ,故D正確.

362

故選：ABD.

三、填空題

35.若一個扇形的周長是為定值，則當該扇形面積最大時，其中心角的弧度數(shù)是.

【答案】2.

【分析】

設扇形的周長是為定值/,扇形所在圓的半徑為L中心角的弧度數(shù)為a,得到a=~，化簡扇形的面積

r

為5=3々/=（（-「）.，，結(jié)合基本不等式，即可求解.

【詳解】

設一個扇形的周長是為定值/，扇形所在圓的半徑為『，中心角的弧度數(shù)為a,

/-2r

可得/=ar+2r,則a=----,

r

所以扇形的面積為5=_162=上上空"2=（，一『）.「4（5）2=匕，

22r2216

當且僅當g-r=r時，即/=4r時，等號成立，此時c=上至=2,

2r

即該扇形面積最大時，其中心角的弧度數(shù)是2.

故答案為：2.

36.若a是第四象限，則180。-。是第一.

【答案】三象限角

【分析】

根據(jù)對稱性可知一&是第一象限角，然后再根據(jù)任意角的定義，即可得到180。-。所在象限.

【詳解】

因為是第四象限的角，所以一。是第一象限角，

則由任意角的定義知，180。-&是第三象限角.

故答案為：三象限角.

四、雙空題

37.與2015。角終邊重合的角中，最小的正角是,最大的負角是.

【答案】215°-145°

【分析】

求出與2015。角終邊重合的角為-145。+360k,ZeZ,%=1時，，取最小的正角；當上=0時，取最大的負角;

代入求得結(jié)果.

【詳解】

由題知，與2015。角終邊重合的角為-145。+360%,keZ,

則取最小的正角時，女=1時，此時角為215」;

當左=0時,取最大的負角為-145。;

故答案為：215,；-145

38.《九章算術》是中國古代的數(shù)學名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計算方法.如圖所示，弧田是

由圓弧AB和其對弦A8圍成的圖形，若弧田所在圓的半徑為6,弦A8的長是，則弧田的弧長為:

弧田的面積是.

【答案】4萬12萬-9G

【分析】

作等腰二角形。記中求得ZAOB，由扇形弧長公式可得弧長，求出扇形面積減去三角形面積可得弧田面積.

【詳解】

?.?弧田所在圓的半徑為6,弦的長是66,；?弧田所在圓的圓心角408=丁，

二弧田的弧長為6x*4萬；

扇形AOB的面積為gx4%x6=12不，三角形AOB的面積為，66x3=96,弧用的面積為12萬-96.

故答案為：缶；12兀-96.

7T

39.已知一扇形的圓心角為弧長是4m,則扇形的面積是cm2,扇形的周長是cm.

【答案】y萬+6

【分析】

根據(jù)扇形的弧長公式和面積公式，準確計算，即可求解.

【詳解】

設扇形所在圓的半徑為r,

ITTT

因為扇形的圓心角為I，弧長是"，可得=解得〃=3,

所以扇形的面積為S=；xgx32=與，扇形的周長為/=%+2-=%+6.

故答案為：；71+6.

IT

40.扇形的圓心角為它所對的弦長為20cm,則此扇形的弧長為,面積為

?2()2002

【答案】—/rem——

nj

【分析】

根據(jù)題意，求得扇形所在圓的半徑，結(jié)合扇形的弧長公式和面積公式，即可求解.

【詳解】

由題意，扇形的圓心角為?，它所對的弦長為20cm,

可得扇形所在圓的半徑為〃=20cm,

所以此扇形的弧長為/=三入r=羊^明

此扇形的面積為S=；x?x202=竽cm2

200￡

故答案為：1cm2.

3

【點睛】

本題主要考查了扇形的弧長公式和面積的公式的應用，著重考查推理與運算能力，屬于基礎題.

五、解答題

41.（1）若某扇形的圓心角為75。，半徑為15cm,求扇形的面積？

（2）若一扇形的周長為60cm,那么當它的半徑和圓心角各為多少時，扇形的面積達到最大？最大值是多

少？

7t2

【答案】（1）*cm。；（2）r=15cm.a=2時，Smax=225cm.

8

【分析】

（1）首先將圓心角化為弧度數(shù)，再利用扇形面枳公式計算；（2）由條件可知2r+/=60,代入扇形面積公

式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最大值，即可得到半徑和圓心角.

【詳解】

（1）因為75。=/,

二扇形面積S=

22128

（2）設扇形的弧長為/,半徑為r,

2r+/=60,得/=60-2r,（0<r<30）,

11

扇形的面積5=5b=5（60-2廠），=-r+30/=-（「-15）9~+225,

當r=15時，扇形面積達到最大，最大值是225cm2,

此時/=60-2xl5=30,圓心角a='=2,

r

所以當半徑，=15CM,圓心角a=2時，扇形面積達到最大，最大值是225c〃/.

42.在-360?360之間找出所有與下列各角終邊相同的角，并判斷各角所在的象限.

(1)790°

(2)-20°.

【答案】(1)70。和-290。，是第一象限角；(2)340°,是第四象限角.

【分析】

利用終邊相同的角的關系，將已知角改寫為人36()+a?eZ形式即可得答案.

【詳解】

(1)790°=2x360°+70°,-360+70=-290,

所以在-360~360之間與它終邊相同的角是70。和-290,是第一象限角；

(2)-20=-360+340.

所以在-360-360之間與它終邊相同的角是340。，是第四象限角.

【點睛】

方法點睛：先利用終邊相同的角的關系”=h360+a,AeZ,把所給的角化歸到0'~360范圍內(nèi)，然后利用

0~360。范圍內(nèi)的角分析該角是第幾象限角.

43.若角a是第一象限角，那么角(■是第幾象限角？

【答案】第一或第二或第三象限角.

【分析】

表示H悌象限角kS&Pvav&T&r+gOW&eZ),求出(，根據(jù)％的取值即可求解.

【詳解】

是第一象限角，八360。＜。＜h360。+90。伏仁2)

zy

得h120。<三<%.120。+30。(《eZ).

①當斤=3〃(〃eZ)時，?.360°<y<n-360o+307neZ),這表明會是第一象限角；

ooo

②當Z=3〃+l(〃eZ)時，w-360+120<y<n-360+150°(neZ),這表明年是第二象限角；

③當％=3〃+2(〃eZ)時，,7.360°+240°<y<n-360°+270°(neZ),

這表明是第三象限角.

綜合①②③知，是第一或第二或第三象限角.

44.用弧度制表示終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合5(包括邊界)，并判斷2019。是不是集合S的元素.

57r34

【答案】S=\a—+2k7i:<a<—+2k7r,k&z\.2019°￡S.

【分析】

利用區(qū)域角的表示方法以及終邊相同角的表示方法即可求解.

【詳解】

解：因為150。=學，所以終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)角的集合為

6

5=sa葛+2k兀<a<+2k萬,Z:eZ>.

因為2019°=219°+5x360°=—+10兀，—<—,

606602

73萬

而2019。與工終邊相同，所以2019。6S

60

45.已知集合人=,8=；42也+（＜6,,2也+牛,&叫，C={7|—1姍10}.

（1）若6eA,且角3。與5-0的終邊垂直，求。；

（2）求BcC.

■田』■.、兀_ix兀―兀txctx兀7兀5兀I/兀3兀1|/9兀1In

【答案】（D或一丁或二或0或彳；（2）UU二,了.

2442V44」（44「144」

【分析】

（1）由3。與終邊垂直求氏再根據(jù)A=-p|求出具體的氏即可；

（2）分別取左值化簡8,再由交集運算得答案.

【詳解】

7T

解：（1）由3。與終邊垂直，

可得3夕=2—6+2+2左乃，或工一6=36+生+24萬，

2222

即6=2+—,Z￡Z或。=—,keZ.

422

①由一9￡+1,得一,￡女工；，

,:kwZ,

z-?冗_p,冗

0---7或T.

44

②由券v］，得T441，

,:kwZ,

e=±1或o.

???所有e的為：一5或一；或:或0或5：

(2)B={/?|2^+-<A，2k7T+—,keZ],

44

當左=-1時，B=[p\-<p?―],

44

當&=0時，8={0學},

44

當％=113寸，8={0亭<以,乎},

44

又。={川-1濾上10}.

BHC=(一口「當5々嗎5也，監(jiān).

11444444

46.已知一扇形的中心角是a,所在圓的半徑是R.

(1)若a=45。，/?=10,求扇形的弧長/及面積S；

(2)若扇形的周長是一定值C(C>0),當a為多少弧度時，該扇形有最大面積？并求最大面積；

(3)若扇形的面積是一定值S(S>0),當a為多少弧度時，該扇形有最小周長？并求最小周長.

2

【答案】13.(1)l=-5n,S=2子5兀；(2)當a=2弧度時，扇形面積最大，為CJ(3)當a=2弧度時,

2216

扇形周長最小，為4后.

【分析】

(1)首先將圓心角化為弧度制，由己知結(jié)合扇形的面積公式與弧長公式即可直接求解；

(2)扇形周長C=2R+/=2R+aR,可得7?=；^,利用扇形的面積公式，基本不等式即可求解.

2+a

(3)依題意S=；aR=則/?=愣，則C=(2+a)榨在利用基本不等式計算可得：

【詳解】

解：⑴若a=45。，R=l。，則a=45。、總號所以扇形的弧長?心牙。音,扇形的面積

S=-//?=-x—xl0=—；

2222

(2)扇形周長C=2R+/=2R+aR,

①上

2+a

11.C.C21C2

=-a?R-=-ct(----)2--------------7-，，—

222+a24+a+d隙.

a

當且僅當a?=4,即a=2時，扇形面積有最大值《

16

(3)扇形的面積S=所以R=

所以C=2R+/=(2+a)R=(2+a)J"=^.^^=Vi?.22后?=47?當且僅當白=而

即a=2時周長取得最小值4班

47.將下列各角化成￡=。+6360。《€乙0。4。＜360。的形式，并指出它們是第幾象限的角：⑴13200；

(2)-315°；(3)1500°；(4)-1610°.

【答案】(1)1320°=360°x3+240°,第三象限;

(2)-315。=360。、(-1)+45。，第一象限；

(3)1500o=360°x4+60°,第一象限；

(4)—1610。=360°x(—5)+190。，第三象限.

【分析】

先將各個角化為指定形式，根據(jù)通過終邊相同的角的概念判斷出角所在象限.

【詳解】

(1)1320°=360°x3+240°,因為240。的角終邊在第二象限，所以1320。是第三象限角;

(2)-315。=360。乂(-1)+45。，因為45。的角終邊在第一象限，所以-315。是第一象限角；

(3)1500。=360。*4+60。，因為60°的角終邊在第一象限，所以1500。是第一象限角；

(4)-1610。=360。、(-5)+190°,因為190。的終邊在第三象限，所以-1610。是第三象限角.

48.寫出與-120。終邊相同的角a的集合，并求出該集合中適合不等式-720。4夕＜720。的角.

【答案】｛a|360°M-120°,keZ｝；-480°,-120°,240°,600°.

【分析】

根據(jù)終邊相同的角的公式寫出角a的集合，然后根據(jù)％的范圍對k進行取值，從而確定出滿足不等式的角。.

【詳解】

因為角a的終邊與一120。的終邊相同，所以角a的集合為｛a1360。M-120。從eZ｝；

57

又因為一720。4360°內(nèi)-120。＜720。,女62,所以所以％可取-1,0,1,2,

當人=一1時，c=T80°,

當A=0時，a=-120。，

當％=1時，々=